28.1图形的旋转（第2课时 图形旋转的应用）（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦图形旋转的应用，核心内容为旋转作图步骤及图案设计。课堂导入通过复习旋转三要素与性质，展示旋转图案引出作图问题，衔接旧知与新知，搭建学习支架。 特色在于融合核心素养，以正方形中三角形旋转实例引导学生总结“找关键点—作对应点—顺次连线”步骤，培养几何直观与空间观念。图案设计活动让学生动手操作，体会“变中寻不变”思想，发展创新意识。结合亚运会吉祥物例题增强应用意识，分层作业助力巩固，提升学生技能与兴趣，为教师提供清晰教学流程。

28.1 图形的旋转（第2课时 图形旋转的应用） （教学设计） 1.教学内容 人教版（2024）九年级上册第二十八章“图形的旋转”第2课时图形旋转的应用，主要内容包括：运用旋转的性质作出简单平面图形旋转后的图形，掌握旋转作图的基本步骤，能利用旋转设计简单图案，体会旋转在现实生活和艺术创作中的应用价值. 2. 内容解析 本课时是在学生已掌握旋转的概念及三要素、旋转的基本性质的基础上，进一步学习旋转的应用.旋转作图是旋转知识的综合运用，既是性质的直观验证，也是后续学习中心对称、图案设计的基础.教材从具体的作图问题出发，引导学生总结旋转作图的一般步骤，并通过改变旋转中心、旋转角体验不同旋转效果，渗透“变化与不变”的辩证思想。本课时将旋转从“认识”层面提升到“操作”层面，是发展学生几何直观和空间观念的重要载体. 基于以上分析，本节课的教学重点为：旋转作图的基本步骤和方法. 教学目标 （1）掌握旋转作图方法：能根据旋转中心、旋转方向和旋转角，作出简单平面图形旋转后的图形，理解旋转作图的依据是旋转的性质. （2）理解旋转的“变”与“不变” ：通过改变旋转中心或旋转角，观察同一图案旋转后产生的不同效果，体会旋转中“变”与“不变”的辩证关系. （3）感受旋转的应用价值：能识别生活中的旋转图案，了解旋转在图案设计中的应用，欣赏数学之美，发展几何直观和空间观念. 2.目标解析 目标1立足于操作技能层面，要求学生能将旋转的性质转化为作图步骤，掌握“找关键点—作对应点—顺次连线”的基本方法，这是本节课的核心技能目标. 目标2着眼于数学思想层面，通过对比不同旋转条件下的不同效果，帮助学生深入理解旋转三要素的决定性作用，体会“变中寻不变”的数学思想. 目标3定位于数学素养层面，通过欣赏和设计旋转图案，让学生感受数学的应用价值和审美价值，激发学习兴趣. 学生经过第1课时的学习，已掌握旋转的概念和三要素，理解旋转的基本性质，并能运用性质进行简单的推理计算。然而，从“理解性质”到“运用性质作图”存在一个能力跨越：学生需要将“对应点到旋转中心距离相等”“对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角”这两条性质转化为具体的作图操作。此外，九年级学生已具备一定的尺规作图基础，这为旋转作图的规范操作提供了有利条件. 基于以上分析，本节课的教学难点确定为：准确确定关键点的对应点位置，理解旋转中心、旋转角变化对旋转效果的影响. 创设情景，引入新课 问题1：上节课我们学习了旋转的概念和性质，请同学们回顾： （1）旋转的三要素是什么？ （2）旋转有哪些基本性质？ 学生回答：旋转三要素是旋转中心、旋转方向、旋转角；旋转性质包括旋转前后图形全等、对应点到旋转中心距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角. 教师展示两组图片：（1）方格纸中一个三角形及其绕点O旋转后的图形；（2）由旋转形成的美丽图案（如风车、花瓣纹样）. 问题2：图（1）中，如果只给你原图形和旋转条件，你能自己画出旋转后的图形吗？图（2）中这些美丽的图案又是如何设计出来的？ 揭示课题： （设计意图 复习旋转的性质为作图提供理论依据；通过展示旋转图案激发学生的学习兴趣，自然引出“如何作图”的核心问题，体现“学以致用”的教学理念.） 探究点1 画出旋转后的图形 思考：与平移、轴对称类似，在画旋转得到的图形时，对于一些规则的几何图形(如三角形、矩形)，只要画出一些关键点(如三角形、矩形的顶点)的对应点，连接这些对应点，就可以画出旋转后的图形. 问题：如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，以点A为旋转中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形. 追问1：画出旋转后的图形的关键是什么？ 画出旋转后图形的关键是确定△ADE三个顶点的对应点的位置. 追问2：旋转中心是什么点？ 点A是旋转中心. 追问3：△ADE三个顶点的对应点的位置怎样确定？ 点A是旋转中心，其对应点是它本身；点D的对应点可由正方形的性质确定；点E的对应点可由旋转的性质确定. 详解：① 因为点A是旋转中心，所以它的对应点是它本身. ② 在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=90°，所以旋转后点D与点B重合. ③ 设点E的对应点为E′.由旋转的性质，旋转前后的图形全等，所以∠ABE′=∠ADE=90°，BE′= DE.因此，在CB的延长线上取点E′，使BE′ =DE，则△ABE′即为旋转后的图形. 追问4.还有其他方法确定旋转后的图形吗? 学生讨论说出自己的想法. 方法归纳：教师引导学生总结旋转作图的一般步骤： ①找 确定旋转中心、旋转方向、旋转角，找出图形的关键点 ②连 连接各关键点与旋转中心 ③转 将连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度 ④截 在旋转后的射线上截取与对应连线相等的线段，得到对应点 ⑤连 按原图形的顺序连接各对应点 ⑥写 写出结论 探究点2 旋转的应用——图案设计 活动1.将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，怎样得到的五角星图案. 利用旋转，可以设计美丽的图案.如图，将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，就可以得到图中的五角星图案. 追问1：需要旋转几次，每次的旋转角是多少? 学生讨论：再旋转4次，每次的旋转角是72°. 学生动手实际操作. 活动2：观察下图，两个旋转中旋转中心相同但旋转角不同，产生的效果有什么不同？ 学生观察：旋转中心不变，旋转角改变，图案旋转后各对应点的位置不同，整体效果也不同. 活动3：观察教材下图，两个旋转中旋转角相同但旋转中心不同，产生的效果有什么不同？ 学生观察：旋转角不变，旋转中心改变，图案整体位置不同，但各对应点与旋转中心连线所成的角相同. 师生共同归纳：选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案，会产生不同的效果。旋转的三要素共同决定旋转后的图形位置. 图案设计欣赏： 经过多次旋转，可以得到多个美丽的图案. 追问：这些图案分别是由哪个基本图形经过怎样的旋转得到的？每次旋转了多少度？旋转了几次？ 学生对照不同图形进行讨论. 活动4：学生利用三角尺或网格纸，以小组为单位，选择一个基本图形，确定旋转中心和旋转角，通过多次旋转设计一个图案. （设计意图 通过对比观察，帮助学生深入理解旋转三要素的决定性作用，体会“变中寻不变”的数学思想.欣赏和设计旋转图案，让学生感受数学的应用价值和审美价值，激发创造热情.） 典型例题 例1.杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”．出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．结合你所学知识，如图所示的“琮琮”经过旋转不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【分析】由如图图形旋转，分别判断、解答即可． 【详解】解：A．由图形旋转而得出；故本选项不符合题意； B．由图形对称而得出；故本选项符合题意； C．由图形旋转而得出；故本选项不符合题意； D．由图形旋转而得出；故本选项不符合题意； 故选：B． 例2.如图，在中，，是中线；，绕点顺时针旋与重合，点，的对应点分别为点，．    (1)尺规作图：作（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求证：三点在同一直线上． 【分析】（1）根据作角等于已知角的方法即可求解； （2）根据组图可得，，，根据即可求解． 【详解】（1）解：，绕点顺时针旋与重合，点，的对应点分别为点，， ∴线段在线段上，即点在线段上，且，如图所示，    ①以点为圆心，以为半径画弧，交于点，交于点，连接； ②以点为圆心，以为半径画弧，交弧于点，连接并延长至点； ③以点为圆心，以为半径画弧，交于点，连接，得； ∴根据作图可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中， ， ∴，即绕点顺时针旋转得， ∴即为所求图形． （2）解：，，如图所示，连接，交于点，    ∵， ∴， ∵，且由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 在中，，， ∴，且， ∴， ∴点三点共线． (设计意图 :每道例题搭配详细分析与解题步骤，规范学生解题思路，掌握数形结合解题方法； 补充简便解题技巧，帮助学生突破易错难点，提升解题速度与准确率，实现知识学以致用.) 课本课堂练习（P95）. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.如图，在等腰直角三角形中，，是由绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接． (1)若，求旋转角的度数和的度数； (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∵是由旋转得到的， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 理由：∵是由旋转得到的， ∴，，， ∴， ∴． （设计意图：本题考查了旋转性质和等腰三角形的性质以及全等三角形的判定，拓展学生的综合运用能力.） 1．（2026·武汉统考）亚洲青年运动会的图标如图所示，该图案绕中心旋转后，能与原来的图案重合，那么n的值可能是（　　） A．45 B．30 C．60 D．120 【详解】解：该图形被平分成八部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故n的最小值为45． 故选：A． 2．（2026.保定统考）如图，图案由五个相同叶片组成，且其绕点O旋转后可以和自身重合，若五个叶片的总面积为20，，则图中阴影部分的面积之和为（　　）    A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】解：∵五个叶片的总面积为20， ∴一个叶片的面积为4， ， ∴阴影部分的面积之和为一个叶片的面积，是4， 故选：B． 3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，画出将绕点按顺时针方向旋转后所得到的．    【详解】解：如图，是所求的三角形．   ． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：旋转作图：找关键点 → 作对应点（利用性质）→ 顺次连线.旋转作图依据：对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角.旋转的应用：改变旋转中心或旋转角，可产生不同旋转效果；旋转可设计美丽图案. 思想方法：转化思想：图形的旋转转化为点的旋转，化复杂为简单.数形结合：用数量关系（距离相等、角相等）指导几何作图.变中寻不变：旋转中心、旋转角在变，但旋转的性质不变. 易错提醒：关键点选取不全：作图时需找出图形的所有“转折点”（如多边形的顶点、线段的端点），遗漏任何一个都会导致图形错误.对应点位置不准确：作对应点时既要保证“距离相等”，又要保证“角度相等”，二者缺一不可.混淆旋转中心与图形上的点：旋转中心是固定不动的点，可能是图形内部的点、外部的点或图形上的点，需准确识别.旋转方向忽略：顺时针和逆时针旋转得到的图形位置不同，作图时必须明确方向 . (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本习题28.1第4、6、7题. 探究性作业：课本习题28.1第8题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 28.1 图形的旋转（第2课时） 一、旋转作图 二、旋转的应用 三、核心易错点 副板书 典型例题 （预留区域，课堂书写化简、检验例题） 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $