28.1图形的旋转（第1课时 图形旋转的概念）（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦图形旋转的概念及三要素，通过钟表指针、风扇叶片等生活实例导入，对比平移与轴对称，复习旧知构建学习支架，遵循“具体—抽象—具体”认知规律。 资料以数学眼光观察生活现象抽象概念，通过类比平移研究方法培养数学思维，动态演示三角形旋转与问题串助力理解旋转角，辨析题与分层例题巩固。提升学生空间观念与几何直观，为教师提供清晰教学路径与实用练习资源。

28.1 图形的旋转（第一课时 图形旋转的概念） （教学设计） 1.教学内容 本节课选自人教版（2024版）义务教育教科书数学九年级上册第二十八章《旋转》28.1节《图形的旋转》第一课时—— 图形旋转的概念，主要内容包括：旋转的概念、旋转的三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角）、对应点的概念，以及旋转概念的简单应用. 2. 内容解析 《旋转》是初中数学"图形与几何"领域中图形变换的重要组成部分，是继平移、轴对称之后学习的又一种全等变换。旋转的概念是全章的基础，也是后续学习旋转的性质、旋转作图、中心对称以及圆的相关知识的前提.本节课从学生已有的生活经验出发，通过观察钟表指针转动、风扇叶片旋转等实例，抽象出旋转的数学定义，进而提炼出旋转的三要素.教学内容遵循"具体—抽象—具体"的认知规律，先从生活实例中感知旋转，再归纳出数学概念，最后运用概念解决简单问题，体现了数学来源于生活又服务于生活的理念.从知识体系来看，旋转与平移、轴对称共同构成了初中阶段三大图形全等变换，三者既有联系又有区别.通过本节课的学习，学生将进一步完善对图形变换的整体认识，发展空间观念和几何直观，为后续学习旋转的性质及应用奠定基础. 基于以上分析，本节课的教学重点为：旋转的概念及旋转的三要素. 教学目标 (1)通过具体实例认识图形的旋转，理解旋转的概念.掌握旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角.能在具体的旋转情境中识别旋转中心、旋转方向、旋转角以及对应点. (2)经历从生活实例中抽象出旋转概念的过程，发展抽象概括能力.在探索旋转概念的过程中，进一步发展空间观念和几何直观.类比平移、轴对称的研究方法，体会图形变换研究的一般思路.能运用旋转的概念判断一个图形运动是否为旋转.能在简单图形中找出旋转中心、旋转方向、旋转角和对应点. (3)感受数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣.在观察、操作、归纳的过程中，体验数学探索的乐趣，培养勇于探索的精神. 2.目标解析 目标1学生能够用自己的语言准确表述旋转的定义，能够在给定的旋转图形中正确指出旋转中心、旋转方向和旋转角，能够说出哪些点是对应点. 目标2学生能够从多个生活实例中发现共同特征，主动进行归纳概括；能够类比平移和轴对称的学习经验，自主提出研究旋转的思路.学生能够独立完成判断旋转的练习题，能够在简单几何图形中准确找出旋转的三要素和对应点. 目标3学生积极参与课堂观察和讨论活动，对生活中的旋转现象表现出探究兴趣，能够主动分享自己的发现. 学生在小学阶段已经初步认识了旋转现象，知道旋转是物体绕着一个点或轴转动。在七年级和八年级，学生已经系统学习了平移和轴对称两种图形变换，了解了研究图形变换的一般方法（定义—性质—作图—应用），具备了一定的图形变换学习经验.九年级学生已经具备一定的观察、分析、抽象概括能力，能够从具体实例中归纳出数学概念.但对于旋转角的理解，尤其是在复杂图形中找出旋转角，学生可能会存在困难，需要借助直观演示和动手操作来帮助理解. 认知特点：九年级学生的思维正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对于抽象的数学概念，仍需要借助具体的直观形象来支撑.因此，教学中应充分利用生活实例和动手操作，帮助学生建立旋转的直观感知，再逐步抽象出数学概念.易错预判：学生容易将旋转角误认为是对应点连线的夹角，而忽略了旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角；在确定旋转方向时，容易混淆顺时针和逆时针；在复杂图形中找对应点时，容易对应错误. 基于以上分析，本节课的教学难点对旋转角的理解与准确识别在复杂图形中确定对应点和旋转角. 创设情景，引入新课 情境激趣，感知旋转 展示生活中的旋转现象图片或视频：钟表指针的转动、风扇叶片的旋转、摩天轮的转动、汽车方向盘的转动、开门时门的运动、风车的转动等. 追问1：这些运动现象有什么共同的特征？ 追问2：它们和我们之前学过的平移、轴对称有什么不同？ 引导学生观察、思考、交流，初步感知旋转的特征：绕着一个点（或轴）转动. 学生活动：观察图片和视频，思考并回答问题.学生可能会说："它们都是绕着一个点转的""都是在转动""不是沿着直线移动"等. （设计意图：从学生熟悉的生活实例入手，创设生动有趣的情境，让学生直观感知旋转现象，激发学习兴趣和探究欲望.通过与平移、轴对称的对比，引发学生的认知冲突，自然引出本节课的研究课题。同时培养学生用数学的眼光观察现实世界的能力，体会数学与生活的密切联系.） 复习旧知，铺垫引路 引导学生回顾平移的相关知识. 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移.平移的要素：方向和距离.（二者缺一不可） 平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；对应线段平行（或在同一直线上）且相等；对应角相等. 追问3：我们研究平移时，是按照"定义—要素—性质—作图—应用"的思路来进行的，那么，对于旋转这种新的图形变换，我们可以按照怎样的思路来研究呢？ 引出课题：今天我们就来学习一种新的图形变换——旋转.（板书课题） （设计意图：通过复习平移的研究思路，为学生学习旋转提供方法上的铺垫和指引，渗透类比的数学思想.帮助学生建立"图形变换"的整体认知框架，培养学生的迁移学习能力.同时明确本节课的学习目标，让学生带着问题进入新知探究环节.） 探究点1 类比迁移，形成旋转概念 思考：如下图，①钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了多少度? ②风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.③改变航向时，舵柄绕船舵中间的轴转动. 我们可以把上面问题中的指针、叶片、舵柄看作平面图形，这些图形都在平面内围绕着一个点转动.像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度，叫作图形的旋转，点0叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.如果图形上的点P经过旋转后变为点P'，那么这两个点叫作这个旋转的对应点.例如，时针在旋转，表盘的中心是旋转中心，旋转角是60°，在3时的时针端点P与在5时的时针端点P’是对应点. 追问1：旋转前后，图形的形状、大小发生变化了吗？ 旋转前后，图形的形状、大小未发生变化.也就是说，旋转前、后的图形全等. 追问2：通过以上思考，类比平移的定义，你能结合刚才观察到的旋转现象，给旋转下一个数学定义吗？ 学生思考、讨论、尝试表述后，教师引导归纳完善： 旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角. 追问3：确定一个旋转变换，需要知道哪些条件？ 引导学生提炼出旋转的三要素： 旋转三要素：① 旋转中心（定点）；② 旋转方向（顺时针或逆时针）；③ 旋转角度. 强调：三要素缺一不可，只有同时确定了旋转中心、旋转方向和旋转角度，才能唯一确定一个旋转变换. 学生活动：类比平移的定义，尝试用自己的语言表述旋转的定义，在教师引导下逐步完善概念.理解并记忆旋转的三要素. （设计意图：通过类比平移的研究方法，引导学生自主建构旋转的概念，培养学生的类比迁移能力和自主探究能力.让学生经历概念的形成过程——从观察实例到抽象概括，而不是被动接受，加深对概念本质的理解.同时进一步强化"定义—要素—性质"的图形变换研究范式，为后续学习旋转的性质做好铺垫.） 探究点2 深化理解，旋转性质 问题探究：演示动画：三角形ABC绕点O顺时针旋转得到三角形A'B'C'. 讲解：如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点P和P'叫做这个旋转的对应点. 追问1. 旋转中心是什么点？旋转方向是什么？ 追问2. 点A的对应点是哪个点？点B的对应点呢？点C的对应点呢？ 追问3. 连接OA和OA'，∠AOA'是什么角？连接OB和OB'，∠BOB'呢？连接OC和OC'，∠COC'呢？ 追问4. 这三个角的大小有什么关系？为什么？ 引导学生发现并归纳：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.所有旋转角都相等. 强调：旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，不是对应点连线的夹角. 学生活动：观察动画演示，跟随问题串逐步深入思考，理解对应点的概念，发现旋转角的本质特征. 总结：一个图形和其旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角. （设计意图：通过动态演示，让学生直观感受旋转的全过程，在运动变化中理解对应点和旋转角的概念。精心设计的问题串层层递进，引导学生主动观察、发现、归纳，突破"旋转角的识别"这一教学难点。培养学生的观察能力、空间想象能力和发现问题的能力，体现"做中学"的理念.） 探究点3 概念辨析，深化理解 1.判断下列说法是否正确，并说明理由. ① 旋转中心一定在图形上.（ ） ② 旋转只能按顺时针方向转动.（ ） ③ 旋转不改变图形的形状和大小.（ ） ④ 旋转角就是对应点之间的角.（ ） ⑤ 确定一个旋转变换，只要知道旋转中心和旋转角度就够了.（ ） 组织学生独立思考后小组讨论，再全班交流.教师针对学生的易错点进行重点强调：旋转中心可以在图形上、图形内或图形外，不一定是图形的顶点. 旋转方向有顺时针和逆时针两种，不能忽略.旋转是全等变换，不改变图形的形状和大小，只改变位置.旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，不是对应点连线的夹角.旋转三要素缺一不可：旋转中心、旋转方向、旋转角度. 2.如图 ，将△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A'B'C，若∠BCA'= 100'，能求出∠B'CA 的度数吗？ 解决问题:由旋转的性质可知，∠BCB'=∠ACA'=35°（旋转角相等）. 又因为∠BCB'+∠B'CA+∠ACA'=∠BCA'=100°, 所以∠B'CA =30°. （设计意图：通过正反两方面的辨析，帮助学生澄清认识误区，准确把握旋转概念的内涵和外延.针对学生易错点设计辨析题，进行提前干预和预防，加深对概念本质的理解.通过问题的解决，培养学生的批判性思维和严谨的数学态度，同时通过小组讨论培养合作交流能力.） 典型例题 例1. 钟表的时针匀速旋转一周需要12小时. （1）指出它的旋转中心； （2）经过5小时整，时针旋转了多少度？ （3）从上午8:00到上午10:30，时针旋转了多少度？ 【分析】本题考查旋转的概念在实际生活中的应用.解题的关键是理解旋转中心和旋转角的含义，并结合钟表的特点进行计算.第（1）问：钟表的时针绕着钟表的中心转动，因此旋转中心就是钟表表盘的中心（即时针和分针的交点）.第（2）问：时针旋转一周是360°，需要12小时，因此每小时旋转的角度为360°÷12=30°.经过5小时，时针旋转的角度就是5个30°，即5×30°=150°.第（3）问：从上午8:00到上午10:30，经过的时间是2小时30分钟，即2.5小时.时针每小时旋转30°，因此2.5小时旋转的. 【详解】（1）钟表的时针绕着钟表的中心转动，因此旋转中心就是钟表表盘的中心（即时针和分针的交点）.（2）时针旋转一周是360°，需要12小时，因此每小时旋转的角度为360°÷12=30°.经过5小时，时针旋转的角度就是5个30°，即5×30°=150°. （3）从上午8:00到上午10:30，经过的时间是2小时30分钟，即2.5小时.时针每小时旋转30°，因此时针旋转了75度. 例2．如图．在中，，将绕点C逆时针旋转得到，于点D．求的度数．    【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由旋转的性质，可得． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （设计意图：例题分层设计，基础辨析题夯实概念核心，解决学生“概念模糊、判断出错”的问题；实际应用题对接课堂导入情境，强化数学建模能力，实现知识从理解到应用的转化.同时通过详细分析与详解，规范学生解题步骤，培养严谨的解题习惯.） 课本课堂练习（P93-94）. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，．    (1)当时，求的长度； (2)当时，求的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 由旋转可知，∴为等边三角形， ∴． （2）∵，，， ∴， ∴，即． 1．（2025•吉林）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 【解答】解：360°÷3＝120°， 图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为120°． 故选：B． 2．（2025•天津）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为B′，C′，B′C′的延长线与边BC相交于点D，连接CC′．若AC＝4，CD＝3，则线段CC′的长为（　　） A． B． C．4 D． 【解答】解：连接AD，交CC'于点O， 由旋转得：AC＝AC＝4，∠AC'B'＝∠ACB＝90°， ∴∠AC'D＝90°． 在Rt△AC'D和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AC'D（HL）， ∴C'D＝CD＝3， ∴AD垂直平分CC'， ∴CC'＝2OC，AD⊥CC'． ∵∠ACB＝90°，AC＝4，CD＝3， ∴． ∵， ∴OC， ∴． 故选：D． 3．（2026年广东省）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得，连接，则的周长为（     ） A． B．18 C． D．24 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的周长为． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.旋转的三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度.三者缺一不可.对应点：旋转前的点和旋转后的点互为对应点.旋转角：对应点与旋转中心所连线段的夹角.所有旋转角都相等.旋转的本质：旋转是全等变换，不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置. 思想方法：类比思想：类比平移的研究方法（定义—要素—性质—作图—应用）来研究旋转，体现了数学学习的一般方法和图形变换研究的统一范式.抽象概括：从生活中的旋转现象抽象出数学中的旋转概念，经历了"具体—抽象—具体"的认知过程，培养抽象思维能力. 转化思想：将生活中的实际问题转化为数学问题来解决，体现了数学建模的思想.数形结合：通过图形直观理解旋转的概念，将数与形结合起来分析问题，发展几何直观. 易错提醒：旋转中心的位置：旋转中心不一定在图形上，它可以在图形的内部、外部或边上，不要误以为旋转中心一定是图形的某个顶点或中心点.旋转方向的判断：旋转方向有顺时针和逆时针两种，不能忽略旋转方向，判断方向时要注意观察图形转动的方向，与钟表指针转动方向相同的是顺时针，相反的是逆时针.旋转角的识别：旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角，不是对应点连线的夹角，也不是图形中任意两个点的夹角.找旋转角时要牢记"一找中心，二找对应点，三连线，四看夹角".对应点的确定：在复杂图形中找对应点时，要仔细观察图形的位置变化，按照旋转方向和角度来确定，避免对应关系找错，可以通过字母顺序或图形特征来辅助判断. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本习题28.1第1、2、3题. 探究性作业：课本习题28.1第5题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 28.1 图形的旋转（第一课时） 一、旋转的定义 二、旋转的三要素 三、旋转的本质 四、易错提醒 副板书 典型例题 （预留区域，课堂书写化简、检验例题） 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $