13.2.2三角形的中线、角平分线、高2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 这份同步练习围绕“三角形的中线、角平分线、高”，构建课前预习、课堂巩固、课后达标的三阶分层体系，通过概念辨析→性质应用→综合拓展的路径，强化知识理解与能力进阶，发展抽象能力、几何直观及推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |课前预习|三线概念识别|以选择题为主，通过折叠、图形辨析考查定义，培养几何直观| |课堂巩固|性质简单应用|选择与填空结合，涉及面积等分、高的判断，发展推理意识| |课后达标|综合问题解决|基础题强化概念应用，综合题通过面积比、等高三角形等分层设问，提升模型意识与运算能力|

13.2.2三角形的中线、角平分线、高 一、课前预习 1. 能把任意三角形分成面积相等的两个三角形的线段是这个三角形的一条（     ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．既垂直又平分的线段 2．如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 3．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 第2题 第3题 第4题 4．如图，，点A在线段上，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 二、课堂巩固 1．如图，在中交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．下列线段中，边上的高是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，分别是的中线、角平分线、高线，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 第1题 第2题 第3题 3．如图，一张锐角三角形纸片，点，分别在边，上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为________． 4．如图，中，，，，为的中点．动点从点出发，沿的路径在的边上运动，当的面积为6时，点运动的路程长为___． 第4题 第5题 5．如图，在中，点D是边的中点，点E在边上，，和交于点O，那么和四边形的面积比是________． 三、课后达标 基础巩固 1.．如图，在中，边上的高为（    ） A． B． C． D． 2．在中，是中线，与的周长差为7．若，则（    ） A．10 B．12 C．14 D．15 第1题 第2题 第3题 3．如图所示，，，分别是的高、角平分线和中线，则下列选项中错误的是（  ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，垂足为点． 则的长为 __________． 第4题 第5题 第6题 5．如图，在中，，为的中点，延长交于．为上一点，于，下面判断正确的有 _______． ①是的角平分线； ②是边上的中线； ③是边上的高； ④是的角平分线和高． 6．如图，在中，，是边上的中线，点到的距离为2，则___________． 综合提升 1．已知的面积是，请完成下列问题： (1)如图，若是的边上的中线，则的面积______的面积填“”“”或“”； (2)如图，若、分别是的、边上的中线，和交于点求四边形的面积可以用如下方法： 连接，由得：，同理：， 设，，则，， 由题意得：______，______，可列方程组为：． 解得______，通过解这个方程组可得四边形的面积为______； (3)如图，若点、点分别在线段和上，满足：：，：：，和交于点请你计算四边形的面积，并说明理由． 2．【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵， ∴． 【性质应用】 (1)如图②，D是的边上的一点．若，则_______；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝________，＝_______；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 参考答案 一、课前预习 1．B 【分析】根据等底等高的两个三角形的面积相等解答． 【详解】解：三角形的中线把三角形分成两个等底等高的三角形，故面积相等． 2．D 【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可． 【详解】解：如图， ∵由折叠的性质可知， ∴AD是的角平分线， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键． 3．B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 4．B 【分析】本题考查了三角形高的定义，掌握三角形高的定义是解题的关键； 根据从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可解决． 【详解】解：∵，点A在线段上， ∴， ∴边上的高是线段， 故选：B． 二、课堂巩固 1．B 【分析】本题考查了三角形的高．在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，简称为高．直接利用三角形高的定义分析得出答案． 【详解】解：在中，边上的高是， 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，掌握定义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线，高的定义进而判断即可． 【详解】解：，，分别是的中线、角平分线、高线， ∴，，，故选项A、B正确，不合题意； ，故选项C正确，不合题意； 由与不一定相等，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 3．3 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的面积等知识，根据同高的两个三角形面积之比等于对应的底之比可求出，设，则，，根据沿将剪成面积相等的两部分，可求出，进而求出，然后同高的两个三角形面积之比等于对应的底之比求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵沿将剪成面积相等的两部分， ∴， ∴， ∴， 4．4或11 【分析】根据中线的性质可得，然后分两种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 当点P在边上时，如图， ∵的面积为6， ∴， ∴点P为的中点，即， 此时点运动的路程长为4； 当点P在边上时，如图， ∵为的中点，的面积为6， ∴， ∴， ∴点P为的中点，即， 此时点运动的路程长为； 综上所述，点运动的路程长为4或11． 5． 【分析】本题考查中线求三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键．连接，设，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将各三角形的面积用含S的代数式表示出来，从而求出和四边形的面积比即可． 【详解】解：如图，连接．    设， ，点D是边的中点， ， ， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：． 三、课后达标 【基础巩固】 1．A 【分析】根据三角形高的概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，据此判断即可； 【详解】解：在 中，边所对的顶点是， 交的延长线于点， 边上的高是． 2．B 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：是△的中线， ， 与的周长差为7， ， ， ， ， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查三角形的高、角平分线、中线的定义，关键是明确三种线段的性质：三角形的高与对边垂直，角平分线平分对应内角，中线将对边分成相等的两段． 【详解】解：对于选项A，∵是的角平分线，并非中线， ∴不能推出，该选项错误； 对于选项B，是的角平分线，根据角平分线的定义，，该选项正确； 对于选项C，∵是的中线， ∴为的中点，即，该选项正确； 对于选项D，∵是的高， ∴，即，该选项正确． 故选：A． 4．/ 【分析】本题考查了三角形高有关的计算，掌握等面积法求高是解题的关键． 根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 故答案为： ． 5．③④/④③ 【分析】本题考查三角形的角平分线，中线和高，关键是掌握三角形的角平分线、中线、高的定义．由三角形的角平分线、中线、高的定义，即可判断． 【详解】解：①，是的角平分线，故①错误，不符合题意； ②是中点，是边上的中线，故②错误，不符合题意； ③，是边上的高，故③正确，符合题意； ④，，是的角平分线和高，故④正确，符合题意． ∴以上判断正确的有③④． 故答案为：③④． 6．8 【分析】本题考查了三角形的中线与面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．先根据三角形的面积公式可得，再根据三角形中线的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵，点到的距离为2， ∴， ∵在中，是边上的中线， ∴， 故答案为：8． 【综合提升】 1．(1)= (2)；；； (3)25 【分析】（1）根据等底同高的两个三角形面积相等，可知三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，所以 ； （2）根据三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，即可得到结果； （3）连结AO，由AD：DB=1：1，得到，同理可得，设，，则，，由题意列方程组即可得到结果． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 是的边上的中线， ． ，， ． 故答案为：． （2）连接，如图， ， 由得：， 同理：， 设，，则，， 、分别是的、边上的中线， ，， ，， 可列方程组为：． 解得：， 四边形的面积为：． 故答案为：；；；； （3）连接，如图， ：：， ． 由知：， ：：， ． ． 设，，则，， ， ， ， ． ，， 可列方程组：， 解得：． ． 【点睛】本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键． 2．(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了新定义 “等高三角形” 的概念及其性质（面积比等于对应底边的比），解题的关键是利用等高三角形面积与对应底边成比例的性质，逐步推导不同三角形的面积关系． （1）根据等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （2）利用等高三角形的性质：两个三角形面积的比等于底边的比，即可求解； （3）由，利用等高三角形的性质求得的面积；由及等高三角形的性质求得的面积． 【详解】（1）解：∵是等高三角形， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 学科网（北京）股份有限公司 $