13.2.2 三角形的中线、角平分线、高（分层作业）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 本同步练以“三角形的中线、角平分线、高”为核心，通过A/B/C组分层设计，构建从基础概念到综合应用再到思维拓展的巩固路径，适配新授课学情，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|高/中线/角平分线的识别、计算及概念辨析|以选择、填空为主，如“识别三角形的高”夯实基础，培养抽象能力| |B组能力进阶|中线分周长/面积、高的动态计算等综合应用|含解答题，如“中线分面积问题”提升推理意识，衔接知识综合| |C组思维拔高|分类讨论、转化思想及重心性质探究|结合动点问题，如“综合实践”发展创新意识，对接高阶思维|

分层作业 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 目 录 A组 巩固过关 题型01 识别三角形的高 题型02与三角形的高有关的计算问题 题型03 中线分线段问题 题型04 中线分周长问题 题型05 中线平分面积问题 题型06 与角平分线有关的计算问题 题型07 三角形中线、角平分线、高线概念辨析问题 题型08 三角形中线、角平分线、高线综合问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型 0 1 )识别三角形的高 1.中边上高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 2.如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 ( 题型 0 2 )与三角形的高有关的计算问题 3.如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．7 4. 已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 5.在中，是边上的高，若，，则的长为________． ( 题型 0 3 )中线分线段问题 6.如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，则的长度为（  ） A．6 B．8 C． D． 7.已知三边，是边上的中线． (1)若，求的长度． (2)求的取值范围； ( 题型 0 4 )中线分周长问题 8.(1)如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． (2) 如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 9.已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______． ( 题型 0 5 ) 中线平分面积问题 10.如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 11.如图，的中线相交于点F，若的面积等于12，则的面积等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 ( 题型 0 6 ) 与角平分线有关的计算问题 12.如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 13.如图，在直角三角形中，，点D是上一点，过点D作交于点E，点F是上一点，连接，且．求证：平分． ( 题型 0 7 ) 三角形中线、角平分线、高线概念辨析问题 14.下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15.下列叙述正确的个数是（     ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫重心；④三角形的三条高交于一点． A． B． C． D． ( 题型 0 8 )三角形中线、角平分线、高线综合问题 16.如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（   ） A． B． C． D． 17如图，在中，，平分，若，，求的度数． 1． 如图，为的中线，为的中线，为的中线，若图中阴影部分的面积为2，则的面积为（   ） A．8 B．10 C．12 D．16 2.如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3.如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 4.如图，为的中线，为的中线．若的面积为130，，则中边上的高为______． 5如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 6.如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 7.已知，在中，，边上的中线把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长． 8. 如图，在中，，边上的中线把的周长分成50和35两部分，求和的长． 1．【综合运用】如图，在中，点分别是边上的中点，连接，点F在上，满足，连接，若的面积是12，则图中四边形的面积是（   ）    A．4 B． C．6 D．8 2.【转化思想】如下图，在四边形中，，对角线，交于点．若的面积为8，的面积为5，则的面积为_____________． 3．【动点问题】如图，在直角三角形中，，，点是边上一动点（点可以与点，重合），且，若点，分别是，的中点，则的长度为______． 4．【分类讨论】中，是边上的高， 是的角平分线，若，则为 _______度． 5．【综合实践】 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【相关素材】 在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． 【解决问题】 (1)在图3中，若设，，，证明：． (2)利用（1）中的结论，证明：． (3)图4中，是的重心，点在的边、上，与交于点，，，，求的面积． 1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 2.（2022·江苏常州·中考真题）如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是______． 3.（2021·山东聊城·中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为____________． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 参考答案 A组 巩固过关 斯型n1 识别三角形的高 1.D 2.B 题型02 与三角形的高有关的计算问题 3.A 4.C 5.8或2 题型03 中线分线段问题 6.B 7.解(1)：AD是BC边上的中线， BD=号BC=3 (2)解：7-5<BC<7+5,即2<BC<12; ∴.1<BC<6 题型04 中线分周长问题 8.（1)20 (2)2 9.5 1/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型05 中线平分面积问题 10.C 11.A 题型06 与角平分线有关的计算问题 12.C 13证明：.DE1AB, ∴.∠ADE=90, .∠B=90°， .∠ADE=∠B, ∴DEBC, ∴.∠遮=ㄥ1， .∠1=∠C, ∠g=∠C, DE BC, ∴.∠AED=∠C, '.∠AED=∠g就， .DE平分∠AEF. 题型07 三角形中线、角平分线、高线概念辨析问题 14.B 15.A 颗型0g 三角形中线、角平分线、高线综合问题 16.C 17解：.AD⊥BC,∠C=65°， .∠CAD=90°-∠C=25°， .∠DAE=15, ∴.∠EAC=∠DAE+∠CAD=40°， 2/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .:AE平分∠BAC, ∴.∠BAC=2∠EAC=80°， .∴.∠B=180°-∠BAC-∠C=35° B组 能力进阶 1.A 2.c 168 3.25 4.13 5.9 6解：AB=4c,ac=10. AB×10=15, ,△ABC的周长为35， ..AB+AC+BC=35, .BC=35-AB-AC=35-15-10=10, ,AD是BC边上的中线， :BD=号BC=5 (2)AC不能等于12， 理由如下：假设AC能等于12， a=号4C, AB=号×12=18 .△ABC的周长为35， ∴.AB+AC+BC=35, .BC=35-AB-AC=35-12-18=5, ∴△ABC的三边长分别为5,12,18， 此时5+12<18，不满足三角形的三边关系， 3/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AC不能等于12. 7解：如图所示， .AB=AC,BD是AC边上的中线， AD-D号4Ac=4R 当时，即心， 解得AB=10,BC=1: 当时，即心， 解得AB=4,BC=13,则AC=4, .4+4<13 .不能组成三角形，不符合题意 所以腰长AB为10. 8.解：设BD=CD=X,则AC=2BC=4x, ,'BC边上的中线AD把△ABC的周长分成50和35两部分，AB>BC, ①当AC+CD=50,AB+BD=35时， 4x+x=50. 解得：x=10, ∴.AC=4X=4×10=40, BD=CD=10. .∴.AB=35-BD=35-10=25, .∴.AB=25>BC=20,满足条件： ·.:BC+AB=20+25=45>AC=40,满足三边关系， ∴.AC=40,AB=25 ②当AC+CD=35,AB+BD=50时， 4x+x=35, 解得：X=7, 416 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.AC=4x=4×7=28, ∴BD=CD=7, AB=50-BD=50-7=43, .AC+BC=28+14=42<43=AB, ∴.不满足三角形的三边关系， ∴不合题意，舍去， 综上：AC=40,AB=25. C组 思维拔高 1.C 2.3 3.6.5 4.50或30 5.证明月(1)：由题意可得：S△ccD=S△GBD=X,SAGBF=S△GAF=y,SAGAE=S△GCE=Z, ,S△ABD=S△ACD, .2y+x=2z+X, ∴y=z, SAABE-SACBE, ,2x+z=2y+Z, .x=y, ..X=y=Z; (2)证明：由(1)可得被三条中线分成的六个三角形面积相等， ∴.S△AGE=SAcE=SACDG, ,SAACG=S△AGE+SACGE, ∴.SAACG=2 SACDG, .AG:GD=2:1, ,G为△ABC的重心， ∴.BG≥=CG:GD=2:1. (3)解：G为△ABC的重心， 5/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BG:≥=CG:GD=2:1, :BE=10,CD=9, 2.CG-6. ,BE⊥CD 5mc号8c-c0-7×29x6=20 23 1 ·S G=2SaB80c=10, 拓展 链接中考 1.B 2.2 3.12:15:10 616 分层作业 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 目 录 A组 巩固过关 题型01 识别三角形的高 题型02与三角形的高有关的计算问题 题型03 中线分线段问题 题型04 中线分周长问题 题型05 中线平分面积问题 题型06 与角平分线有关的计算问题 题型07 三角形中线、角平分线、高线概念辨析问题 题型08 三角形中线、角平分线、高线综合问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型 0 1 )识别三角形的高 1.中边上高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】根据三角形的高线的定义即可解答． 【详解】解：A选项中，作的是边上的高，不符合题意； B选项中，没有经过顶点，不符合题意； C选项中，不垂直，不符合题意； D选项中，过点且垂直，符合题意． 2.如图，，以下说法不正确的是（） A．是的边上的高 B．是的边上的高 C．是的边上的高 D．是的边上的高 【答案】B 【知识点】画三角形的高 【分析】根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； B、∵， ∴， ∴是的边上的高，不是边上的高，故该选项说法错误，符合题意； C、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意； D、∵， ∴， ∴是的边上的高，故该选项说法正确，不符合题意． ( 题型 0 2 )与三角形的高有关的计算问题 3.如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．7 【答案】A 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题 【分析】由题意可知当时，的值最小，再根据等面积法求出的长即可． 【详解】解：如图，当时，的值最小， ， ． 4. 已知是的高，，，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】分两种情况讨论，即高在内部和外部，分别计算的度数． 【详解】解：情况一：当高在内部时， ∵，， ∴． 情况二：当高在外部时， ∵，， ∴． 综上，的度数为或. 5.在中，是边上的高，若，，则的长为________． 【答案】或 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】分为点在线段上和点在的延长线上两种情况，分别计算的长度，即可求解． 【详解】解：是边上的高，分两种情况讨论： 当点在线段上时，； 当点在的延长线上时， ； 综上，的长为或． ( 题型 0 3 )中线分线段问题 6.如图所示，已知点是的重心，连接并延长，交于点，若，则的长度为（  ） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 【知识点】重心的概念、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查三角形重心和三角形的中线的定义，关键是掌握“三角形的重心是三条中线的交点，重心在三角形的中线上”这一核心知识点．由重心的性质可知是边上的中线，即为的中点，因此的长度为的2倍，代入的数值即可计算出结果． 【详解】解：∵点是的重心， ∴是的中线， ∴是的中点，， ∴； 故选：B． 7.已知三边，是边上的中线． (1)若，求的长度． (2)求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】确定第三边的取值范围、根据三角形中线求长度 【详解】（1）解：是边上的中线， ∴． （2）解：，即； ∴ ( 题型 0 4 )中线分周长问题 8.(1)如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． (2) 如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，，则______． 【答案】(1)20 (2)2 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】根据三角形的中线及周长公式可进行求解． 【详解】(1)解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为18，， ∴，即， ∴， ∵， ∴的周长为． 解：∵是的中线， ∴， ∵的周长是，的周长是， ∴的周长的周长 ， ∵， ∴， ∴． 9.已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求长度、三元一次方程组的定义及解 【分析】根据三角形中线的定义可得，分别列出三个三角形的周长等式，整理变形即可求出的长． 【详解】解：根据题意得：， 由，得， ∵是的中线， ∴． ∴． 又∵， ∴，解得． ( 题型 0 5 ) 中线平分面积问题 10.如图，为的中线，为的中点，若的面积为24，则的面积为（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、根据三角形中线求长度 【分析】根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴ ∵的面积为24， ∴， ∵为的中点， ∴ ∴． 11.如图，的中线相交于点F，若的面积等于12，则的面积等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】连接，根据中线的性质得到三角形面积之间的关系，即可求解． 【详解】解：连接，如下图： ∵的中线相交于点F， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵的面积为12 ∴， 解得， ∴． ( 题型 0 6 ) 与角平分线有关的计算问题 12.如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形角平分线的定义 【分析】由是的平分线可得，由得． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 13.如图，在直角三角形中，，点D是上一点，过点D作交于点E，点F是上一点，连接，且．求证：平分． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形角平分线的定义 【分析】先证明，再根据平行的性质和等量代换证明，再根据证明，即可得到结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． ( 题型 0 7 ) 三角形中线、角平分线、高线概念辨析问题 14.下列说法中，正确的有（   ） ①三角形的中线、角平分线、高都是线段； ②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部； ③直角三角形只有一条高； ④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或所在的直线）分别交于一点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】重心的概念、画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】根据三角形中线、角平分线、高的定义与性质，逐一判断各说法的正误，统计正确个数即可得到答案. 【详解】解：①：三角形的中线、角平分线、高都是两个端点确定的线段，分别三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段；三角形的角平分线是指角平分线在三角形内部的部分，是线段；三角形的高是顶点到对边所在直线的垂线段．它们都是线段，因此①正确； ②：钝角三角形的两条高在三角形外部，直角三角形的两条高与直角边重合，并非所有高都在三角形内部，因此②错误； ③：直角三角形共有三条高，两条直角边本身就是两条高，斜边上还有第三条高，因此③错误； ④：三角形的三条角平分线、三条中线都分别交于三角形内部一点，而任意三角形的三条高（或所在直线）也都交于一点，因此④正确． 综上，正确的说法共2个，选B． 15.下列叙述正确的个数是（     ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；③三角形的三条角平分线交于一点，这一点叫重心；④三角形的三条高交于一点． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】重心的概念、根据三角形中线求面积、画三角形的高、三角形角平分线的定义 【详解】解：① 三角形的角平分线是三角形一个角的顶点与对边交点之间的线段，不是射线，故①错误； ② 三角形的中线将原三角形分成两个等底同高的小三角形，面积相等，②正确； ③ 三角形三条中线的交点才叫作三角形的重心，三条角平分线的交点不是重心，故③错误； ④ 只有三角形三条高所在的直线交于一点，三条高作为线段不一定交于同一点，故④错误； 综上，正确的结论只有个， 故选：A． ( 题型 0 8 )三角形中线、角平分线、高线综合问题 16.如图，在中，分别是边上的中线和高．，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度 【分析】利用三角形面积公式求得，然后根据三角形中线的性质得到即可． 【详解】解：，， ， 是边上的中线， ． 17如图，在中，，平分，若，，求的度数． 【答案】/度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】在中，求出，再利用角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理求得． 【详解】解：，， ， ， ， 平分， ， ． 1． 如图，为的中线，为的中线，为的中线，若图中阴影部分的面积为2，则的面积为（   ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形的中线，根据三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，可知，可得，由为的中线可得为的中线，从而得，，据此求解即可． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴为的中线， ∴， ∵为的中线, ∴为的中线， ∴，， ∴的面积 ， 故选：A． 2.如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】利用等面积法，求出之间的关系，并设值，再利用已知求出的长度，套用三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 设，则， ∵， ∴，解得，， ． 3.如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【知识点】垂线段最短、两点之间线段最短、与三角形的高有关的计算问题 【分析】过点A作于点E，连接，根据题意，得，当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值，求解即可． 【详解】解：过点A作于点E， 连接，根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值， 故当点P与点E重合时，最小， 在中，， ， ， ∴的最小值是． 4.如图，为的中线，为的中线．若的面积为130，，则中边上的高为______． 【答案】 13 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作，利用面积公式即可求得答案． 【详解】解：作， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∵的面积为130，， ∴， 解得， 故中边上的高为13． 5如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 【答案】9 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题 【分析】连接，由得到，得出，，由D是的中点推导得出，得出的面积，从而求出边上的高，根据垂线段最短得出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， D是的中点， ，， ， ∴， ， ， 设边上的高为h， ， ， ， ， 的最小值为9． 6.如图，已知的周长为35，是边上的中线，． (1)当时，求的长． (2)能否等于12？为什么？ 【答案】(1)5 (2)不能等于12， 理由如下：假设能等于12， ∵， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∴的三边长分别为， 此时，不满足三角形的三边关系， ∴不能等于12． 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了与三角形中线有关的计算、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键． （1）先求出，再根据三角形的周长公式可得，然后根据三角形中线的性质解答即可得； （2）假设能等于12，则，再利用三角形的三边关系解答即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的周长为35， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． （2）略 7.已知，在中，，边上的中线把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长． 【答案】10 【知识点】等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度 【分析】先根据等腰三角形和中线的定义可得，再分两种情况分别列出方程，求出解，然后根据三角形的三边关系确定答案即可． 【详解】解：如图所示， ∵是边上的中线， ∴． 当时，即， 解得； 当时，即， 解得，则， ∵， ∴不能组成三角形，不符合题意． 所以腰长为10． 8. 如图，在中，，边上的中线把的周长分成50和35两部分，求和的长． 【答案】， 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质和三边的关系，先根据和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①，②，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解题的关键是找到等量关系，列出方程． 【详解】解：设，则， 边上的中线把的周长分成50和35两部分，， ①当，时， ， 解得：， ， ， ， ，满足条件； ，满足三边关系， ，； ②当，时， ， 解得：， ， ， ， ， 不满足三角形的三边关系， 不合题意，舍去， 综上：，． 1．【综合运用】如图，在中，点分别是边上的中点，连接，点F在上，满足，连接，若的面积是12，则图中四边形的面积是（   ）    A．4 B． C．6 D．8 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形的中线，弄清面积之间的关系是解题的关键． 由三角形的中线可得、，再说明，易得，最后根据求解即可． 【详解】解：∵在中，点是边上的中点，的面积是12， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选C． 2.【转化思想】如下图，在四边形中，，对角线，交于点．若的面积为8，的面积为5，则的面积为_____________． 【答案】3 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键； 利用平行线间距离相等得出同底等高的三角形面积相等，再通过已知三角形的面积计算未知三角形的面积． 【详解】解：， ∴点，到直线的距离相等， ． 的面积为5， ． 3．【动点问题】如图，在直角三角形中，，，点是边上一动点（点可以与点，重合），且，若点，分别是，的中点，则的长度为______． 【答案】 【知识点】垂线段最短、线段中点的有关计算、与三角形的高有关的计算问题 【分析】由，得到当P和B重合时，，当时，，由三角形面积公式求出，由线段的中点定义得到． 【详解】解：∵， ∴当P和B重合时，，当时，， ∴边上的高为 ∴， ∴， ∵点M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴． 4．【分类讨论】中，是边上的高， 是的角平分线，若，则为 _______度． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算、与三角形的高有关的计算问题 【分析】根据题意分两种情况进行讨论，画出图形，利用角平分线的定义求出，然后利用角的和差求解． 【详解】解：①如图所示，点在之间时， ∵，平分． ∴， ∵， ∴； ②如图所示，点在之间时， ∵，平分． ∴， ∵， ∴； 综上，的度数为或． 5．【综合实践】 【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态． 【相关素材】 在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：． 在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． 【解决问题】 (1)在图3中，若设，，，证明：． (2)利用（1）中的结论，证明：． (3)图4中，是的重心，点在的边、上，与交于点，，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)10 【知识点】根据三角形中线求面积、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的重心的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，，再结合得出，结合得出，即可得证； （2）由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等，求出，得到，再结合重心的性质即可得出结果； （3）由重心的性质可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的重心， ∴； （3）解：∵为的重心， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 2.（2022·江苏常州·中考真题）如图，在中，是中线的中点．若的面积是1，则的面积是______． 【答案】2 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】根据的面积的面积，的面积的面积计算出各部分三角形的面积． 【详解】解：是边上的中线，为的中点， 根据等底同高可知，的面积的面积， 的面积的面积的面积， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算． 3.（2021·山东聊城·中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为____________． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】由题意得：BF⊥AC，再根据三角形的面积公式，可得，进而即可得到答案． 【详解】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O， ∴BF⊥AC， ∵AB＝5，BC＝4，AC＝6， ∴， ∴， ∴CE：AD：BF=， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $