29.1 圆的有关概念 课后同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 围绕“圆的有关概念”，通过基础巩固、能力提升、探究拓展三层设计，实现从概念辨析到综合应用的知识进阶，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆的基本概念（外心、弦、直径）、点与圆位置关系|选择1-5、填空11-13、解答16-18，直接考查概念辨析与基本作图，培养抽象能力| |提升层|三角形外接圆计算、反证法应用|选择6-10、填空14-15，结合方程与几何推理，发展推理意识| |拓展层|实际问题解决、动态几何探究|解答19-20，联系筒车模型与正方形旋转，培养空间观念与创新意识|

29.1 圆的有关概念 课后同步练习2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．三角形的外心具有的性质是（    ） A．外心在三角形外 B．外心在三角形内 C．外心到三角形三边距离相等 D．外心到三角形三个顶点距离相等 2．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 4．有一个半径为10cm的半圆形铁皮，半圆的周长是(   )cm． A．5π B．5π+5 C．51.4 D．10π+5 5．已知的半径r为4，点P到圆心O的距离d恰好是方程的解，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在的外部 B．点P在上或点P在的外部 C．点P在上或点P在的内部 D．点P在的内部 6．已知是线段的中点，点在半径为的外，点与点的距离是8，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点A，交于一点M，则当取得最大值时，k的值为（  ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为：，，，经画图操作可知，的外心坐标应是（   ） A． B． C． D． 9．直角三角形的两边长分别为和，则此三角形的外接圆半径是（     ） A．或 B．或 C． D． 10．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 11．如图，在中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有_______条弦，它们分别是_____________． 12．一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为_______． 13．已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则________． 14．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于”，应先假设_______． 15．一个圆的周长是，另一个圆半径是这个圆的半径的一半，则另一个圆的面积是______（取）． 三、解答题 16．作正方形的外接圆． 17．如图，在中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分． 18．如图，是的直径，，求的度数．    19．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，其工作原理是利用水流冲击水轮使其旋转，将水从低处提升到高处．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，筒车的中心轴为点，水轮边缘上的盛水筒、、均在上．已知为的直径，点在上方，连接、、．如图1过点作于点，连接，已知，，按照下图解决问题． (1)求的长； (2)求的值． 20．小新同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形，一条线段 ，再以点A为圆心，的长为半径，画分别交于点E，交于点G，过点E，G分别作、的垂线交于点F，易得四边形也是正方形，连接．    (1)【探究发现】如图1， ①与的大小关系：______； ②与的大小和位置关系：______． (2)【尝试证明】如图2，将正方形绕圆心A转动，在旋转过程中，上述①②中的关系还存在吗？请说明理由． (3)【思维拓展】如图3，若，则： ①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，的值为______； ②在旋转过程中，的最大值是______． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D C C C D D B A 1．【答案】D 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析 【分析】直接根据三角形的外心的定义判断即可 【详解】解：A．外心不一定在三角形外，错误； B．外心不一定在三角形内，错误； C．外心到三角形三角距离相等，错误； D．外心到三角形三个顶点距离相等，正确； 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的外心，熟练掌握定义是解答本题的关键．三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等． 2．【答案】B 【知识点】求能确定的圆的个数 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 3．【答案】D 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题考查圆的有关性质．根据圆的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项：缺少“同圆或等圆”条件，即相等的圆心角所对的弦相等需在同圆或等圆中成立， 故A错误，不符合题意； B选项：弦不一定是直径，故B错误，不符合题意； C选项：弧有优弧和劣弧之分，优弧长于半圆，故C错误，不符合题意； D选项：同圆中直径是最长的弦，故D正确，符合题意， 故选：D． 4．【答案】C 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】首先理解半圆周长的意义，半圆的周长是圆周长的一半加上它的直径，根据圆的周长公式：C＝2πr，再根据直径是半径的2倍，求出圆的周长的一半加上直径即可． 【详解】解：2×3.14×10÷2＋2×10 ＝31.4＋20 ＝51.4（厘米） 故选：C． 【点睛】本题考查半圆的周长的意义，掌握求半圆的周长的方法，半圆的周长是圆周长的一半加上它的直径． 5．【答案】C 【知识点】判断点与圆的位置关系、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查点与圆的位置关系和解一元二次方程，先解方程求出d的值，再根据点与圆位置关系的判定规则判断点P的位置即可。 【详解】∵解方程， 因式分解得， ∴， ∵的半径， 当时，， ∴点P在内部． 当时，， ∴点P在上． ∴点P在上或点P在的内部． 故选：C． 6．【答案】C 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，牢记点与圆的位置关系是解题关键． 根据点与圆的位置关系，点在圆外等价于，由此可得的取值范围． 【详解】解：∵ 是的中点，， ∴ ， ∵ 点在外， ∴ ， 即， 又∵， ∴ ． 故选：C． 7．【答案】D 【知识点】求一次函数解析式、点与圆上一点的最值问题 【分析】本题考查了直线上点的坐标特征，圆外一点到圆上点距离的最大值，解题的关键是确定当圆心在线段上，取得最大值． 由题意知，当圆心在线段上，取得最大值，把点的坐标代入中，即可求得的值． 【详解】解：由题意知，当圆心在线段上，取得最大值， 此时直线过点， 把点坐标代入中，得：， 解得：； 故选：D． 8．【答案】D 【知识点】求三角形外心坐标 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用．首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心． 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的垂直平分线交点即为的外心， 的外心坐标是， 故选：D． 9．【答案】B 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、用勾股定理解三角形 【分析】分两种情况：①为斜边长；②和为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径． 【详解】解：由勾股定理可知： ①当直角三角形的斜边长为时，这个三角形的外接圆半径为； ②当两条直角边长分别为和，则直角三角形的斜边长 因此这个三角形的外接圆半径为． 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于或． 故选：B 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键 10．【答案】A 【知识点】确定圆心(尺规作图)、判断确定圆的条件 【分析】本题考查圆的确定，根据圆的确定方法：不在同一直线上的三个点确定一个圆，进行判断即可． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而确定圆即可． 故选：A． 11．【答案】 三/3 ，， 【知识点】求圆中弦的条数 【分析】根据连接圆上任意两点的线段叫弦回答即可． 【详解】解：图中的弦有，，共三条． 故答案为：三；，，． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握弦的概念是解题的关键． 12．【答案】5 【知识点】因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、求特殊三角形外接圆的半径 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，勾股定理，直角三角形外接圆圆心的位置问题，先解方程求出两直角边的长，进而利用勾股定理求出斜边长，再由直角三角形外接圆圆心是斜边的中点，直径即为斜边即可得到答案． 【详解】解：解方程得或， ∴该直角三角形的两直角边长分别为3，4， ∴该直角三角形的斜边长为， ∵直角三角形外接圆圆心是斜边的中点，直径即为斜边 ∴此直角三角形的外接圆的直径为， 故答案为：． 13．【答案】16 【知识点】已知外心的位置判断三角形的形状、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 14．【答案】三角形三个内角都小于 【知识点】反证法证明中的假设 【分析】反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．据此解答即可． 【详解】解：用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于”，应先假设三角形三个内角都小于． 15．【答案】 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】本题考查了圆的周长和圆的面积，先根据一个圆的周长是，求出另一个圆的半径，再结合圆面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵另一个圆半径是这个圆的半径的一半， ∴， ∴另一个圆的面积是， 故答案为：． 16．【答案】 如图，为所作． 【知识点】确定圆心(尺规作图) 【分析】连接正方形的两条对角线，它们的交点就是外接圆的圆心，以交点到任意一个顶点的距离为半径画圆即可． 【详解】解：略． 17．【答案】 证明：连接．假设和互相平分． 和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵在中，点D、E分别在、上， 与不可能平行，与已知矛盾， 故假设不成立，和不可能互相平分．   【知识点】用反证法证明命题、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查反证法的证明方法，反证法的步骤：首先假设反论题正确，然后依据规则进行推理，若出现与已知条件不符或与公理定理相矛盾的情形，即可证明反论题不成立，原命题正确． 第一步先假设和互相平分，根据平行四边形的判定和性质得到，即，与已知矛盾，从而证明原命题正确． 【详解】略 18．【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、圆的基本概念辨析 【分析】由可得，再由三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：， ． ． 【点睛】此题考查了圆的有关性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质．注意掌握数形结合思想的应用． 19．【答案】(1) (2) 【知识点】求角的正切值、用勾股定理解三角形、圆的基本概念辨析 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）求解，再利用正切定义求解即可. 【详解】（1）解： 为的直径，， ． 连接，在中，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， （负根舍去）． （2）解：∵，， ∴， ∵，， 在中：． 20．【答案】(1)①；②， (2) 解：①②中的关系存在，理由如下； 如图2，连接，延长交于，交于，    ∵正方形、， ∴，，，， ∴，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，即； ∴①的关系存在； ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即； ∴②中的关系存在； (3)①；② 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、点与圆上一点的最值问题 【分析】（1）①如图1，作于，则四边形是矩形，证明，由勾股定理得，，②由①可知，，由题意知，，然后作答即可； （2）如图2，连接，延长交于，交于，证明，则，即；可知①的关系存在；证明，可得，；可知②中的关系存在； （3）①如图3，连接，同理（2）可知，，当点B，A，G三点共线，且在的右侧时，，可求，同理，当点B，A，G三点共线，且在上时，可求；②由题意知，，当最大时，最大，题意知，的最大值为6，进而可求． 【详解】（1）①解：如图1，作于，则四边形是矩形，    ∴，， ∵正方形、， ∴，， ∴，即， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：； ②解：由①可知，， 由题意知，， 故答案为：，； （2）略 （3）①解：如图3，连接，    同理（2）可知，， 当点B，A，G三点共线，且在的右侧时，， ∴， 同理，当点B，A，G三点共线，且在上时，， ∴， 综上所述，， 故答案为：； ②解：由题意知，， ∴当最大时，最大， 由题意知，的最大值为6， ∴的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正弦，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，求一点到圆上点距离的最值等知识．熟练掌握正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正弦，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $