29.2 圆的有关性质 预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦圆的有关性质，系统梳理垂直于弦的直径（垂径定理及推论）、弧弦圆心角关系、圆周角定理及推论、圆内接四边形性质等核心知识点，构建从圆的对称性到角与弧关系再到多边形应用的知识支架。 资料通过12类题型系统归纳，含例题与变式练习，注重实际应用（如石拱桥、圆柱形容器问题）培养数学眼光，通过证明与辨析题提升推理意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第二十九章 圆 02讲 圆的有关性质 题型归纳 【知识点1 垂直于弦的直径 1】 【知识点2 弧、弦、圆心角 2】 【知识点3 圆周角 2】 【知识点4 圆内接多边形 3】 【题型1. 利用垂径定理求值 4】 【题型2. 利用垂径定理求平行弦问题 9】 【题型3. 利用垂径定理证明 14】 【题型4. 垂径定理的推论 16】 【题型5. 垂径定理的实际应用 19】 【题型6. 利用弧、弦、圆心角的关系求解 25】 【题型7. 利用弧、弦、圆心角的关系求证 29】 【题型8. 圆心角与圆周角的概念辨析 35】 【题型9. 圆周角定理 37】 【题型10. 同弧或等弧所对的圆周角相等 43】 【题型11. 直径与90°圆周角互推定理 47】 【题型12. 圆内接四边形（四边形外接圆） 53】 【巩固练习 59】 知识清单 知识点1 垂直于弦的直径 1.圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 【提示】圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线. 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 3.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且A B C D O 平分弦所对的两条弧. 【提示】 ① 定理中“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径， 甚至可以是过圆心的直线或线段； ② 推论中“平分弦”的“弦”一定是非直径的弦，否则命题就不一定成立了，如图，当弦CD为直径时，AB平分CD于点O，但AB不垂直于CD； ③ 利用垂径定理及其推论可以证明两条弧相等，一条弦垂直平分另一条弦、一条线段是直径. 4.垂径定理的应用：应用时构造直角三角形，利用勾股定理求解， 如图，它们的关系为 ， . 知识点2 弧、弦、圆心角 1.圆心角的概念：把顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 3.定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧或劣弧分别相等. 【提示】 ① 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等； ② 在同圆或等圆中，两条弧（一般同为优弧或劣弧）、两条弦、两个圆心角中，只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等. 知识点3 圆周角 1.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交，把这样的角叫做圆周角. 如图24.1-11，∠ACB是圆周角. 【提示】（1）圆周角必须具备两个特征：① 顶点在圆上；② 两边都与圆相交. （2）同一条弧所对的圆周角有无数个. 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 【提示】 ① 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦及两个圆周角中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等； ② 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这三角形是直角三角形. 知识点4 圆内接多边形 1.定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆. 如图24.1-16，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形 ABCD的外接圆. 2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；任一外角与其相邻的内角的对角相等(即外角等于内对角). 【提示】 ① 内接和外接是一个相对的概念，是一种位置关系； ② 每一个圆有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的，四边形才存在外接圆； ③ 圆内接四边形外角等于内对角（圆内接四边形的性质，解答题可直接用）. 如图，∵ ∠BAD+∠BAE=180°（平角的定义） ∠C+∠∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补） ∴ ∠BAE=∠C 题型专练 题型1. 利用垂径定理求值 【例1】如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】根据垂径定理得到，在中利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴在中，， ∴． 【例2】如图，为的弦，，交于点，垂足为，，则的半径长为_____． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，掌握垂径定理是关键． 如图所示，连接，设，由圆的基础知识，垂径定理得到，根据勾股定理列式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的半径长为5， 故答案为：5 ． 【例3】如图，是的直径，弦于点，已知，，求的半径． 【答案】 【分析】连接，设圆O的半径为r，则，然后根据垂径定理得出，然后在中利用勾股定理进一步求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 设半径为r， ∵， ∴， ∵为的直径，，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴的半径为． 【变式1】如图，已知的半径为13，弦的长为24，那么圆心到弦的距离是（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】A 【分析】如图所示，过点O作于C，由垂径定理得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点O作于C， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴点到的距离是5． 【变式2】如图，在中，直径垂直于弦，垂足为，若，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据垂径定理求出，再根据勾股定理在中求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵直径垂直于弦，， ∴， 在中，， ∴． 【变式3】如图，⊙O的直径，AB是⊙O的弦，，垂足为M，若，则的长为________． 【答案】8 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理．连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理列式求解即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵直径，是的弦，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：8． 【变式4】如图，，是两条互相垂直的弦，于点，于点，连接．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．利用垂径定理求出、的长度，结合勾股定理得出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在中，， 故答案为： 【变式5】如图，在 中，是直径，是弦，且于点 E，若，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．连接 ，因为是直径，是弦，且，由垂径定理得，在 中，用勾股定理即可求得的长． 【详解】解：连接 ， ∵是直径，， ∴， ∵，， ∴， 在 中，． 题型2. 利用垂径定理求平行弦问题 【例1】⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 【变式1】在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是___． 【答案】2或14 【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 【变式2】在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为___________． 【答案】或/7或1 【分析】如图，，，过点作于，交于点，连，根据垂径定理得，由于，，则，根据垂径定理得，然后利用勾股定理可计算出，再进行讨论即可求解． 【详解】解：如图，，， 过点作于，交于点，连， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ， 同理可得， 当圆心在与之间时，与的距离； 当圆心不在与之间时，与的距离． 故答案为7或1． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 【变式3】已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 【答案】或 【分析】由于弦，需分两种情况讨论：当与在圆心同侧时，距离为圆心到两弦距离之差；当在圆心两侧时，距离为圆心到两弦距离之和，利用垂径定理和勾股定理求出圆心到各弦的距离． 【详解】过点作于点，则为中点，连接， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 过点作于点，则为中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 如图所示，当与在圆心同侧时，与之间的距离为； 如图所示，当与在圆心两侧时，与之间的距离为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，通过作圆心到弦的垂线，将弦长、半径和弦心距转化为直角三角形的三边关系，实现几何量的计算；解决本题的关键是利用分类讨论的思想，当两条平行弦在圆内时，需分弦的圆心同侧和弦在圆心两侧两种情况． 【变式4】如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 题型3. 利用垂径定理证明 【例1】已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题的关键． 先根据垂径定理得出，再证明即可得出． 【详解】证明：∵，于点E， ∴， 同理可证：． ∵ ∴． ∵于E点，于点F ∴ 在与中 ， ∴， ∴． 【变式1】如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂径定理，根据垂径定理证明即可． 【详解】证明：过作，垂足为E， ，， ， ． 【变式2】如图，在中，，以为圆心作圆与边相交于点于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】首先利用等腰三角形的三线合一性质可得，再通过垂径定理可得，从而可证． 本题考查等腰三角形的三线合一性质及圆的垂径定理，掌握相关定理是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点O作于点E，根据垂径定理，垂直平分和，即，，进而即可得出结论； （2）连接，利用勾股定理计算和的长度，进而求的长度． 【详解】（1）证明：如图，过点 O 作于点E． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，连接． ∵， ∵， 题型4. 垂径定理的推论 【例1】下列命题中，假命题是（    ） A．菱形的对角线互相垂直 B．矩形的四个内角都是直角 C．如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦 D．如果圆的一条直径平分一条弦，那么这条直径垂直这条弦 【答案】D 【分析】本题考查特殊四边形性质与圆的垂径定理相关结论，只需判断各命题真假即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的性质为对角线互相垂直平分，∴A是真命题； ∵矩形的四个内角均为直角，∴B是真命题； ∵根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，∴C是真命题； 若被直径平分的弦本身就是圆的直径，那么两条直径互相平分但不一定垂直，该命题存在反例，∴D是假命题． 【变式1】下列关于圆的说法不正确的是（    ） A．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 B．平分弦的直径平分弦所对的弧 C．垂直平分弦的直径必定经过圆心 D．垂直于弦的直径平分弦所对的弧 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理， 根据垂径定理及其逆定理逐项判断即可. 【详解】解：因为平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，所以A正确； 因为平分弦（不是直径）的直径平分弧所对的弦，所以B不正确； 因为垂直平分弦的直径必定经过圆心，所以C正确； 因为垂直于弦的直径平分弦所对的弧，所以D正确. 故选：B. 【变式2】下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；②半径相等的两个半圆是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，包括圆的定义、等弧的条件、圆心角与弧的关系以及垂径定理的逆命题．根据以上知识逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ① 在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，这是圆的定义，正确； ∵ ② 半径相等的两个半圆，弧长相等且均为半圆，故能重合，是等弧，正确； ∵ ③ 相等的圆心角所对的弧相等，需在同圆或等圆中才成立，否则不一定，错误； ∵ ④ 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，但弦为直径时，平分弦的直径不一定垂直于弦，错误； ∴ 正确的有①和②，共2个． 故选：B． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． 故答案为：． 题型5. 垂径定理的实际应用 【例1】在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径，在操场地上砸出一个小坑，点O到地面的距离，则该坑的宽（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据勾股定理和垂径定理求出，从而可得出． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∴ 故选：C． 【例2】往直径为的圆柱形容器内装入一些水后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为____________． 【答案】/1米 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，交于点， ∵， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，， ∴， 即水的最大深度为． 故答案为：． 【例3】  于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”，手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量，圆弧对应的弦长，弓形高长，半径的长． 【答案】半径的长为 【分析】此题主要考查了垂径定理，勾股定理．设半径的长为，则，由已知可得然后在中，由勾股定理得，即，由此解出r即可． 【详解】解：设半径的长为，则， ∵弓形高， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：． 答：半径的长为． 【变式1】壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．有一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．如图是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．已知种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，作交于点，交于点，连接，可得，设圆形框架的半径为，则，，利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作交于点，交于点，连接， ∵， ∴， 设圆形框架的半径为， 则，， 在中，， ∴， 解得， ∴圆形框架的半径为， 故选：． 【变式2】如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由垂径定理得，再由勾股定理得，进而完成解答． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． ∴截面圆中弦的长为． 故选：C． 【变式3】如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起______厘米． 【答案】16 【分析】连接，作于点D，交优弧于点C，利用垂径定理求得厘米．在中，利用勾股定理求得的长，据此求解即可． 【详解】解：连接，作于点D，交优弧于点C，则厘米． 由题意得厘米， 在中，厘米， ∴厘米， 则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起16厘米． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，利用垂径定理构造直角三角形是解题的关键． 【变式4】石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图①，某石拱桥的桥拱是圆弧形，其示意图如图②所示，其中桥顶到水面的距离，桥拱的半径．求此时水面的宽度AB． 【答案】此时水面的宽度AB为8m 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理的应用． 连接OA，根据垂径定理可知，再利用勾股定理即可求出的长，进而可得出的长，此题得解． 【详解】解：如图，连接OA，则． 由题意可知，， ． 在中，，， ， ． 故此时水面的宽度AB为m． 【变式5】某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 【答案】修理工人应准备直径为的管道 【分析】该题考查了勾股定理和垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 如图，过点O作于D，连接，则．设半径为，则，．在中，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于D，连接， 则． 设半径为，则，． 在中，， 即， 解得：， ． 故修理工人应准备直径为的管道． 题型6. 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例1】如图，在中，点A、B、C、D在圆上，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据等弧所对的圆心角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【例2】如图，在中，点是的中点，，则等于________度． 【答案】 【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据等腰三角形性质得出，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵点是的中点，即， ∴． 【变式1】如图，、是的直径，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查弧和圆心角的关系，解决此题的关键是熟练运用等弧所对的圆心角相等，反之亦如此；根据圆心角相等得到弧相等，根据弧相等得到圆心角相等，即可得到答案； 【详解】解：∵、是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】如图，是的直径，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键．根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式3】如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，关键是掌握圆心角和它所对的弧的度数相等． 连接，由平行线的性质推出，由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理求出，得到的度数． 【详解】解：连接， ∵， ， ， ， ， ∴的度数， 故答案为： 【变式4】如图，是的直径，．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查圆心角、弧之间的关系，熟练掌握圆心角与弧的关系是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ， ． 【变式5】如图，是的直径，点C、D在上，且点C、D在的异侧，连接．若的度数是，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，平行线性质，等边对等角， 利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到，则利用平行线的性质得，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，从而得到的度数． 【详解】解：∵的度数， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型7. 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例1】如图，，求证． 【答案】见详解 【分析】本题考查圆的性质，根据弧、弦、圆心角的关系可得，进而可得，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴. 【变式1】如图，已知在中，弦与弦相交于点，连接，若，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，全等三角形的判定和性质，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，可得，则，再证，可得，即平分． 【详解】解：连接、、、， ，， ，． ， ． 在和中 ． ． 在和中 ． ． 平分． 【变式2】如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理，菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【变式3】如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质． （1）根据弧与圆心角的关系，可得，又由点D，E分别是，的中点，可得，继而可证得，则可得； （2）由得到，推出，再得到，则． 【详解】（1）解：，理由如下， 证明：过点作直径，如图， ，，是的半径，， ， 点D，E分别是，的中点，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 【变式4】如图，为的直径，C、D分别为的中点，，点E、F都在上， 求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理以及含30度的直角三角形三边的关系， 1.连接，根据半径相等得到，则根据“”可判断，所以； 2.先说明，易得到，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到； 3.由得，根据三角形外角性质有，则，所以，于是得到． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径，C、D分别为的中点， ∴， ∴， 而， ∴， ∴； （2）证明：在中，取的中点G，连接， ∴， ∴. ∵， ∴, ∴. ∵是的外角， ∴， ∴， 解得， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型8. 圆心角与圆周角的概念辨析 【例1】下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 【例2】判断下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项D中的角是圆周角． 【变式1】下列图形中的角是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键． 根据圆心角的定义作答即可． 【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上， 所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意． 故选：A． 【变式2】下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 【变式3】如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角的定义，根据圆周角的定义，结合图形即可求解． 【详解】解：由图可知： 所对圆周角的是或， 故选：C． 【变式4】如图所示，表示圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角的判断，根据定义解答即可.顶点在圆心，角的两边与圆周相交的角，叫作圆心角． 【详解】解：图D中是圆心角． 故选：D． 题型9. 圆周角定理 【例1】如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 【例2】如图，点均在上，若，则的度数为___________． 【答案】/34度 【分析】本题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【例3】如图，点在上，D是的中点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，连接，求出，再利用圆周角定理可得结论． 【详解】解：如图，连接， 是的中点， ， ， ， ． 【变式1】如图，小佳将量角器放在了上，点，，均在量角器边缘上，且点，，的读数分别是，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，得到的度数是解题的关键． 连接，，可得，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接，， ∵点，均在量角器边缘上，且点，的读数分别是，， ， ， 故选：B． 【变式2】如图，点A、B、C、D都在上，连接、，，则的度数为________． 【答案】40 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等边对等角和三角形内角和定理，连接，由垂径定理和圆周角定理可求出，再由等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 【变式3】如图，点A、B、C在上，若，则的度数为 _____． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得：，进而可得答案． 【详解】解：∵与是弧所对的圆周角与圆心角，， ∴． 故答案为：． 【变式4】如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点． (1)求证：； (2)若，，求面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理、全等三角形的性质与判定、勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，再运用全等三角形中的判定方法得到，进而证明； （2）过点作于点，先证出 ，根据直角三角形中所对的直角边是斜边的一半可得到的值，根据勾股定理得到的值，最后运用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图： 为的中点， ， ，分别为半径，的中点，， ， 在和中， ， ． （2）解：过点作于点，如图： ， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ． 答：的面积为． 【变式5】如图，点A、B、C、D在上，且． (1)求证：； (2)若的度数为，设与的交点为P，求：的大小． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查弧、弦、圆心角与圆周角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角与圆周角的关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求证； （2）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵，且的度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型10. 同弧或等弧所对的圆周角相等 【例1】如图，是的弦， 点 C， D 都在上， 若， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同弧所对圆周角相等，根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和，圆周角，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 先根据同弧所对的圆周角相等，得到，再利用三角形的内角和，即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 【变式2】如图，是的直径，弦于点E，点P在上，弦与交于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）根据等边对等角得，由同弧所对的圆周角相等得，利用内错角相等两直线平行即可判定； （2）连接，根据垂径定理可得和，利用勾股定理可求得，即可求得的长度． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 是直径，， 为的中点， ，， ，， ， ． 【点睛】本题考查了等边对等角、同弧所对的圆周角相等、平行线的判定、垂径定理和勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 【变式3】如图，在中，于于E，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相等的弧对的圆心角相等，全等三角形的判定与性质；由相等的弧对的圆心角相等，得，进而可证明，即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4】如图，在中，是直径，是弦，于点E，连接，． (1)证明：； (2)当，时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂径定理可得，再由圆周角定理即可得证； （2）连接，设的半径为r，由垂径定理可得，从而得出，再由勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：在中，是直径，是弦， （2）解：由(1)可知 连接， 设半径r，则 在中， ， 解得 题型11. 直径与90°圆周角互推定理 【例1】如图，是的直径，，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理及其推论来求出，进而求出即可． 【详解】 是的直径， ， ， ， ． 【例2】如图，为的直径，为上一点，证明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理．由圆周角定理得到，由勾股定理即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ∴为直角三角形， ∴． 【变式1】如图：是的直径，C、D是上的两点，连接、、，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先利用同弧所对的圆周角相等，求出的度数；再根据直径的性质得到是直角三角形，最后通过直角三角形两锐角互余计算出的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵和都是中弧所对的圆周角， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴在中，． 【变式2】工人师傅用直角曲尺检查验收半圆形工件，下列为合格的“半圆形工件”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理．根据直径所对的圆周角是直角对三个工件进行分析即可得到答案． 【详解】解：因为直径所对的圆周角是直角， ∴只有B选项正确，其他均不正确． 故选：B． 【变式3】一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的直径为_____．    【答案】13 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点．连接，根据，得出是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，    ∵，且是圆周角， ∴是圆形镜面的直径， 由勾股定理得：， 所以圆形镜面的直径为， 故答案为：13． 【变式4】如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，则，又是的直径，则，然后用角度和差即可求解，掌握圆周角定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5】如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点； (2)若 ，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，熟记定理内容是解题关键． （1）由题意得；根据，推出，结合垂径定理即可求证； （2）设半径为，则，,根据，即可求解； 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴； ∵， ∴，即， ∴E为的中点； （2）解：设半径为，则，, ∵ ∴； ∵， ∴， 解得：， ∴的直径为； 【变式6】如图，是的直径，点、是上的点，且OD∥BC，分别与、相交于点、． (1)求证：点为的中点； (2)若，，求的长； (3)若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)DF=2 (3)的最小值为 【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点； （2）证明OF为△ACB的中位线得到OF＝BC＝3，然后计算OD−OF即可； （3）作C点关于AB的对称点，D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC＋PD的值最小，再计算出∠DO＝120°，作OH⊥D于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC＋PD的最小值． 【详解】（1）证明：是的直径， ， ， ， ， ， 即点为的中点． （2）解：， ， 而， 为的中位线， ， ． （3）解：作点关于的对称点，交于，连接，如图， ， ， 此时的值最小， ， ， ， 点和点关于对称， ， ， 作于，则，， 在中，， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理． 题型13. 圆内接四边形（四边形外接圆） 【例1】如图，圆内接四边形中，圆心角，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可知，再根据圆内接四边形对角互补即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【例2】如图，为四边形的外接圆，E为延长线上一点．若，则的度数为________． 【答案】/80度 【详解】解：∵为四边形的外接圆， ∴， ∵， ∴． 【例3】如图所示，四边形内接于，连接，，．求的大小． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，先结合四边形内接于，，得，根据以及三角形内角和性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：四边形内接于， ． ， ． ， ． ． 【变式1】如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的内接四边形的性质求出，根据圆周角定理即可计算出答案． 【详解】解：四边形内接于， ， 由圆周角定理可得：． 【变式2】如图，点分别在以为直径的半圆上，连接，已知，求的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补求解即可． 【详解】解：∵四边形是圆的内接四边形，， ∴ ． 故选：B． 【变式3】如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直径）所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明，结合圆内接四边形的性质得到，再利用含角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：四边形内接于，是直径， ， ，且， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 解得， 则的半径长为； 故选：C． 【变式4】如图，四边形内接于，连接，其中，，若点在上，连接，，则的度数为_____． 【答案】/130度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可求得，根据等边对等角可得，求得，根据圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5】如图，四边形内接于一圆，延长到点． (1)求证：； (2)连接、，若，平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． （1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论； （2）根据角平分线的定义得出，再根据圆周角定理推论即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于一圆， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ， ∴． 【变式6】如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E、F． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查圆的内接四边形，三角形的内角和及外角定理，对顶角相等，解题的关键是熟知三角形的内角和及圆内接四边形的性质． （1）根据对顶角与三角形的外角定理即可求解； （2）根据圆内接四边形得到，再根据三角形的内角和及外角定理即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ∵， ； （2）∵四边形是的内接四边形，， ∴， ． ，且， ∴, ， ∵， ． 巩固练习 1．（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据垂径定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵为的直径，弦于，且， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴的面积为． 2．（2026·湖南张家界·一模）如图，的直径，弦于E，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，易知，由垂径定理得，由勾股定理得，所以． 【详解】解：连接， 是的直径，弦于E，， ， 在， ，，， ， ． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 【答案】A 【分析】设拱门的圆心为O，连接，设拱门的半径为r，由垂径定理可得米，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱门的半径r． 【详解】解：如图，设拱门的圆心为O，连接， 设拱门的半径为r， 由题意可得：米，米，点O，D，C三点共线， 米， ， ， ， ． 4．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，是的直径，是弦但不是直径，于点，连接，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理，由于于点，是的直径，得到，，，即可得到答案． 【详解】解：∵于点，是的直径， ∴，，， 无法证明， ∴C不正确，符合题意；A、B、D正确，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26九年级上·广东惠州·期中）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接，作的垂直平分线交于点D，交弧于点C，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心， 设圆心为，连接，如图． 中，， 根据勾股定理得：， 即：， 解得：； 故圆形工件的半径为， 故选：A． 6．（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 7．（2026·云南大理·一模）如图，是的弦，点是的中点，交于点．若，，则的半径为________． 【答案】5 【分析】连接，由题意可得，由垂径定理可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图：连接， ， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 故答案为：10． 9．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）如图，已知，是的两条直径，弦，的度数为，则的度数为______°． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 连接，由求得，根据，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，为的直径，点、是的三等分点，，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，由平角的定义可得，再根据弧与圆心角之间的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， ∵点、是的三等分点， ∴， 故答案为：． 11．（2026·江苏盐城·一模）如图，是的直径，点、在圆周上，若，则的度数是_________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 12．（2026·安徽阜阳·二模）如图，为半圆O的直径，C，D是圆上两点，，，则________． 【答案】 【分析】先结合直径所对的圆周角是90度，得出，再算出，又因为，得出，最后根据圆周角定理进行分析，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 13．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形内接于，连结，且，延长至点E．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质得出，再根据，圆周角定理证明，即可得出结论． 【详解】证明：四边形内接于， ． 又， ． ， ， ， ， ，即平分． 14．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，已知在中，两条弦和交于点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的基本性质，根据在同圆中，等弦所对的弧相等，等弧对的弦相等证明即可． 【详解】证明：， ， ， ， ． 15．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点，连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据已知可得，根据圆周角定理可得，进而根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴ 16．（25-26九年级上·浙江温州·期末）内接于，，请用直尺和圆规在上找一点（不与点，重合），使．如下是小温、小州两位同学的作图过程． 请你选择其中一种做法，判断对错，并说明理由． 解：我选择__________（填“小温”或“小州”）的作法，该作法是__________的（填“正确”或“错误”），理由如下： 【答案】小温，正确，见解析或小州，错误，见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，小温的作法正确，连结，可证明，得到；小州的作法错误，连结，可证明，得到，则可求出． 【详解】解：若选择小温的作法（图1），则该作法是正确的 理由如下：连结， ， ， ． 若选择小州的作法（图2），则该作法是错误的， 理由如下：连结， ， ∴， ， ． 17．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在中，C是弧的中点，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若D、E分别是、的中点，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明： 是弧AB的中点， ， ， ， ， 在和 中， 由，， ． (2)四边形是菱形 证明：如图连接、 由圆的性质知 ，由D、E分别是、的中点，得， 由知， 在和中， 由， ， ， 同理可证， ， 综上可得 ，故四边形是菱形． 【分析】（1）由C是弧的中点得到，故可证明，从而；（2）通过中点及圆的性质可知四边形四条边都相等，而四条边都相等的四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 18．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若所对的圆心角度数为，求的度数； (3)过点作于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， 是的直径，点在圆上， ，即， ， (2) (3) 【分析】（1）利用直径所对圆周角为直角，证得，再结合等腰三角形三线合一，证； （2）由的圆心角求圆周角，再结合直角三角形两锐角互余，求； （3）先由勾股定理求，再用等面积法列方程，求的长度． 【详解】（1）略； （2）解：如图，连接， 所对的圆心角度数为， ， ， 由（1），得，即， ； （3）解：由（1），得，， ，， ， ， ， 于点， ， ． 1 / 113 学科网（北京）股份有限公司 $第二十九章圆 02讲圆的有关性质 >题型归纳 【知识点1垂直于弦的直径 1】 【知识点2弧、弦、圆心角· 2】 【知识点3圆周角 2) 【知识点4圆内接多边形… 3】 【题型1.利用垂径定理求值… 4】 【题型2.利用垂径定理求平行弦问题 9】 【题型3.利用垂径定理证明… 14】 【题型4.垂径定理的推论… 16】 【题型5.垂径定理的实际应用… 19】 【题型6.利用弧、弦、圆心角的关系求解… …25】 【题型7.利用弧、弦、圆心角的关系求证… 29】 【题型8.圆心角与圆周角的概念辨析 35】 【题型9.圆周角定理… 37】 【题型10.同弧或等弧所对的圆周角相等 43】 【题型11.直径与90°圆周角互推定理 47】 【题型12.圆内接四边形（四边形外接圆） …53】 【巩固练习…59】 知识清单 知识点1垂直于弦的直径 1.圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴 【提示】圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线， 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 1/73 3垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧， 【提示】 ①定理中“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径， 甚至可以是过圆心的直线或线段： ②推论中“平分弦”的“弦”一定是非直径的弦，否则命题就不一定成立了，如图， 当弦CD为直径时，AB平分CD于点O,但AB不垂直于CD: ③利用垂径定理及其推论可以证明两条弧相等，一条弦垂直平分另一条弦、一条线段 是直径 4垂径定理的应用：应用时构造直角三角形，利用勾股定理求解， 如图，它们的关系为r2=d+(号)2，r=d+h. 知识点2弧、弦、圆心角 1.圆心角的概念：把顶点在圆心的角叫做圆心角. 2有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦也相等。 3定理的推论：（1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所 对的弦相等： (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧或劣 弧分别相等 【提示】 ①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣 弧分别相等； ②在同圆或等圆中，两条弧（一殷同为优弧或劣弧）、两条弦、两个圆心角中，只 要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等 知迟点3圆周角 1圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交，把这样的角叫做圆周角。 2/73 如图24.1-11，∠ACB是圆周角. 【提示】(1)圆周角必须具备两个特征：①项点在圆上；②两边都与圆相交， (2)同一条弧所对的圆周角有无数个 2圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 3.圆周角定理的推论：(1)同弧或等弧所对的圆周角相篷： 图24.1-11 (2)半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直仁 【提示】 ①在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦及两个圆周角中有一组量相等， 它们所对应的其余各组量也相等： ②如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这三角形是直角三角形. 知迟点4圆内接多边形 1.定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆. 如图24.1-16，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，⊙0是四边形 图24.1-16 ABCD的外接圆！ 2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补：任一外角与其相邻的内角的对角相等 (即外角等于内对角)： 【提示】 ①内接和外接是一个相对的概念，是一种位置关系； ②每一个圆有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互 补的，四边形才存在外接圆： ③圆内接四边形外角等于内对角（圆内接四边形的性质，解答题可直接用） 如图，.∠BAD+∠BAE=180°（平角的定义） ∠C+∠∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补） .∠BAE=∠C 3/73 >题型专练 题型1。利用垂径定理求值 【例1】如图，AB是⊙0的弦，若⊙0的半径0A=10,圆心O到弦AB的距离0C=6,则 弦AB的长为() A.8 B.12 C.16 D.20 【答案】c 【分析】根据垂径定理得到AC=BC,在Rt△ACO中利用勾股定理求出AC的长，即可求解. 【详解】解：由题意得，OC1AB, .LAC0=90°，AC=BC, ∴.在Rt△AC0中，AC=VOA2-OC=V102-6Z=8, .AB=2AC=2X8=16. 【例2】如图，AB为⊙O的弦，AB=8,OD1AB,交⊙0于点D,垂足为C,CD=2,则⊙0 的半径长为 ,0 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，掌握垂径定理是关键. 如图所示，连接0A,设0A=OD=T,由圆的基础知识，垂径定理得到OC=T-2,AC=4, 根据勾股定理列式即可求解。 【详解】解：如图所示，连接0A, D 4/73 .设0A=0D=r,则0C=0D-CD=r-2, .OD 1 AB, AC-BC-AB-4. 在Rt△A0C中，0A2=AC2+0C2, ,r2=42+(r-2)2, 解得，r=5, .⊙0的半径长为5， 故答案为：5. 【例3】如图，CD是⊙O的直径，弦CD1AB于点E,已知AB=12,CE=3,求⊙0的半 径 【答案】号 【分析】连接0A,设圆O的半径为，则0E=T-3,然后根据垂径定理得出AE=AB=6, 然后在Rt△OAE中利用勾股定理进一步求解即可， 【详解】解：连接OA,如图所示： 设半径为r, ,CE=3, .0E=r-3, ,CD为⊙O的直径，CD1AB,AB=12, ∴.AE=1AB=6, 在Rt△OAE中，OE2+AE2=0A2, 5/73 即(r-3)2+62=2, 解得r=苧 ∴⊙0的半径为5 【变式1】如图，己知⊙0的半径为13，弦AB的长为24，那么圆心0到弦AB的距离是() A.5 B.7 C.9 D.11 【答案】A 【分析】如图所示，过点O作0C1AB于C,由垂径定理得到AC=12,再利用勾股定理求 出OC的长即可得到答案 【详解】解：如图所示，过点O作OC1AB于C, AC=AB=12,∠AC0=90, 在Rt△AOC中，由勾股定理得： 0C=V0A2-AB2=5, ∴.点0到AB的距离是5. 【变式2】如图，在⊙0中，直径AB垂直于弦CD,垂足为P,若CD=8,OP=3,则⊙0 的半径为() B D A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】A 【分析】连接OC,根据垂径定理求出CP,再根据勾股定理在Rt△COP中求解即可. 6/73 【详解】解：如图，连接OC, B D D ,直径AB垂直于弦CD,CD=8, ∴PC=PD=X8=4, 在Rt△OCP中，PC=4OP=3, ∴.0C=VOP2+PC=32+平=5. 【变式3】如图，⊙O的直径CD=10,AB是⊙O的弦，AB1CD,垂足为M,若0M=3, 则AB的长为 O M 【答案】8 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理.连接OA,根据垂径定理得到AM=BM,根据勾股 定理列式求解即可得到答案。 【详解】解：连接0A, D O M B ,直径CD=10,AB是⊙O的弦，AB1CD, .AM=BM,0C=0A=5, ,0M2+AM2=0A2, 32+AM2=52, 解得：AM=4, .AB=2AM=8, 7/73 故答案为：8. 【变式4】如图，AB,AC是⊙O两条互相垂直的弦，OD1AB于点D,OE1AC于点E,连 接DE.若AB=6,AC=8,则DE的长为 B 【答案】5 【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键.利用垂径 定理求出AD、AE的长度，结合勾股定理得出DE的长度. 【详解】解：OD1AB,AB=6, :.AD =AB=3, .'OE L AC,AC=8, 六AE=iAC=4, AB⊥AC, ∴.在Rt△ADE中，DE=VAD2+AE=V32+4=5, 故答案为：5。 【变式5】如图，在⊙0中，AB是直径，CD是弦，且AB1CD于点E,若AB=10,CD=8, 求OE的长 B 【答案】3 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键.连接OC,因为 AB是直径，CD是弦，且AB 1 CD,由垂径定理得CE=CD=4,在Rt△OCE中，用勾股 定理即可求得OE的长 【详解】解：连接OC, 8/73 D ,AB是直径，AB=10, ∴.0C=AB=5, .'AB I CD,CD=8, “CE=CD=4, 在Rt△0CE中，0E=VOC2-CE2=V52-4=V9=3. 题型2.利用垂径定理求平行弦问题 【例1】⊙O的半径是10，弦ABICD,AB=16,CD=12,则弦AB与CD的距离是() A.2 B.14 C.2或14 D.7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用.作OE⊥AB于E,OF L CD于F,由垂径定理得AE= AB=8,CF=CD=6,由于ABICD,易得E、O、F三点共线，在Rt△AOE和Rt△OCF 中，利用勾股定理分别计算出OE与OF,然后讨论：当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD 的距离=OF+OE;当圆心O在弦AB与CD的外部时，AB与CD的距离=OF-OE. 【详解】解：如图，作OE1AB于E,OF1CD于F,连0A,OC,OA=OC=10, D' 则AE=AB=8,CF=CD=6, .ABWICD, E、O、F三点共线， 在Rt△A0E中，0E=VOA2-AE=V102-82=6, 在Rt△0CF中，0F=VOC2-CFz=V102-62=8, 当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离0F+OE=8+6=14: 9/73 当圆心O在弦AB与CD的外部时，AB与CD的距离OF-OE=8-6=2. 所以AB与CD的距离是14或2. 故选：C. 【变式1】在半径为10的⊙0中，弦AB=12,弦CD=16,且ABIICD,则AB与CD之间的 距离是」 【答案】2或14 【分析】由于弦AB与CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB与CD在 圆心同侧：②弦AB与CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即 可 【详解】解：①当弦AB与CD在圆心同侧时，如图①， 图① 过点O作OF1AB,垂足为F,交CD于点E,连接OA,OC, .'ABIICD, ∴.0E⊥CD, :AB=12,CD=16, .CE=8,AF=6, ,0A=0C=10, .由勾股定理得：E0=V102-87=6,0F=√102-62=8， ∴.EF=OF-0E=2: ②当弦AB与CD在圆心异侧时，如图， D 过点O作OE1CD于点E,反向延长OE交AB于点F,连接OA,OC, 同理E0=V102-82=6,0F=V102-62=8, EF=0F+0E=14, 10/73 所以AB与CD之间的距离是2或14. 故答案为：2或14. 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解. 【变式2】在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为 【答案】1或7/7或1 【分析】如图，ABIICD,AB=6,CD=8,过O点作OE1AB于E,交CD于F点，连OA、OC, 根据垂径定理得AE=BE=AB=3,由于ABICD,.EF1AB,则EF1CD,根据垂径定理 得CF=FD=CD=4,然后利用勾股定理可计算出0E=4,OF=3,再进行讨论即可求 解 【详解】解：如图，ABIICD,AB=6,CD=8, 过O点作OE⊥AB于E,交CD于F点，连OA、OC, ∴AE=BE=AB=3, .ABIICD,EF 1 AB, :.EF I CD ∴CF=FD=CD=4, 在Rt△OAE中，OA=5 0E=V0A2-AE2=V52-37=4, 同理可得0F=3, 当圆心0在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE+OF=4+3=7: 当圆心0不在AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE-OF=4-3=1. 故答案为7或1. 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键， 【变式3】己知⊙O的半径为6cm,弦ABICD,且AB=6V2cm,CD=6V3cm,则AB与CD 之间的距离为 11/73 【答案】(3√2-3)cm或(3V2+3)cm 【分析】由于弦AB‖CD,需分两种情况讨论：当AB与CD在圆心同侧时，距离为圆心到两 弦距离之差：当在圆心两侧时，距离为圆心到两弦距离之和，利用垂径定理和勾股定理求出 圆心到各弦的距离。 【详解】过点O作OE1AB于点E,则E为AB中点，连接OA,OC ∴.AB=2AB=×6V2=3W2cm, 在Rt△OEA中，OA=6cm, 由勾股定理得0E=V042-AE=J6-(3V)子=V36-1=VI8=3V2cm, 过点O作OF⊥CD于点F,则F为CD中点， ∴CF=CD=×6N3=33cm, 在Rt△OFC中，OC=6cm, 由勾股定理得0F=VOC2-CFz= V36-(332 =V36-27=V9=3cm, 如图所示，当AB与CD在圆心0同侧时，AB与CD之间的距离为OE-OF=3√2-3(cm): 6 D 如图所示，当AB与CD在圆心O两侧时，AB与CD之间的距离为OE+OF=3V2+3(cm) B 故答案为：3V2-3cm或3V2+3cm. 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，通过作圆心到弦的垂线，将弦长、半径和弦 心距转化为直角三角形的三边关系，实现几何量的计算；解决本题的关键是利用分类讨论的 思想，当两条平行弦在圆内时，需分弦的圆心同侧和弦在圆心两侧两种情况。 【变式4】如图，⊙O的两条弦ABIICD(AB不是直径)，点E为AB中点，连接EC,ED. 12/73 E (1)求证：直线E01AB: (2)求证：EC=ED 【答案】(1)见解析 2)见解析 【分析】(1)依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论： (2)证明EF⊥CD,由垂径定理可得结论， 【详解】(1)证明：如图，连接E0, E ~EO过点O,E为AB的中点， .EO⊥AB (2)证明：延长EO交CD于F. E D EO⊥AB,ABIICD, ·EF L CD EF过点O, .CF =DF, ÷EF垂直平分CD, .EC ED. 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键. 13/73 题型3。利用垂径定理证明 【例1】已知：如图，在⊙O中，A、B、C、D是圆上四点，且AB=CD,OE1AB于点E, OF⊥CD于点F.求证：OE=OF D 【答案】见解析 【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题的关键， 先根据垂径定理得出BE=CF,再证明△OEB兰△OFC(HL)即可得出OE=OF. 【详解】证明：，OA=OB,OE1AB于点E, .BE=AB. 同理可证：CF=cD. .AB=CD ..BE=CF. ,OE⊥AB于E点，OF L CD于点F ∴.∠0EB=∠0FC=90° 在Rt△OEB与Rt△OFC中 OB=OC LBE=CF ∴.△OEB≌△OFC(HL), ..0E=OF. 【变式1】如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D两点.求证：AD=BC. 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了垂径定理，根据垂径定理证明即可. 【详解】证明：过O作0E1AB,垂足为E, 14/73 ·AE=BE,CE=DE, ·AE+DE=BE+CE, .AD BC. 【变式2】如图，在△OAB中，A0=B0,以O为圆心作圆与边AB相交于点C,D,OE1AB 于点E.求证：AC=BD. 【答案】证明见解析 【分析】首先利用等腰三角形的三线合一性质可得AE=BE,再通过垂径定理可得CE=ED, 从而可证 本题考查等腰三角形的三线合一性质及圆的垂径定理，掌握相关定理是解题的关键。 【详解】，A0=B0,OE1AB, ..AE=BE, 在⊙O中，，OE1CD, ..CE=ED, ∴.AE-CE=BE-ED, ..AC=BD. 【变式3】如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O)中，大圆的弦AB 交小圆于点C,D. (1)求证：AC=BD 15/73 (2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=6,且圆心O到直线AB的距离为3，求AC的长. 【答案】(1)见解析 (2)v91-33 【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关 键。 (1)过点O作OE 1 AB于点E,根据垂径定理，OB垂直平分AB和CD,即AE=BE,CE=DE, 进而即可得出结论： (2)连接AO,CO,利用勾股定理计算CE和AE的长度，进而求AC的长度. 【详解】(1)证明：如图，过点O作0E1AB于点E. B .'OE L AB, ∴，AE=BE,CE=DE. ∴.AE-CE=BE-DE. ..AC BD (2)解：如图，连接A0,C0. A0=10,0E=3, ·AE=VA02-0E2=V91. ,*C0=6,0E=3, ·CE=√C02-0E2=3V3 ·AC=AE-CE=Vi-3V5 题型4.垂径定理的推论 【例1】下列命题中，假命题是() A.菱形的对角线互相垂直 B.矩形的四个内角都是直角 C.如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦 16/73 D.如果圆的一条直径平分一条弦，那么这条直径垂直这条弦 【答案】D 【分析】本题考查特殊四边形性质与圆的垂径定理相关结论，只需判断各命题真假即可得到 答案。 【详解】解：，菱形的性质为对角线互相垂直平分，∴，A是真命题： ,矩形的四个内角均为直角，∴B是真命题： ,根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，∴C是真命题： 若被直径平分的弦本身就是圆的直径，那么两条直径互相平分但不一定垂直，该命题存在反 例，D是假命题 【变式1】下列关于圆的说法不正确的是() A.平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 B.平分弦的直径平分弦所对的弧 C.垂直平分弦的直径必定经过圆心 D.垂直于弦的直径平分弦所对的弧 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理， 根据垂径定理及其逆定理逐项判断即可. 【详解】解：因为平分弧的直径垂直平分弧所对的弦，所以A正确： 因为平分弦（不是直径）的直径平分弧所对的弦，所以B不正确： 因为垂直平分弦的直径必定经过圆心，所以C正确： 因为垂直于弦的直径平分弦所对的弧，所以D正确. 故选：B 【变式2】下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆； ②半径相等的两个半圆是等弧：③相等的圆心角所对的弧相等：④平分弦的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的弧.正确的个数有(). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本概念，包括圆的定义、等弧的条件、圆心角与弧的关系以及垂径 定理的逆命题.根据以上知识逐项分析判断，即可求解。 【详解】解：，'①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，这 17/73 是圆的定义，正确： ②半径相等的两个半圆，弧长相等且均为半圆，故能重合，是等弧，正确： ,③相等的圆心角所对的弧相等，需在同圆或等圆中才成立，否则不一定，错误： :④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，但弦为直径时，平分弦的直径不一 定垂直于弦，错误： ∴.正确的有①和②，共2个. 故选：B. 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C都在格点上，过A,B,C三点作一圆弧， 则圆心的坐标是 3 2 12345 【答案】(2,1) 【分析】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径 平分弦” 根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即 为圆心。 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心. 如图所示，则圆心是(2,1). 4 3 3 45x 故答案为：(2,1). 18/73 题型5.垂径定理的实际应用 【例1】在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径0B=5cm,在操场地上砸出一个小 坑，点O到地面的距离OD=3cm,则该坑的宽AB=() 0 3cm 5cm 地面 B A.4cm B.5cm C.8cm D.10cm 【答案】c 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据勾股定理和垂径定理求出BD=4Cm,从而可 得出AB=8cm. 【详解】解：，OD1AB, .'.AB=2BD 在Rt△B0D中，∠BD0=90°，OD=3cm,B0=5cm, ∴.BD=√B02-0D=V52-32=4(cm), .'.AB 2BD =8(cm) 故选：C, 【例2】往直径为10m的圆柱形容器内装入一些水后，截面如图所示.若水面宽AB=6m, 则水的最大深度为 【答案】1m/1米 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形 是解答此题的关键.连接OB,过点O作OC L AB于点D,交⊙O于点C,先由垂径定理求出BD 的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可. 【详解】解：如图，连接OB,过点O作OC 1 AB于点D,交⊙O于点C, 19/73 D B .'AB 6m, :'.BD =AB =3m, ,⊙0的直径为10m, ∴.0B=0C=5m, 在Rt△0BD中，0D=√OB2-BD2=V52-32=4Hm, .CD=0C-0D=5-4=1m, 即水的最大深度为1m. 故答案为：1m. 【例3】HUAWEI Mate60Pro于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃 迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”，手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致 敬奔腾不息的力量，圆弧对应的弦AB长80mm,弓形高CD长10mm,半径0A的长. 【答案】半径0A的长为85mm 【分析】此题主要考查了垂径定理，勾股定理.设半径OA的长为rmm,则OA=OC=OB= mm,由已知可得0D=(-10)mm,AD=AB=40mm然后在Rt△0AD中，由勾股定理 得0A2-0D2=AD2,即r2-(r-10)2=402,由此解出r即可. 【详解】解：设半径OA的长为rmm,则OA=OC=OB=rmm, ,弓形高CD=10mm, ∴.0D=(r-10)mm, .'OC 1 AB,AB 80mm, ∴.AD=AB=40mm, 在Rt△OAD中，由勾股定理得0A2-OD2=AD2, 20/73 即r2-(r-10)2=402, 解得：r=85. 答：半径0A的长为85mm 【变式1】壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅 墙面或其他空间，增添绿意和艺术感.有一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架.如图是 其截面示意图，O为圆形框架的圆心，弦AB和劣弧AB围成的区域为种植区.已知种植区的 深度为4cm,弦AB的长为16cm,则圆形框架的半径为() 个深度 A.9cm B.10cm C.16cm D.20cm 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，作OC1AB交AB于点C,交⊙O于点D,连接0A, 可得AC=BC=AB=8cm,设圆形框架的半径为xcm,则0A=xcm,OC=(亿-4)cm, 利用勾股定理求出x即可求解，正确作出辅助线是解题的关键。 【详解】解：如图，作OC⊥AB交AB于点C,交⊙O于点D,连接OA, .'OC 1 AB, ∴AC=BC=AB=8cm, 设圆形框架的半径为xcm, 则0A=xcm,0C=(x-4)cm, 在Rt△AC0中，0C2+AC2=0A2, .(x-4)2+82=x2, 解得x=10, ∴，圆形框架的半径为10cm, 21/73 故选：B. 【变式2】如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm,瓶内液体已经过半，最大深 度CD=7cm,则截面圆中弦AB的长为() D A.4cm B.V21cm C.2√21cm D.2√29cm 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解 题的关键，由垂径定理得AC=BC=AB,再由勾股定理得AC,进而完成解答. 【详解】解：连接OA, D 由题意得：OC1AB, ∴AC=BC=AB,Z0CA=90, .'OA=OD 5cm,CD 7cm, ∴.0C=0D-CD=7-5=2(cm): 在Rt△0AC中，由勾股定理得：AC=V52-22=V2I(cm), .'.AB 2AC 2v21cm. ∴.截面圆中弦AB的长为2W21cm. 故选：C 【变式3】如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交 于A,B两点，他测得“图上"圆的半径为10厘米，AB=16厘米.则“图上”太阳从目前所处 位置到完全跳出海平面，升起 厘米。 22/73 海平线 【答案】16 【分析】连接OB,作OD 1 AB于点D,交优弧于点C,利用垂径定理求得AD=BD=8厘 米.在Rt△OBD中，利用勾股定理求得OD的长，据此求解即可. 【详解】解：连接OB,作OD1AB于点D,交优弧于点C,则AD=BD=8厘米. 海平线 由题意得0B=0C=10厘米， 在Rt△OBD中，OD=VOB2-BD7=6厘米， ∴.CD=0D+0C=16厘米， 则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起16厘米. 故答案为：16， 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，利用垂径定理构造直角三角形是解题的关键 【变式4】石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一.如图①，某石拱桥的桥拱是圆弧形， 其示意图如图②所示，其中桥顶到水面的距离CD=8m,桥拱的半径0C=5m.求此时水 面的宽度AB. D 图① 图② 【答案】此时水面的宽度AB为8m 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理的应用. 连接OA,根据垂径定理可知AD=BD=AB,再利用勾股定理即可求出AD的长，进而可 得出AB的长，此题得解. 23/73 【详解】解：如图，连接OA,则0A=0C=5m. 由题意可知，CD 1 AB, ..AD=BD=AB. 在Rt△AD0中，OD=CD-OC=3m,∠AD0=90°， AD=VOA2-0D7=V52-32=4(m), ∴.AB=2AD=8m. 故此时水面的宽度AB为8m. 【变式5】某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到 如图所示的数据，水面宽度AB=60cm,水面到管顶的距离为10cm,那么修理工人应准备 直径为多长的管道？（管道的厚度不计） ←60cm 【答案】修理工人应准备直径为100cm的管道 【分析】该题考查了勾股定理和垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键。 如图，过点O作0D1AB于D,连接0A,则AD=AB=30(cm).设半径为Rcm,则0A=Rcm, 0D=(R-10)cm.在Rt△A0D中，勾股定理求出R=50,即可求解. 【详解】解：如图，过点O作OD1AB于D,连接OA, 60cm 10cm 24/73 则AD=AB=×60=30(cm) 设半径为Rcm,则0A=Rcm,OD=(R-10)cm. 在Rt△A0D中，A02=D02+AD2, 即R2=(R-10)2+302, 解得：R=50, 50×2=100(cm): 故修理工人应准备直径为100cm的管道. 题型6.利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例1】如图，在⊙0中，点A、B、C、D在圆上，∠AOB=35°，AC=BD,则∠C0D=() A.30° B.35o C.40° D.45 【答案】B 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据等弧所对的圆心角相等，即可得出结果 【详解】解：：AC=BD, ∴.AC-BC=BD-BC, ..AB =CD, ∴.LC0D=∠A0B=35°： 故选B. 【例2】如图，在⊙0中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠B0C等于 度 【答案】40 【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出LBOA,根据等腰三角形性质得出 25/73 ∠B0C=∠B0A,代入求出即可. 【详解】解：OA=OB, ∴.L0AB=L0BA=50° .LB0A=180°-2LA=80°， :点C是AB的中点，即AC=BC, ∴LB0C=∠B0A=×80°=40° 【变式1】如图，AB、CD是⊙O的直径，AE=BD.若LA0E=32°，则LC0E的度数为 () D B A.32° B.48° C.60° D.64 【答案】D 【分析】本题主要考查弧和圆心角的关系，解决此题的关键是熟练运用等弧所对的圆心角相 等，反之亦如此：根据圆心角相等得到弧相等，根据弧相等得到圆心角相等，即可得到答案： 【详解】解：，AB、CD是⊙O的直径， .∠AOC=∠B0D, ∴.AC=BD, .'AE =BD, ∴AC=AE, 又LA0E=32°， ∴.LA0C=∠A0E=32°， .∠C0E=2∠A0C=64, 故选：D 【变式2】如图，AB是⊙O的直径，BC=BD,若∠A0C=130°，则∠B0D的大小为() 26/73 A.130° B.80° C.65 D.50° 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键.根据在 同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，解答即可. 【详解】解：，∠A0C=130°， .∠B0C=180°-∠A0C=50°， .BC=BD, ∴.∠B0D=∠B0C=50°， 故选：D 【变式3】如图，点C,D在以AB为直径的半圆O上，且DIBC,若LAOD=40°，则BC 的度数为 C B 【答案】100° 【分析】本题考查平行线的性质，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，关键是掌握 圆心角和它所对的弧的度数相等 连接OC,由平行线的性质推出LB=∠AOD=40°，由等腰三角形的性质推出LOCB=LB= 40°，由三角形内角和定理求出LB0C=100°，得到BC的度数=100. 【详解】解：连接0C, D B .ODIBC, 27/73 ∴.∠B=∠AOD=40°， .OC=0B, ·∠0CB=∠B=40°， .∠B0C=180°-40°-40°=100°， ∴BC的度数=100°， 故答案为：100 【变式4】如图，AB是⊙0的直径，AC=CD=DE,LA0C=40°.求LB0E的度数. D 【答案】LB0E=60° 【分析】本题主要考查圆心角、弧之间的关系，熟练掌握圆心角与弧的关系是解题的关键： 由题意易得∠A0C=∠COD=∠D0E=40°，然后问题可求解. 【详解】解：，AC=CD=DE,∠A0C=40°， ∴LA0C=∠C0D=∠D0E=40°， .∠B0E=180°-∠A0C-∠C0D-∠D0E=180°-40°-40°-40°=60°. 【变式5】如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接 AD、OD、OC.若AC的度数是70°，且ADIOC,求AD的度数. B 【答案】40° 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，平行线性质，等边对等角， 利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠AOC=70°，则利用平行线的性质得∠A= ∠A0C=70°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A0D=40°，从而得到AD 的度数。 【详解】解：，AC的度数70°， 28/73 ∠A0C=70°. .AD II OC, ∴.LA=∠A0C=70°. 0A=0D, ∴.LD=LA=70°， ∴.∠A0D=180°-70°-70°=40°， ∴.AD的度数为40 题型7.利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例1】如图，AD=BC,求证AB=CD. 【答案】见详解 【分析】本题考查圆的性质，根据弧、弦、圆心角的关系可得ACD=BAC,进而可得AB=CD, 即可得证 【详解】证明：，AD=BC, ∴ACD=BAC, .AB=CD, ∴AB=CD 【变式1】如图，已知在⊙0中，弦AC与弦BD相交于点G,连接0G,若AB=CD,求证：OG 平分∠AGD 【答案】见解析 【分析】本题主要考查同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，全等三角形的判定和 29/73 性质，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质是解题的关键，根据同弧或等弧所对圆 周角相等，等弧所对弦相等，可得△ABG≌△DCG(ASA),则AG=DG,再证△AG0兰△ DGO(SSS),可得∠AG0=∠DG0,即OG平分∠AGD 【详解】解：连接AB、CD、AO、DO, .AD AD,BCBC, ·.∠ABG=LDCG,LBAG=LCDG. AB =CD, ∴AB=DC 在△ABG和△DCG中 LABG=∠DCG AB=DC ∠BAG=∠CDG ∴△ABG≌△DCG(ASA). ..AG=DG. 在△AG0和△DGO中 (AG=DG A0=D0 (G0=G0 △AG0≌△DG0(SSS) ∠AG0=∠DG0. ·OG平分LAGD 【变式2】如图，AB,AC是⊙O的弦，AB=AC,半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直，垂 足分别为G,H,AMIOF,交OE于点M,ANIOE交OF于点N,连接0A. 30/73 (1)求证：∠A0E=∠A0F; (2)求证：四边形AMON是菱形. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理，菱形的判定，熟练掌握相关知识 点是解题的关键： (1)根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证： (2)先证明四边形AMON为平行四边形，等积法推出OM=ON,即可得证. 【详解】（1)证明：，AB=AC, ..AB AC, 半径0E,OF分别与弦AB,AC垂直， ∴.AE=BE,AF=CF, ∴.AE=BE=AF=CF, ∴.∠AOE=∠AOF: (2)证明：，AMIIOF,ANIIOE, ∴.四边形AMON为平行四边形， ,半径0E,0F分别与弦AB,AC垂直， ∴AG=AB,AH=AC, .'AB=AC, ..AG=AH, :S四边形AMON=OM:AG=ON·AH, ..OM =ON, ∴，四边形AMON为菱形. 【变式3】如图，OA,OB是⊙O的半径，且AC=BC,弦CM,CN分别经过OA,OB的中点 D,E. 31/73 (1)求证：CD=CE: (2)求证：CM=CN. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质。 (1)根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC=∠BOC,又由点D,E分别是OA,OB的中点， 可得OD=OE,继而可证得△OCD≌△OCE(SAS),则可得CD=CE: (2)由△OCD≌△OCE得到∠MCF=∠NCF,推出FM=FN,再得到MC=NC,则CM=CN. 【详解】(1)解：MC=NC,理由如下， 证明：过点C作直径CF,如图， M ~OA,0B,OC是⊙0的半径，AC=BC, .∠A0C=∠B0C, 点D,E分别是OA,OB的中点，OA=OB, 0D=0E, 在△OCD和△OCE中， OD=OE ∠COD=LCOE, 0C=0C ∴.△OCD≌△OCE(SAS), ·CD=CE (2)证明：，△0CD兰△0CE, ∴.∠MCF=∠NCF, ..FM FN, ,CF是⊙O的直径， ∴.FMC=FNC, 32/73 ∴，MC=NC, ∴.CM=CN. 【变式4】如图，AB为⊙O的直径，C、D分别为OA、OB的中点，CF1AB,ED1AB,点 E、F都在⊙O上， 求证： B (1)CF DE; (2)AF=EF=BE: (3)AE=2CF. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理以 及含30度的直角三角形三边的关系， 1.连接0F、OE,根据半径相等得到OC=OD,OF=OE,则根据“HL"可判断Rt△OCF兰 Rt△ODE,所以CF=DE: 2.先说明∠CF0=30°，易得到∠A0F=∠F0E=∠E0B=60°，根据圆心角、弧、弦的关系 即可得到AF=EF=BE: 3.由OE=OA得LA=LOEA,根据三角形外角性质有∠D0E=∠A+∠OEA=60°，则∠A= 30°，所以AE=2DE,于是得到AE=2CF. 【详解】(1)证明：连接0F、0E,如图， ,AB为⊙O的直径，C、D分别为OA、OB的中点， 33/73 .0A=0B,0C=0A,0D=0B, .0C=0D, 而OF=OE, .Rt△OCF兰Rt△ODE(HL), ∴.CF=DE: (2)证明：在Rt△OCF中，取FO的中点G,连接CG, CG=F0=FG ∴.LFCG=LCFG. :c0=A0,G0=F0, .C0=G0, ∴.∠CG0=∠GC0. :LCG0是△CGF的外角， ..LCGO LFCG+LCFG 2LFCG, ∴.LGC0+LFCG=3LFCG=90°， 解得LFCG=∠CFG=30°， B ∴.LC0F=60° ,Rt△OCF≌Rt△ODE, ∴.LB0E=60°=∠C0F, .∠E0F=180°-60°-60°=60°， ∴.∠AOF=∠F0E=∠E0D, ∴AF=EF=BE: (3)证明：，0E=0A, .LA=∠0EA, ,∠D0E=∠A+∠0EA=60°， 34/73 .∠A=30°， ∴.AE=2DE, ∴.AE=2CF 题型8.圆心角与圆周角的概念辨析 【例1】下图中的∠ACB是圆心角的是() 。 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角， 根据圆心角的概念判断即可。 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意： C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意： D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意： 故选：B 【例2】判断下列图形中的角是圆周角的是() 【答案】D 【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判 断即可 【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项D中的角是圆周角， 【变式1】下列图形中的角是圆心角的是() B 35/73 B C 0 【答案】A 【分析】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键 根据圆心角的定义作答即可 【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上， 所以选项A符合题意，选项B,C,D不合题意。 故选：A. 【变式2】下列圆中既有圆心角又有圆周角的是() A B. 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的 关键.顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角：圆心角的定义：顶点在圆的角是圆 心角.根据圆周角和圆心角的定义解答即可。 【详解】解：A.图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意： B.图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意： C.图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D.图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意： 故选：B. 【变式3】如图，△ABC内接于圆，点D在AC上，连接BD,AD.下列角中，AB所对圆周角 的是() A.ZAPB B.∠DAC C.∠ACB D.∠DBA 36/73 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角的定义，根据圆周角的定义，结合图形即可求解. 【详解】解：由图可知：AB所对圆周角的是∠ACB或LADB, 故选：C 【变式4】如图所示，∠ACB表示圆心角的是() A OC C 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角的判断，根据定义解答即可顶点在圆心，角的两边与圆周 相交的角，叫作圆心角 【详解】解：图D中LACB是圆心角. 故选：D. 题型9.圆周角定理 【例1】如图，已知圆心角∠B0C=80°，则圆周角∠BAC的度数是() B A.160° B.80° C.40° D.10% 【答案】C 【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可. 【详解】解：，BC=BC, 37/73 ∴LBAC=4B0C=3×80°=40° 【例2】如图，点A,B,C均在⊙O上，若LACB=56°，则∠BAO的度数为 B 【答案】34/34度 【分析】本题考查了圆周角定理、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握同弧所对的圆 周角是圆心角的一半是解题的关键.根据圆周角定理得到∠A0B=2LACB=112°，再根据 等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解， 【详解】解：AB=AB, .∠A0B=2∠ACB=2×56°=112°， .OA=OB, .∠BA0=∠AB0=180-A0B=180112=34. 2 2 故答案为：34°. 【例3】如图，点A、B、C在⊙O上，D是AB的中点，若LA0B=116°，求∠BCD的度数. 【答案】29° 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，连接0D,求出∠B0D=58°， 再利用圆周角定理可得结论， 【详解】解：如图，连接OD, D是AB的中点， 38/73 ÷BD=AD, :∠A0B=116°， ∠B0D=1∠A0B=58, LBCD=B0D=×58=29 【变式1】如图，小佳将量角器放在了△ABC上，点A,B,C均在量角器边缘上，且点A,B, C的读数分别是20,70°，160°，则∠A的度数为() B A.20° B.45° C.70° D.90° 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，得到∠BOC的度数是解题的关键， 连接OB,OC,可得∠B0C=90°，再根据圆周角定理即可求解. 【详解】解：连接OB,OC, 90 A B ,点B,C均在量角器边缘上，且点B,C的读数分别是70°，160°， ·∠B0C=160°-70°=90°， ∴∠BAC=B0C=×90=45, 故选：B 【变式2】如图，点A、B、C、D都在⊙O上，连接OA、OB、CD、AD、BC、OA⊥BC,∠CDA= 25°，则∠CB0的度数为 39/73 【答案】40 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等边对等角和三角形内角和定理，连接OC, 由垂径定理和圆周角定理可求出∠A0B=∠A0C=50°，再由等边对等角和三角形内角和定 理求解即可， 【详解】解：如图所示，连接0C, ,∠CDA=25°， .LC0A=2LCDA=50°， .OA L BC, ∴.AC=AB, ,∴.∠A0B=∠A0C=50°， ∴.∠B0C=∠A0B+∠A0C=100°， 0B=0C, ∴∠CB0=∠BC0=180-B0c=400, 2 故答案为：40. B 【变式3】如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C=38°，则上A0B的度数为 【答案】76° 【分析】此题考查了圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等 40/73 弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键。 根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆 心角的一半得：∠AOB=2LC,进而可得答案 【详解】解：，∠C与LAOB是弧AB所对的圆周角与圆心角，∠C=38°， ∴.∠A0B=2LC=2X38°=76°. 故答案为：76° 【变式4】如图，已知D,E分别为半径0A,OB的中点，C为AB的中点. (1)求证：CD=CE: (2)若∠A0C=120°，0A=6,求△0AC面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)9V3 【分析】本题考查圆周角定理、全等三角形的性质与判定、勾股定理，掌握圆周角定理是解 题的关键. (1)连接0C,根据圆周角定理得到∠AOC=∠B0C,再运用全等三角形中SAS的判定方法 得到△COD兰△COE,进而证明CD=CE: (2)过C点作CF1OA于点F,先证出∠OCF=30°，根据直角三角形中30°所对的直角边是 斜边的一半可得到OF的值，根据勾股定理得到CF的值，最后运用三角形的面积公式进行求 解即可. 【详解】(1)证明：连接0C,如图： C为AB的中点， ∴.∠AOC=BOC, D,E分别为半径OA,OB的中点，OA=OB 41/73 .OD =0E, 在△COD和△COE中， OD-OE ∠AOC=LB0C 0C=0C △COD兰△C0E, ..CD CE. (2)解：过C点作CF1OA于点F,如图： ∠A0C=120°， ·∠F0C=60°， 在Rt△0FC中，∠0CF=30°，0C=0A=6, 0F=0C=号×6=3， 由勾股定理得：CF=V0C2-0F2=V62-32=3V3, .5AO4C=x6x313-913. 答：△OAC的面积为9V5. 【变式5】如图，点A、B、C、D在⊙0上，且AB=DC B (1)求证：AC=BD: (2)若AB的度数为70°，设AC与BD的交点为P,求：∠APD的大小. 【答案】(1)见详解 (2)∠APD=110° 【分析】本题主要考查弧、弦、圆心角与圆周角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角与圆周角 42/73 的关系是解题的关键； (1)由题意易得AC=DB,然后问题可求证： (2)连接AB,CD,AD,OA,OB,由题意易得AB=DC,LAOB=70°，则有△ADB≌△DAC(SSS) 然后可得LADB=∠DAC=35°，进而问题可求解. 【详解】(1)证明：：AB=DC, ∴.AB+BC=DC+BC,即AC=DB, ..AC=BD; (2)解：连接AB,CD,AD,OA,OB,如图所示： ,AB=DC,且AB的度数为70°， .AB=DC,∠A0B=70° ∴.LADB=1∠A0B=35°， .DB=AC,AD=DA, ∴.△ADB兰△DAC(SSS), .∠ADB=∠DAC=35°， .∠APD=180°-2×35°=110°. 题型10.同弧或等弧所对的圆周角相等 【例1】如图，AB是⊙O的弦，点C,D都在⊙0上，若LACB=40°，则LADB() D A.20° B.30° C.40° D.50° 【答案】c 【分析】本题考查了同弧所对圆周角相等，根据AB=AB,可得∠ADB=∠ACB=40°，即 43/73 可求解。 【详解】解：LACB=40°，AB=AB, ∴LADB=∠ACB=40°， 故选：C 【变式1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若LBAC=35°，∠CBD=70°，则LBCD 的度数为() B A.70 B.75° C.80° D.85 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和，圆周角，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键。 先根据同弧所对的圆周角相等，得到∠BDC=∠BAC=35°，再利用三角形的内角和，即可 求解。 【详解】解：∠BAC=35°， .∠BDC=∠BAC=35°， ·.∠BCD=180°-∠BDC-∠CBD=180°-35°-70°=75°. 故选：B. 【变式2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD1AB于点E,点P在⊙O上，弦PB与CD交于点F, 且FP=FD D (1)求证：PD‖CB; (2)若AB=26,CD=24,求BE的长度. 【答案】(1)见解析 (2)8 44/73 【分析】(1)根据等边对等角得∠P=∠FDP,由同弧所对的圆周角相等得∠P=∠C,利用内 错角相等两直线平行即可判定； (2)连接0C,根据垂径定理可得0C=0B=AB和CE=CD,利用勾股定理可求得OE, 即可求得BE的长度. 【详解】(1)证明：FP=FD, LP=∠FDP, ∠P=LC, LC=∠FDP, ∴PD II CB: (2)解：如图，连接0C, D AB是直径，AB⊥CD, ·E为CD的中点， AB=26,CD=24, 0C=0B=13,CE=12, 0E=V0C2-CE2=V132-122=5, BE=0B-0E=13-5=8. 【点睛】本题考查了等边对等角、同弧所对的圆周角相等、平行线的判定、垂径定理和勾股 定理，解题的关键是灵活运用相关知识 【变式3】如图，在⊙O中，AC=CB,CD1OA于D,CE1OB于E,求证：OD=OE. 【答案】见解析 45/73 【分析】本题考查了相等的弧对的圆心角相等，全等三角形的判定与性质；由相等的弧对的 圆心角相等，得LCOA=∠COB,进而可证明△COD≌△COE,即可证明结论. 【详解】解：，AC=CB, ∴.LC0A=∠C0B, CD⊥OA,CE1OB, ∴.∠CD0=∠CE0=90°， .0C=0C, ∴，△COD≌△COE(AAS), ..0D =0E. 【变式4】如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点E,连接AC,AD, (1)证明：∠ACD=LADC; (2)当AE=9,CD=6时，求⊙0的半径. 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是 解此题的关键. (1)由垂径定理可得AC=AD,再由圆周角定理即可得证： (2)连接0C,设的半径为r,由垂径定理可得CE=DE=3,从而得出OE=9-r,再由勾 股定理计算即可. 【详解】(1)解：在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB1CD ·AC=AD ·∠ACD=∠ADC (2)解：由(1)可知CE=DE=3 连接0C, 46/73 设半径r,则OE=9-T 在Rt△0CE中，32+(9-)2=r2 9+81-18r=0, 解得r=5 题型11.直径与90°圆周角互推定理 【例1】如图，AB是⊙O的直径，∠ADC=50°，则∠CAB的度数是() A.25 B.30° C.40° D.50° 【答案】C 【分析】根据圆周角定理及其推论来求出∠ABC=∠ADC=50°，进而求出∠CAB即可. 【详解】~AB是⊙O的直径， ÷∠ACB=90°， .AC=AC, +∠ABC=∠ADC=50°， ∴∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=180°-90°-50°=40° 【例2】如图，BC为⊙O的直径，A为⊙O上一点，证明：AB2+AC2=BC2. 【答案】见解析 47/73 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理.由圆周角定理得到∠A=90°，由勾股定 理即可求解. 【详解】解：~BC是⊙O的直径， .∠A=90°， ∴.△ABC为直角三角形， ..AB2 AC2 BC2. 【变式1】如图：AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，连接AC、CD、AD,若LADC=60°， 则∠BAC的度数是() A.15° B.20° C.25o D.30° 【答案】D 【分析】连接BC,先利用同弧所对的圆周角相等，求出∠ABC的度数：再根据直径的性质得 到△ABC是直角三角形，最后通过直角三角形两锐角互余计算出LBAC的度数. 【详解】解：如图，连接BC. ,LADC和LABC都是⊙O中弧AC所对的圆周角， ∴.∠ABC=∠ADC=60° ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90, .在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠ABC=90°-60°=30°. 【变式2】工人师傅用直角曲尺检查验收半圆形工件，下列为合格的“半圆形工件”的是() 48/73 角 角尺 工件 角尺 角尺 工件 工件 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理.根据直径所对的圆周角是直角对三个工件进行分析即 可得到答案 【详解】解：因为直径所对的圆周角是直角， ∴.只有B选项正确，其他均不正确. 故选：B 【变式3】一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如 图所示的测量，测得AB=12cm,BC=5cm,则圆形镜面的直径为cm. 【答案】13 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，连接AC,根据∠ABC=90°，得出AC 是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可. 【详解】解：连接AC, ,LABC=90°，且∠ABC是圆周角， ∴，AC是圆形镜面的直径， 49/73 由勾股定理得：AC=√AB2+BCZ=V122+5=13cm, 所以圆形镜面的直径为13cm, 故答案为：13. 【变式4如图，AB是⊙O的直径，圆上的点D与点C,E分布在直线AB的两侧，∠AED=40°， 则∠BCD=· B 【答案】50° 【分析】本题考查了圆周角定理，连接AC,则∠ACD=∠AED=40°，又AB是⊙O的直径， 则∠ACB=90°，然后用角度和差即可求解，掌握圆周角定理的应用是解题的关键， 【详解】解：如图，连接AC, E ∴.∠ACD=∠AED=40°， ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， ∴.LBCD=∠ACB-∠ACD=50°， 故答案为：50° 【变式5】如图，AB是⊙O的直径，点C,D是直径AB上方半圆上两点，且OD II AC,OD 与BC交于点E. (1)求证：E为BC的中点： 50/73 (2)若BC=8,DE=3,求⊙0的直径. 【答案】(1)见解析 哼 【分析】本题考查了垂径定理，熟记定理内容是解题关键， (1)由题意得∠ACB=90°；根据OD I AC,推出OD1BC,结合垂径定理即可求证： (2)设半径为r,则0B=T,OE=OD-DE=T-3,根据BE2+OE2=OB2,即可求解： 【详解】(1)证明：，AB是⊙0的直径， ∴.LACB=90: .'OD II AC, .∠OEB=∠ACB=90°，即OD1BC, .E为BC的中点： (2)解：设半径为r,则OB=T,OE=OD-DE=r-3, ,BC=8, ∴BE=BC=4: BE2+0E2=0B2, .42+(r-3)2=2, 解得：1=总 “⊙0的直径为等 【变式6】如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC,AC分别与BD、OD 相交于点E、F. (1)求证：点D为AC的中点： (2)若CB=6,AB=10,求DF的长： (3)若⊙O的半径为2，∠D0A=80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值. 【答案】(1)见解析 51/73 (2)DF=2 3)PC+PD的最小值为2V5 【分析】(1)利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再证明OF⊥AC,然后根据垂径定理得到 点D为AC的中点： (2)证明OF为△4CB的中位线得到OF=BC=3,然后计算OD-OF即可： (3)作C点关于AB的对称点C,CD交AB于P,连接OC,如图，利用两点之间线段最 短得到此时PC+PD的值最小，再计算出∠DOC=120°，作OH⊥DC于H,如图，然后根 据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH,从而得到PC+PD的最 小值. 【详解】(1)证明：~AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， .OD//BC, ∴.∠0FA=90°， ..OF L AC, .AD=CD, 即点D为AC的中点. (2)解：OF1AC, ·AF=CF, 而0A=0B, .OF为△ACB的中位线， ǎ0F=BC=3, DF=0D-0F=5-3=2. (3)解：作C点关于AB的对称点C',CD交AB于P,连接OC,如图， PC=PC', ..PD+PC=PD+PC'=DC', 此时PC+PD的值最小， .AD=CD, ∴.∠C0D=∠A0D=80°， .∠B0C=20°， 52/73 ~点C和点C关于AB对称， ÷∠C0B=20°， ·∠D0C'=120°， 作OH1DC于H,则∠ODH=30°，CH=DH, 在RtAOHD中，OH=0D=1, DH=30H=3, DC'=2DH=23 PC+PD的最小值为25 D 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所 对的弦是直径.也考查了垂径定理. 题型13.圆内接四边形（四边形外接圆） 【例1】如图，圆内接四边形ABCD中，圆心角∠B0C=120°，则∠BAC等于() D A.100° B.1209 C.130° D.150° 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可知∠D=LBOC,再根据圆内接四边形对角互补即可求出∠BAC 的度数」 【详解】解：，∠B0C=120°， 53/73 ∴LD=∠B0C=60°， .∠BAC=180°-∠D=180°-60°=120° 【例2】如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，E为CB延长线上一点.若LD=80°，则LABE 的度数为 0. 【答案】80/80度 【详解】解：，⊙O为四边形ABCD的外接圆， ∴.∠D+∠ABC=180°， ,∠ABE+∠ABC=180°， .∠ABE=∠D=80° 【例3】如图所示，四边形ABCD内接于⊙O,连接BD,∠BAD=105°，BD=DC.求LBDC 的大小. o B 【答案】30° 【分析】本题考查了圆内接四边形，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，先结合四 边形ABCD内接于⊙O,∠BAD=105°，得∠DCB=75°，根据BD=DC以及三角形内角和性 质，进行列式计算，即可作答。 【详解】解：四边形ABCD内接于⊙O, ∠DCB+∠BAD=180°. .∠BAD=105°， ÷∠DCB=180°-105°=75°. .BD DC, ÷∠DBC=LDCB=75. ÷∠BDC=180°-75°-75°=30°. 54/73 【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙O,连接0B、OD.若∠BCD=110°，则∠B0D的度 数是() ○ D A.70 B.110° C.120° D.140° 【答案】D 【分析】根据圆的内接四边形的性质求出∠A,根据圆周角定理即可计算出答案。 【详解】解：四边形ABCD内接于⊙O,∠BCD=110° ∠A=180°-∠BCD=70°， 由圆周角定理可得：∠B0D=2∠A=140°. 【变式2】如图，点C,D分别在以AB为直径的半圆上，连接AC,CD,BD,己知∠ACD=110°， 求∠ABD的度数() A.60 B.70° C.80 D.90° 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的对角互补求解即可. 【详解】解：，四边形ABCD是圆的内接四边形，∠ACD=110°， ∴.∠ABD=180°-110°=70°. 故选：B 【变式3】如图，四边形ABCD内接于⊙O,BC是直径，连接AC、若∠ADC=150°，点0到AC 的距离为23，则⊙0的半径长为() 55/73 A.2 B.6 C.4 D.8 【答案】c 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，含30°角直角三角形的性质，勾股定理，半圆（直 径)所对的圆周角是直角，解题的关键在于熟练掌握相关知识 根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，证明ODIAB,结合圆内接四边形的性质得到∠DOC ∠B=30°，再利用含30°角直角三角形的性质，以及勾股定理，建立方程求解，即可解题 【详解】解：四边形ABCD内接于⊙O,BC是直径， ∠BAC=90°， 0D1AC,且0D=23 ·∠0DC=∠BAC=90°， .ODIIAB, ∠ADC=150°， ∴.∠B=180°-150°=30°， ∴.∠D0C=∠B=30°， ∴Dc=0c, 0D2+DC2=0C,即0D2+(G0c)}=0c2, (2'+(oc)}=oc2, 解得0C=4, 则⊙0的半径长为4： 故选：C 【变式4】如图，四边形ABCD内接于⊙O,连接BD,其中AB=AD,∠C=100°，若点E 在AD上，连接AE,DE,则∠E的度数为 O。 B 【答案】130°/130度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键.根 56/73 据圆内接四边形的性质可求得∠BAD=80°，根据等边对等角可得∠ABD=∠ADB,求得 ∠ABD=50°，根据圆内接四边形的性质即可求解. 【详解】解：，四边形ABCD为⊙O的内接四边形， .LC+∠BAD=180°， 又，∠C=100°， .∠BAD=180°-100°=80°， .'AB=AD, ∴∠ABD=∠ADB, .∠ABD=1×(180°-80)=50°， ,四边形ABDE为⊙O的内接四边形， ∴.LE+∠ABD=180°， .∠E=180°-50°=130°. 故答案为：130°. 【变式5】如图，四边形ABCD内接于一圆，延长BC到点E. (1)求证：LDAB=∠DCE; (2)连接AC、BD,若LDAB=65°，CD平分LACE,求LADB的度数 【答案】(1)证明见解析 (2)50° 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形 的对角互补. (1)根据圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠DCB=180°，根据同角的补角相等证明结论： (2)根据角平分线的定义得出∠ACE,再根据圆周角定理推论即可解答， 【详解】(1)证明：，四边形ABCD内接于一圆， ∴.∠DAB+∠DCB=180°， ∠DCE+∠DCB=180°， 57/73 ∠DAB=∠DCE: (2)解：由(1)得∠DAB=∠DCE, ∠DAB=65, .LDCE=65°， ,CD平分∠ACE, ∴.∠ACE=2∠DCE=130°， ∠ACB=180°-∠ACE=50°， ∴，LADB=∠ACB=50° 【变式6】如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F. (1)若LE=LF,求证：∠ADC=LABC; (2)若LE=∠F=40°，求LA的度数. 【答案】(1)见解析 (2)50° 【分析】此题主要考查圆的内接四边形，三角形的内角和及外角定理，对顶角相等，解题的 关键是熟知三角形的内角和及圆内接四边形的性质. (1)根据对顶角与三角形的外角定理即可求解： (2)根据圆内接四边形得到∠A=∠ECD,再根据三角形的内角和及外角定理即可求解. 【详解】(1)解：~∠E=∠F,LECD=LFCB, ·∠E+∠ECD=∠F+∠FCB, ,∠ADC=∠E+∠ECD,∠ABC=∠F+∠FCB, ·LADC=∠ABC: (2),四边形ABCD是⊙O的内接四边形，LECD+∠BCD=180°， ∴.∠A+∠BCD=180°， ·LA=∠ECD. 58/73 ,∠EDC=∠A+∠F,且∠EDC+∠E+∠ECD=180°， ,∴.∠A+∠F+∠E+∠A=180°， ·2∠A+∠E+∠F=180°， ,∠E=∠F=40, 2∠A+40°+40°=180° ∠A=50° 巩固练习 1.(2026江苏宿迁.一模)如图，CD为⊙O的直径，弦AB1CD于E,BC=V13,AE=3, 则△ACB的面积为() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】D 【分析】根据垂径定理求出BE的长，在Rt△BCE中利用勾股定理求出CE的长，最后根据三 角形面积公式计算即可. 【详解】解：，CD为⊙O的直径，弦AB1CD于E,且AE=3, ∴BE=AE=3, ∴AB=AE+BE=6, 在Rt△BCE中，BC=VI3,BE=3, 由勾股定理得：CE=VBC2-BEZ= /13)2-32=2, ∴.△ACB的面积为AB·CE=;×6×2=6, 2.(2026湖南张家界.一模)如图，⊙0的直径AB=10m,弦CD1AB于E,CD=8m,则 AE的长为() 59/73 0 E D A.9m B.8m C.7m D.6m 【答案】B 【分析】连接0C,易知0C=5m,由垂径定理得CE=4m,由勾股定理得0E=3m,所以AE= 5+3=8m. 【详解】解：连接0C, AB是⊙O的直径，弦CD1AB于E,CD=8m, .CE=CD=4m, 在Rt△0EC,∠0EC=90°，0C=5m,CE=4m, ∴0E=V0C2-CE2=3m, AE=0A+0E=5+3=8m. 3.(25-26九年级上，浙江杭州期末)如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所 对的弦的长AB)为6米，拱高（弧的中点到弦的距离CD)为2米，则该拱门模型的半径为 () A号米 B.4米 c.号米 D.5米 【答案】A 【分析】设拱门的圆心为O,连接0D,0A,设拱门的半径为T,由垂径定理可得AD=三AB=3 米，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱门的半径r 60/73 【详解】解：如图，设拱门的圆心为O,连接OD,OA, 设拱门的半径为， 由题意可得：OD1AB,CD=2米，AB=6米，点O,D,C三点共线， AD=AB=3米， 0D=0C-CD=r-2, 0A2=AD2+0D2, r2=32+(-2)2, r=号 4.(25-26九年级上山东聊城期末)如图，AB是⊙O的直径，CD是弦但不是直径，AB1CD 于点E,连接OC,则下列结论不一定正确的是() A.CE=ED B.AO=CO C.OE=BE D.AC=AD 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理，由于AB 1 CD于点E,AB是⊙O的直径，得到CE=DE,AC= AD,AO=CO,即可得到答案. 【详解】解：，AB⊥CD于点E,AB是⊙O的直径， ..CE DE,AC AD,AO=CO, 无法证明OE=BE, ∴C不正确，符合题意；A、B、D正确，不符合题意： 故选：C 5.(25-26九年级上广东惠州期中)在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的 残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB 61/73 的垂直平分线CD交AB于点D,交弧AB于点C,测出AB=16cm,CD=4cm,则圆形工件 的半径为() A.10cm B.12cm C.14cm D.20cm 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识.由垂径定理，可得出BD的长；设圆心为O, 连接OB,在Rt△OBD中，可用半径OB表示出OD的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件 的半径。 【详解】解：：CD是线段AB的垂直平分线， .直线CD经过圆心， 设圆心为O,连接OB,如图. Rt△OBD中，BD=AB=8cm, 根据勾股定理得：OD2+BD2=0B2, 即：(0B-42+82=0B2, 解得：0B=10; 故圆形工件的半径为10cm, 故选：A. 6.（2026四川南充中考真题)如图，AB为⊙0直径，弦CD1AB于E,OB=CD=2,则0E 长为() 62/73 A.1 B.V3 C.2 D.V5 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出CE的长，再在Rt△OCE中利用 勾股定理求出OE的长即可. 【详解】解：~AB为⊙O直径，CD1AB,OC=OB=CD=2, ÷CE=CD=1, 在Rt△0CE中，0E=VOC2-CEZ=V22-12=√5. 7.(2026云南大理.一模)如图，AB是⊙O的弦，点C是AB的中点，OC交AB于点D.若AB=8cm, 0D=3cm,则⊙0的半径为 cm D B 【答案】5 【分析】连接0A,由题意可得OC1AB,由垂径定理可得AD=AB=4cm,最后再由勾股 定理计算即可得出结果。 【详解】解：如图：连接OA, D ,点C是AB的中点， ..OC 1 AB, 63/73 ∴AD=5AB=4cm, .0A=V√AD2+0D2=5cm. 8.（25-26九年级上·江苏无锡期末)如图，拱桥可以近似的看作直径为260m的圆弧，桥拱 和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为100m,那么这些钢索中最长 的一根的长度为 m. 钢索 B路面 桥拱 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识：熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关 键。 设圆弧的圆心为O,过O作OC1AB于C,交AB于D,连接OA,先由垂径定理得AC=50m, 再由勾股定理求出OC=120m,然后求出CD的长即可. 【详解】解：设圆弧的圆心为O,过O作OC1AB于C,交AB于D,连接OA, D /钢索 AB路面 C 桥拱 O 则0A=0D=支×260=130(m),AC=BC=AB=×100=50(m), ∴.0C=V0A2-AC2=V1302-502=120(m), ∴.CD=0D-0C=130-120=10(m), 即这些钢索中最长的一根为10m, 故答案为：10. 9.(25-26九年级上山东潍坊期末)如图，已知AB,CD是⊙O的两条直径，弦CEAB,CE 的度数为70°，则BD的度数为 【答案】55 64/73 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角和弧的 度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键， 连接0E,由OC=OE求得L0CE=55°，根据CEIAB,得到∠0CE=∠B0D=55°，即可得到 BD的度数. 【详解】解：如图所示，连接OE, CE=70°， .LC0E=70°， ,0C=0E, .∠0CE=180-70=550, 2 .CEAB, ∴.∠B0D=∠0CE=55°， ∴.BD的度数为55°， 故答案为：55. 10.(25-26九年级上·湖南衡阳·期末)如图，AB为⊙0的直径，点C、D是BE的三等分点， ∠A0E=60°，则∠BOD的度数为 【答案】80/80度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，由平角的定义可得∠B0E,再根据弧与圆 心角之间的关系可得∠B0D=号B0E,据此可得答案。 【详解】解：，AB为⊙O的直径，∠AOE=60°， .∠B0E=180°-LA0E=120°， ,点C、D是BE的三等分点， 65/73 ∴LB0D=B0E=80°， 故答案为：80° 11.(2026江苏盐城一模)如图，AB是⊙0的直径，点C、D在圆周上，若∠D=24,则LA0C 的度数是 B D 【答案】48 【详解】解：，AC=AC,∠D=24°， ∴.∠A0C=2∠D=48°. 12.(2026安徽阜阳.二模)如图，AB为半圆O的直径，C,D是圆上两点，AD=CD,∠BAC= 40°，则∠DAC= 【答案】25° 【分析】先结合直径所对的圆周角是90度，得出∠ACB=90°，再算出LABC=50°，又因 为AD=CD,得出∠DBC=ABC=25°，最后根据圆周角定理进行分析，即可作答。 【详解】解：连接BC,DB,如图所示： D ,AB为半圆O的直径， ∴∠ACB=90°， ,∠BAC=40°， .∠ABC=90°-40°=50°， AD CD, 66/73 ..AD CD ∴LDBC=∠ABC=25, .DC DC, ∴.LDAC=∠DBC=25°. 13.(25-26九年级上浙江绍兴，期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O,连结AC,BD,且DB=DC, 延长BA至点E.求证：AD平分∠EAC. 【答案】见解析 【分析】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关 键.先根据圆内接四边形的性质得出LDCB=∠DAE,再根据DC=DB,圆周角定理证明 ∠DBC=∠DAE,即可得出结论 【详解】证明：~四边形ABCD内接于⊙O, ·∠DCB+∠DAB=180°. 又LDAE+LDAB=180°， .∠DCB=∠DAE. DC=DB, ∠DCB=∠DBC, ∠DBC=∠DAE, Y∠DBC=∠DAC, ·∠DAC=∠DAE,即AD平分∠CAE 14.(25-26九年级上·浙江舟山·期中)如图，己知在⊙0中，两条弦AB和CD交于点P,且AD= CB,求证：AB=CD 67/73 D B 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆的基本性质，根据在同圆中，等弦所对的弧相等，等弧对的弦相等证 明即可。 【详解】证明：AD=BC, .AD BC, ..AD BD BC+BD, .AB DC, ∴AB=DC 15.(25-26九年级上河南安阳·期末)如图，在△ABC中，AC=BC,以AB为直径作⊙0， 与AC相交于点D.连接OC,与⊙O相交于点E,连接DE,求LADE的度数. 【答案】∠ADE=135 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据已知可得 0C1AB,根据圆周角定理可得∠ABE=∠A0B=45°，进而根据圆内接四边形对角互补， 即可求解。 【详解】解：如图，连接BE, B .AC=BC,0A=OB ..OC 1 AB 68/73 ∠A0E=90°， LABE =ILAOE=45, ,四边形ABED是⊙O的内接四边形， ∴.∠ADE=180°-∠ABE=180°-45°=135° 16.(25-26九年级上浙江温州期末)△ABC内接于⊙0，∠C=70°，请用直尺和圆规在⊙0 上找一点D(不与点A,B重合)，使∠ABD=70°.如下是小温、小州两位同学的作图过程。 小温：如图1，以A 小州：如图2，以B 为圆心，AB长为半 为圆心，AB长为半 径作弧，交⊙O于 径作弧，交⊙O于 点D,连结BD 点D,连结BD。 B 图1 图2 请你选择其中一种做法，判断对错，并说明理由， 解：我选择 (填“小温”或“小州”)的作法，该作法是 的（填“正确”或“错 误”)，理由如下： 【答案】小温，正确，见解析或小州，错误，见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，小温的作法正确，连结AD,可证明AD=AB,得到 ∠ABD=∠C=T0°；小州的作法错误，连结AD,可证明BD=AB,得到∠BAD=∠D=∠C= 70°，则可求出∠ABD=40° 【详解】解：若选择小温的作法（图1），则该作法是正确的 理由如下：连结AD, 图1 .AD AB, .AD =AB, ∴.∠ABD=∠C=70° 若选择小州的作法（图2），则该作法是错误的， 理由如下：连结AD, 69/73 D 图2 .BD=AB, ∴BD=AB, ∴.∠BAD=∠D=∠C=70° ∠ABD=180°-70°-70°=40°≠70°. 17.(25-26九年级上辽宁盘锦期中)如图，在⊙0中，C是弧AB的中点，CD10A于点D, CE⊥OB于点E. (1)求证：CD=CE: (2)若D、E分别是OA、OB的中点，连接AC、BC,判断四边形ACBO的形状，并说明理由. 【答案】(1)证明：~C是弧AB的中点， ∴AC=BC, ∴.∠DOC=∠EOC, .CD 1 OA,CE 1 OB, ·∠0DC=∠0EC=90°， ·在△ODC和△OEC中， (LDOC=∠EOC 由{∠ODC=LOEC,∴△ODC≌△OEC(AAS),.CD=CE. 0C=0C (2)四边形ACB0是菱形 证明：如图连接AC、BC 70/73 由圆的性质知OA=OB=OC,由D、E分别是OA、OB的中点，得AD=OD,BE=OE, 由△ODC≌△OEC知OD=OE, .在△ACD和△OCD中， AD=OD ∠ADC=∠ODC=90°， DC=DC △ACD≌△OCD(SAS), ..AC=OC=0A, 同理可证△OCE兰△BCE, ..0C BC=0B, 综上可得OA=OB=AC=BC,故四边形ACBO是菱形. 【分析K1)由C是弧AB的中点得到∠DOC=∠EOC,故可证明△ODC≌△OEC,从而CD=CE; (2)通过中点及圆的性质可知四边形ACB0四条边都相等，而四条边都相等的四边形是菱 形 【详解】(1)略 (2)略 18.(2026·内蒙古通辽.二模)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作半圆O,交BC 于点D,交AC于点E. B (1)求证：BD=CD: (2)若DE所对的圆心角度数为45°，求LC的度数； (3)过点D作DF⊥AB于点F,若BC=4,AB=5,求DF的长. 71/73 【答案】(1)证明：如图，连接AD, AB是⊙O的直径，点D在圆上， ∠ADB=90°，即AD1BC, .AB AC, ·BD=CD (2)67.5 3)DF=22 5 【分析】(1)利用直径所对圆周角为直角，证得AD1BC,再结合等腰三角形三线合一，证 BD=CD: (2)由DE的圆心角求圆周角∠DAC,再结合直角三角形两锐角互余，求LC: (3)先由勾股定理求AD,再用等面积法列方程，求DF的长度， 【详解】(1)略： (2)解：如图，连接0D,0E, DE所对的圆心角度数为45°， ∠D0E=45°， ÷∠D4C=D0E=22.5, 由(1)，得AD1BC,即∠ADC=90°， ·LC=90°-∠DAC=67.5°： (3)解：由(1)，得LADB=90°，BD=CD, 72/73 AB=5,BC=4, .BD=BC=2, ∴AD=VAB2-BD7=V5-27=√21， SAA8D=BD·AD=×2V27=V2, DF⊥AB于点F, “S△ABD=AB:DF=×5DF=V2i, ·DF=@ 51 73/73 第二十九章 圆 02讲 圆的有关性质 题型归纳 【知识点1 垂直于弦的直径 1】 【知识点2 弧、弦、圆心角 2】 【知识点3 圆周角 2】 【知识点4 圆内接多边形 3】 【题型1. 利用垂径定理求值 4】 【题型2. 利用垂径定理求平行弦问题 5】 【题型3. 利用垂径定理证明 6】 【题型4. 垂径定理的推论 7】 【题型5. 垂径定理的实际应用 8】 【题型6. 利用弧、弦、圆心角的关系求解 10】 【题型7. 利用弧、弦、圆心角的关系求证 12】 【题型8. 圆心角与圆周角的概念辨析 13】 【题型9. 圆周角定理 15】 【题型10. 同弧或等弧所对的圆周角相等 17】 【题型11. 直径与90°圆周角互推定理 18】 【题型12. 圆内接四边形（四边形外接圆） 20】 【巩固练习 22】 知识清单 知识点1 垂直于弦的直径 1.圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 【提示】圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线. 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 3.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且A B C D O 平分弦所对的两条弧. 【提示】 ① 定理中“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径， 甚至可以是过圆心的直线或线段； ② 推论中“平分弦”的“弦”一定是非直径的弦，否则命题就不一定成立了，如图，当弦CD为直径时，AB平分CD于点O，但AB不垂直于CD； ③ 利用垂径定理及其推论可以证明两条弧相等，一条弦垂直平分另一条弦、一条线段是直径. 4.垂径定理的应用：应用时构造直角三角形，利用勾股定理求解， 如图，它们的关系为 ， . 知识点2 弧、弦、圆心角 1.圆心角的概念：把顶点在圆心的角叫做圆心角. 2.有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 3.定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧或劣弧分别相等. 【提示】 ① 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等； ② 在同圆或等圆中，两条弧（一般同为优弧或劣弧）、两条弦、两个圆心角中，只要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等. 知识点3 圆周角 1.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交，把这样的角叫做圆周角. 如图24.1-11，∠ACB是圆周角. 【提示】（1）圆周角必须具备两个特征：① 顶点在圆上；② 两边都与圆相交. （2）同一条弧所对的圆周角有无数个. 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3.圆周角定理的推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 【提示】 ① 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦及两个圆周角中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等； ② 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这三角形是直角三角形. 知识点4 圆内接多边形 1.定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆. 如图24.1-16，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形 ABCD的外接圆. 2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；任一外角与其相邻的内角的对角相等(即外角等于内对角). 【提示】 ① 内接和外接是一个相对的概念，是一种位置关系； ② 每一个圆有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的，四边形才存在外接圆； ③ 圆内接四边形外角等于内对角（圆内接四边形的性质，解答题可直接用）. 如图，∵ ∠BAD+∠BAE=180°（平角的定义） ∠C+∠∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补） ∴ ∠BAE=∠C 题型专练 题型1. 利用垂径定理求值 【例1】如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【例2】如图，为的弦，，交于点，垂足为，，则的半径长为_____． 【例3】如图，是的直径，弦于点，已知，，求的半径． 【变式1】如图，已知的半径为13，弦的长为24，那么圆心到弦的距离是（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 【变式2】如图，在中，直径垂直于弦，垂足为，若，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，⊙O的直径，AB是⊙O的弦，，垂足为M，若，则的长为________． 【变式4】如图，，是两条互相垂直的弦，于点，于点，连接．若，，则的长为________． 【变式5】如图，在 中，是直径，是弦，且于点 E，若，求的长． 题型2. 利用垂径定理求平行弦问题 【例1】⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【变式1】在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是___． 【变式2】在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为___________． 【变式3】已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 【变式4】如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 题型3. 利用垂径定理证明 【例1】已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：． 【变式1】如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 【变式2】如图，在中，，以为圆心作圆与边相交于点于点．求证：． 【变式3】如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 题型4. 垂径定理的推论 【例1】下列命题中，假命题是（    ） A．菱形的对角线互相垂直 B．矩形的四个内角都是直角 C．如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦 D．如果圆的一条直径平分一条弦，那么这条直径垂直这条弦 【变式1】下列关于圆的说法不正确的是（    ） A．平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 B．平分弦的直径平分弦所对的弧 C．垂直平分弦的直径必定经过圆心 D．垂直于弦的直径平分弦所对的弧 【变式2】下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆；②半径相等的两个半圆是等弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是______． 题型5. 垂径定理的实际应用 【例1】在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径，在操场地上砸出一个小坑，点O到地面的距离，则该坑的宽（   ） A． B． C． D． 【例2】往直径为的圆柱形容器内装入一些水后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为____________． 【例3】  于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”，手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量，圆弧对应的弦长，弓形高长，半径的长． 【变式1】壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感．有一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．如图是其截面示意图，为圆形框架的圆心，弦和劣弧围成的区域为种植区．已知种植区的深度为，弦的长为，则圆形框架的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，最大深度，则截面圆中弦的长为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起______厘米． 【变式4】石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图①，某石拱桥的桥拱是圆弧形，其示意图如图②所示，其中桥顶到水面的距离，桥拱的半径．求此时水面的宽度AB． 【变式5】某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，水面宽度，水面到管顶的距离为，那么修理工人应准备直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 题型6. 利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例1】如图，在中，点A、B、C、D在圆上，，，则（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，在中，点是的中点，，则等于________度． 【变式1】如图，、是的直径，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，是的直径，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，若，则的度数为______． 【变式4】如图，是的直径，．求的度数． 【变式5】如图，是的直径，点C、D在上，且点C、D在的异侧，连接．若的度数是，且，求的度数． 题型7. 利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例1】如图，，求证． 【变式1】如图，已知在中，弦与弦相交于点，连接，若，求证：平分． 【变式2】如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【变式3】如图，，是的半径，且，弦分别经过，的中点D，E． (1)求证：； (2)求证：． 【变式4】如图，为的直径，C、D分别为的中点，，点E、F都在上， 求证： (1)； (2)； (3)． 题型8. 圆心角与圆周角的概念辨析 【例1】下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【例2】判断下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列图形中的角是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3】如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 【变式4】如图所示，表示圆心角的是（   ） A． B． C． D． 题型9. 圆周角定理 【例1】如图，已知圆心角，则圆周角的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，点均在上，若，则的度数为___________． 【例3】如图，点在上，D是的中点，若，求的度数． 【变式1】如图，小佳将量角器放在了上，点，，均在量角器边缘上，且点，，的读数分别是，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点A、B、C、D都在上，连接、，，则的度数为________． 【变式3】如图，点A、B、C在上，若，则的度数为 _____． 【变式4】如图，已知，分别为半径，的中点，为的中点． (1)求证：； (2)若，，求面积． 【变式5】如图，点A、B、C、D在上，且． (1)求证：； (2)若的度数为，设与的交点为P，求：的大小． 题型10. 同弧或等弧所对的圆周角相等 【例1】如图，是的弦， 点 C， D 都在上， 若， 则（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，是的直径，弦于点E，点P在上，弦与交于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【变式3】如图，在中，于于E，求证：． 【变式4】如图，在中，是直径，是弦，于点E，连接，． (1)证明：； (2)当，时，求的半径． 题型11. 直径与90°圆周角互推定理 【例1】如图，是的直径，，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【例2】如图，为的直径，为上一点，证明：． 【变式1】如图：是的直径，C、D是上的两点，连接、、，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】工人师傅用直角曲尺检查验收半圆形工件，下列为合格的“半圆形工件”的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的直径为_____．    【变式4】如图，是的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线的两侧，，则_____． 【变式5】如图，是的直径，点C，D是直径上方半圆上两点，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点； (2)若 ，求的直径． 【变式6】如图，是的直径，点、是上的点，且OD∥BC，分别与、相交于点、． (1)求证：点为的中点； (2)若，，求的长； (3)若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值． 题型13. 圆内接四边形（四边形外接圆） 【例1】如图，圆内接四边形中，圆心角，则等于（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，为四边形的外接圆，E为延长线上一点．若，则的度数为________． 【例3】如图所示，四边形内接于，连接，，．求的大小． 【变式1】如图，四边形内接于，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点分别在以为直径的半圆上，连接，已知，求的度数（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，四边形内接于，是直径，连接、若，点到的距离为，则的半径长为（   ） A．2 B．6 C．4 D．8 【变式4】如图，四边形内接于，连接，其中，，若点在上，连接，，则的度数为_____． 【变式5】如图，四边形内接于一圆，延长到点． (1)求证：； (2)连接、，若，平分，求的度数． 【变式6】如图，的内接四边形两组对边的延长线分别交于点E、F． (1)若，求证：； (2)若，求的度数． 巩固练习 1．（2026·江苏宿迁·一模）如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·湖南张家界·一模）如图，的直径，弦于E，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 4．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，是的直径，是弦但不是直径，于点，连接，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·广东惠州·期中）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接，作的垂直平分线交于点D，交弧于点C，测出，，则圆形工件的半径为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·四川南充·中考真题）如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 7．（2026·云南大理·一模）如图，是的弦，点是的中点，交于点．若，，则的半径为________． 8．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 9．（25-26九年级上·山东潍坊·期末）如图，已知，是的两条直径，弦，的度数为，则的度数为______°． 10．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，为的直径，点、是的三等分点，，则的度数为________． 11．（2026·江苏盐城·一模）如图，是的直径，点、在圆周上，若，则的度数是_________． 12．（2026·安徽阜阳·二模）如图，为半圆O的直径，C，D是圆上两点，，，则________． 13．（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）如图，四边形内接于，连结，且，延长至点E．求证：平分． 14．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，已知在中，两条弦和交于点，且，求证：． 15．（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点，连接，求的度数． 16．（25-26九年级上·浙江温州·期末）内接于，，请用直尺和圆规在上找一点（不与点，重合），使．如下是小温、小州两位同学的作图过程． 请你选择其中一种做法，判断对错，并说明理由． 解：我选择__________（填“小温”或“小州”）的作法，该作法是__________的（填“正确”或“错误”），理由如下： 17．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在中，C是弧的中点，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若D、E分别是、的中点，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 18．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若所对的圆心角度数为，求的度数； (3)过点作于点，若，，求的长． 1 / 113 学科网（北京）股份有限公司 $第二十九章圆 02讲圆的有关性质 >型归纳 【知识点1垂直于弦的直径： 1】 【知识点2弧、弦、圆心角· 2】 【知识点3圆周角 2】 【知识点4圆内接多边形… 3】 【题型1.利用垂径定理求值… 4】 【题型2.利用垂径定理求平行弦问题 5】 【题型3.利用垂径定理证明 6】 【题型4.垂径定理的推论… 7】 【题型5.垂径定理的实际应用… 8】 【题型6.利用弧、弦、圆心角的关系求解 10】 【题型7.利用弧、弦、圆心角的关系求证…12】 【题型8.圆心角与圆周角的概念辨析 13】 【题型9.圆周角定理… 15】 【题型10.同弧或等弧所对的圆周角相等 17】 【题型11.直径与90°圆周角互推定理 18】 【题型12.圆内接四边形（四边形外接圆） …20】 【巩固练习…22】 知识清单 知识点1垂直于弦的直径 1.圆的对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 【提示】圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 1/27 3垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 P 平分弦所对的两条弧， 【提示】 ①定理中“垂直于弦的直径”可以是直径，也可以是半径， 甚至可以是过圆心的直线或线段： ②推论中“平分弦”的“弦”一定是非直径的弦，否则命题就不一定成立了，如图， 当弦CD为直径时，AB平分CD于点O,但AB不垂直于CD: ③利用垂径定理及其推论可以证明两条弧相等，一条弦垂直平分另一条弦、一条线段 是直径 4.垂径定理的应用：应用时构造直角三角形，利用勾股定理求解， 如图，它们的关系为r2=d+()2,r=d+h. 知识点2弧、弦、圆心角 1.圆心角的概念：把顶点在圆心的角叫做圆心角。 2有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦也相等。 3.定理的推论：(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所 对的弦相等： (2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧或劣 弧分别相等 【提示】 ①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣 弧分别相等： ②在同圆或等圆中，两条弧（一般同为优弧或劣弧）、两条弦、两个圆心角中，只 要有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相篷 知识点3圆周角 1圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交，把这样的角叫做圆周角。 如图24.1-11，∠ACB是圆周角， 2/27 【提示】(1)圆周角必须具备两个特征：①顶点在圆上；②两边都与圆相交 (2)同一条弧所对的圆周角有无数个 2圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 3圆周角定理的推论：(1)同弧或等弧所对的圆周角相等： 图24.1-11 (2)半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径 【提示】 ①在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦及两个圆周角中有一组量相等， 它们所对应的其余各组量也相等： ②如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这三角形是直角三角形 知迟点4圆内接多边形 1定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫 做圆内接多边形，这个圆叫作这个多边形的外接圆 如图24.1-16，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，⊙0是四边形 ABCD的外接圆. 图24.1-16 2圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；任一外角与其相邻的内角的对角相等 (即外角等于内对角) 【提示】 ①内接和外接是一个相对的概念，是一种位置关系； ②每一个圆有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互 补的，四边形才存在外接圆： ③圆内接四边形外角等于内对角（圆内接四边形的性质，解答题可直接用） 如图，，'∠BAD+∠BAE=180°（平角的定义） ∠C+∠∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补） ∴.∠BAE=∠C 3/27 >题型专练 题型1。利用垂径定理求值 【例1】如图，AB是⊙0的弦，若⊙0的半径0A=10,圆心O到弦AB的距离0C=6,则 弦AB的长为() A.8 B.12 C.16 D.20 【例2】如图，AB为⊙0的弦，AB=8,OD1AB,交⊙0于点D,垂足为C,CD=2,则⊙O 的半径长为 【例3】如图，CD是⊙O的直径，弦CD1AB于点E,已知AB=12,CE=3,求⊙O的半径， D B 【变式1】如图，已知⊙0的半径为13，弦AB的长为24，那么圆心0到弦AB的距离是() A.5 B.7 C.9 D.11 【变式2】如图，在⊙0中，直径AB垂直于弦CD,垂足为P,若CD=8,OP=3,则⊙O 的半径为() 4/27 B P A.5 B.6 C.7 D.8 【变式3】如图，⊙O的直径CD=10,AB是⊙O的弦，AB1CD,垂足为M,若OM=3, 则AB的长为 D O M 【变式4】如图，AB,AC是⊙O两条互相垂直的弦，OD1AB于点D,OE1AC于点E,连 接DE.若AB=6,AC=8,则DE的长为 B 【变式5】如图，在⊙0中，AB是直径，CD是弦，且AB1CD于点E,若AB=10,CD=8, 求OE的长. A B D 题型2。利用垂径定理求平行弦问题 【例1】⊙O的半径是10，弦ABICD,AB=16,CD=12,则弦AB与CD的距离是() A.2 B.14 C.2或14 D.7或1 【变式1】在半径为10的⊙0中，弦AB=12,弦CD=16,且ABICD,则AB与CD之间的 5/27 距离是一 【变式2】在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为 【变式3】己知⊙O的半径为6cm,弦ABIICD,且AB=6V2cm,CD=6V3cm,则AB与CD 之间的距离为 【变式4】如图，⊙O的两条弦ABICD(AB不是直径)，点E为AB中点，连接EC,ED. (1)求证：直线E01AB; (2)求证：EC=ED. 题型3。利用垂径定理证明 【例1】已知：如图，在⊙O中，A、B、C、D是圆上四点，且AB=CD,OE1AB于点E, OF⊥CD于点F.求证：OE=OF. B 【变式1】如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C,D两点，求证：AD=BC, 0 D 6/27 【变式2】如图，在△OAB中，A0=BO,以O为圆心作圆与边AB相交于点C,D,OE1AB于 点E.求证：AC=BD. 【变式3】如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O)中，大圆的弦AB 交小圆于点C,D (1)求证：AC=BD, (2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=6,且圆心O到直线AB的距离为3，求AC的长， 题型4.垂径定理的推论 【例1】下列命题中，假命题是() A.菱形的对角线互相垂直 B.矩形的四个内角都是直角 C.如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦 D.如果圆的一条直径平分一条弦，那么这条直径垂直这条弦 【变式1】下列关于圆的说法不正确的是() A.平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 B.平分弦的直径平分弦所对的弧 C.垂直平分弦的直径必定经过圆心 D.垂直于弦的直径平分弦所对的弧 【变式2】下列说法中①在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆； ②半径相等的两个半圆是等弧：③相等的圆心角所对的弧相等：④平分弦的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的弧.正确的个数有(). 7/27 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C都在格点上，过A,B,C三点作一圆弧， 则圆心的坐标是 012345x 题型5，垂径定理的实际应用 【例1】在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径0B=5cm,在操场地上砸出一个小 坑，点O到地面的距离OD=3cm,则该坑的宽AB=() 3cm 5cm 地面 B A.4cm B.5cm C.8cm D.10cm 【例2】往直径为10m的圆柱形容器内装入一些水后，截面如图所示.若水面宽AB=6m, 则水的最大深度为 【例3】HUAWEI Mate60Pro于8月29日上市，该系列完成了核心技术领域从0到1的跃 迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”，手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致 敬奔腾不息的力量，圆弧对应的弦AB长80mm,弓形高CD长10mm,半径0A的长 D 8/27 【变式1】壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅 墙面或其他空间，增添绿意和艺术感.有一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架.如图是 其截面示意图，O为圆形框架的圆心，弦AB和劣弧AB围成的区域为种植区.己知种植区的 深度为4cm, 弦AB的长为16cm,则圆形框架的半径为() ,o 个深度 A.9cm B.10cm C.16cm D.20cm 【变式2】如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm,瓶内液体已经过半，最大深 度CD=7cm,则截面圆中弦AB的长为() 0 D A.4cm B.√21cm C.2v21cm D.2v29cm 【变式3】如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交 于A,B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米.则“图上"太阳从目前所处 位置到完全跳出海平面，升起 厘米。 海平线 【变式4】石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一.如图①，某石拱桥的桥拱是圆弧形， 其示意图如图②所示，其中桥顶到水面的距离CD=8m,桥拱的半径0C=5m.求此时水 面的宽度AB, D B 图① 图② 9/27 【变式5】某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到 如图所示的数据，水面宽度AB=60cm,水面到管顶的距离为10cm,那么修理工人应准备 直径为多长的管道？（管道的厚度不计） 60cm 4 题型6，利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例1】如图，在⊙O中，点A、B、C、D在圆上，LA0B=35°，AC=BD,则∠C0D=() A.30° B.35° C.40° D.45° 【例2】如图，在⊙0中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠B0C等于 度 【变式1】如图，AB、CD是⊙O的直径，AE=BD.若LAOE=32°，则LC0E的度数为 () D B A.32° B.48 C.60° D.64 【变式2】如图，AB是⊙0的直径，BC=BD,若∠A0C=130°，则B0D的大小为() 10/27 B A.130° B.80 C.65° D.50° 【变式3】如图，点C,D在以AB为直径的半圆O上，且ODIIBC,若∠AOD=40°，则BC 的度数为 D B 【变式4】如图，AB是⊙O的直径，AC=CD=DE,∠A0C=40°.求LB0E的度数， D E B 【变式5】如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接 AD、OD、OC.若AC的度数是70°，且ADIIOC,求AD的度数. D B 11/27 题型7.利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例1】如图，AD=BC,求证AB=CD 【变式1】如图，已知在⊙O中，弦AC与弦BD相交于点G,连接0G,若AB=CD,求证：OG 平分LAGD B 【变式2】如图，AB,AC是⊙O的弦，AB=AC,半径0E,OF分别与弦AB,AC垂直，垂 足分别为G,H,AMIIOF,交OE于点M,ANIIOE交OF于点N,连接OA. G (1)求证：∠A0E=LA0F: (2)求证：四边形AMON是菱形. 12/27 【变式3】如图，OA,0B是⊙O的半径，且AC=BC,弦CM,CN分别经过OA,OB的中点 D,E. M (1)求证：CD=CE: (2)求证：CM=CN. 【变式4】如图，AB为⊙O的直径，C、D分别为OA、OB的中点，CF1AB,ED1AB,点 E、F都在⊙O上， 求证： (1)CF=DE: (2)AF=EF=BE; (3)AE=2CF. 题型8.圆心角与圆周角的概念辨析 【例1】下图中的∠ACB是圆心角的是() 13/27 【例2】判断下列图形中的角是圆周角的是() ● 【变式1】下列图形中的角是圆心角的是() B O B 0 A 【变式2】下列圆中既有圆心角又有圆周角的是() D 【变式3】如图，△ABC内接于圆，点D在AC上，连接BD,AD.下列角中，AB所对圆周角 的是() A.ZAPB B.∠DAC C.∠ACB D.∠DBA 【变式4】如图所示，∠ACB表示圆心角的是() B A B 14/27 O(C) D B 题型9，圆周角定理 【例1】如图，已知圆心角LB0C=80°，则圆周角∠BAC的度数是() A A.160 B.80 C.40° D.10 【例2】如图，点A,B,C均在⊙O上，若∠ACB=56°，则∠BAO的度数为 B 【例3】如图，点A、B、C在⊙0上，D是AB的中点，若∠A0B=116°，求∠BCD的度数， B 【变式1】如图，小佳将量角器放在了△ABC上，点A,B,C均在量角器边缘上，且点A,B, C的读数分别是20°，70°，160°，则∠A的度数为() B 15/27 A.20° B.459 C.70° D.90° 【变式2】如图，点A、B、C、D都在⊙O上，连接OA、OB、CD、AD、BC、OA⊥BC,∠CDA= 25°，则∠CB0的度数为°. C B 【变式3】如图，点A、B、C在⊙0上，若LC=38,则LAOB的度数为 【变式4】如图，己知D,E分别为半径OA,OB的中点，C为AB的中点. (1)求证：CD=CE; (2)若∠A0C=120°，0A=6,求△0AC面积. 【变式5】如图，点A、B、C、D在⊙0上，且AB=DC. P D .0 (1)求证：AC=BD: (2)若AB的度数为70°，设AC与BD的交点为P,求：∠APD的大小. 16/27 题型10.同弧或等弧所对的圆周角相等 【例1】如图，AB是⊙O的弦，点C,D都在⊙0上，若∠ACB=40°，则∠ADB() D A.20° B.30° C.40° D.50° 【变式1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若LBAC=35°，∠CBD=70°，则∠BCD 的度数为() A B D A.70° B.75 C.80° D.85 【变式2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD1AB于点E,点P在⊙O上，弦PB与CD交于点F, 且FP=FD B (1)求证：PD CB: (2)若AB=26,CD=24,求BE的长度. 【变式3】如图，在⊙O中，AC=CB,CD 1 OA于D,CE L OB于E,求证：OD=OE. 17/27 【变式4】如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB1CD于点E,连接AC,AD B (1)证明：∠ACD=∠ADC: (2)当AE=9,CD=6时，求⊙0的半径 题型11.直径与90°圆周角互推定理 【例1】如图，AB是⊙O的直径，∠ADC=50°，则∠CAB的度数是() 4 B A.25° B.30° C.40° D.50° 【例2】如图，BC为⊙O的直径，A为⊙0上一点，证明：AB2+AC2=BC2, 0 【变式1】如图：AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，连接AC、CD、AD,若LADC=60°， 则∠BAC的度数是() B A.15 B.20° C.25° D.30° 18/27 【变式2】工人师傅用直角曲尺检查验收半圆形工件，下列为合格的“半圆形工件”的是() 角月 角 工件 B 工件 角尺 角尺 C 工件 D 工件 【变式3】一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如 图所示的测量，测得AB=12cm,BC=5cm,则圆形镜面的直径为cm. 6 【变式4】如图，AB是⊙O的直径，圆上的点D与点C,E分布在直线AB的两侧，∠AED=40°， 则∠BCD= E D 【变式5】如图，AB是⊙O的直径，点C,D是直径AB上方半圆上两点，且OD II AC,OD 与BC交于点E. D B 4 (1)求证：E为BC的中点： (2)若BC=8,DE=3,求⊙O的直径. 19/27 【变式6】如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC,AC分别与BD、OD 相交于点E、F, D (1)求证：点D为AC的中点： (2)若CB=6,AB=10,求DF的长； (3)若⊙O的半径为2，∠D0A=80,点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值 题型13.圆内接四边形（四边形外接圆） 【例1】如图，圆内接四边形ABCD中，圆心角∠B0C=120°，则∠BAC等于() A.100 B.120 C.130° D.150° 【例2】如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，E为CB延长线上一点，若LD=80°，则LABE 的度数为 0。 C EB 【例3】如图所示，四边形ABCD内接于⊙O,连接BD,∠BAD=105°，BD=DC.求LBDC 的大小 D B 20/27 【变式1】如图，四边形ABCD内接于⊙0，连接0B、OD.若LBCD=110°，则∠B0D的度 数是() A D A.70° B.110° C.120° D.140° 【变式2】如图，点C,D分别在以AB为直径的半圆上，连接AC,CD,BD,已知∠ACD=110°， 求LABD的度数() 0 B A.60° B.70° C.80° D.90° 【变式3】如图，四边形ABCD内接于⊙O,BC是直径，连接AC、若LADC=150°，点0到AC 的距离为2V3,则⊙0的半径长为() D B A.2 B.6 C.4 D.8 【变式4】如图，四边形ABCD内接于⊙O,连接BD,其中AB=AD,LC=100°，若点E 在AD上，连接AE,DE,则∠E的度数为 O。 B 【变式5】如图，四边形ABCD内接于一圆，延长BC到点E, 21/27 D (1)求证：∠DAB=∠DCE: (2)连接AC、BD,若∠DAB=65°，CD平分∠ACE,求∠ADB的度数. 【变式6】如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F. D 0 (1)若LE=∠F,求证：LADC=∠ABC: (2)若LE=LF=40°，求LA的度数. 巩固练习 1.(2026江苏宿迁.一模)如图，CD为⊙0的直径，弦AB1CD于E,BC=V13,AE=3, 则△ACB的面积为() EO A.3 B.4 c.5 D.6 22/27 2.（2026湖南张家界.一模)如图，⊙0的直径AB=10m,弦CD1AB于E,CD=8m,则 AE的长为() A.9m B.8m C.7m D.6m 3.(25-26九年级上，浙江杭州期末)如图，某学校的石拱门项部是拱门模型，跨度（弧所 对的弦的长AB)为6米，拱高（弧的中点到弦的距离CD)为2米，则该拱门模型的半径为 () A.米 B.4米 c.号米 D.5米 4.（25-26九年级上山东聊城期末)如图，AB是⊙0的直径，CD是弦但不是直径，AB1CD 于点E,连接0C,则下列结论不一定正确的是() A.CE=ED B.AO=CO C.OE=BE D.AC=AD 5.（2526九年级上广东惠州期中)在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的 残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB 的垂直平分线CD交AB于点D,交弧AB于点C,测出AB=16cm,CD=4cm,则圆形工件 的半径为() 23/27 A.10cm B.12cm C.14cm D.20cm 6.(2026四川南充.中考真题)如图，AB为⊙0直径，弦CD1AB于E,OB=CD=2,则0E 长为() A.1 B.V3 C.2 D.V5 7.(2026云南大理.一模)如图，AB是⊙O的弦，点C是AB的中点，OC交AB于点D.若AB=8cm, 0D=3cm,则⊙0的半径为 cm. 8.（25-26九年级上江苏无锡.期末)如图，拱桥可以近似的看作直径为260m的圆弧，桥拱 和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为100m,那么这些钢索中最长 的一根的长度为 m. 钢索 A B路面 桥拱 9.(25-26九年级上山东潍坊期末)如图，已知AB,CD是⊙O的两条直径，弦CEIAB,CE 的度数为70°，则BD的度数为. B 10.(25-26九年级上·湖南衡阳·期末)如图，AB为⊙0的直径，点C、D是BE的三等分点， ∠A0E=60°，则LB0D的度数为 24/27 E D B 11.(2026江苏盐城一模)如图，AB是⊙0的直径，点C、D在圆周上，若∠D=24°，则LA0C 的度数是 O D 12.(2026安徽阜阳二模)如图，AB为半圆O的直径，C,D是圆上两点，AD=CD,∠BAC= 40°，则∠DAC= C 13.(25-26九年级上浙江绍兴.期末)如图，四边形ABCD内接于⊙0，连结AC,BD,且DB=DC, 延长BA至点E.求证：AD平分∠EAC, D 14.（25-26九年级上·浙江舟山期中)如图，己知在⊙0中，两条弦AB和CD交于点P,且AD= CB,求证：AB=CD D 0 25/27 15.(25-26九年级上·河南安阳·期末)如图，在△ABC中，AC=BC,以AB为直径作⊙0， 与AC相交于点D.连接OC,与⊙O相交于点E,连接DE,求LADE的度数. 16.(25-26九年级上·浙江温州期末)△ABC内接于⊙0，∠C=70°，请用直尺和圆规在⊙0 上找一点D(不与点A,B重合)，使∠ABD=70°.如下是小温、小州两位同学的作图过程. D 小温：如图1，以A 小州：如图2，以B 为圆心，AB长为半 0 为圆心，AB长为半 径作弧，交⊙O于 径作弧，交⊙O于 点D,连结BD。 点D, 连结BD。 图1 图2 请你选择其中一种做法，判断对错，并说明理由. 解：我选择 (填“小温”或“小州”)的作法，该作法是 的（填“正确"或“错 误”)，理由如下： 17.（25-26九年级上辽宁盘锦期中)如图，在⊙0中，C是弧AB的中点，CD1OA于点D, CE L OB于点E. (1)求证：CD=CE: (2)若D、E分别是OA、OB的中点，连接AC、BC,判断四边形ACBO的形状，并说明理由. 26/27 18.(2026·内蒙古通辽.二模)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作半圆O,交BC 于点D,交AC于点E. O F D (1)求证：BD=CD: (2)若DE所对的圆心角度数为45°，求∠C的度数； (3)过点D作DF1AB于点F,若BC=4,AB=5,求DF的长. 27/27