29.2圆的有关性质 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦圆的有关性质，系统讲解垂径定理及其推论、圆心角、圆周角、圆内接多边形等核心知识点。通过“感悟新知”环节从圆的对称性切入，逐步构建定义、定理、推论到应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如“知二推三”垂径定理拓展培养几何直观，分类讨论两弦距离问题发展推理意识，拱桥实例用模型意识解决实际问题。采用“知识点+例题+练习”结构，学生提升解题能力，教师可高效开展教学。

29．1　圆的有关性质 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 垂径定理及其推论 圆心角 圆周角 圆内接多边形 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 知1－讲 感悟新知 知识点 垂径定理及其推论 1 1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 圆的对称轴有无数条. 注意 不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段. 知1－讲 感悟新知 2. 垂径定理及其推论 文字语言 符号语言 图示 垂径 定理 垂直于弦的直 径平分弦，并 且平分弦所对 的两条弧 ⇒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 知1－讲 感悟新知 文字语言 符号语言 图示 垂径 定理 的推 论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ⇒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 知1－讲 感悟新知 文字语言 符号语言 图示 拓展 平分弦所对的 一条弧的直径 垂直平分弦， 并且平分弦所 对的另一条弧 ⇒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 知1－讲 感悟新知 文字语言 符号语言 图示 拓展 弦的垂直平分 线经过圆心， 并且平分弦所 对的两条弧 ⇒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 知1－讲 感悟新知 说明 符号“⇒ ”读作“推出”，“A⇒B”表示由条件A推出结论B. 知1－讲 感悟新知 3. 在垂径定理及其推论的运用中，常涉及弦长a，弦心距d(圆心到弦的距离)，半径r 及弓形高h(弦所对的弧的中点到弦的距离)，这四者关系如图29.2-1所示，则有r2=d2+() 2，r=d+h. 这里指劣弧 感悟新知 知1－讲 特别解读 垂径定理中的“直径”可以是直径，也可以是半径、过圆心的直线或线段；“两条弧”指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆. 感悟新知 知1－讲 拓宽视野 对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个： (1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(非直径)； (4)平分弦所对的劣弧；(5)平分弦所对的优弧. 简记为“知二推三”. 知1－练 感悟新知 如图29.2-2，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=2 ，BD= ，则AB的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 例1 知1－练 感悟新知 思路导引： 知1－练 感悟新知 答案：B 解：如图29.2-2，连接OD. ∵CD⊥AB，CD=2 ，∴CH=DH= . 在Rt△BHD中，由勾股定理， 得BH= =1. 设⊙O的半径为r，则OH=r-1. 在Rt △OHD中，OH2+HD2=OD2，即(r -1)2+( )2=r2， 解得r= ，∴AB=2r=3. 知1－练 感悟新知 1-1. 如图， AB 是⊙ O的 直 径，弦 CD 交 AB于点 P， AP=2， BP=6，∠ APC= 30 ° ，则 CD的长为______ ． 感悟新知 知1－练 如图 29.2－3，在⊙ O 中， AB 为⊙ O 的弦， C， D 是直线 AB 上两点，且 AC=BD. 求证：△ OCD 为等腰三角形 . 例2 思路导引： 知1－练 感悟新知 证明：如图 29.2－3， 过点 O 作 OM ⊥ AB，垂足为点 M. ∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM. ∵ AC=BD，∴AM+AC=BM+BD，即CM=DM. 又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD. ∴△ OCD 为等腰三角形 . 知1－练 感悟新知 2-1. 如图，在⊙O中，A，B，C，D是圆上四点，且AB=CD，OE ⊥ AB 于点E，OF ⊥ CD 于点F.求证：OE=OF. 知1－练 感悟新知 证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD, ∴AE=BE=AB,CF=DF=CD,∠OEB=∠OFC=90°. 又∵AB=CD，∴BE=CF. 在Rt△OEB和Rt△OFC中， ∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL)，∴OE=OF. 感悟新知 知1－练 如图 29.2－4， AB， CD 是⊙ O 的弦， M， N分 别为AB， CD 的中点，且∠ AMN = ∠ CNM. 求证： AB=CD. 思路导引： 例3 证明： 如图 29. 2－4，连接 OM， ON， OA， OC. ∵ O 为圆心，且 M， N 分别为 AB， CD 的中点， ∴ AB=2AM， CD=2CN， OM ⊥ AB， ON ⊥ CD. ∴∠ OMA= ∠ ONC=90° . ∵∠ AMN= ∠ CNM， ∴∠ OMN= ∠ ONM. ∴ OM=ON. 又∵ OA=OC，∴ Rt △ OAM ≌ Rt △ OCN(HL) . ∴ AM=CN. ∴ AB=CD. 知1－练 感悟新知 知1－练 感悟新知 3-1.如图， ⊙ O 的弦AB=12， M 是 AB 的中点， 且 OM= 2 ， 则⊙ O 的半径等于 _________. 感悟新知 知1－练 [母题 教材 P132 习题 T8]如图 29.2－5，一条公路的转弯处是一段圆弧( AB)，点 O 是这段弧所在圆的圆心，点 C 是AB的中点，半径 OC 与AB 相交于点 D， AB=120 m， CD=20 m， 求这段弯路所在圆的半径 . ⌒ ⌒ 例4 知1－练 感悟新知 解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用“平分弧，且经过圆心”推出“垂直平分弦”，结合勾股定理求出半径的长. 解：如图 29.2－5，连接 OB. ∵点 C 是AB的中点，∴ OC ⊥ AB， AD=BD= AB=60 m. 设 OB=OC=r m. 在 Rt △ OBD 中， OB2=OD2+BD2， ∴ r2=( r－20) 2+602. ∴ r=100，即这段弯路所在圆的半径为 100 m. 知1－练 感悟新知 ⌒ 知1－练 感悟新知 4-1.半圆形纸片的半径为 2 cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点 M与圆心 O 重合，则折痕CD 的长为 _______cm. 知2－讲 感悟新知 知识点 圆心角 2 1. 圆的旋转对称性：因为把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，所以圆具有旋转对称性. 又因为旋转角可以是180°，所以圆也是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 感悟新知 2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如图29.2-6， ∠ AOB是所对的圆心角，是∠ AOB所对的弧.同理，∠AOB是弦AB所对的圆心角，弦AB是∠AOB所对的弦. 知2－讲 感悟新知 注意 一条弧或一条弦所对的圆心角只有一个，反之，一个圆心角所对的弧或弦也只有一条. 知2－讲 感悟新知 知2－讲 弧、弦、圆心角之间的关系 3.弧、弦、圆心角之间的关系 文字语言 符号语言 图示 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等 ∠ AOB=∠ COD  ⌒ ⌒ 知2－讲 文字语言 符号语言 图示 重要结论 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等 AB=CD  在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的优弧和劣弧分别相等 AB=CD  感悟新知 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 弦所对的弧有两条， 故不能说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等” 感悟新知 知2－讲 特别提醒 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等.如图24.1－24，∠AOB=∠A′OB′，但AB≠A′B′， AB ≠A′B′. ⌒ ⌒ 知2－讲 感悟新知 拓宽视野 在同圆或等圆中，对于两个圆心角、两条弧(同为优弧或劣弧)、两条弦，如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等. 感悟新知 知2－练 如图 29.2－8，在⊙ O 中， AB = CD，有下列结论：①AB=CD； ② AC=BD； ③ ∠ AOC= ∠ BOD； ④ AC = BD 中，其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 例5 知2－练 感悟新知 答案：D 解题秘方：紧扣弧、弦、圆心角之间关系定理的推论判断 . 解：∵ AB = CD， ∴ AB=CD，故①正确 . ∵ AB = CD，∴ AC = BD. ∴ AC=BD，∠ AOC= ∠ BOD，故②③④正确 . ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 知2－练 感悟新知 5-1. 如图，AB 和CD是⊙ O 的两条弦，圆心O 到它们的距离分别为OM 和ON， 若AB>CD，则下列结论正确的是( ) A. AB < CD B. AM<CN C. OM>ON D. ∠ AOM> ∠ CON D ⌒ ⌒ 感悟新知 知2－练 如图29.2-9，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC= 40°，D是BC 的中点，则∠OCD的度数为______ 例6 55° ⌒ 知2－练 感悟新知 思路导引： 知2－练 感悟新知 解：如图29.2-9，连接OD. ∵D是BC 的中点，∴CD = BD . ∴∠COD= ∠BOD. ∵∠AOC=40°，∴∠COD= (180°- ∠AOC)=70°. ∵OC=OD，∴∠OCD= (180°- ∠COD)=55°. ⌒ ⌒ ⌒ 知2－练 感悟新知 6-1. 如图，在⊙ O 中，AB = AC , ∠ A=30 °，则∠ B 的度数为_______ ⌒ ⌒ 75° 感悟新知 知2－练 [新考法构造法]如图29.2-10，AB，CD是⊙O的弦，OC，OD分别交AB于点E，F，且OE=OF. 求证：AC =BD . 例7 ⌒ ⌒ 知2－练 感悟新知 思路导引： 知2－练 感悟新知 证明：如图29.2-10，过点O作OG⊥AB于点G. ∵OA=OB，OE=OF，OG⊥EF于点G， ∴∠AOG= ∠BOG，∠EOG= ∠FOG. ∴∠AOG- ∠EOG= ∠BOG- ∠FOG， 即∠AOC= ∠BOD. ∴AC =BD . ⌒ ⌒ 知2－练 感悟新知 方法点拨 证明弧、弦、圆心角之间的关系常用的作辅助线的方法：在同圆或等圆中，要证弧、弦、圆心角及弦心距中的一组量相等，通常可以将其转化成证另外三组量中的一组量相等，一般有多种证法，而连半径或作垂直于弦的直径构造等弧、等弦、等圆心角、等弦心距是常用的作辅助线的方法. 知2－练 感悟新知 7-1. 如图，∠ AOB=90 °，C，D 是AB 的三等分点，AB 分别交OC，OD 于点E，F. 求证：AE=BF=CD. ⌒ 知2－练 感悟新知 证明:如图,连接AC, DB. ∵C,D是AB的三等分点，∴AC=CD=DB. ∴AC=CD=DB，∠AOC=∠COD=∠DOB. 又∵∠AOB=90°,∴∠AOC=∠COD=∠DOB=30°. ∵OA=OB,∠AOB=90°,∴∠OAB=∠OBA=45°. ∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°. ∵在△AOC中，OA=OC，∠AOC=30°， ∴∠ACO=75°.∴∠AEC=∠ACO. ∴AE=AC.同理可得BF=DB.∴AE=BF=CD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 知3－讲 感悟新知 知识点 圆周角 3 1. 圆周角： 顶点在圆上并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 . 圆周角可以是锐角、直角或钝角. 注意 圆周角必须同时具备两个条件：第一，顶点在圆上；第二，两边都与圆相交. 知3－讲 感悟新知 2. 圆心角和圆周角的区别与联系 名称 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个 联系 角的两边都与圆相交 知3－讲 感悟新知 3. 圆周角定理及其推论 文字语言 符号语言 图示 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ∵ ∠ A 是BC 所对的一个圆周角，∠ BOC 是BC 所对的圆心角， ∴∠ A= ∠ BOC 前提条件 ⌒ ⌒ 知3－讲 感悟新知 文字语言 符号语言 图示 推论 同弧或等弧所对的圆周角相等 ∵∠ C，∠ D 都是AB所对的圆周角， ∴∠ C= ∠ D ⌒ 知3－讲 感悟新知 文字语言 符号语言 图示 推论 半圆( 或直径)所对的圆周角是直角，90 ° 的圆周角所对的弦是直径 ∵ AB 为直径， ∴∠ C= ∠ D=90°； ∵ ∠ C=90 °(或∠ D=90°)， ∴ AB 为直径 知3－讲 感悟新知 特别提醒 1. 定理中的圆周角与圆心角所对的弧是同一条弧，这是定理成立的条件，也是运用定理时容易出现错误的地方. 2. “同弧或等弧”若改为“同弦或等弦”结论就不成立了. 因为一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况：优弧上的圆周角和劣弧上的圆周角. 知3－讲 感悟新知 拓宽视野 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 知3－练 感悟新知 下列图形(如图29.2-11)中的角是圆周角的是( ) 例8 知3－练 感悟新知 解：选项A 中的角的顶点在圆上，但是两边不都与圆相交；选项B 中的角的顶点在圆上，但是两边都不与圆相交；选项D 中的角的顶点不在圆上，故它们都不是圆周角. 选项C 中的角满足圆周角必须同时具备的两个条件，因此是圆周角. 解题秘方：紧扣圆周角必须同时具备的两个条件来判断 . 答案：C 知3－练 感悟新知 8-1. 下列图形中的角是圆周角的是( ) B 感悟新知 知3－练 如图29.2-12，点A， B， C 在 ⊙ O上，AC⊥ OB，垂足为D，若∠ A=35°，则∠ C的度数是(　　) A.20° B.25° C.30° D.35° 例9 知3－练 感悟新知 解题秘方：先根据圆周角定理求出∠O的度数，再根据直角三角形的两锐角互余求解. 解： ∵∠ A=35° ， ∴∠ O=2 ∠ A=70° . ∵ AC ⊥ OB， ∴∠ CDO=90° . ∴∠ C=90° －∠ O=90° －70° =20° . 答案： A 知3－练 感悟新知 9-1.[中考·宜宾]如图，已知∠BAC是⊙O的圆周角，∠ BAC=40 °，则∠ OBC=________ °． 50 感悟新知 知3－练 [中考·广东] 如图29.2-13，AB是⊙O的直径， ∠ BAC=50 °，则∠D= (　　) A. 20° B. 40° C. 50° D. 80° 思路导引： 例10 知3－练 感悟新知 答案：B 解：∵ AB是⊙O的直径，∴∠ ACB=90°. ∴∠ BAC+ ∠ B=90°. ∵∠ BAC=50°，∴∠ B=40 °. ∴∠ D= ∠ B=40 °. 知3－练 感悟新知 10-1. 如图所示，AD是⊙O的直径， 弦BC交AD 于点E，连接AB，AC，若∠BAD=30°，则∠ACB的度数是 (　　) A.50° B.40° C.70° D.60° D 知3－练 感悟新知 如图 29.2-14， AB 是⊙ O 的直径， BD 是⊙ O 的弦，延长 BD 到点 C，使 AC=AB. 求证： BD=CD. 例11 知3－练 感悟新知 证明： 如图 29.2-14 ， 连接 AD. ∵ AB 是⊙ O 的直径， ∴∠ ADB=90°，即 AD ⊥ BC. 又∵ AC=AB，∴ BD=CD. 解题秘方：紧扣“直径所对的圆周角是直角”，结合等腰三角形“三线合一”的性质求解. 知3－练 感悟新知 11-1.如 图， AB是 ⊙ O的 直 径， D 是 弦 AC的 延 长 线 上 一 点，且CD=AC， DB的延长线交⊙ O于点E，连接CE.求证： CD=CE． 证明：如图，连接BC. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， 即BC⊥AD. 又∵CD＝AC，∴BC垂直平分线段AD. ∴AB＝BD. ∴∠A＝∠D. ∵∠A＝∠E，∴∠D＝∠E.∴CD＝CE. 感悟新知 知3－练 如图 29.2-15，在平面直角坐标系xOy 中， ⊙ P 经 过 点 O，与 y 轴 交 于 点 A(0，6)，与 x 轴 交 于 点 B(8，0)，则 OP 的 长 为_________. 解题秘方： 连接 AB，通过题意判断出 AB为⊙ P 的直径，且圆心 P 在 AB 上，根据勾股定理计算出 AB的长，从而得出结果 . 例12 5 知3－练 感悟新知 解： 如图 29.2-15， 连接 AB. ∵∠ AOB 为直角， 且点 A， B， O 都在圆上， ∴ AB 为⊙ P 的直径， 且圆心 P 在 AB 上 . ∵ A(0，6)， B(8，0)， ∴ OA=6， OB=8. ∴ AB= =10. ∴ OP= AB=5. 知3－练 感悟新知 12-1. [中考·日照]一圆形玻璃镜面损坏了一部分 ， 为得到同样大小的 镜 面，工 人 师 傅 用直角尺作如图所示的测量，测得 AB=12 cm，BC=5 cm，则圆形镜面的半径为 _______. 感悟新知 知4－讲 知识点 圆内接多边形 4 圆内接多边形的概念 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆 圆内接四边形的性质 文字语言 圆内接四边形的对角互补 符号语言 如图，∠ A+∠ C=180°，∠ B+∠ ADC=180° 拓展 圆内接四边形的一个外角等于它的内对角 .如∠ 1=∠ B. 相邻内角的对角 知4－讲 感悟新知 注意 每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆. 知4－讲 感悟新知 拓宽视野 弦所对的圆周角的关系：在同圆或等圆中，一条弦所对的圆周角相等或互补，即圆周角在弦的同侧时相等，异侧时互补. 如图29.2-16，∠ C，∠ D，∠ E 都是弦AB所对的圆周角. 因为∠C，∠D 在弦AB的同侧，所以∠ C= ∠ D; 因为∠D， ∠ E在弦AB的异侧，所以∠D+∠ E=180°. 知4－练 感悟新知 [母题 教材P131 例4]如图29.2-17，圆心角∠AOB=120°，P是AB上任意一点(不与点A，B重合)， 点C在AP的延长线上，求∠BPC的度数. 例13 ⌒ 知4－练 感悟新知 解题秘方：欲求∠BPC的大小，关键是要求出∠APB的大小，而已知角为∠AOB，所以构建AB所对的圆周角∠AEB，即可将∠APB与∠AOB联系起来. ⌒ 知4－练 感悟新知 解：如图29.2-17，设点E是优弧AB上一点 (不与点A，B重合)， 连接AE，BE， 则四边形AEBP为⊙O的内接四边形， ∴∠AEB+ ∠APB=180°. ∵∠AOB=120°， ∴∠AEB= ∠AOB= ×120°=60°. ∴∠APB=180°- ∠AEB=180°-60°=120°， ∴∠BPC=180°- ∠APB=180°-120°=60°. 知4－练 感悟新知 13-1. 如图，四 边 形ABCD内接于⊙ O.过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠ BEC=50 ° ，则∠ ABC的度数是_______ 130° 圆的有关性质 圆的有 关性质 圆周角 圆周角定理 及其推论 圆内接四边 形的性质 轴对称性 旋转 对称性 垂径定理 及其推论 弧、弦、 圆心角之 间的关系 课堂小结 方法 分类讨论思想在垂径定理中的应用 1 已知⊙ O 的直径为 10， AB， CD 是两条平行的 弦，且AB=6， CD=8，求 AB， CD 之间的距离 . 例14 思路导引： 综合应用创新 解题关键 题中没有明确弦AB， CD在圆中的位置，解答问题时要考虑弦AB， CD在圆心O的 同侧与异侧两种情况. 综合应用创新 解： ∵⊙O的直径为10，∴⊙O的半径为5.分为两种情况： ①如图 29.2-18，当弦 AB， CD 在圆心 O 的同侧时，过点 O 作 OF ⊥ AB 于点 F，交 CD 于点 E，连接 OC， OA. ∵ AB ∥ CD，∴ OE ⊥ CD. 由垂径定理，得 CE= CD=4， AF= AB=3. 在 Rt △ OCE 中， OC=5， CE=4， 综合应用创新 由勾股定理，得 OE= =3. 在 Rt △ OAF 中， OA=5， AF=3， 由勾股定理，得 OF= =4. 故两条平行弦 AB 与 CD 之间的距离是 4－3=1； 综合应用创新 ②如图 29.2-19，当弦 AB， CD 在圆心 O 的异侧时，过点 O 作 AB 的 垂 线，交 AB 于 点 F，延 长 FO，交 CD 于 点 E. 连 接OA， OC. ∵ AB ∥ CD， ∴ EF ⊥ CD. 由垂径定理，得 CE= CD=4， AF= AB=3. 在Rt△ OCE中， OE= = =3. 在 Rt△ OAF中， OF= = =4. 故两条平行弦 AB 与 CD 之间的距离是 3+4=7. 综上所述， AB， CD 之间的距离是 1 或 7. 综合应用创新 要点解读 1. 解决关于弦的问题时，常作“垂直于弦的半径(或弦心距)”这一辅助线，然后连接圆心和弦的一端(即半径)构造直角三角形. 2. 当题目中图形不明确时，应注意进行分类讨论,画出所有可能存在的图形，防止漏解. 综合应用创新 方法 分类讨论思想在垂径定理中的应用 2 如图 29.2-20， AB， CD 是半径为 5 的⊙ O的两条 弦， AB=8， CD=6， MN 是直径， AB ⊥ MN于点 E， CD ⊥ MN 于点 F， P 为 EF 上的 任意一点，则 PA+PC 的最小值 为 ________. 例15 7 综合应用创新 解题秘方：利用轴对称，将同侧两点转化为异侧两点求解. 综合应用创新 解题通法 1.圆是轴对称图形，结合垂径定理可知， “垂直于弦的直径” 这个条件中，弦的两个端点关于这条直径所在的直线对称. 2.将“在直线上找一点使它到直线同侧两点的距离之和最短”的模型运用到本题中. 综合应用创新 解： 如图 29.2-20，由题易知点 C 关于 MN 的对称点为点 D. 连接AD交MN于点P，易知PA+PC的值最小时的P点即为AD 与MN的交点，此时PA+PC=AD. 过点 D 作 DH ⊥ AB 于点 H，连接 OA， OC. ∵ AB ⊥ MN 于点 E， CD ⊥ MN 于点 F， ∴ AE= AB= × 8=4， CF=DF= CD= × 6=3. 综合应用创新 易得 EH=DF=3. ∴ AH=AE+EH=4+3=7. 在 Rt △ OAE 中， OE= = =3， 在 Rt △ OCF 中， OF= = =4， ∴ EF=OE+OF=3+4=7. 易知 DH=EF， ∴ DH=7. ∴ 在 Rt △ ADH 中， AD= = =7 . 故 PA+PC 的最小值为 7 . 综合应用创新 方法 建立垂径定理的模型解决实际问题 3 如图 29.2-21，某地有座圆弧形拱桥，桥下水面宽度 AB 为 7.2 m，拱顶 C 高出水面 2.4m. 现有一艘宽3m，顶部为长方形并且高出水面2m的货船要经过这里.此货船能顺利通过该拱桥吗？ 例16 综合应用创新 解题秘方： 货船能否通过这座拱桥，关键是看货船顶部是否被拱桥拦住，即当货船位于桥下正中间 EF 时，两边的高度是否小于FN(如图 29.2-21所示) . 解题策略 判断货船能否从拱桥下通过的方法： 1.固定货船的宽，看拱桥是否足够高； 2.固定货船的高，看拱桥下的空间是否足够宽. 综合应用创新 解： 如 图 29.2-21，设 AB 所在圆的圆 心 为 点 O，作 OD ⊥ AB，垂 足 为 D，OD 的延长线交 MN 于点 H，交AB 于点 C，连接 OA， ON. 由题意得 DC=2.4 m， AD= AB=3.6 m. 设 OA=r m，则 OD=(r－2.4) m. 在 Rt △ OAD 中，根据勾股定理，得 OA 2=AD 2+OD 2， 即 r 2=3.6 2+(r－2.4) 2，解得 r=3.9. ∴ OD=1.5 m . ⌒ ⌒ 综合应用创新 易知四边形 MEFN 为矩形， ∴ ME=NF=HD， MN=EF. ∴ DF=NH. ∵ EF=3 m， ∴ DF= × 3=1.5(m)， ∴ NH=1.5 m . 在 Rt △ ONH 中，根据勾股定理，得 OH= = =3.6(m)， ∴ DH=OH－OD=3.6－1.5=2.1(m) . ∴ FN=2.1 m . ∵ 2 m <2.1 m ，∴ 此货船能顺利通过该拱桥 . 综合应用创新 方法点拨 利用垂径定理求线段的长的方法： 垂径定理是解决有关圆的计算、证明问题常用的知识.求线段长时，一般把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解，即用“垂径定理+勾股定理”求解. 综合应用创新 易错点 对垂径定理的推论理解不透，导致出错 下列说法正确的是( ) A. 过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧 B. 弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心 C. 过弦的中点的直径垂直于弦 D. 平分弦所对的两条弧的直径平分弦 例17 综合应用创新 解： A是错误的，应该指出这条弦不是直径； B是错误的，应该是弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，一定过圆心； C是错误的，应该指出这条弦不是直径；D是正确的. 答案： D 综合应用创新 诊误区： 如果“过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧”中的“弦”是直径，那么结论不一定成立.解题时容易忽略垂径定理的推论中“不是直径”这个条件而导致错误. 综合应用创新 易错点 当图形没有给出时，没有用分类讨论思想进行解题，导致错误 ⊙ O 的 直 径 为 8 cm，弦 AB 的 长 为 4 cm，则 AB 所对的圆周角的度数为____________ . 30° 或150° 例18 综合应用创新 错解： 30° 正解： 如图29.2-22，连接OA， OB，易得∠ AOB=60° ，当AB所对圆周角的顶点在优弧上时，可得 ∠ ACB= ∠ AOB=30° ； 当AB所对圆周角的顶点在劣弧上时，可得 ∠ ADB=180° －30° =150° . 综合应用创新 诊误区： 一条弦(非直径)所对的圆周角有两种可能，分别为顶点在优弧上和顶点在劣弧上. 综合应用创新 2 4 2 cm $