29.2 与圆有关的性质（讲义，5大知识12大题型）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦“与圆有关的性质”核心知识点，构建从圆的对称性（轴对称、中心对称、旋转不变性）到垂径定理（知二推三），再到圆心角、圆周角关系（同圆等圆中弧弦角转化）及圆内接四边形性质（对角互补）的递进式学习支架。 资料以“知识点+即学即练+题型分类”设计，通过“圆材埋壁”等实例培养数学眼光，分类讨论平行弦距离发展推理思维，规范证明步骤强化数学语言。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升知识应用能力。

第二十九章 圆 29.2 与圆有关的性质 知识点一 圆的对称性 圆是_________图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴.圆也是_________图形，圆心是它的对称中心.圆还具有_________不变性. 知识点二 垂径定理 定理 垂直于弦的直径_________弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图，CD是O的直径，AB为弦，CD⊥AB于点E，则AE＝BE， 推论 平分弦（非直径）的直径_________于弦，并且_________弦所对的两条弧. 如图，CD是O的直径，AE＝BE，则_____________________________________________. 小技巧 一条直线如果具备：①经过圆心；②垂直于弦，③平分弦（非直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其它三个结论，简称“知二推三”. 即学即练 1．（25-26九年级上·江西赣州·期末）把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2021·山东淄博·中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（    ） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D． 4．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1是直径为圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板长度相等，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（    ） A． B． C． D． 知识点三 圆心角及弧、弦、圆心角之间的关系 圆心角的定义：顶点在_________的角叫做圆心角. 弧、弦、圆心角之间的关系定理：在__________________中，相等的圆心角所对的弧_________，所对的弦也_________. 如图所示，∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，. 推论：在__________________中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别_________. 【注意】不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果遗漏了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. 反例： 【解题思路】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都相等，运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化． 即学即练 1．（22-23九年级上·北京·单元测试）下列图形中的角是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，点A、B、C、D在圆上，，，则（   ） A． B． C． D． 知识点四 圆周角及圆周角定理 圆周角的定义：顶点在_________，且两边都和圆_________的角叫做圆周角. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_________.（即：圆周角=） 圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是_________；的圆周角所对的弦是_________. 即学即练 1．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，在⊙中，直径垂直于弦，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，点，，，都在上，且，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，内接于，是直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 知识点五 圆内接四边形及其性质 概念 如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形. 性质 圆内接四边形_________. ∠BAD+∠BCD=180°， ∠ABC+∠ADC=180° 延伸 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻 的内角的对角）. ∠1=∠2 即学即练 1．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，四边形内接于，点在的延长线上，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）点P是上异于点A，B的一点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 题型01 利用垂径定理求解 1）有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度； 【补充】在构造Rt△ODE中，半径OD，弦心距OE，弦长CD，拱高BE四个量知二推二. 2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分. 典｜例｜精｜析 例1．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，以点为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026九年级上·四川南充·专题练习）如图是的直径，弦与相交于点，且，，，则的长为（   ） A． B． C．6 D． 2．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，是的直径，是的弦，，点E是的中点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·北京顺义·期末）半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点与圆心重合，则折痕的长为______． 题型02 利用垂径定理的推论求解 典｜例｜精｜析 例2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24九年级下·江西赣州·阶段检测）如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为______． 2．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，的半径为，为弦，为的中点，若，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，已知为的直径，是弦，且于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型03 利用垂径定理解决实际问题 典｜例｜精｜析 例3．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图1，唐代李皋发明了桨轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点D，则该桨轮船的轮子半径为________米． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 2．（25-26九年级上·广东湛江·期末）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点D，交劣弧于点C，测出，则圆形工件的半径为（　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改造为一个圆弧形的门洞，如图，已知矩形门洞的宽为、高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则改造后的门洞高（圆弧形门洞弓高）为（   ） A． B． C． D． 题型04 利用垂径定理解决平行弦问题 此类问题中两弦与圆心的相对位置往往不确定，需要分类讨论. 典｜例｜精｜析 例4．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 变｜式｜巩｜固 1．（2025学年第一学期期末考试九年级数学试题卷）衢州山茶油生产已有二千多年历史，有“东方黄金液体”的美誉．如图1，在某榨油厂中，榨油师傅会将包好的圆形油饼整齐码入木榨的榨槽中．如图2，圆形油饼紧靠在木榨的榨槽中的，，，四点．已知，，与之间的距离为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 3．（21-22九年级上·浙江金华·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 题型05 利用垂径定理解决同心圆问题 典｜例｜精｜析 例5．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于，两点，若，则两圆之间的圆环的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 题型06 圆心角及圆周角的识别 典｜例｜精｜析 例6．（25-26九年级上·全国·课后作业）下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列图中是圆周角的是（    ） A．B．C． D． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型07 利用弧、弦、圆心角的关系求解 弧、弦、圆心角之间的关系的定理及推论是说明线段相等、角相等、弧相等的重要依据.解决此类问题的关键是充分利用圆中弧、弦、角之间的关系，灵活地进行相互转化. 典｜例｜精｜析 例7．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）在直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，均为圆周上十二等分点，若弦长为，则两点的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，、、均为半径，，，点D为弧中点，则 ________． 3．（25-26九年级上·山东泰安·期末）如图，点在上，是弧的中点，交于点．若，，则的度数是_______． 题型08 利用弧、弦、圆心角的关系求证 典｜例｜精｜析 例8．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，，，，是上的四点，且． (1)求证：； (2)设与交于点．求证：． 3．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，求的半径． 题型09 利用圆周角定理求解 应用圆周角定理时，要识别图形，确认同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，必要时依据弧构造圆周角或圆心角. 典｜例｜精｜析 例9．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，点A，点B，点C在上，连接，，，连接并延长交于点D．若，，则（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山西晋城·期末）小文在假期旅游时，看到了一个美丽的圆弧形门洞（如图），她对这个门洞进行了测量，测得圆弧上任意两点间的最大距离为，门洞最底部的两个端点和圆弧上一点C构成的，则这个门洞处边长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，是的直径，，点C在上，，D为弧的中点，P是直径上一动点，则的最小值为 ______． 题型10 利用圆周角定理推论求解 典｜例｜精｜析 例10．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，内接于，是的直径，，则的度数是_____． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，点在外，分别切于点是的直径，若，则的度数为_____． 2．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为___________． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形内接于，是的直径，点C为的中点，连接．已知，． (1)求证：； (2)求弦的长． 题型11 利用圆内接四边形的性质求解 典｜例｜精｜析 例11．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形内接于，连接，，则的度数为_______ °． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，已知四边形内接于，，点在边的延长线上，则的度数为________． 2．（25-26九年级上·福建·期末）如图，四边形内接于圆，为直径，延长到，连接．设，，则与的数量关系是______． 3．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接，．若，，则的度数为________． 题型12 圆的性质综合 典｜例｜精｜析 例12．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，与相交于点E，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·北京·期末）如图，、是的两条弦，， 过点O作交于点 E， 交于点G，延长交于点 F． (1)求证：； (2)若，， 求的半径． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知四边形是的内接四边形，． (1)求证：； (2)已知，的半径为3，求的长． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图所示，射线交于点，，射线交于点，，且． (1)求证：圆心在的角平分线上． (2)求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 圆 29.2 与圆有关的性质 知识点一 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴.圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心.圆还具有旋转不变性. 知识点二 垂径定理 定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图，CD是O的直径，AB为弦，CD⊥AB于点E，则AE＝BE， 推论 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图，CD是O的直径，AE＝BE，则CD⊥AB，. 小技巧 一条直线如果具备：①经过圆心；②垂直于弦，③平分弦（非直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其它三个结论，简称“知二推三”. 即学即练 1．（25-26九年级上·江西赣州·期末）把半径为的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过圆心O作于点，交于点N，连接，根据勾股定理求出，再由垂径定理求解即可． 【详解】解：如图，过圆心O作于点，交于点N，连接， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ∵过圆心O，， ． 2．（2021·山东淄博·中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（    ） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 设的半径为，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理列出方程，求解半径，从而求出直径长度． 【详解】解：设的半径为， 、、， 为的直径，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 寸． 3．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，是的弦，半径于点D．若，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 连接，设，利用垂径定理得到，再利用勾股定理计算出x即可． 【详解】解：连接， 设， ∵是的弦，半径于点D．， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 解得（舍去）， ∴． 故选：C． 4．（25-26九年级上·浙江温州·期末）如图1是直径为圆形干果盘，其示意图如图2，四条隔板长度相等，横纵隔板互相垂直且交于隔板的三等分点，则该干果盘的隔板长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要运用垂径定理和勾股定理求解．过点O作于点K，连接，由垂径定理求出，确定，根据题意，最后利用勾股定理即可计算． 【详解】解：∵直径为圆形干果盘， ∴， 如图，过点O作于点K，连接， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ，即， 解得：． 故选∶A． 知识点三 圆心角及弧、弦、圆心角之间的关系 圆心角的定义：顶点在圆心的角叫做圆心角. 弧、弦、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 如图所示，∵∠AOB＝∠COD，∴AB＝CD，. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【注意】不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果遗漏了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. 反例： 【解题思路】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角也都相等，运用这些相等关系，可以实现线段相等与角相等之间的相互转化． 即学即练 1．（22-23九年级上·北京·单元测试）下列图形中的角是圆心角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆心角的定义，正确掌握圆心角的定义是解题的关键． 根据圆心角的定义作答即可． 【详解】解：圆心角的定义：圆心角的顶点必在圆心上， 所以选项A符合题意，选项B，C，D不合题意． 故选：A． 2．（2025·四川广元·一模）如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定， 根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则A正确，C正确； ∵， ∴， ∴，则D正确． 不一定相等，则B不正确 故选：B． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，点A、B、C、D在圆上，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据等弧所对的圆心角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 知识点四 圆周角及圆周角定理 圆周角的定义：顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径. 即学即练 1．（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角的定义，根据圆周角的定义，结合图形即可求解． 【详解】解：由图可知： 所对圆周角的是或， 故选：C． 2．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，在⊙中，直径垂直于弦，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理，直径垂直弦可平分弦所对的弧，得到；再由圆周角定理，结合的度数求出所对的圆心角的度数；最后根据等弧所对的圆心角相等，得到的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵直径垂直于弦， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：C． 3．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，点，，，都在上，且，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角、圆周角、弦和弧之间的关系进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，内接于，是直径，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是90度，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先连接，结合，得，又因为是直径，得，再列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故选：C． 知识点五 圆内接四边形及其性质 概念 如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形. 性质 圆内接四边形对角互补. ∠BAD+∠BCD=180°， ∠ABC+∠ADC=180° 延伸 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻 的内角的对角）. ∠1=∠2 即学即练 1．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，圆的内接四边形的性质，先根据圆周角定理得到，再根据四边形是的内接四边形可得即可求解． 【详解】解：， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由圆内接四边形的性质可得，进而由圆周角定理即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴, ∴， 故选：． 3．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，四边形内接于，点在的延长线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质得到，根据平角的定义得到，得到，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）点P是上异于点A，B的一点，若，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理，圆内接四边形的性质，注意点的位置不同时，圆周角可能取不同值是解决问题的关键． 点在圆上不同位置时，可能为劣弧或优弧所对的圆周角，根据圆周角定理，圆内接四边形分别计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可能为劣弧或优弧所对的圆周角， 当点在优弧上时，如图所示： ， ； 当点在劣弧上时，如图所示： 由点在优弧上时，得， ； 综上所述，的度数为或． 故选：D． 题型01 利用垂径定理求解 1）有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度； 【补充】在构造Rt△ODE中，半径OD，弦心距OE，弦长CD，拱高BE四个量知二推二. 2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分. 典｜例｜精｜析 例1．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，以点为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P作于D，则A，B两点一定关于对称．即可求解． 【详解】解：过点P作于D， 则D的坐标是． 点的坐标为， ． ． ，B两点一定关于对称， ． ． 则点A的坐标是． 故选∶B． 变｜式｜巩｜固 1．（2026九年级上·四川南充·专题练习）如图是的直径，弦与相交于点，且，，，则的长为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】连接，过点作于点，先求出半径为，再证明是等腰直角三角形，得到，最后利用勾股定理和垂径定理求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， 弦， ． 2．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，是的直径，是的弦，，点E是的中点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用垂径定理求值，圆周角定理，等边对等角等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用垂径定理和等腰三角形的性质求得，从而可求得的度数，再求得的度数与的度数，从而可求得的度数，于是可求得 【详解】解：如图，连接， ∵是直径且， ∴平分弦及弧． ∴， ∵，， ∴． ∴． ∴的度数为， ∴的度数为， ∵E是的中点， ∴的度数为． ∴的度数为． ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·北京顺义·期末）半圆形纸片的半径为，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点与圆心重合，则折痕的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，垂径定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．作交于，则，连接，根据勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：作交于，则，连接，如图 有， 对折后半圆弧的中点M与圆心O重合， 则，， ∴， 在中， ， ． 故答案为：． 题型02 利用垂径定理的推论求解 典｜例｜精｜析 例2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，熟知垂径定理及其推论是解答的关键． 连接，，，根据垂径定理的推论得到，，，则O、D、C共线，设半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，， ∴，，， ∴O、D、C共线， 设半径，则， 由勾股定理得，即 解得，故的半径是5， 故答案为：5． 变｜式｜巩｜固 1．（23-24九年级下·江西赣州·阶段检测）如图，是的弦，半径经过的中点．若，则的大小为______． 【答案】/度 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，熟知等腰三角形的性质以及直角三角形的性质是解本题的关键．根据垂径定理的推理得，再利用三线合一及直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵半径经过的中点． ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，的半径为，为弦，为的中点，若，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及推论，圆周角定理，直角三角形的性质，设与交于点，由为的中点，为半径，得，所以，，又，然后通过直角三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵为的中点，为半径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26九年级上·甘肃甘南·期末）如图，已知为的直径，是弦，且于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识点，属于中考常考题型． （1）根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得到．根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质得到答案； （2）根据题意得出垂直平分，则，证出是等边三角形，则，，得出，则， 再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：为的直径，且， ， ． （2）解：， 垂直平分， ， 是等边三角形， ， ， ， 为的直径， ∴， ， ． 题型03 利用垂径定理解决实际问题 典｜例｜精｜析 例3．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图1，唐代李皋发明了桨轮船，如图2，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，半径于点D，则该桨轮船的轮子半径为________米． 【答案】5 【分析】连接，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设该桨轮船的轮子半径为，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得． 故该桨轮船的轮子半径为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 故答案为：10． 2．（25-26九年级上·广东湛江·期末）在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点D，交劣弧于点C，测出，则圆形工件的半径为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接，先判断出圆心一定在直线上，再根据垂径定理可得，然后设圆形工件的半径为，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接， 是弦的垂直平分线， ∴圆心在直线上，． 是弦的垂直平分线，， ，， 设圆形工件的半径为， 则． ， ． 在中，由勾股定理得， 代入得， 解得：， 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改造为一个圆弧形的门洞，如图，已知矩形门洞的宽为、高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则改造后的门洞高（圆弧形门洞弓高）为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键． 如图，连接，交于点，过点O作，延长并延长交于点E，利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径，再利用矩形的性质求得半径长，再根据垂径定理和勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点，过点O作，延长并延长交于点E， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是直径， ， ， ， ， ∴， ∴改建后门洞的高是， 故选：B． 题型04 利用垂径定理解决平行弦问题 此类问题中两弦与圆心的相对位置往往不确定，需要分类讨论. 典｜例｜精｜析 例4．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则，   ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接，   同理， ， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（2025学年第一学期期末考试九年级数学试题卷）衢州山茶油生产已有二千多年历史，有“东方黄金液体”的美誉．如图1，在某榨油厂中，榨油师傅会将包好的圆形油饼整齐码入木榨的榨槽中．如图2，圆形油饼紧靠在木榨的榨槽中的，，，四点．已知，，与之间的距离为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 如图：过圆心O作于M，延长交于N，连接，则，由垂径定理可得，运用勾股定理可得，，再联立求解即可． 【详解】解：如图：过圆心O作于M，延长交于N，连接， ∵， ∴． ∴， 设圆O的半径为r，，则． 在中，； 在中，； 联立，解得：， ∴的半径为． 故选D． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．    (1)求证：直线； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论； （2）证明，由垂径定理可得结论． 【详解】（1）证明：如图，连接，    过点，为的中点， ． （2）证明：延长交于．   ，， ． 过点， ， 垂直平分， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键． 3．（21-22九年级上·浙江金华·期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 题型05 利用垂径定理解决同心圆问题 典｜例｜精｜析 例5．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于，两点，若，则两圆之间的圆环的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，连接，过点O作，得出，进而求出结论． 【详解】解：连接，过点O作， ， ，即， ， 由圆环的面积公式可得： ， 故选：D． 2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦与小圆有公共点，则弦的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题解决本题的关键． 当与小圆相切时有一个公共点，此时可知最小；当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点，此时最大，由此可以确定所以的取值范围． 【详解】解：如图，当与小圆相切时有一个公共点， ∴， ∴， 在中，，， ∴ ， ∴； 当经过同心圆的圆心时，弦最大且与小圆相交有两个公共点， 此时， 所以的取值范围是． 故选：A． 3．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点O作于点E，根据垂径定理，垂直平分和，即，，进而即可得出结论； （2）连接，利用勾股定理计算和的长度，进而求的长度． 【详解】（1）证明：如图，过点 O 作于点E． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，连接． ∵， ∵， 题型06 圆心角及圆周角的识别 典｜例｜精｜析 例6．（25-26九年级上·全国·课后作业）下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25九年级上·河南商丘·期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）下列图中是圆周角的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义． 根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项符合题意； C、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交， 故图中的圆周角有和，共个， 故选：B． 题型07 利用弧、弦、圆心角的关系求解 弧、弦、圆心角之间的关系的定理及推论是说明线段相等、角相等、弧相等的重要依据.解决此类问题的关键是充分利用圆中弧、弦、角之间的关系，灵活地进行相互转化. 典｜例｜精｜析 例7．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）在直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，连接、，通过判断为等边三角形，求出弦所对的圆心角即可． 【详解】解：连接、， ∵的直径为， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴ 即弦所对的圆心角是， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，均为圆周上十二等分点，若弦长为，则两点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了，圆心角，弦，弧之间的关系，圆周角定理，勾股定理等，在圆上取等分点，连接，使得为圆的直径，连接，取的中点，连接，可得是等边三角形，即得，得到，又可得，进而根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，在圆上取等分点，连接，使得为圆的直径，连接，取的中点，连接， ∵均为圆周上十二等分点，占圆弧的两等份， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵占圆弧的四等份， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，、、均为半径，，，点D为弧中点，则 ________． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题,垂线的定义理解，利用弧、弦、圆心角的关系求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据垂直的意义得出，从而可得，结合，可求得，再利用弧的中点得出，从而可利用两角的差求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D为弧中点， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·山东泰安·期末）如图，点在上，是弧的中点，交于点．若，，则的度数是_______． 【答案】/95度 【分析】连接，由圆心角、弧、弦的关系定理推出，由圆周角定理得到，由三角形内角和定理求出，最后根据可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是弧的中点，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的度数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，解题的关键是由圆周角定理推出． 题型08 利用弧、弦、圆心角的关系求证 典｜例｜精｜析 例8．（25-26九年级上·福建南平·期中）如图，在中，，则下列结论①，②，③，④，正确的是____________． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的知识点是圆心角、弧、弦的关系，解题关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 利用同圆或等圆中弧、弦及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：在中，， ，故①正确； 是公共弧， ，故②正确； ，故③正确； 根据已有条件无法推得，故④错误． 综上，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦及弦心距的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系是解题的关键．结合已知条件，根据“在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等”得到与之间的关系；根据圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系即可得到弦与，弦心距与的数量关系，进而得出正确选项． 【详解】解：∵分别为的两条弦，， ∴，故③正确； ∵，于M，于N， ∴，故①②正确． 综上可知，正确的有3个． 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，，，，是上的四点，且． (1)求证：； (2)设与交于点．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了圆周角定理，弧、弦之间的关系、等角对等边等知识， （1）根据弧、弦之间的关系得到，根据弧的和差求出即可得出结论； （2）根据圆周角定理得到，再根据等角对等边即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ， ，即 ∴； （2）连接， ， ， ． 3．（25-26九年级上·广东江门·期末）如图，是的直径，是的弦，于点E，C是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了圆心角定理，垂径定理，熟练掌握圆心角定理及垂径定理是关键． （1）根据垂径定理，得到，即可证明，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接OD，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 【详解】（1）解：（1）证明：是的直径，于点， ． 是的中点， ， ， ． （2）解：如图，连接OD， 由（1）可知，， 是的直径，于点， ，             设的半径为，则， 在Rt中，， 即， 解得， 的半径为5． 题型09 利用圆周角定理求解 应用圆周角定理时，要识别图形，确认同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，必要时依据弧构造圆周角或圆心角. 典｜例｜精｜析 例9．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，点A，点B，点C在上，连接，，，连接并延长交于点D．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆周角定理得出，再根据等腰三角形的性质和邻补角的定义求出，再根据三角形外角性质求出． 【详解】解：∵点A，点B，点C在上，， ∴，， ∵连接并延长交于点D，， ∴， ∴， ∵， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由题意知，则，，进而可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，． ∵ ， ∴ ． 故选：D ． 2．（25-26九年级上·山西晋城·期末）小文在假期旅游时，看到了一个美丽的圆弧形门洞（如图），她对这个门洞进行了测量，测得圆弧上任意两点间的最大距离为，门洞最底部的两个端点和圆弧上一点C构成的，则这个门洞处边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解答的关键． 先根据圆周角定理得到，再证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：连接，， ∵圆弧上任意两点间的最大距离为， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 3．（24-25九年级上·山东泰安·期末）如图，是的直径，，点C在上，，D为弧的中点，P是直径上一动点，则的最小值为 ______． 【答案】 【分析】作关于的对称点，连接，，，，．则的最小值就是的长度，在中根据边角关系即可求解． 【详解】作关于的对称点，连接，，，，． 则， ∴时， 当共线时，取得最小值时， 点在上，，为弧的中点，即， ． ． ． 则是等腰直角三角形． ， ． 【点睛】最短路径问题常见的一种方法是利用轴对称将两条线段的和化折为直． 题型10 利用圆周角定理推论求解 典｜例｜精｜析 例10．（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，内接于，是的直径，，则的度数是_____． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，根据直径所对的圆周角为90度可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而可得． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 则． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，点在外，分别切于点是的直径，若，则的度数为_____． 【答案】/55度 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及直角三角形的性质，连接，可得，由切线的性质可得，再根据切线长定理得到，进而得到，由即可得到结果． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵分别切于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为___________． 【答案】2 【分析】本题为求线段的最值-隐圆问题，考查了“直角所对的弦是直径”，勾股定理等知识﹒根据，得到点P在以为直径的圆上，以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒根据勾股定理求出，即可求出有最小值为2﹒ 【详解】解：如图，∵是内部的一个动点，且满足， ∴点P在以为直径的圆上， 以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒ ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴﹒ 故答案为：2 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，四边形内接于，是的直径，点C为的中点，连接．已知，． (1)求证：； (2)求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2)弦的长为． 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理和勾股定理． （1）连接，利用圆周角定理和垂径定理即可证明； （2）利用圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再根据垂径定理得到，，接着计算出得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵点C为的中点， ∴， ∴； （2）解：设与的交点为， 为直径， ， 在中，， 点是中点． ， ， ， ， 在中，． 题型11 利用圆内接四边形的性质求解 典｜例｜精｜析 例11．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形内接于，连接，，则的度数为_______ °． 【答案】30 【分析】根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的等边对等角性质进行解答即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，已知四边形内接于，，点在边的延长线上，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，四点共圆的性质，熟练掌握所要考查的知识点是解题的关键． 根据圆周角定理求出的值，再根据四点共圆求出，根据平角的性质求出，推出即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵点在边的延长线上， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·福建·期末）如图，四边形内接于圆，为直径，延长到，连接．设，，则与的数量关系是______． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是关键．根据直径所对的圆周角是直角和圆内接四边形对角互补分别得到，，再证明，即可得到结论． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∴， ∵四边形内接于圆， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故答案为： 3．（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接，．若，，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查切线的性质、圆周角定理及圆内接四边形的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键．连接，先求出的度数，再求出，接着求出的度数，紧接着求出的度数，最后求出的度数． 【详解】解：连接， 点为切点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型12 圆的性质综合 典｜例｜精｜析 例12．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，与相交于点E，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，再根据垂径定理证明； （2）根据勾股定理列出方程，解方程求出的半径，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算得到答案． 【详解】（1）证明：是直径， ， ， ∴， ， ∵为半径， ； （2）解：，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·北京·期末）如图，、是的两条弦，， 过点O作交于点 E， 交于点G，延长交于点 F． (1)求证：； (2)若，， 求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）连接，由平行线的性质可得，，由圆周角定理可得，； （2）连接，设的半径为，根据垂径定理可得，．在直角中，使用勾股定理构造方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，设的半径为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查平行线的性质，圆周角定理，垂径定理和勾股定理，掌握好圆的基本性质是关键． 2．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知四边形是的内接四边形，． (1)求证：； (2)已知，的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】该题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． （1）连接、、、，根据，得出，，结合，得出，即可证明， （2）过点作于点，交于点，根据，得出，则，得出，结合，得，则．设，则，在和中，勾股定理列方程求出，在中，勾股定理求出，再根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：连接、、、， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， （2）解：过点作于点，交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则， 在中，， 在中，， ∴，解得：， 在中，， ∵， ∴． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图所示，射线交于点，，射线交于点，，且． (1)求证：圆心在的角平分线上． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理、垂径定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，于点，连接，，由，，且，得，可证明，得，则圆心在的角平分线上． （2）连接，由，得，则，即可求证． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，于点，连接，， ∵， ． ，， ，． ． 又， ． ∴． ∴圆心在的角平分线上． （2）证明：连接CE， ∵， ∴， ∴． ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $