29.1 圆的有关概念同步讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“圆的有关概念”核心知识点，系统梳理圆的定义及弦、直径、弧等相关概念，构建点与圆、直线与圆的位置关系判断框架，衔接确定圆的条件及三角形外接圆与外心知识，形成从基础概念到应用的学习支架。 该资料以题型为单元，每个题型配套解题知识、典例及变式题，通过数量关系推理（如d与r的比较）培养数学思维，结合坐标实例（如点P坐标判断位置）发展几何直观，课中助力教师分层教学，课后学生可通过过关验收题查漏补缺，强化知识应用能力。

第29章 29.1 圆的有关概念 内 容 导 航 题型1 圆的认识 题型2 点与圆的位置关系 题型3 确定圆的条件 题型4 三角形的外接圆与外心 题型5 直线与圆的位置关系 考 点 演 练 题型1 圆的认识 解｜题｜知｜识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 【典例1】1．下列说法中，不正确的是（　　） A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧 【答案】D 【解答】解：A、直径是最长的弦，说法正确； B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确； C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确； D、长度相等的弧是等弧，说法错误； 故选：D． 【变式1】如图，在⊙O中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（　　）条弦． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：图中的弦有AE、AD、CD这3条， 故选：B． 【变式2】已知⊙O的半径是8cm，则⊙O中最长弦长是（　　） A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm 【答案】C 【解答】解：∵⊙O的半径是8cm， ∴⊙O中最长弦长是16cm． 故选：C． 【变式3】⊙O的半径为2cm，则它的弦长dcm的取值范围是　0cm＜d≤4cm ． 【答案】0cm＜d≤4cm 【解答】解：半径为2cm的⊙O的弦长dcm的取值范围为0cm＜d≤4cm． 故答案为0cm＜d≤4cm． 题型2 点与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ③点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 【典例1】已知⊙O半径为4，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：∵P的坐标为（3，4）， ∴OP5． ∵⊙O的半径为4，5＞4， ∴点P在⊙O外． 故选：C． 【变式1】已知⊙O的半径为4cm，OP＝3cm，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：∵⊙O的半径为4cm，OP＝3cm，且3cm＜4cm， ∴点P在⊙O内， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 【变式2】已知⊙O的半径为5，若点P在⊙O内，则OP　＜　 5（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】＜ 【解答】解：∵点P在⊙O内，⊙O的半径为5， ∴OP＜5． 故答案为：＜． 【变式3】在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（a，2），⊙O的半径为，若点B在⊙O内，则a的取值范围是　﹣2＜a＜2　 ． 【答案】﹣2＜a＜2． 【解答】解：点B到圆心O的距离d， ∵点B在⊙O内， ∴2， ∴a2＜4， ∴﹣2＜a＜2． 故答案为：﹣2＜a＜2． 题型3 确定圆的条件 解｜题｜知｜识 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 【典例1】经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】A 【解答】解：经过不在同一直线上的三点确定一个圆． 故选：A． 【变式1】下列说法错误的是（　　） A．已知圆心和半径可以作一个圆 B．经过一个已知点A的圆能作无数个 C．经过两个已知点A，B的圆能作两个 D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能作一个圆 【答案】C 【解答】解：A、已知圆心和半径可以作一个圆，说法正确，故不符合题意． B、只有确定圆心和半径才能确定一个圆，所以经过一个已知点A的圆能作无数个，说法正确，故不符合题意． C、只有确定圆心和半径才能确定一个圆，到A、B两点的距离相等的点有无数个，这些点在以A、B为端点的线段的垂直平分线上，所以已知点A，B的圆能作无数个，说法错误，故符合题意． D、过不在同一直线上的三个点A、B、C能作出三条线段，这三条线段的垂直平分线相交于一点，这个点到A、B、C三点的距离相等．所以经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能作一个圆，说法正确，故不符合题意． 故选：C． 【变式2】下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（　　） A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．③④ 【答案】C 【解答】解：平行四边形、菱形的对角不一定互补，不一定能够四个点共圆；矩形、正方形的对角互补，四点一定共圆． 故选：C． 【变式3】某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在圆上取两个弦，根据垂径定理， 垂直平分弦的直线一定过圆心， 所以作出两弦的垂直平分线即可． 题型4 三角形的外接圆与外心 解｜题｜知｜识 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 【典例1】在△ABC中，∠A＝50°，若点O为ABC的外心，则∠BOC等于（　　） A．40° B．50° C．100° D．110° 【答案】C 【解答】解：由于点O是△ABC的外心，所以在△ABC的外接圆⊙O中， 则∠BAC、∠BOC同对着弧BC； 由圆周角定理得：∠BOC＝2∠BAC＝100°， 故选：C． 【变式1】如图，△ABC顶点都在网格格点上，△ABC外接圆的圆心的是（　　） A．（1，3） B．（2，3） C．（2，2） D．（1，2） 【答案】D 【解答】解：设△ABC外接圆的圆心为点D， 由题意可知，A（3，6），B（5，4），C（5，0），DA＝DB＝DC， 设点D的坐标为（m，2）， ∴，， 则， 解得：m＝1， ∴点D的坐标为（1，2）． 故选：D． 【变式2】如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为（　　） A．2 B． C．2 D．4 【答案】C 【解答】解：∵⊙O的半径为2， ∴OB＝OC＝2， ∵∠A＝45°， ∴∠BOC＝2∠A＝90°， ∴BC2， 故选：C． 【变式3】若Rt△ABC的两条直角边a，b是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则Rt△ABC的外接圆面积是　π　 ． 【答案】π 【解答】解：∵圆的半径rc， 根据两直角边a、b分别是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根，可得 a+b＝3，a•b＝1， ∴c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2a•b＝7， ∴Rt△的外接圆的面积为πr2＝π×（）2π． 故答案为：π． 题型5 直线与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 【典例1】若半径为6cm的⊙O与直线l没有公共点，则圆心O到直线l的距离可以是（　　） A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm 【答案】A 【解答】解：∵半径为6cm的⊙O与直线l没有公共点， ∴圆心O到直线l的距离＞6cm， 故选：A． 【变式1】如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（　　） A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 【答案】B 【解答】解：∵⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，6＞3， ∴直线l与⊙O相交． 故选：B． 【变式2】在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（　　） A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 【答案】C 【解答】解：∵点（﹣3，4）是圆心， ∴圆心到x轴的距离是4，到y轴的距离是3． ∵圆的半径为4， ∴圆心到x轴的距离等于圆的半径，圆心到y轴的距离小于圆的半径， ∴圆与x轴相切，与y轴相交． 故选C． 【变式3】已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，那么直线l与⊙O的位置关系是 　相交　 ． 【答案】相交 【解答】解：∴⊙O的半径为5cm，如果圆心O到直线l的距离为4cm， ∴4＜5， 即d＜r， ∴直线l与⊙O的位置关系是相交． 故答案为：相交． 过 关 验 收 1. 下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误； （2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误； （4）直径是圆中最长的弦，正确， 正确的只有1个， 故选：A． 2. 下列说法： ①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆． 正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意； ②弦不一定是直径，错误，不符合题意； ③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意； ④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意； ⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意， 正确的有3个， 故选：C． 3. 如图，以点A为端点的优弧是　（），（）　 ，以点A为端点的劣弧是　，　 ． 【答案】（），（），，． 【解答】解：以点A为端点的优弧是（），（），以点A为端点的劣弧是，． 故答案为：（），（），，． 4. 如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为 　54°　 ．（只考虑小于90°的角） 【答案】54° 【解答】解：连接O1P，O2P，如图， ∵P在小量角器上对应的刻度为63°， 即∠O1O2P＝63°， 而O1P＝O1O2， ∴∠O1PO2＝∠O1O2P＝63°， ∴∠PO1O2＝180°﹣63°﹣63°＝54°， 即点P在大量角器上对应的刻度为54°（只考虑小于90°的角）． 故答案为：54°． 5. 已知⊙O的半径为5，若PO＝6，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断 【答案】C 【解答】解：∵OP＝6＞5，故点P与⊙O的位置关系是点在圆外． 故选：C． 6. 已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离d恰好是一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的根，老师让同学们判断点P与⊙O的位置关系，小明认为点P在圆内，小亮认为点P在圆外，关于两人的判断下列说法正确的是（　　） A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．两人合在一起才正确 D．两人都错误 【答案】B 【解答】解：方程x2﹣4x﹣8＝0， ∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣8， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣8）＝16+32＝48， ∴， ∵d为点P到圆心O的距离，故d＞0， ∴， ∵， ∴， ∴d＞4，点P在圆外， ∴小亮正确，小明错误， 故选：B． 7. 如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 　2　 ． 【答案】2 【解答】解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABP+∠PBC＝90°， ∵∠PAB＝∠PBC ∴∠BAP+∠ABP＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小， 在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3， ∴OC5， ∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2． ∴PC最小值为2． 故答案为2． 8. 已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为 　2或3　 ． 【答案】2或3 【解答】解：当点P在圆内时，则直径＝5+1＝6，因而半径是3； 当点P在圆外时，直径＝5﹣1＝4，因而半径是2． 所以⊙O的半径为2或3． 故答案为：2或3． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　） A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1） 【答案】D 【解答】解：根据垂径定理的推论，则 作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）． 故选：D． 10. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（　　） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 【答案】B 【解答】解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长． 故选：B． 11. 若AB＝4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有 　两　 个． 【答案】两 【解答】解：这样的圆能画2个．如图，作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，3cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以3cm为半径作圆， 则⊙O1和⊙O2为所求圆． 故答案为：两． 12. 如图，⊙M经过点A（﹣3，5），B（1，5），C（4，2），则圆心M的坐标是　（﹣1，0）　 ． 【答案】（﹣1，0） 【解答】解：设圆方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2， ∵⊙M经过点A（﹣3，5），B（1，5）， ∴直径在线段AB的垂直平分线上， ∴圆心横坐标x＝﹣1， ∴a＝﹣1； 代入两点坐标到圆方程， 解得b＝0， 故圆心坐标（﹣1，0）． 13. 已知锐角△ABC中，O是AB的中点，甲、乙二人想在AC上找一点P，使得△ABP的外心为点O，其作法如下．对于甲、乙二人的做法，正确的是（　　） 甲的作法 过点B作与AC垂直的直线，交AC于点P，则P即为所求． 乙的作法 以O为圆心，OA长为半径画弧，交AC于点P，则P即为所求． A．两人都正确 B．只有甲正确 C．只有乙正确 D．两人都不正确 【答案】A 【解答】解：甲的作法， ∵BP⊥AC， ∴∠APB＝90°， ∵O是AB中点， ∴POAB， ∴PO＝AO＝BO， ∴O是△PAB的外心， ∴甲的作法正确． 乙的作法， 由作法知：OA＝OB＝OP， ∴O是△PAB的外心， ∴乙的作法正确． 故选：A． 14. 如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝120°，，则⊙O的半径为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：在弦AC所对优弧上取一点D，连接DA，DC，作OH⊥AC于H， ∴AHAC42， ∵∠D+∠ABC＝180°， ∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠AOC＝2∠D＝120°， ∵∠AOH∠AOC＝60°， ∴sin∠AOH， ∴AO＝4， ∴⊙O的半径为4． 故选：A． 15. 若等边三角形的外接圆半径为2，则该等边三角形的边长为 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：根据题意画出图形，得OB＝2，∠ABC＝60°． 过点O作OD⊥BC于点D， ∴BD＝CDBC． 根据圆和等边三角形的对称性可知∠OBD＝∠ABO＝30°． 在Rt△BDO中，cos∠OBD， 由OB＝2，得BD2， ∴BC＝2BD＝2． 即该等边三角形的边长为2． 故答案为：2． 16. 如图，已知P为平面上一点，若O是△ABC的内心，也是△BCP的外心，∠BAC＝70°．则∠BPC的度数为　62.5°　 ． 【答案】62.5°． 【解答】解：连接OB、OC， ∵∠BAC＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°， ∵O是△ABC的内心， ∴，， ∴， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°， ∵O是△BCP的外心， ∴， 故答案为：62.5°． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为AB的中点，以D为圆心，2为半径作⊙D，则下列说法不正确的是（　　） A．点A在圆外 B．点C在圆上 C．⊙D与直线AC相切 D．⊙D与直线BC相交 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴AB5， ∵D是AB的中点， ∴BD＝AD＝CD＝2.5＞2，故点A，点C在圆外，故选项A不符合题意，B选项符合题意； 连接CD， ∴∠ACB＝90°，D为AB的中点， ∴CD＝BD＝AD， 作DE⊥AC于点E，作DF⊥CB于点F， ∵DE⊥AC ∴AE＝CE， ∴DE∥BC，DE2，故⊙D与直线AC相切，故C不符合题意； 过D作DF⊥BC于F， ∴CF＝BF， ∴DF∥AC，DFAC＝1.5＜2；故⊙D与直线BC相交，故D不符合题意； 故选：B． 18. 如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 【答案】B 【解答】解：∵餐盘看成圆形的半径大于餐盘的圆心到筷子看成直线l的距离为d． ∴d＜r， ∴直线和圆相交． 故选：B． 19. 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，则r的取值范围是　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∵以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB有两个交点， ∴圆的半径应大于CD，小于或等于AC， 由勾股定理得：AB5． ∵S△ABCAC•BCCD•AB3×45CD， 解得：CD， ∴r的取值范围是r≤3． 故答案为：r≤3． 20. Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，则以2.6cm为半径的⊙C与直线AB的位置关系是 　相交　 ． 【答案】相交． 【解答】解：相交， 理由：过C作CD⊥AB于D， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝4cm，BC＝3cm， ∴由勾股定理得：AB＝5cm， ∵由三角形的面积公式得：AC×BCAB×CD， ∴3×4＝5CD， ∴CD＝2.4cm， ∵2.6＞2.4， ∴以2.6cm为半径的⊙C与直线AB的关系是相交， 故答案为：相交． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第29章 29.1 圆的有关概念 内 容 导 航 题型1 圆的认识 题型2 点与圆的位置关系 题型3 确定圆的条件 题型4 三角形的外接圆与外心 题型5 直线与圆的位置关系 考 点 演 练 题型1 圆的认识 解｜题｜知｜识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 【典例1】1．下列说法中，不正确的是（　　） A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧 【变式1】如图，在⊙O中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（　　）条弦． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】已知⊙O的半径是8cm，则⊙O中最长弦长是（　　） A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm 【变式3】⊙O的半径为2cm，则它的弦长dcm的取值范围是　 ． 题型2 点与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 （1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： ①点P在圆外⇔d＞r ②点P在圆上⇔d＝r ③点P在圆内⇔d＜r （2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． （3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端． 【典例1】已知⊙O半径为4，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定 【变式1】已知⊙O的半径为4cm，OP＝3cm，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 【变式2】已知⊙O的半径为5，若点P在⊙O内，则OP　 　 5（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【变式3】在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（a，2），⊙O的半径为，若点B在⊙O内，则a的取值范围是　 　 ． 题型3 确定圆的条件 解｜题｜知｜识 不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 【典例1】经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．无数 【变式1】下列说法错误的是（　　） A．已知圆心和半径可以作一个圆 B．经过一个已知点A的圆能作无数个 C．经过两个已知点A，B的圆能作两个 D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能作一个圆 【变式2】下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（　　） A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．③④ 【变式3】某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）． 题型4 三角形的外接圆与外心 解｜题｜知｜识 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 【典例1】在△ABC中，∠A＝50°，若点O为ABC的外心，则∠BOC等于（　　） A．40° B．50° C．100° D．110° 【变式1】如图，△ABC顶点都在网格格点上，△ABC外接圆的圆心的是（　　） A．（1，3） B．（2，3） C．（2，2） D．（1，2） 【变式2】如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，⊙O的半径为2，则BC的长为（　　） A．2 B． C．2 D．4 【变式3】若Rt△ABC的两条直角边a，b是方程x2﹣3x+1＝0的两根，则Rt△ABC的外接圆面积是　 　 ． 题型5 直线与圆的位置关系 解｜题｜知｜识 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 【典例1】若半径为6cm的⊙O与直线l没有公共点，则圆心O到直线l的距离可以是（　　） A．7cm B．6cm C．5cm D．4cm 【变式1】如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（　　） A．l1 B．l2 C．l3 D．l4 【变式2】在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆（　　） A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 【变式3】已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，那么直线l与⊙O的位置关系是 　 　 ． 过 关 验 收 1. 下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 下列说法： ①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆． 正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. 如图，以点A为端点的优弧是　 ， 　 ，以点A为端点的劣弧是　 ， ． 4. 如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2，恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为P，且点P在小量角器对应的刻度为63°，那么点P在大量角器上对应的刻度为 　 ．（只考虑小于90°的角） 5. 已知⊙O的半径为5，若PO＝6，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断 6. 已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离d恰好是一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的根，老师让同学们判断点P与⊙O的位置关系，小明认为点P在圆内，小亮认为点P在圆外，关于两人的判断下列说法正确的是（　　） A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．两人合在一起才正确 D．两人都错误 7. 如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为 　 　 ． 8. 已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为 　 　 ． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　） A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1） 10. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（　　） A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块 11. 若AB＝4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有 　 　 个． 12. 如图，⊙M经过点A（﹣3，5），B（1，5），C（4，2），则圆心M的坐标是　 　 ． 13. 已知锐角△ABC中，O是AB的中点，甲、乙二人想在AC上找一点P，使得△ABP的外心为点O，其作法如下．对于甲、乙二人的做法，正确的是（　　） 甲的作法 过点B作与AC垂直的直线，交AC于点P，则P即为所求． 乙的作法 以O为圆心，OA长为半径画弧，交AC于点P，则P即为所求． A．两人都正确 B．只有甲正确 C．只有乙正确 D．两人都不正确 14. 如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝120°，，则⊙O的半径为（　　） A．4 B． C． D． 15. 若等边三角形的外接圆半径为2，则该等边三角形的边长为 ． 16. 如图，已知P为平面上一点，若O是△ABC的内心，也是△BCP的外心，∠BAC＝70°．则∠BPC的度数为 　 ． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为AB的中点，以D为圆心，2为半径作⊙D，则下列说法不正确的是（　　） A．点A在圆外 B．点C在圆上 C．⊙D与直线AC相切 D．⊙D与直线BC相交 18. 如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．平行 19. 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，则r的取值范围是 　 ． 20. Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，则以2.6cm为半径的⊙C与直线AB的位置关系是 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $