2.2 求解一元二次方程 第3课时 公式法 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦北师大版九年级上册“2.2.3 公式法”，核心内容包括求根公式推导、根的判别式与方程根的关系及公式法解题步骤。通过复习配方法步骤及解方程实例，搭建从配方法到公式法的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以严密推理推导求根公式，结合判别式表格归纳与例2（k的取值范围）、例3（不解方程判根）等典例，培养学生推理能力与模型意识。步骤清晰（一化、二定、三求、四判、五代），思考交流环节促进探究，助力学生掌握方法，教师可提升教学效率。

初中数学教学课件 北师大版新版九年级上册 仅供课堂教学使用 1.7.2013 这是我们课件的封面页母版。设计非常简洁，突出课题名称和教材版本。蓝色主标题显得专业稳重，符合教研资料的风格。底部的小字声明了使用范围，显得规范。 ‹#› 教材总览 第二章 一元二次方程 2.2求解一元二次方程 第3课时 公式法 学习目标： 1.推导求根公式，理解判别式 Δ 与方程根的关系 2.熟练用求根公式规范求解任意一元二次方程 3.感受配方法推导公式的转化、建模思想 2.2.3 公式法 1. 用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？ 2.如何用配方法解方程 2x2 + 4x + 1 = 0 ? 复习导入 （1）移常数项； （2）配方[配上 ]； （3）写成 (x + m)2 = n ( n≥0 )； （4）直接开平方法解方程. 复习导入 1.配方法解一元二次方程的步骤： 2.解方程2x2 + 4x + 1 = 0 解：x2 + 2x = ， 即 (x + 1)2 = 复习导入 探究新知 求根公式的推导 1 我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的. 因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0. (a ≠ 0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多. 方程两边都除以 a，得 解： 移项，得 配方，得 你能用配方法解 ax2 + bx + c = 0.(a ≠ 0) 吗？ 思考：对于此等式接下来能用直接开平方解吗？ 不能，对等式的右边进行讨论，当右边大于等于零时才能对其开方！ ∵ a ≠ 0，4a2 ＞ 0， ∴ 当 b2 - 4ac≥0 时， 探究新知 ∴ 当 b2 - 4ac≥0 时，方程才有解。 求根公式： 新知学习 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 你觉得要用公式法解一元二次方程需要注意哪些问题？和同伴一起交流你的想法。 新知学习 用公式法解一元二次方程的前提是： 1. 必须是一般形式的一元二次方程： ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 2. 必须满足 b2 - 4ac≥0 才能代公式计算. 典例精析 例1 解方程: （1）x2-5x-24=0 解：这里 a = 1，b = -5，c = -24， ∵ b2 - 4ac = (-5)2 - 4×1×(-24) = 121 ＞ 0 x= ∴ x1 = 8，x2 = -3 解：将原方程化为一般式： 9x2 - 12x + 4 = 0. 即 （2）9x2 + 4= 12x. 这里 a = 9，b = -12，c = 4， ∵ b2 - 4ac = (-12)2 - 4×9×4 = 0. x= 典例精析 公式法解方程的一般步骤 1. 变形：化已知方程为一般形式； 2. 确定系数：用 a，b，c 写出各项系数； 3. 计算：b2 - 4ac 的值； 4. 判断：若 b2 - 4ac≥0，则利用求根公式得解； 若 b2 - 4ac＜ 0，则方程没有实数根. 归纳小结 16 (1) 你能解一元二次方程 x2 - 2x + 3 = 0 吗？你是怎么想的？与同伴交流。 (2) 对于一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，当 b2 − 4ac＜0 时？它的根的情况是怎样的？与同伴交流. 一元二次方程根的判别式 3 思考.交流 一元二次方程根的判别式 3 思考.交流 （1）∵(x - 1)2 = -2 ∴ 原方程无实数根. (2)当 b2 - 4ac＜0 时， ∴ 此时方程无实数根. 两个不等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的情况可由 b2 − 4ac 来判定，我们把 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根的判别式. 通常用希腊字母“Δ”表示. b2 − 4ac ＞ 0 b2 − 4ac = 0 b2 − 4ac ＜ 0 Δ ≥ 0 归纳总结 判别式的情况 Δ ＞ 0 Δ = 0 Δ ＞ 0 Δ ＜ 0 Δ = 0 Δ ＞ 0 根的情况 19 xiang 根的情况 0 5 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不等的实数根 Δ 填一填 你做上题有何好的方法？和同伴一起分享。 -3 20 例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 2x - 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( ) A. k＞-1 B. k＞-1且 k ≠ 0 C. k＜1 D. k＜1且 k ≠ 0 B 典例精析 21 解析：由题知，方程有两个不相等的实数根， 则 b2 - 4ac＞0，同时要求二次项系数不为 0，即 ，k ≠ 0.解得 k＞-1且 k ≠ 0，故选 B. 典例精析 22 例3不解方程，判断下列方程根的情况 (1)3x2 + 4x－3 = 0； (2)4x2 = 12x－9； (3) 7y = 5(y2 + 1). 典例精析 23 解：(1) 3x2 + 4x - 3 = 0，a = 3，b = 4，c = -3， (2) 方程化为： 4x2 - 12x+9 = 0， ∴b2 - 4ac = 32 - 4×3×(-3) = 52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． ∴b2 - 4ac = (-12)2 - 4×4×9 = 0. ∴方程有两个相等的实数根． 答案剖析 24 (3) 方程化为： 5y2 - 7y + 5 = 0， ∴b2 - 4ac = (-7)2 - 4×5×5 = -51＜0. ∴方程无实数根． 答案剖析 25 1.本节课你收获了哪些新知识？ 2.通过今天的学习你还有哪些疑惑？ 归纳小结 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（求 b2 - 4ac 的值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算） 务必将方程化为一般形式 根的判别式 b2 - 4ac 当堂小结 $