专题08 角 暑假预习讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题08 角 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.角的基础定义（含平角、周角） 2.角的规范四种表示方法 3.度、分、秒60进制换算 4.角的大小比较（度量法、叠合法） 5.角的和差图形运算 6.角平分线定义与几何公式 ✅本节以角的基本概念为基础，依次拓展角的表示方法、度量规则、大小比较、和差运算及角平分线核心性质，知识点层层递进，完整覆盖本课教材全部核心考点 ✺学习目标 1.掌握角的静态与动态定义，明晰平角、周角的概念，能够准确区分平角与直线、周角与射线的本质差异。 2.掌握角的四种规范表示方法，能够根据图形特征合理选择表示方式，规范书写几何符号。 3.掌握度、分、秒的六十进制换算规则，可熟练完成基础单位换算与角度计算。 4.掌握度量法与叠合法，能够规范比较两个角的大小。 5.结合图形中射线的位置关系，准确推导并计算角的和、差关系。 6.理解角平分线的定义与性质，熟练运用标准几何语言完成推理书写。 ✺题型归纳 题型1.角的概念理解 题型2.角的表示方法 题型3.角的分类 题型4.画特殊角 题型5.钟面角 题型6.方向角的表示 题型7.与方向角有关的计算题 题型8.角的单位与角度制 题型9.角的度数大小比较 题型10.角的比较 题型11.三角板中角度计算问题 题型12.几何图形中角度计算问题 题型13.角度的四则运算 题型14.实际问题中角度计算问题 题型15.角平分线的有关计算 题型16.角n等分线的有关计算 题型17.尺规作一个角等于已知角 题型18.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、角的定义 1.静态定义：由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点为角的顶点，两条射线为角的两边。如下图：点O是角的顶点，OA、OB是角的两条边。 2.动态定义：角可以看作一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形。把起始位置的射线叫做始边，终止位置的射线叫做终边。如下图：图中的角可以看作射线OA绕着点O旋转到OB而形成的。 3.特殊角 平角：一条射线绕端点旋转，当终边与始边在同一条直线上、方向相反时，所成的角为平角，1平角=180°。1平角=2直角 周角：一条射线绕端点旋转，当终边与始边完全重合时，所成的角为周角，1周角=360°。1周角=2平角=4直角 核心结论：角的大小只与角的两边张开的程度有关，与角的两边的长短无关。 易错区分：平角是特殊的角，并非直线；周角是特殊的角，并非射线。 知识点二、角的四种表示方法 1.三字母表示法：通用方法，顶点字母居中，如∠AOB，适用于所有角，无使用限制。 2.当同一个顶点处只有一个角时，才可以只用顶点一个字母表示角； 3.数字表示法：角内部标注数字，记作∠1、∠2，多用于复杂图形，简洁直观。 4.希腊字母表示法：角内部标注小写希腊字母，记作∠α、∠β，为几何通用规范。 知识点三、角度单位与换算 ▲角的度量单位为度、分、秒，采用六十进制，是本节核心计算考点。 1.角的度量仪器：量角器。 2.角的度量单位：度、分、秒。 3.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。即1°=60′，1′=60″，1′=，1″=。 换算规则：大单位换小单位乘60，小单位换大单位除以60，逐级换算。 知识点四、角的大小比较 1. 度量法：利用量角器测量出两个角的度数，依据度数数值大小比较角的大小。 2.叠合法：将两个角的顶点重合，一条边重合，通过对比另一条边的位置关系，判定角的大小。 3.角的和差关系：同一顶点的相邻两角具备和差关系：大角可拆分为两个相邻小角之和，两个相邻小角可拼接组成大角，为后续角度加减运算铺垫基础。 知识点五、角平分线 定义：从一个角的顶点出发，引出一条射线，若这条射线将该角分成两个相等的角，则这条射线叫做这个角的平分线。OP即为∠AOB的角平分线。 几何语言： ∵OP平分∠ AOB ∴∠ AOP=∠BOP=∠AOB， ∠AOB=2∠AOP=2∠BOP. 核心要点：角平分线是位于角内部的射线。 知识点六、易错提醒 1.若同一顶点处存在多个角，严禁使用单个大写字母表示角，避免歧义。 2.度、分、秒为六十进制，并非十进制，单位换算与运算需严格遵循进制规则。 3.角的大小仅由两边张开程度决定，与角的两边绘制长短无关联。 4.平角、周角属于特殊的角，不能等同于直线或射线。 5.角平分线的本质是射线，且始终在对应角的内部。 ✺题型精讲 题型1.角的概念理解 1．用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．3：30时，钟面上时针和分针组成的角是________角；_________时整或________时整，时针和分针的夹角是直角． 3．推理能力如图是锐角，以O为端点向内部作1条射线时，图中有多少个角？作2条、3条射线时各有多少个角？作n条射线时有多少个角？ 题型2.角的表示方法 1．如图，下列说法错误的是（     ） A．与表示同一个角 B．与表示同一个角 C．也可以用表示 D．图中共有三个角 2．如图，下列四种说法：①与是同一个角；②也可用来表示；③图中共有三个角：，，；④与是同一个角．其中正确的是________（填序号）． 3．请将下列各角用符号表示出来： 题型3.角的分类 1．一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 2．如图，在锐角的内部依次作射线、和，则图中共有_____________个锐角． 3．任意作一个直角、一个大于的锐角和一个小于120的钝角． 题型4.画特殊角 1．如图，点C在的边上， (1)选择合适的画图工具按要求画图． ①反向延长射线，得到射线； ②画的角平分线； ③在射线上截取； ④在射线上作一点P，使得最小； (2)写出你完成④的作图依据： ． 2．（2019·山东青岛市·七年级期中）作图题：已知：∠α、∠β、   求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β 3．画几个不同的四边形，使每个四边形中都有，，的角，量一量这些四边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？ 题型5.钟面角 1．钟表上2点30分时，时针与分针所夹的角的度数是（   ） A． B． C． D． 2．当时间为下午4点45分，此时时针与分针的夹角为________°． 3．（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成较小角的度数． （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）上午10:10时，时针与分针所成的较小角是多少度？ 题型6.方向角的表示 1．从地图上可以知道南京在小明家北偏东的方向，那么小明家在南京（     ）的方向． A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西 2．如图，射线表示方向是___________． 3．如下图，某轮船上午8：00时位于点A处，测得灯塔S在北偏东的方向上，向东行驶至中午12：00时，该轮船位于点B处，测得灯塔S在北偏西的方向上．请在图中画出灯塔S的位置． 题型7.与方向角有关的计算题 1．如图，甲从点出发向北偏东走到点，乙从点出发向南偏西方向走到点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，是北偏东方向的一条射线，是北偏西方向的一条射线，则的大小是_____． 3．如图，货轮甲从点O处出发，沿北偏东方向（即射线）航行，货轮乙从点O处出发，沿南偏东方向（即射线）航行，灯塔C刚好在货轮乙航行方向的反向延长线上． (1)灯塔C在点O的北偏西________方向上，在图中作出射线； (2)求的度数． 题型8.角的单位与角度制 1．将用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 2．计算：______． 3．计算：． 题型9.角的度数大小比较 1．已知，，，则、、的大小关系为（　　） A．B． C． D． 2．比较大小：（1） _______；（2）_______（选填“”“”“”）． 3．李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到、、在吵架，说：“我是，我应该最大！”说：“我是37.22°，我应该最大！”．也不甘示弱：“我是37.18°，我应该和∠A一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，你知道李老师是怎样评判的吗？ 题型10.角的比较 1．如图，用同一把三角尺比较和的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么_______（填“”、“”或“”）． 3．请根据图回答下列问题． (1)表示成，表示成，表示成，这样的表示方法对不对？如果不对，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)图中共有几个小于平角的角？请列举出来． 题型11.三角板中角度计算问题 1．数学课上，某学习小组在探究“用一副三角尺的角，结合角的和、差运算可以直接画出哪些度数的角？”时发现，如图，将两个直角顶点重合在一起，那么与总是相等的，如果，那么度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将两个直角三角形的直角顶点叠放在一起，若，则的度数为__________． 3．问题情境：如图1将一副三角板（，；，）的直角顶点O叠放在一起，点在一条直线上，其中固定不动，可绕点O顺时针旋转． (1)如图2，当旋转角为时，求的度数． (2)当旋转角小于时，直接写出与的数量关系． (3)在旋转的过程中，与是否始终保持（2）中的数量关系？请说明理由． 题型12.几何图形中角度计算问题 1．如图，和都是直角， ，则图中不等于的角是（      ） A． B． C． D． 2．如图，，，，则__________ 3．如图，点O在直线上，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型13.角度的四则运算 1．下列式子中错误的是（） A． B． C． D． 2．小红测得一个角的度数为，小敏测得一个角的度数为，小红想知道他们测得的两个角的度数之和是________． 3．计算： (1)； (2)． 题型14.实际问题中角度计算问题 1．将一把直尺的一部分和一块三角板按如图所示方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．时钟显示时间为3点45分，此时时针和分针所成较小夹角是______度． 3．已知：如图，，．求证：． 题型15.角平分线的有关计算 1．如图，直线与相交于点O，平分．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，射线平分，若，则_____． 3．如图，O为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数． (2)试判断是否平分，并说明理由． 题型16.角n等分线的有关计算 1．射线是的四等分线，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 2．已知，是内部的一条射线，则有三个角：，若其中一个角是另一个角的两倍时，则_________°． 3．已知如图，． (1)若，则______； (2)如图，，为内部的一条直线，是四等分线，且，求的值； (3)如图，，射线绕着点从开始以度秒的速度逆时针旋转一周至结束，在旋转过程中，设运动的时间为，是四等分线，且，当在某个范围内会为定值，请直接写出定值，并指出对应的范围（本题中的角均为大于且小于的角）． 题型17.尺规作一个角等于已知角 1．如图，尺规作图，作图痕迹中弧是（   ） A．以点为圆心，以长为半径的弧 B．以点为圆心，以长为半径的弧 C．以点为圆心，以长为半径的弧 D．以点为圆心，以长为半径的弧 2．如图，，根据尺规作图的痕迹，的度数为____ 3．如图，已知和． (1)请用尺规在内部作，使得； (2)如图所示，若，平分，且，求的度数． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列说法中正确的是（　　） A．角是由两条射线组成的图形 B．两点之间的线段叫做两点之间的距离 C．如果线段，那么B叫做线段的中点 D．两点确定一条直线 2．两个锐角的和（   ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．可能是锐角、直角或钝角 3．2026年1月20日10时30分，钟表的时针与分针所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，学校A在蕾蕾家B南偏西的方向上，点C表示超市所在的位置，，则超市C在蕾蕾家B的（    ） A．北偏西的方向上 B．南偏东的方向上 C．北偏东的方向上 D．南偏东的方向上 5．若，，，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，用三个大写字母表示所标记的各角． （1）可以表示为_________； （2）可以表示为_________； （3）可以表示为_________． 7．如图，若，，则_____________ （写成度分秒的形式）． 8．如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点．若，则的度数是__________． 9．如图，，是同一平面上的一条射线，若在，，中，有一个角的度数恰好是另一角度数的一半，则的最大值是______ ，最小值是______ ． 10．如图，已知，是的三等分线，射线在内部，且，则的大小等于_____． 三、解答题 11．计算： (1)； (2) 12．角的表示、作图与计算： (1)请用任意一种表示角的方法表示图1的角，表示为___________； (2)已知：，（图2、图3）； 求作：在图3中，以为一边，在的内部作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)在第（2）问的条件下，，，是的角平分线，求的度数． 13．如图，轮船在灯塔的北偏东的方向上，轮船在灯塔的南偏东的方向上． (1)求从灯塔看两轮船的视角（即）为多少度？ (2)若轮船在的角平分线上，通过计算说明轮船在灯塔的什么方位？ 14．（1）如图（），将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起． ①若，则______；若，则________． ②猜想与的度数有何特殊关系，并说明理由． （2）如图（），两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的度数有何关系？请说明理由． 15．新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 角 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.角的基础定义（含平角、周角） 2.角的规范四种表示方法 3.度、分、秒60进制换算 4.角的大小比较（度量法、叠合法） 5.角的和差图形运算 6.角平分线定义与几何公式 ✅本节以角的基本概念为基础，依次拓展角的表示方法、度量规则、大小比较、和差运算及角平分线核心性质，知识点层层递进，完整覆盖本课教材全部核心考点 ✺学习目标 1.掌握角的静态与动态定义，明晰平角、周角的概念，能够准确区分平角与直线、周角与射线的本质差异。 2.掌握角的四种规范表示方法，能够根据图形特征合理选择表示方式，规范书写几何符号。 3.掌握度、分、秒的六十进制换算规则，可熟练完成基础单位换算与角度计算。 4.掌握度量法与叠合法，能够规范比较两个角的大小。 5.结合图形中射线的位置关系，准确推导并计算角的和、差关系。 6.理解角平分线的定义与性质，熟练运用标准几何语言完成推理书写。 ✺题型归纳 题型1.角的概念理解 题型2.角的表示方法 题型3.角的分类 题型4.画特殊角 题型5.钟面角 题型6.方向角的表示 题型7.与方向角有关的计算题 题型8.角的单位与角度制 题型9.角的度数大小比较 题型10.角的比较 题型11.三角板中角度计算问题 题型12.几何图形中角度计算问题 题型13.角度的四则运算 题型14.实际问题中角度计算问题 题型15.角平分线的有关计算 题型16.角n等分线的有关计算 题型17.尺规作一个角等于已知角 题型18.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、角的定义 1.静态定义：由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点为角的顶点，两条射线为角的两边。如下图：点O是角的顶点，OA、OB是角的两条边。 2.动态定义：角可以看作一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形。把起始位置的射线叫做始边，终止位置的射线叫做终边。如下图：图中的角可以看作射线OA绕着点O旋转到OB而形成的。 3.特殊角 平角：一条射线绕端点旋转，当终边与始边在同一条直线上、方向相反时，所成的角为平角，1平角=180°。1平角=2直角。 周角：一条射线绕端点旋转，当终边与始边完全重合时，所成的角为周角，1周角=360°。1周角=2平角=4直角. 核心结论：角的大小只与角的两边张开的程度有关，与角的两边的长短无关。 易错区分：平角是特殊的角，并非直线；周角是特殊的角，并非射线。 知识点二、角的四种表示方法 1.三字母表示法：通用方法，顶点字母居中，如∠AOB，适用于所有角，无使用限制。 2.当同一个顶点处只有一个角时，才可以只用顶点一个字母表示角； 3.数字表示法：角内部标注数字，记作∠1、∠2，多用于复杂图形，简洁直观。 4.希腊字母表示法：角内部标注小写希腊字母，记作∠α、∠β，为几何通用规范。 知识点三、角度单位与换算 ▲角的度量单位为度、分、秒，采用六十进制，是本节核心计算考点。 1.角的度量仪器：量角器。 2.角的度量单位：度、分、秒。 3.角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。即1°=60′，1′=60″，1′=，1″=。 换算规则：大单位换小单位乘60，小单位换大单位除以60，逐级换算。 知识点四、角的大小比较 1. 度量法：利用量角器测量出两个角的度数，依据度数数值大小比较角的大小。 2.叠合法：将两个角的顶点重合，一条边重合，通过对比另一条边的位置关系，判定角的大小。 3.角的和差关系：同一顶点的相邻两角具备和差关系：大角可拆分为两个相邻小角之和，两个相邻小角可拼接组成大角，为后续角度加减运算铺垫基础。 知识点五、角平分线 定义：从一个角的顶点出发，引出一条射线，若这条射线将该角分成两个相等的角，则这条射线叫做这个角的平分线。OP即为∠AOB的角平分线。 几何语言 ∵OP平分∠ AOB ∴∠ AOP=∠BOP=∠AOB， ∠AOB=2∠AOP=2∠BOP. 核心要点：角平分线是位于角内部的射线。 知识点六、易错提醒 1.若同一顶点处存在多个角，严禁使用单个大写字母表示角，避免歧义。 2.度、分、秒为六十进制，并非十进制，单位换算与运算需严格遵循进制规则。 3.角的大小仅由两边张开程度决定，与角的两边绘制长短无关联。 4.平角、周角属于特殊的角，不能等同于直线或射线。 5.角平分线的本质是射线，且始终在对应角的内部。 ✺题型精讲 题型1.角的概念理解 1．用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】角的大小仅由两边张开的程度决定，放大镜仅放大图形的边长，不改变角两边的张开程度，因此角的度数不变． 【详解】解：∵角的大小只与角的两边张开的程度有关，与边的长度无关，放大镜只改变角两边的长度，不改变两边张开程度， ∴用7倍放大镜看的角，看到的角的度数仍为． 2．3：30时，钟面上时针和分针组成的角是________角；_________时整或________时整，时针和分针的夹角是直角． 【答案】 锐 3 9 【分析】根据钟面上各时间时针和分针的位置关系分别解答即可． 【详解】解：3：30时，钟面上时针和分针组成的角是锐角；3时整或9时整，时针和分针的夹角是直角． 3．推理能力如图是锐角，以O为端点向内部作1条射线时，图中有多少个角？作2条、3条射线时各有多少个角？作n条射线时有多少个角？ 【答案】作1条射线时，图中有（个）角；作2条射线时，图中有（个）角；作3条射线时，图中有（个）角；作条射线时，图中有（个）角 【分析】此题考查了角的概念及角的数量统计，根据具体数值得出角的数量变化和射线条数的关系是解题的关键． 根据图①，图②，图③中角的个数找出规律，然后根据这一规律即可得出在内部作条射线时，角的个数． 【详解】解：向内部作1条射线时，图中有（个）角； 向内部作2条射线时，图中有（个）角； 向内部作3条射线时，图中有（个）角；； 向内部作条射线时，图中有（个）角． 题型2.角的表示方法 1．如图，下列说法错误的是（     ） A．与表示同一个角 B．与表示同一个角 C．也可以用表示 D．图中共有三个角 【答案】C 【详解】解：根据题意得：与表示同一个角，与表示同一个角，不可以用表示，一共有三个角，故A，B，D正确，不符合题意；C错误，符合题意． 2．如图，下列四种说法：①与是同一个角；②也可用来表示；③图中共有三个角：，，；④与是同一个角．其中正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了角的概念，准确计算是解题的关键． 直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可． 【详解】解：由图可得，与是同一个角；图中共有三个角：，，；与是同一个角；不可用来表示， ∴①③④正确， 故答案为：①③④． 3．请将下列各角用符号表示出来： 【答案】(或)，(或)，(或)， 【分析】本题主要考查角用符号表示，角的表示有：一个大写英文字母；三个大写英文字母；一个阿拉伯数字；一个希腊字母．根据题干选择三个大写英文字母表示即可． 【详解】解：根据题干可知，或() ，或()，或()． 题型3.角的分类 1．一个锐角加上一个钝角的和一定（    ） A．大于 B．大于平角 C．小于 D．小于平角 【答案】C 【分析】本题考查锐角，钝角，根据锐角小于，钝角小于即可解答． 【详解】解：∵锐角小于，钝角小于， ∴一个锐角加上一个钝角的和一定小于． 故选：C． 2．如图，在锐角的内部依次作射线、和，则图中共有_____________个锐角． 【答案】10/十 【分析】本题考查了角的分类，掌握锐角的定义是解题关键．根据锐角的定义求解即可． 【详解】解：图中的锐角有、、、、、、、、、，共10个， 故答案为：10． 3．任意作一个直角、一个大于的锐角和一个小于120的钝角． 【答案】 如图，是直角，是大于的锐角，一个小于的钝角． 【分析】本题考查角的分类，根据题意，画出相应的角即可． 【详解】解：略． 题型4.画特殊角 1．如图，点C在的边上， (1)选择合适的画图工具按要求画图． ①反向延长射线，得到射线； ②画的角平分线； ③在射线上截取； ④在射线上作一点P，使得最小； (2)写出你完成④的作图依据： ． 【答案】(1) 如图，即为所求的图形； (2)两点之间，线段最短 【分析】本题考查了线段、射线、角平分线的画法，两点之间线段最短，熟练掌握线段、射线、角平分线的画法是解题的关键． （1）①反向延长射线即可；②用量角器画出的角平分线即可；③用圆规截取即可；④连结，与的交点即为所求； （2）根据两点之间线段最短，可知④中的作图正确． 【详解】（1）略 （2）因为两点之间线段最短，所以连结，与的交点P即为所求． 故答案为：两点之间线段最短． 2．（2019·山东青岛市·七年级期中）作图题：已知：∠α、∠β、   求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β 【答案】作图见解析 【分析】利用量角器作∠AOC=∠α，在∠AOC外以OC为边作∠COB=∠β，所以∠AOB=∠α+∠β，即为所求作的角． 【详解】如图所示：（1）作∠AOC=∠α， （2）在∠AOC外以OC为边作∠COB=∠β， 则∠AOB即为所求作的角． 【点睛】本题主要考查了用量角器作角，准确分析作图是解题的关键． 3．画几个不同的四边形，使每个四边形中都有，，的角，量一量这些四边形中另一个角的度数，你能发现什么规律？ 【答案】另外一个角都等于，四边形的内角和等于． 【分析】先画出满足题意角度的四边形ABCD，然后量出最后一个角的度数即可得到答案 【详解】解：如图所示，下图三个四边形即为所求： 通过量角器量最后一个角度可以发现，三幅图中最后一个未知角的度数都是135度，由此可以发现一个四边形的四个角相加的度数=90°+30°+105°+135°=360°， ∴得到的规律为：另外一个角都等于135°，四边形的内角和等于360°． 【点睛】本题主要考查了四边形内角和，解题的关键在于能够正确量出未知角的度数． 题型5.钟面角 1．钟表上2点30分时，时针与分针所夹的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】表盘有12个大格，共，则每一个大格为，当2点30分时，钟表的时针在2点与3点的中间，分针在6点处，共3.5个大格，列式求解即可． 【详解】解：根据题意得，2点30分，钟表的时针与分针所夹的角度为：． 2．当时间为下午4点45分，此时时针与分针的夹角为________°． 【答案】 【分析】先计算时针每小时转动角度与分针每分钟转动角度，再分别计算4点45分时针和分针转过的总角度，作差得到所求夹角． 【详解】解：钟表一周为，共分12个大格，因此时针每小时转动角度为： 分针分钟转动一周，因此分针每分钟转动角度为： 4点分时，分针转过的总角度为 ． 时针转过的总角度为． 时针与分针的夹角为 ． 3．（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成较小角的度数． （2）每经过，时针转过多少度？每经过，分针转过多少度？ （3）上午10:10时，时针与分针所成的较小角是多少度？ 【答案】（1）巴黎：60°；伦敦：30°；北京：120°；东京：90° （2）每经过，时针转过；每经过，分针转过 （3） 【分析】（1）根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案； （2）根据时针小时旋转，可得时针的旋转速度；根据分针分钟旋转，可得分针的旋转角度； （3）根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案． 【详解】解：（1）巴黎时间时针与分针的夹角是； 伦敦时间时针与分针的夹角是； 北京时间时针与分针的夹角是； 东京时间时针与分针的夹角是； ∴巴黎：；伦敦：；北京：；东京：． （2）每经过，时针转过；每经过，分针转过． （3）上午10:10时，此时分针指向时钟刻度“2”，时针指向时钟刻度“10”偏右一点点． 分针与时钟刻度“12”所成的较小角是， 时针与时钟刻度“12”所成的较小角是． 故此时时针与分针所成的较小角是． 【点睛】本题考查了钟面角，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数，确定时针与分针相距的份数是解题关键． 题型6.方向角的表示 1．从地图上可以知道南京在小明家北偏东的方向，那么小明家在南京（     ）的方向． A．南偏东 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西 【答案】B 【分析】根据位置的相对性：方向相反，角度相同，距离相等；南相反就是北，西相反就是东，进行解答即可． 【详解】解：以小明家为观测点时，南京在北偏东方向；当观测点换为南京时，北的相反方向是南，东的相反方向是西，角度保持不变，因此小明家在南京南偏西的方向上． 2．如图，射线表示方向是___________． 【答案】东北方向或北偏东 【分析】此题主要考查了方向角，准确识图，熟练掌握方向角的定义是解决问题的关键． 根据方向角的知识进行作答，即可求解． 【详解】解：射线所指方向为东北方向或北偏东， 故答案为：东北方向或北偏东． 3．如下图，某轮船上午8：00时位于点A处，测得灯塔S在北偏东的方向上，向东行驶至中午12：00时，该轮船位于点B处，测得灯塔S在北偏西的方向上．请在图中画出灯塔S的位置． 【答案】 【分析】本题考查了方向角的定义，正确画出方位角，再结合三角形的内角和的性质求解． 根据方位角的概念，画图正确表示出方位角即可． 【详解】解：灯塔S的位置，如图所示： 题型7.与方向角有关的计算题 1．如图，甲从点出发向北偏东走到点，乙从点出发向南偏西方向走到点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知计算求解即可． 【详解】解：由题意知． 2．如图，是北偏东方向的一条射线，是北偏西方向的一条射线，则的大小是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了方向角，根据题意可得的度数，再由可得答案． 【详解】解：如图所示， ∵是北偏东方向的一条射线，是北偏西方向的一条射线， ∴ ∴， 故答案为：． 3．如图，货轮甲从点O处出发，沿北偏东方向（即射线）航行，货轮乙从点O处出发，沿南偏东方向（即射线）航行，灯塔C刚好在货轮乙航行方向的反向延长线上． (1)灯塔C在点O的北偏西________方向上，在图中作出射线； (2)求的度数． 【答案】(1)50， 如图，射线即为所作， (2) 【分析】本题主要考查方位角的运用，掌握方位角的计算是关键． （1）根据反方向延长线作图即可得到点C的位置，由方位角的计算得到北偏西的角度； （2）根据方位角的计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：50； （2）解：∵， ∴． 题型8.角的单位与角度制 1．将用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查度、分、秒的换算，需利用的换算关系将小数部分的度转换为分即可求解． 【详解】解：； 故选D． 2．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了角度制，角的运算，根据度与分的换算关系，将被减数转化为含分的形式后，再进行减法运算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，利用度减度，分减分，即可得出结果． 【详解】解： ． 题型9.角的度数大小比较 1．已知，，，则、、的大小关系为（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， 且， ∴． 2．比较大小：（1） _______；（2）_______（选填“”“”“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较以及度分秒的换算，熟练掌握两个负数比较大小的法则和度分秒的换算方法是解题的关键． （1）对于两个负数比较大小，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小． （2）先把角度的度分形式统一成度的小数形式，再比较大小． 【详解】解：（1）∵ ，，且 ， ∴ ， 故答案为： ； （2）∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 3．李老师到数学王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到、、在吵架，说：“我是，我应该最大！”说：“我是37.22°，我应该最大！”．也不甘示弱：“我是37.18°，我应该和∠A一样大！”听到这里，李老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，你知道李老师是怎样评判的吗？ 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，关键是统一单位，再进行大小的比较．根据度、分、秒的换算1度分，即，1分秒，即．将，，的单位统一，再进行大小的比较． 【详解】解：∵， ，， ∴，即最大， 题型10.角的比较 1．如图，用同一把三角尺比较和的大小，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较，掌握利用中间角比较角的大小是关键；如图所示，明确与三角尺的的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C ． 2．小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么_______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查角的大小比较，解题的关键是添加适当的辅助线．取格点E，使，作射线，则，然后比较和的大小，根据等量代换，即可作答． 【详解】解：如图，取格点E，使，作射线， 则， ∵， ∴， 故答案为：． 3．请根据图回答下列问题． (1)表示成，表示成，表示成，这样的表示方法对不对？如果不对，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)图中共有几个小于平角的角？请列举出来． 【答案】(1)表示方法不对，表示成，表示成，表示成 (2) (3) 图中小于平角的角有 ∴一共有11个角小于平角． 【分析】（1）（2）根据角的表示方法进行求解即可； （3）只需要表示出小于180度的角即可． 【详解】（1）解：表示成，表示成，表示成，这样的表示方法不对，正确的表示方法为 表示成，表示成，表示成 （2）解：图中可以用一个字母表示的角为 （3）略 【点睛】本题主要考查了角的表示方法，熟知角的表示方法是解题的关键． 题型11.三角板中角度计算问题 1．数学课上，某学习小组在探究“用一副三角尺的角，结合角的和、差运算可以直接画出哪些度数的角？”时发现，如图，将两个直角顶点重合在一起，那么与总是相等的，如果，那么度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的和差关系，进行计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 2．如图，将两个直角三角形的直角顶点叠放在一起，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题考查了角度的计算，首先确定这几个角之间的关系，来求出的度数，再求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．问题情境：如图1将一副三角板（，；，）的直角顶点O叠放在一起，点在一条直线上，其中固定不动，可绕点O顺时针旋转． (1)如图2，当旋转角为时，求的度数． (2)当旋转角小于时，直接写出与的数量关系． (3)在旋转的过程中，与是否始终保持（2）中的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：与始终保持（2）中的数量关系，理由如下： 当在内部时，由（2）知：； 当在内部时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当、都不在内部时，如图， ∵， ∴， 综上，． ∴与始终保持（2）中的数量关系． 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由题意得，先求出的度数，然后求出的度数即可； （2）根据角的和差关系得出，，即可得出结论； （3）分三种情况讨论：在内部；在内部；、都不在内部，根据角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 略 题型12.几何图形中角度计算问题 1．如图，和都是直角， ，则图中不等于的角是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据和都是直角，求出各角的度数进行判断即可． 【详解】解：A. 无法判断大小，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意． 2．如图，，，，则__________ 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 3．如图，点O在直线上，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先得出，再根据可得答案； （2）根据角的比例可得，再根据角的和差可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型13.角度的四则运算 1．下列式子中错误的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的度分秒的换算与加减运算，熟练掌握，的换算关系是解题的关键．本题考查角的度分秒的转换与加减运算，解题思路是利用，的换算关系，对每个选项逐一进行计算，判断其正确性，从而找出错误的式子． 【详解】解：∵，， ∴A选项：，，，故A项正确，不符合题意． B选项：，，故B项错误，符合题意． C选项：，故C项正确，不符合题意． D选项：，，故D项正确，不符合题意． 故选：B． 2．小红测得一个角的度数为，小敏测得一个角的度数为，小红想知道他们测得的两个角的度数之和是________． 【答案】 【详解】解：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查角度计算． （1）先将度、分、秒分别对应相加，再根据度分秒的进制（进制）进行进位处理，得到最终结果； （2）根据度分秒的进制（进制）进行计算即可； 【详解】（1）解：． （2） 解：原式． 题型14.实际问题中角度计算问题 1．将一把直尺的一部分和一块三角板按如图所示方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算等知识．由题意得，根据，即可求出． 【详解】解：如图， 由题意得， 因为， 所以． 故选：B 2．时钟显示时间为3点45分，此时时针和分针所成较小夹角是______度． 【答案】157.5 【分析】本题考查钟表分针所转过的角度计算，利用时针与分针转动的度数关系：分针每分钟转动，时针每分钟转动，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形． 【详解】解：在3点45分时，时针所在位置与指向12时的角度为， 分针与指向12时的角度为， 两针角度差为， 由于，故较小夹角为． 故答案为：157.5 3．已知：如图，，．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴，． 又∵，， ∴． 【分析】本题主要考查了角度和差， 先通过角度和差关系得到，，进而可得证． 【详解】略 题型15.角平分线的有关计算 1．如图，直线与相交于点O，平分．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】角平分线的定义求出的度数，平角的定义求出的度数． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴． 2．如图，射线平分，若，则_____． 【答案】/70度 【分析】根据角平分线的定义得到，求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴． 3．如图，O为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数． (2)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由如下 ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴平分． 【分析】（1）利用角平分线的定义可得，从而求出的度数； （2）运用角的和差关系求得，从而得到平分． 【详解】（1）∵，平分 ∴ ∴； （3） 略 题型16.角n等分线的有关计算 1．射线是的四等分线，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是的四等分线，将角均分为四份，是其中的2份，即可求解． 【详解】解：∵射线是的四等分线，， ∴， ∴， 故选：B． 2．已知，是内部的一条射线，则有三个角：，若其中一个角是另一个角的两倍时，则_________°． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，根据题意可分四种情况：①；②；③；④，根据角之间的关系讨论求解即可． 【详解】解：当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或； 故答案为：或或． 3．已知如图，． (1)若，则______； (2)如图，，为内部的一条直线，是四等分线，且，求的值； (3)如图，，射线绕着点从开始以度秒的速度逆时针旋转一周至结束，在旋转过程中，设运动的时间为，是四等分线，且，当在某个范围内会为定值，请直接写出定值，并指出对应的范围（本题中的角均为大于且小于的角）． 【答案】(1)或 (2) (3)时，或时，，是定值． 【分析】本题考查了角的和差倍分运算，正确分类并画出图形是关键． （1）分两种情况：射线在内部；射线在外部，且在射线上方；即可计算； （2）设，易得，，进而可表示出及，即可求得的度数；　 （3）记转过的角度为，分四种情况：①当时，此时，；②当时，此时；③当时，且在外时，此时；④当时，且在内部或与重合时，此时；利用角的和差倍关系，用表示出有关角的度数，再求的结果即可． 【详解】（1）解：射线在内部时，如图； 因为， 所以， l； 当射线在外部，且在射线上方时，如图； 因为， 所以， 所以； 综上，为或； （2）解： 设， ∵是的四等分线，且， 所以，， 又， 所以， 所以， 所以， 即． （3）解：记转过的角度为，分四种情况讨论： ①当时，此时，，如图， 由题意， 所以， 因为是四等分线，且， 所以 ， 所以． 所以当时，，是定值． ②当时，此时，如图， 由题意， 则 ， 因为是四等分线，且， 所以 ， 所以． 所以当时，不是定值． ③当时，且在外时，此时，如图， 由题意， 所以 ， 因为是四等分线，且， 所以 ， 所以， 所以当时，不是定值． ④当时，且在内部或与重合时，此时，如图， 由题意， 所以， 所以 ， 所以， 所以时，为定值． 综上所述：时，或时，，是定值． 题型17.尺规作一个角等于已知角 1．如图，尺规作图，作图痕迹中弧是（   ） A．以点为圆心，以长为半径的弧 B．以点为圆心，以长为半径的弧 C．以点为圆心，以长为半径的弧 D．以点为圆心，以长为半径的弧 【答案】D 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角， 先以点B为圆心，以为半径画弧，交于点D，E，再以点F为圆心，以为半径画弧，交于点G，然后以点G为圆心，以为半径画弧，交前弧于点H，作射线，则，可得答案． 【详解】解：作图痕迹中弧是以点G为圆心，以为半径画弧． 故选：D． 2．如图，，根据尺规作图的痕迹，的度数为____ 【答案】 【分析】本题考查尺规作图的原理，角的和差计算，理解尺规作图的痕迹是解题关键． 根据尺规作图痕迹可知，再根据进行计算即可． 【详解】解：根据作图痕迹可知，是通过两次作等于的角得到的， 则． 故答案为：． 3．如图，已知和． (1)请用尺规在内部作，使得； (2)如图所示，若，平分，且，求的度数． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 【分析】（1）先在上作，再以点为圆心，以为半径画弧，然后以点为圆心，以为半径画弧，交于点，作射线，则为所求作的角； （2）先求出，即可得出，再根据角平分线的定义求出，最后根据得出答案． 【详解】（1） 略 （2）解：∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列说法中正确的是（　　） A．角是由两条射线组成的图形 B．两点之间的线段叫做两点之间的距离 C．如果线段，那么B叫做线段的中点 D．两点确定一条直线 【答案】D 【详解】解：A、∵角是有公共端点的两条射线组成的图形，A选项未提及公共端点，∴A错误； B、∵两点之间线段的长度叫做两点之间的距离，不是线段本身，∴B错误； C、∵只有当A、B、C三点共线，且时，B才是线段的中点，选项未说明三点共线，因此不一定是线段的中点，∴C错误； D、∵直线的基本事实为两点确定一条直线，∴D正确． 2．两个锐角的和（   ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．可能是锐角、直角或钝角 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，角的定义． 两个锐角的和可能小于、等于或大于但小于，因此可能是锐角、直角或钝角． 【详解】解：设两个锐角分别为和，其中，， 则它们的和满足， ∴两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角． 故选：D． 3．2026年1月20日10时30分，钟表的时针与分针所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 钟表一圈为，分针分钟转一圈， ∴ 分针每分钟转， ∵ 时针小时转一圈， ∴ 时针每分钟转， 10时30分，分针从12点位置转过的角度为， 时针从12点位置转过的角度为， ∴ 时针与分针的夹角为． 4．如图，学校A在蕾蕾家B南偏西的方向上，点C表示超市所在的位置，，则超市C在蕾蕾家B的（    ） A．北偏西的方向上 B．南偏东的方向上 C．北偏东的方向上 D．南偏东的方向上 【答案】D 【分析】首先求出，然后根据方向角的表示方法求解． 【详解】解：如图， ∵学校A在蕾蕾家B南偏西的方向上，， ∴ ∴超市C在蕾蕾家B的南偏东的方向上． 5．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需将三个角统一单位后比较大小，利用角度单位换算：，，把的度数换算成度分秒形式，再与、比较． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ 即 故选：B． 二、填空题 6．如图，用三个大写字母表示所标记的各角． （1）可以表示为_________； （2）可以表示为_________； （3）可以表示为_________． 【答案】 （或） （或） （或） 【分析】本题考查角的表示，根据角的表示方法直接求解即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：（1）可以表示为或； （2）可以表示为或； （3）可以表示为或； 故答案为：（1）（或）；（2）（或）；（3）（或）． 7．如图，若，，则_____________ （写成度分秒的形式）． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，关键是要掌握角的计算． 根据，，，求出即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ， 故答案为：． 8．如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点．若，则的度数是__________． 【答案】 【分析】本题考查三角板中的角度计算问题．根据图中角的和差关系得求解即可． 【详解】解：由题意知， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，，是同一平面上的一条射线，若在，，中，有一个角的度数恰好是另一角度数的一半，则的最大值是______ ，最小值是______ ． 【答案】 /90度 /10度 【分析】分在的外部和内部两种情况，结合题意分析计算即可． 【详解】解：如图：当在的外部且时，最大： ， ， ； 如图：当在的内部且时，最小： ， 10．如图，已知，是的三等分线，射线在内部，且，则的大小等于_____． 【答案】或或 【分析】本题考查了角的和差计算，理解图示，掌握角的三等分线的定义，角和差计算方法是解题的关键． 根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵，是的三等分线， ∴每一份是， 如图所示，， ∴； 如图所示，， ∴； 如图所示，， ∴， ∴； 如图所示，， ∴， ∴； 故答案为：或或 ． 三、解答题 11．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角度的四则运算，熟练掌握运算法则和正确进行度、分、秒之间的换算是解题的关键． （1）根据度分秒的减法法则计算即可求解； （2）根据度分秒的乘法和加法法则计算即可求解； 【详解】（1）解： （2）解：． 12．角的表示、作图与计算： (1)请用任意一种表示角的方法表示图1的角，表示为___________； (2)已知：，（图2、图3）； 求作：在图3中，以为一边，在的内部作（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)在第（2）问的条件下，，，是的角平分线，求的度数． 【答案】(1)（或或） (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了基本作图，作一个角等于已知角，角平分线的有关计算， （1）根据角的表示方法表示图1的角，即可求解． （2）根据题意，以为一边，在的内部作即可； （3）先根据角的和差关系得出，再根据角平分线的定义求得，进而根据即可求解． 【详解】（1）解：图1的角，表示为（或或） 故答案为：（或或）． （2）解：如图所示： 就是所求的角． （3）解：如图， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴ ∴． 13．如图，轮船在灯塔的北偏东的方向上，轮船在灯塔的南偏东的方向上． (1)求从灯塔看两轮船的视角（即）为多少度？ (2)若轮船在的角平分线上，通过计算说明轮船在灯塔的什么方位？ 【答案】(1) (2)北偏东的方向 【分析】本题考查方位角的概念，角的和差计算，角平分线的定义，准确转换方位角是解题关键． （1）利用南北方向线构建平角，通过平角减去两个已知方位角，直接求出两轮船间的视角； （2）先由角平分线求出平分后的角，再与已知的北偏东角度相加，从而确定新的方位角． 【详解】（1）解：由题可知：，， 故． 答：． （2）解：由（1）可得：， 平分， ， ． 答：轮船在灯塔的北偏东的方向上． 14．（1）如图（），将两块直角三角尺的直角顶点叠放在一起． ①若，则______；若，则________． ②猜想与的度数有何特殊关系，并说明理由． （2）如图（），两个同样的三角尺锐角的顶点重合在一起，则与的度数有何关系？请说明理由． 【答案】 （1）①，60 ②解：与的度数关系为，理由如下： 根据题意，得， ∵， ∴， ∴． （2）解：与的度数关系为：．理由如下： 根据题意，得， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了三角板有关的角的和差，熟练掌握计算是解题的关键． （1）①根据题意，得，分别代入计算即可． ②根据题意，得，结合，计算得到． （2）根据题意，得，结合，得到，解答即可． 【详解】（1）①解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴时，； ∴时，， 故答案为：，60． ② 略 （2） 略 15．新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“相伴角”；例如，，则与互为“相伴角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图，如果，与互为“相伴角”，则________； 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“相伴角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒由，，三条射线形成的角中是否有两个角互为“相伴角”？ 【答案】（1）；（2）或；（3）有． 【分析】本题考查新定义的角度关系、角平分线，找到新定义的角度关系是解题的关键． （1）根据新定义，找到角度关系，求解即可； （2）分情况讨论与的位置关系，画出图象，求解即可； （3）分情况讨论与的位置关系，画出图象，根据新定义列出各个角度关于时间的一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1），与互为“相伴角”， ， ， ， ； （2）如图，当在上方时， OM平分角， ， 根据题意得， ， ， ， 当在下方时， 平分角， ， 根据题意得， ， ， 综上所述，为或； （3）已知，射线以每秒顺时针旋转，射线以每秒逆时针旋转， 当秒时：，， 则，， 三条射线形成的角为，，，验证两角和是否为，如下： ，， 因此当时，由，，三条射线形成的角中与互为“相伴角”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $