第1章 三角形 单元复习讲义（核心知识+7易错辨析+15典例精讲） 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

该初中数学三角形单元复习讲义通过分类框架与对比表格系统构建知识体系，将三角形的概念分类、三边关系、重要线段（高、中线、角平分线）、全等判定及等腰等边三角形性质等核心知识模块化呈现，用表格清晰对比高、中线、角平分线的定义与性质，辅以易错点辨析（如钝角三角形高的位置、SSA不能判定全等），形成完整知识脉络。 讲义亮点在于“典例精讲+模型拓展”的分层设计，15道典例覆盖全等三角形判定（如HL定理应用）、等腰三角形三线合一等基础题型，融入倍长中线、旋转模型等拓展内容，通过分类讨论（等腰三角形边长计算）、方程思想（角度求解）培养推理意识与模型意识。配套小测包含选择、填空、解答题，基础题巩固知识，综合题提升思维，助力学生自主复习时精准突破薄弱点，也为教师实施分层教学提供清晰抓手。

第1章 三角形 单元复习+小测 （核心知识+7易错辨析+15典例精讲） 【知识点01】三角形的概念与分类 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。 分类 （1）按边分类 不等边三角形（三边互不相等） 等腰三角形（包含：底边与腰不相等的等腰三角形、等边三角形） 备注：等边三角形是特殊的等腰三角形。 （2）按角分类 锐角三角形：三个内角都是锐角 直角三角形：有一个内角是直角，记作Rt△，直角对的边为最长边（斜边） 钝角三角形：有一个内角是钝角 【知识点02】三角形三边关系 核心定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 若三角形三边长为a、b、c，则等价取值范围： 快速判断技巧：将三条线段从小到大排序，只需验证较短两条线段的和大于最长线段，即可构成三角形。 关键注意：必须是“大于”，不能等于，两边之和等于第三边时，三点共线，无法构成三角形。 【知识点03】三角形的三条重要线段 三角形的高、中线、角平分线均为线段（非直线、射线），是本章作图与计算核心考点。 线段类型 定义 核心性质 高 从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段 1. 锐角三角形三条高均在内部，交于一点（垂心）；2. 直角三角形两条高与直角边重合；3. 钝角三角形两条高在三角形外部；4. 三条高所在直线必交于一点。 中线 连接三角形一个顶点和对边中点的线段 1. 三条中线交于三角形内部一点（重心）；2. 中线平分三角形面积，将三角形分成两个面积相等的小三角形。 角平分线 三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段 1. 三条角平分线交于三角形内部一点（内心）；2. 内心到三角形三边的距离相等。 【知识点04】全等三角形 1. 全等定义 能够完全重合的两个三角形为全等三角形，重合的顶点、边、角分别为对应顶点、对应边、对应角。 2. 全等性质 若，则：对应边相等、对应角相等；对应中线、高、角平分线相等；周长相等、面积相等。 易错警示：周长相等或面积相等的三角形，不一定全等。 3. 全等判定定理（5个必考） ① SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等 ② SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等（核心：必须是夹角，SSA无法判定全等） ③ ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等 ④ AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等 ⑤ HL（斜边直角边）：仅限直角三角形，斜边和一条直角边对应相等 无效判定：SSA、AAA 不能判定三角形全等 【知识点05】线段的垂直平分线（中垂线） （1）定义 垂直且平分一条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。 （2）性质定理 线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等。 符号语言：若直线垂直平分，点在上，则。 （3）判定定理（逆定理） 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 符号语言：若，则点在线段的垂直平分线上。 （4）重要结论 三角形三边垂直平分线交于一点（外心），外心到三角形三个顶点的距离相等。 （5）尺规作图 以线段两端点为圆心、大于线段一半长度为半径画弧，上下弧分别交于两点，过两点作直线即为垂直平分线。 【知识点06】角平分线 （1）性质定理 角平分线上的点，到角两边的垂线段距离相等。 符号语言：若平分，，，则。 （2）判定定理（逆定理） 角的内部，到角两边垂线段距离相等的点，在这个角的平分线上。 （3）重要结论 三角形三条角平分线交于一点（内心），内心到三角形三边的距离相等。 （4）高频易错辨析 垂直平分线：点到线段两端点距离相等（点对点距离）； 角平分线：点到角两边直线距离相等（点对直线距离，必须垂直）。 【知识点07】等腰三角形与等边三角形 1. 等腰三角形 （1）定义 有两条边相等的三角形为等腰三角形，相等的边为腰，第三条边为底边；两腰夹角为顶角，腰与底边夹角为底角。 （2）核心性质 等边对等角：同一三角形中，两腰相等则两底角相等。 符号语言： 三线合一（必考重点）：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（知一推二）。 适用范围：仅针对顶角、底边，腰上的高、中线不适用此性质。 （3）判定定理 等角对等边：同一三角形中，两个角相等，则对应对边相等。 符号语言： 2. 等边三角形 （1）定义 三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 （2）性质 三边相等，三个内角均为；具备三线合一性质，有3条对称轴。 （3）判定方法 ① 三边相等的三角形；② 三角相等的三角形；③ 有一个角是的等腰三角形。 3. 拓展：直角三角形斜边中线定理 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 符号语言：中，，为中点，则。 易错1：三角形三边关系判断片面 ❌ 错误认知：只需验证一组两边之和大于第三边即可构成三角形。 ✅ 正确方法：先将三边长度排序，仅验证最短两边之和＞最长边；严格区分“＞”和“≥”，相等时无法构成三角形。 举例：长度3、4、7的线段，3+4=7，不满足条件，不能构成三角形。 易错2：混淆三角形高的位置 ❌ 误区：所有三角形的高都在三角形内部。 ✅ 正确结论：只有锐角三角形三条高全在内部；直角三角形两条高与直角边重合；钝角三角形有两条高在三角形外部，作图需先延长对边再作垂线。 易错3：外角定理使用错误 ❌ 误区：外角等于三角形任意两个内角的和，包含相邻内角。 ✅ 核心要点：外角仅等于与它不相邻的两个内角之和，绝对不能加上相邻的内角。 易错4：等腰三角形求值忽略分类讨论与三边关系检验 典型考题：等腰三角形两边长为4和9，求周长。 ❌ 错解：分4、4、9和4、9、9两种情况，得出周长17或22。 ✅ 正解：分类后必须检验三边关系，4+4＜9，4、4、9无法构成三角形，仅周长22符合条件。 解题口诀：等腰边长计算，先分类，后检验，舍去不合理的情况。 易错5：基础概念混淆 1. 三角形的高、中线、角平分线都是线段，不是直线或射线； 2. 等边三角形属于特殊的等腰三角形，分类做题时不可并列区分； 3. 直角三角形中，斜边是最长边。 易错6：多边形内外角和概念混淆 ❌ 误区：多边形边数越多，外角和越大。 ✅ 正确结论：任意凸多边形外角和固定为360°；内角和随边数增加而增大。 易错7：三角形面积认知误区 ✅ 核心结论：三角形的中线可将其分成两个面积相等的小三角形；同底等高、同高等底的三角形面积相等。 【题型一】三角形中的线段和角 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知一个三角形的两边长为4和9，则第三边长不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（   ） A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，3，6 D．2，3，7 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的中线，E是上的一点，连接，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，分别是、的中线．若，则________． 5．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）在中，，则________．（填“”、“”或“”） 6．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，，分别为的中线和高线，的面积为6，，则的长为__________． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)连接，则五边形的面积为__________. 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上． (1)将绕点逆时针旋转得到，画出； (2)连接，，求四边形的面积． 9．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，作的高； (2)在图2中，在边上求作一点，使得与的面积相等． 【题型二】全等三角形 10．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，点在一条直线上，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列各组的两个图形属于全等形的是（   ） A．B． C． D． 12．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，点、、、在同一条直线上，，，，则的长为______． 13．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，、是边、上的两个动点，于点于点．设点、运动的时间是秒．若点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回到点停止运动；点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后停止运动，当__________秒时，和全等．    14．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，若已知每一个小正方形的边长为，的顶点、、都在小正方形的顶点上． (1)的面积为______； (2)在方格纸上画出一个格点三角形，使其与全等且有一个公共顶点； (3)画，使它与关于l对称． 15．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)三角形的面积为______； (3)以为边作与全等的三角形，则可作出______个三角形与全等； 【题型三】SAS判定三角形全等 16．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，已知，，与交于点D，则对于下列结论：①；②；③D在的平分线上．其中正确的是 （    ） A．① B．② C．①和② D．①②③ 17．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在四边形中，，是对角线的中点，连接并延长交于点，若，，则的面积为_______． 18．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形中，，，，是中点，与相交于点，连接． (1)判断线段与关系，并说明理由； (2)若，求面积． 【题型四】ASA(AAS)判定三角形全等 19．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（   ） A．① B．② C．③ D．三块任选一块都可以 20．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离，分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 21．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为______． 22．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，某人将一块三角形玻璃打碎成三块，带第_______块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃． 23．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，D是的边上一点，，交于点E，． (1)求证：． (2)若，求的长． 24．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【题型五】SSS判定三角形全等 25．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段检测）没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线，下面的画法（   ） （1）利用刻度尺在的两边上，分别取；（2）连接，利用刻度尺画出的中点E；（3）画射线，所以射线为的角平分线． A．利用了 B．利用了 C．利用了 D．利用了 26．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，由4个小正方形组成的田字格中，的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与全等的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有__________个， 27．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【题型六】HL判定三角形全等 28．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，用三角尺按如下方法画角平分线：在、上分别取点M、N，使，再分别过点M，N作、的垂线，交点为P，画射线，则平分，其作图原理是：，这样就有，则这两个三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 29．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，点在上，，交于点，的周长为，的周长为，则的长为（  ） A． B． C． D． 30．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在的斜边上截取，过点作交于点．若，，则的长为_____． 31．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，判定的方法是_____ ． 32．如图，，相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 33．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，于点，于点．，．求证：． 【题型七】添加条件使三角形全等 34．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）在与中，下列条件能判断与全等的个数是（　　） ①，，；②，，；③，，；④，，． A． B． C． D． 35．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，点、在线段上，，，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 36．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是____________． 37．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，，相交于点O，连接，，如果，要使，还需添加的一个条件是_________． 38．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，若要使，需添加一个条件，请从“条件：”，“条件：”，“条件：”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程． 39．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，点B、E、F、C在同一条直线上，且． (1)请你添加一个条件，使，你添加的条件是 ． (2)添加条件后，请证明． 【题型八】灵活选用判定方法证全等 40．（25-26八年级上·江苏·期末）全等三角形的判定是几何证明的基础，下列各组条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 41．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）根据下列条件，能画出唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 42．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 _____ 块． 43．（23-24八年级上·江苏常州·阶段检测）操作题，根据下列要求画图，并在图中相应位置标明数据． 已知一个三角形的两边长分别是1cm和2cm，一个内角为．    (1)请你借助图画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在下图画这样的三角形；若不能，请说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°，”那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个？画出满足条件的图形．（在图上把符合条件的图形用黑色笔画出来） 【题型九】倍长中线模型 44．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（   ） A．3 B．2 C．1.5 D． 45．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是_________． 46．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段检测）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（  ） A．           B．            C．             D． （2）求得的取值范围是（  ） A．      B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证： 47．（25-26八年级上·江苏·寒假作业）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答： （1）小红证明的判定定理是：______． （2）的取值范围是______． 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，交于点F，若，则“燕尾”四边形的面积为______． 【题型十】全等三角形综合问题 48．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）下列条件中，能判断两个三角形全等的是（   ） A．两个面积相等的等腰三角形 B．两边及第三边上的中线对应相等 C．两边相等的直角三角形 D．两边及第三边上的高线对应相等 49．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段检测）在如图的小正方形组成的网格中，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，图中能画出（   ）个与全等的格点三角形（不含）． A．3 B．4 C．7 D．8 50．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，点C在的延长线上，，，则图中共有______对全等三角形．    51．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，A，B分别是线段上的点，，． (1)求证：； (2)连接，则图中共有______对全等三角形． 52．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）在学习“关于三角形全等的条件”时，我们知道“两边和一角分别相等”包括两种情况：如果这个角是两边的夹角，那么可以通过“”判定两个三角形全等；如果这个角是其中一组等边的对角，那么这两个三角形不一定全等．小明学完之后有个疑惑，“不一定全等”究竟怎么判别呢？聪明的你请给小明做出解释：什么情况下可以全等，并给出证明；什么情况下不能全等，并画出反例． 【题型十一】线段垂直平分线的性质与判定 53．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，分别是的边、的垂直平分线，若，，则的周长是多少（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 54．（24-25八年级上·河北唐山·阶段检测）有下列命题：①线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端的距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点在线段外且，过点作直线，则是线段的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．其中正确的是___________（填序号）． 55．（25-26八年级上·江苏南通·期末）下面是小明“作等腰三角形底边上的中线”的尺规作图过程． 已知：如图，在中，． 求作：等腰三角形边上的中线． 作法： 分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； 作直线交于点； 所以就是所求作的等腰三角形边上的中线． 根据小明的尺规作图过程，解决下面的问题： (1)使用没有刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)证明：是的中点． 56．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若的周长为，求的长； (2)试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【题型十二】角平分线的性质定理与判定定理 57．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连结，作 的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（     ）    A． B． C． D． 58．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，，，点是中点，点分别是边上的动点，且不与端点重合，作和的角平分线交于点，则的最小值为______． 59．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，，是的中点，平分，若，则_______． 60．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，证明的外角的平分线的交点在的平分线上． 【题型十三】旋转模型 61．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为BC边上一点，CD＝1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 62．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）阅读理解：“分割、拼凑法”是几何证明中常用的方法．苏科版八上数学第一章《全等三角形》中，有以下两道题，其中将问题1中的图1分割成两个全等三角形，而问题2是“HL定理”的证明，却将图2两个直角三角形拼成了一个等腰三角形图3． 请按照上面的思路，补全问题1、2的解答： (1)问题1： 已知：如图1，在中，．求证：． (2)问题2： 如图2，在和中，，；把两个直角三角形如图3所示拼在一起．求证：是等腰三角形； (3)问题3：如图4，中，，四边形是正方形，．求阴影部分的面积和． 63．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段检测）【基础巩固】 在中，，，点是平面内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，； （1）如图1，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，当A、D、E三点在同一条直线上时，求的大小； 【拓展提高】 （3）如图3，与交于点，点为的中点，交于点，连接，若，且为18，求的长． 【题型十四】等腰三角形的性质和判定 64．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，点在的角平分线上，于点，．若，，则的面积等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 65．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，为的角平分线，，于，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 66．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，，点是的中点，过点作交于点，，则的长度为__________． 67．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在等腰中，，，的垂直平分线分别交于点E、D． (1)请用直尺和圆规在图中作出直线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 68．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，的角平分线交于点． (1)是等腰三角形吗？为什么？ (2)连接，是的垂直平分线吗？为什么？ 【题型十五】等边三角形的判定和性质 69．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，点为边的中点，于，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 70．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知，在射线上取一点，且，以点为顶点作，将绕点旋转，的两边分别与射线相交于点，连接，线段与线段的交点记为，以下4个结论：①是等腰三角形；②当点为中点时，是等边三角形；③当时，；④在旋转过程中，四边形的面积始终不发生改变．其中结论正确的有（   ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 71．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为______． 72．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法正确的是______．（填写序号） ①的垂直平分线一定与相交于点 ② ③当为中点时，是等边三角形 ④当为中点时， 73．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求的周长． 74．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，垂直平分交、于点、，点在上，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 1. 核心工具：本章所有题型围绕两大核心展开——三角形三边关系、内角和与外角定理，是边长取值、角度计算、图形存在性判断的基础。 2. 重点模块：熟练掌握三角形高、中线、角平分线的定义与性质，重点突破钝角三角形高线作图、中线等分面积两大高频考点。 3. 核心解题思想 分类讨论思想：不确定三角形形状、等腰三角形边长/角度未知时，必须分类讨论； 方程思想：角度计算题型，常设未知角度为x，利用内角和、外角定理列方程求解。 4. 高频拓展模型：飞镖模型、8字形模型，是考试角度快速计算的常用拓展方法。 5. 答题易错提醒：求三角形边长、周长时，务必最后检验三边关系；区分内角与外角，避免概念误用。 一、单选题 1．如图点B，C，D在同一直线上．若，，，则等于（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，的三个顶点分别在正方形网格的3个格点上．若在网格图中的格点上有一点（不与点，，重合），使得与全等，则这样的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 4．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，D为中点，则线段的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在中，D是边上的中点，，，连接交于点P，则的值为（　　）    A． B． C． D． 7．已知：如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点运动，当点运动（    ）秒时，和全等． A．2 B．2或6 C．2或14 D．6或14 8．如图，在四边形中，，连接、相交于点，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，，连接交于F，连接．结论：①；②；③；④ 平分．正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，延长分别交，于点，，连接．下列结论：；；；，其中正确的是：（    ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 11．如图，已知点B，C，F，E在同一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是___________．（答案不唯一）．（只需写出一个） 12．如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则______． 13．已知中，，是边上的高，，那么的度数是____． 14．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，，，垂足分别为E，F．已知，，则______． 15．如图，已知平分，平分，，，下面四个结论：①平分；②；③；④其中正确的是______．（填序号） 16．如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 _____________． 17．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③ACN≌ABM；④CD＝DN．其中符合题意结论的序号是_____． 18．如图，中，，的垂直平分线交于点，交边于点，若，则的周长为______． 19．如图，中，，，是边上的中线，，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为____________． 三、解答题 20．已知a，b，c是一个三角形的三边长． (1)若，则的取值范围是___________． (2)化简：． 21．小强为了测量一幢高楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点．测得在点观察旗杆顶端的视线与地面的夹角，测得在点观察楼顶的视线与地面的夹角，量得到楼底的距离与旗杆的高度相等，均为米，量得旗杆与楼之间的距离为米，如图，小强计算出了楼高，楼高是多少米．    22．请从①；②这两个条件中任意选择其中一个，补充在下面的横线上，并作答． 已知：如图，点在同一条直线上，且，_____________． 求证：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 23．如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． (1)求证：； (2)连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 24．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，在边上找一点，使得； (2)如图2，在边上求作点，使点到点的距离与点到的距离相等． 25．如图1，在中，两个内角和的平分线交于点，连接，于点，于点． (1)求证：平分； (2)如图2，延长至点，使，若，，求的度数． 26．定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图2，和是共边直角三角形，E、F分别是、的中点，连接，求证：． (3)拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分． 27．如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． (1)点运动几秒时，两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形 单元复习+小测 （核心知识+7易错辨析+15典例精讲） 【知识点01】三角形的概念与分类 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。 分类 （1）按边分类 不等边三角形（三边互不相等） 等腰三角形（包含：底边与腰不相等的等腰三角形、等边三角形） 备注：等边三角形是特殊的等腰三角形。 （2）按角分类 锐角三角形：三个内角都是锐角 直角三角形：有一个内角是直角，记作Rt△，直角对的边为最长边（斜边） 钝角三角形：有一个内角是钝角 【知识点02】三角形三边关系 核心定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 若三角形三边长为a、b、c，则等价取值范围： 快速判断技巧：将三条线段从小到大排序，只需验证较短两条线段的和大于最长线段，即可构成三角形。 关键注意：必须是“大于”，不能等于，两边之和等于第三边时，三点共线，无法构成三角形。 【知识点03】三角形的三条重要线段 三角形的高、中线、角平分线均为线段（非直线、射线），是本章作图与计算核心考点。 线段类型 定义 核心性质 高 从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段 1. 锐角三角形三条高均在内部，交于一点（垂心）；2. 直角三角形两条高与直角边重合；3. 钝角三角形两条高在三角形外部；4. 三条高所在直线必交于一点。 中线 连接三角形一个顶点和对边中点的线段 1. 三条中线交于三角形内部一点（重心）；2. 中线平分三角形面积，将三角形分成两个面积相等的小三角形。 角平分线 三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段 1. 三条角平分线交于三角形内部一点（内心）；2. 内心到三角形三边的距离相等。 【知识点04】全等三角形 1. 全等定义 能够完全重合的两个三角形为全等三角形，重合的顶点、边、角分别为对应顶点、对应边、对应角。 2. 全等性质 若，则：对应边相等、对应角相等；对应中线、高、角平分线相等；周长相等、面积相等。 易错警示：周长相等或面积相等的三角形，不一定全等。 3. 全等判定定理（5个必考） ① SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等 ② SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等（核心：必须是夹角，SSA无法判定全等） ③ ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等 ④ AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等 ⑤ HL（斜边直角边）：仅限直角三角形，斜边和一条直角边对应相等 无效判定：SSA、AAA 不能判定三角形全等 【知识点05】线段的垂直平分线（中垂线） （1）定义 垂直且平分一条线段的直线，叫做线段的垂直平分线。 （2）性质定理 线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等。 符号语言：若直线垂直平分，点在上，则。 （3）判定定理（逆定理） 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 符号语言：若，则点在线段的垂直平分线上。 （4）重要结论 三角形三边垂直平分线交于一点（外心），外心到三角形三个顶点的距离相等。 （5）尺规作图 以线段两端点为圆心、大于线段一半长度为半径画弧，上下弧分别交于两点，过两点作直线即为垂直平分线。 【知识点06】角平分线 （1）性质定理 角平分线上的点，到角两边的垂线段距离相等。 符号语言：若平分，，，则。 （2）判定定理（逆定理） 角的内部，到角两边垂线段距离相等的点，在这个角的平分线上。 （3）重要结论 三角形三条角平分线交于一点（内心），内心到三角形三边的距离相等。 （4）高频易错辨析 垂直平分线：点到线段两端点距离相等（点对点距离）； 角平分线：点到角两边直线距离相等（点对直线距离，必须垂直）。 【知识点07】等腰三角形与等边三角形 1. 等腰三角形 （1）定义 有两条边相等的三角形为等腰三角形，相等的边为腰，第三条边为底边；两腰夹角为顶角，腰与底边夹角为底角。 （2）核心性质 等边对等角：同一三角形中，两腰相等则两底角相等。 符号语言： 三线合一（必考重点）：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（知一推二）。 适用范围：仅针对顶角、底边，腰上的高、中线不适用此性质。 （3）判定定理 等角对等边：同一三角形中，两个角相等，则对应对边相等。 符号语言： 2. 等边三角形 （1）定义 三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形。 （2）性质 三边相等，三个内角均为；具备三线合一性质，有3条对称轴。 （3）判定方法 ① 三边相等的三角形；② 三角相等的三角形；③ 有一个角是的等腰三角形。 3. 拓展：直角三角形斜边中线定理 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 符号语言：中，，为中点，则。 易错1：三角形三边关系判断片面 ❌ 错误认知：只需验证一组两边之和大于第三边即可构成三角形。 ✅ 正确方法：先将三边长度排序，仅验证最短两边之和＞最长边；严格区分“＞”和“≥”，相等时无法构成三角形。 举例：长度3、4、7的线段，3+4=7，不满足条件，不能构成三角形。 易错2：混淆三角形高的位置 ❌ 误区：所有三角形的高都在三角形内部。 ✅ 正确结论：只有锐角三角形三条高全在内部；直角三角形两条高与直角边重合；钝角三角形有两条高在三角形外部，作图需先延长对边再作垂线。 易错3：外角定理使用错误 ❌ 误区：外角等于三角形任意两个内角的和，包含相邻内角。 ✅ 核心要点：外角仅等于与它不相邻的两个内角之和，绝对不能加上相邻的内角。 易错4：等腰三角形求值忽略分类讨论与三边关系检验 典型考题：等腰三角形两边长为4和9，求周长。 ❌ 错解：分4、4、9和4、9、9两种情况，得出周长17或22。 ✅ 正解：分类后必须检验三边关系，4+4＜9，4、4、9无法构成三角形，仅周长22符合条件。 解题口诀：等腰边长计算，先分类，后检验，舍去不合理的情况。 易错5：基础概念混淆 1. 三角形的高、中线、角平分线都是线段，不是直线或射线； 2. 等边三角形属于特殊的等腰三角形，分类做题时不可并列区分； 3. 直角三角形中，斜边是最长边。 易错6：多边形内外角和概念混淆 ❌ 误区：多边形边数越多，外角和越大。 ✅ 正确结论：任意凸多边形外角和固定为360°；内角和随边数增加而增大。 易错7：三角形面积认知误区 ✅ 核心结论：三角形的中线可将其分成两个面积相等的小三角形；同底等高、同高等底的三角形面积相等。 【题型一】三角形中的线段和角 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知一个三角形的两边长为4和9，则第三边长不可能是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”确定第三边的取值范围，再判断选项中哪个值不在该范围内即可． 【详解】解：设第三边长为 ∵三角形两边长为4和9 ∴根据三角形三边关系，得 即 ∵选项中只有5不在这个范围内 ∴第三边长不可能是5， 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（   ） A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，3，6 D．2，3，7 【答案】A 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 根据两条较小线段之和是否大于较长线段进行判断，即可解题． 【详解】解：A．∵，∴能组成三角形． B．∵，∴不能组成三角形． C．∵，∴不能组成三角形． D．∵，∴不能组成三角形． 故选：A． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的中线，E是上的一点，连接，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键．三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分． 【详解】解：∵是的中线，E是上的一点 ∴， ∴阴影部分的面积 故选：D. 4．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，分别是、的中线．若，则________． 【答案】4 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查三角形中线的性质（中线平分三角形面积），解题中运用了三角形面积等分的思想，通过中线的性质逐步推导各部分三角形的面积，关键是利用 “中线将三角形分成面积相等的两部分” 这一性质，从已知的小三角形面积推导出大三角形的面积． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为4． 5．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）在中，，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【知识点】大（小）边对大（小）角定理 【分析】本题考查三角形的概念，根据三角形边角关系，大边对大角，比较和的长度，对，对，，由，得，即可解答． 【详解】解：在中，，即， ∵对，对，根据大边对大角， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，，分别为的中线和高线，的面积为6，，则的长为__________． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的性质，求三角形的高的长． 根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据三角形面积计算公式得到，据此可得答案． 【详解】解：∵为的中线，的面积为6， ∴， ∵为的高线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)连接，则五边形的面积为__________. 【答案】(1) 所作如图所示： (2) 【知识点】画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）根据轴对称图形的性质可进行作图； （2）根据割补法可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：由图可知：； 故答案为． 8．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上． (1)将绕点逆时针旋转得到，画出； (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 【知识点】画旋转图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了画旋转图形，网格中秋图形面积，正确画出是解题的关键． （1）根据网格的特点和旋转方式以及旋转角度找到A、B、C对应点的位置，描出，并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：． 9．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，作的高； (2)在图2中，在边上求作一点，使得与的面积相等． 【答案】(1) 解：如图所示，线段即为所求； (2) 解：如图所示，点即为所求： 【知识点】作垂线(尺规作图)、画三角形的高、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了作垂线，三角形高的定义，三角形中线的定义与性质； （1）过点作的垂线交于点，线段即为所求； （2）作的垂直平分线交于点，连接，则点即为所求； 【题型二】全等三角形 10．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，点在一条直线上，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质．先根据全等三角形的性质得到，则可判断，然后利用可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∵， 故选：C． 11．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列各组的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查了图形全等的概念，熟练掌握概念的是解题的关键．根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，逐项判断即可． 【详解】解：A、两个图形大小不同，不能完全重合，故本选项错误； B、两个图形形状不同，不能完全重合，故本选项错误； C、两个图形能够完全重合，故本选项正确； D、两个图形大小不同，不能完全重合，故本选项错误． 故选：C． 12．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，点、、、在同一条直线上，，，，则的长为______． 【答案】2 【知识点】线段的和与差、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，首先确定的长度，再根据全等三角形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 13．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，、是边、上的两个动点，于点于点．设点、运动的时间是秒．若点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回到点停止运动；点从点出发沿以每秒个单位的速度向点匀速运动，到达点后停止运动，当__________秒时，和全等．    【答案】或 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定．分两种情况①时，点P从C到A运动，则，，求得；②时，点P从A到C运动，则，，求得． 【详解】解：①时，点从到运动， 则，， 当时，则， 即， 解得：； ②时，点从到运动，则，， 当时，则， 即， 解得：； 综上所述：当秒或秒时，和全等． 故答案为：或． 14．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，若已知每一个小正方形的边长为，的顶点、、都在小正方形的顶点上． (1)的面积为______； (2)在方格纸上画出一个格点三角形，使其与全等且有一个公共顶点； (3)画，使它与关于l对称． 【答案】(1) (2)作图见详解 (3)作图见详解 【知识点】画轴对称图形、利用网格求三角形面积、图形的全等 【分析】本题主要考查了格点的特点，旋转的性质，轴对称图形的性质， （1）根据格点的特点可得，点到的高为，根据三角形面积的计算方法即可求解； （2）根据旋转的性质作图即可求解； （3）根据轴对称图形的性质作图即可求解． 【详解】（1）解：已知每个小正方形的边长为,的顶点、、都在小正方形的顶点上， ∴，点到的高为， ∴的面积为， 故答案为：． （2）解：将绕点顺时针旋转得，如图所示， （3）解：根据轴对称图形的性质作图如下， 15．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)三角形的面积为______； (3)以为边作与全等的三角形，则可作出______个三角形与全等； 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)3 【知识点】全等三角形的概念、画轴对称图形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了画轴对称图形，构造全等三角形，分割法计算三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质，三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）根据轴对称的定义去构图即可． （2）运用分割法计算． （3）利用对称法、构造平行四边形法和同侧共边全等法构造即可． 【详解】（1）解：根据题意，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，得 ． 故答案为：3． （3）解：利用轴对称法、构造平行四边形法，确定全等三角形如下： 共有3个， 故答案为：3． 【题型三】SAS判定三角形全等 16．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，已知，，与交于点D，则对于下列结论：①；②；③D在的平分线上．其中正确的是 （    ） A．① B．② C．①和② D．①②③ 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．直接利用定理即可判断①正确；先根据全等三角形的性质可得，再利用定理即可判断②正确；连接，证出，由此即可判断③正确． 【详解】解：在和中， ， ，结论①正确； ， ∵，， ，即， 在和中， ， ，结论②正确； 如图，连接， ， ， 在和中， ， ， ， 即在的平分线上，结论③正确； 综上，正确的是①②③． 故选：D． 17．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在四边形中，，是对角线的中点，连接并延长交于点，若，，则的面积为_______． 【答案】4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，梯形，三角形的面积公式等知识点 ，掌握知识点是解题的关键． 先证得，得到，然后过点D作于点H，利用四边形的面积得到，进而即可得解． 【详解】解：∵F是对角线的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过点D作于点H， ∴， ∴ ∴ 故答案为：4． 18．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知四边形中，，，，是中点，与相交于点，连接． (1)判断线段与关系，并说明理由； (2)若，求面积． 【答案】(1) 解：，，理由如下 ，是的中点， ，， ， ，， ， ， 在和中 ； ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】此题考查是平行线的性质和全等三角形的判定， （1）先根据已知条件和中点定义证出：，然后根据平行线的性质证出：，最后利用即可证出：，根据全等三角形的性质即可得，再由角的转化可得，即可证明； （2）根据计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ∵，， ． 【题型四】ASA(AAS)判定三角形全等 19．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（   ） A．① B．② C．③ D．三块任选一块都可以 【答案】C 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去． 【详解】解：①只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ②只保留了部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； 而③不但保留了一个完整的边还保留了两个角，所以应该带去③，根据全等三角形判定“角边角”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃． 故选：C． 20．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离，分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：C． 21．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为______． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线构造“三垂直”全等模型． 过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】解：过点分别作，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，某人将一块三角形玻璃打碎成三块，带第_______块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃． 【答案】③ 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查学生对全等三角形的判定方法，灵活运用常见的全等三角形的判定方法成为解题的关键． 根据三角形全等的判定方法即可解答． 【详解】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃．应带③去． 故答案为：③． 23．（22-23八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，D是的边上一点，，交于点E，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， 在和中， ∵， ∴； (2)3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质， （1）根据平行线得到角度关系，再根据角角边判定直接证明即可得到答案； （2）根据三角形全等对应边相等直接求解即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即的长是3． 24．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是关键． （1）根据平行线的性质可得，然后利用即可证得结论； （2）根据全等三角形的性质可得，进而可得，再利用线段间的关系即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ，， ． 【题型五】SSS判定三角形全等 25．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段检测）没有量角器，利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线，下面的画法（   ） （1）利用刻度尺在的两边上，分别取；（2）连接，利用刻度尺画出的中点E；（3）画射线，所以射线为的角平分线． A．利用了 B．利用了 C．利用了 D．利用了 【答案】A 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．结合已知条件，利用“”可证，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， 即射线为的角平分线， 故选：A． 26．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，由4个小正方形组成的田字格中，的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与全等的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有__________个， 【答案】3 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定；根据田字格的特点画出所有与全等的三角形即可确定． 【详解】解：画出图形如下： 则由可判定都与全等，即这样的三角形共有3个； 故答案为：3． 27．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：， ， ， 在和中， ； (2) 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解： 由（1)可知：， ， ， ， ． 【题型六】HL判定三角形全等 28．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，用三角尺按如下方法画角平分线：在、上分别取点M、N，使，再分别过点M，N作、的垂线，交点为P，画射线，则平分，其作图原理是：，这样就有，则这两个三角形全等的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是根据题意找到三角形全等的条件．由题意知，，，即可得到答案. 【详解】解：由题意知，，， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 29．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中，，点在上，，交于点，的周长为，的周长为，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 连接，证出得出，设，得出，，即可解得． 【详解】解：连接， 设， ，， ， ， ， ， 的周长为12， ， 的周长为6， ， ， 解得：， ∴． 故选：A． 30．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在的斜边上截取，过点作交于点．若，，则的长为_____． 【答案】3 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．先证明，从而推出，最后利用求得答案． 【详解】解：连接，如图， ，，， ， ， ，， ， ∴． 故答案为：3． 31．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，，判定的方法是_____ ． 【答案】 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了直角三角形全等的应用，求出，根据即可推出． 【详解】解：判定的方法是，理由是： ， ， 在和中， ， ； 故答案为：． 32．如图，，相交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：． 和是直角三角形， 在和中， ， ∴； (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出是解题关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质求出，由直角三角形的性质求出，即可得出所求． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， ， ． 33．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，于点，于点．，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．先证明，再证明，根据全等三角形的性质可得出． 【详解】证明：， ∴， 即， 于点E，于点F， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ， ∴． 【题型七】添加条件使三角形全等 34．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）在与中，下列条件能判断与全等的个数是（　　） ①，，；②，，；③，，；④，，． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐一分析判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵在与中，，，，是的对边，是的对边，符合判定定理， ∴，该选项条件能判断与全等； ②∵在与中，，，，是的对边，是的对边，符合判定定理， ∴，该选项条件能判断与全等； ③∵是中的对边，是中的对边，对应边不匹配，不符合全等三角形判定定理， ∴该选项条件不能判断与全等； ④∵是中的对边，是中的对边，对应边不匹配，不符合全等三角形判定定理， ∴该选项条件不能判断与全等； 综上，能判定全等的有个， 故选：． 35．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，点、在线段上，，，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，在与中，，，所以结合全等三角形的判定方法逐项分析，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， A、添加，由，，，不能判定，故本选项符合题意； B、添加，可得到，由，，，可证明，故本选项不合题意； C、添加，由，，，可证明，故本选项不合题意； D、添加，由，，，可证明，故本选项不合题意； 故选：A． 36．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是____________． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，已知一组边相等及一个角相等，再添加一个角相等，或者一条边相等即可求解． 【详解】解：， ， ， 若添加， 则； 若添加， 则； 若添加， 则； 故答案为：（答案不唯一） 37．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，，相交于点O，连接，，如果，要使，还需添加的一个条件是_________． 【答案】或或 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法，进行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：或或 38．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，，，若要使，需添加一个条件，请从“条件：”，“条件：”，“条件：”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程． 【答案】 解：选择条件：，证明如下： ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 选择条件：，证明如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴ ∴． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，选择条件，可利用证明；选择条件，可利用证明，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 39．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，点B、E、F、C在同一条直线上，且． (1)请你添加一个条件，使，你添加的条件是 ． (2)添加条件后，请证明． 【答案】(1)（） (2)证明见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、用SSS证明三角形全等（SSS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定， 对于（1），根据“边角边”和“边边边”添加即可； 对于（2），先证明，再根据“边角边”和“边边边”证明即可. 【详解】（1）解：（）； 故答案为：（）； （2）证明：添加； ∵， ∴， 即. ∵， ∴； 添加； ∵， ∴， 即. ∵， ∴． 【题型八】灵活选用判定方法证全等 40．（25-26八年级上·江苏·期末）全等三角形的判定是几何证明的基础，下列各组条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．根据全等三角形的判定方法分别判断即可． 【详解】解：A、，，，三边对应相等，∴ ． B、，，，两角及其夹边对应相等，∴ ． C、，，，两边及其中一边的对角相等，属于，不能判定全等． D、，，，两角及其中一角的对边相等，∴ ． ∴ 不能判定全等的是C． 故选：C． 41．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）根据下列条件，能画出唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了三角形全等的判定条件，需熟悉并掌握哪些条件能唯一确定三角形是解题关键． 根据三角形全等的判定定理，只有、、、、能唯一确定三角形．逐一分析各选项是否符合这些条件即可． 【详解】解：对于选项A，∵ ，， ，但，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴ 不能构成三角形，故此选项不符合题意． 对于选项B，∵ 给出两边， 和非夹角， 属于条件， ∴不能唯一确定三角形，故此选项不符合题意． 对于选项C，∵ 只给出三个角，没有边，相似三角形有相同角但大小不同， ∴ 不能唯一确定三角形，故此选项不符合题意． 对于选项D，∵ 给出两个角，和它们的夹边，符合条件， ∴ 能唯一确定，故此选项符合题意． 故选：D． 42．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 _____ 块． 【答案】4 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证即可得到结论． 【详解】解：1、2、3块玻璃不同时具备包括条一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第4块有完整的两角及夹边，符合，满足三角形全等的条件，是符合题意的， 故答案为：4． 43．（23-24八年级上·江苏常州·阶段检测）操作题，根据下列要求画图，并在图中相应位置标明数据． 已知一个三角形的两边长分别是1cm和2cm，一个内角为．    (1)请你借助图画出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在下图画这样的三角形；若不能，请说明理由． (3)如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°，”那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个？画出满足条件的图形．（在图上把符合条件的图形用黑色笔画出来） 【答案】(1)见解析 (2)可以，见解析 (3)4个，见解析 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】（1）根据题意画图，让内角的两边为1cm和2cm； （2）根据题意画图，让内角的一边为1cm，对边为2cm； （3）根据题意画图，让内角的两边分别为3cm，4cm；让内角的一边分别为3cm，对边为4cm；让内角的一边分别为4cm，对边为3cm，为锐角三角形；让内角的一边分别为4cm，对边为3cm，为钝角三角形； 【详解】（1）解：如图①，    （2）解：如图②，    （3）解：彼此不全等的三角形共有4个，      【点睛】本题考查全等三角形，理解全等三角形四种判定方法中的边角组和方式是解题的关键． 【题型九】倍长中线模型 44．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（   ） A．3 B．2 C．1.5 D． 【答案】A 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，延长，交于点G，构造，利用三角形中线的性质得出，进而求出，再由求出答案． 【详解】解：延长，交于点G， ∵在长方形中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 45．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是_________． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理和倍长中线的数学模型是解题的关键，延长到，使，连接，易证得，在中，利用三角形三边关系即可求得的取值范围． 【详解】解：延长到，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 46．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段检测）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是（  ） A．           B．            C．             D． （2）求得的取值范围是（  ） A．      B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证： 【答案】（1）B；（2）C；（3）见解析 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：（1）在和中 ， ， 故选B； （2）由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ∴ ， 故选C； （3）如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， 即． 47．（25-26八年级上·江苏·寒假作业）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答： （1）小红证明的判定定理是：______． （2）的取值范围是______． 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，交于点F，若，则“燕尾”四边形的面积为______． 【答案】（1），（2），（3）8 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，等腰三角形的判定与性质等知识． （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，再根据三角形的三边关系求出，即可求解； （3）利用倍长中线法构造全等三角形证得，根据全等三角形的性质得到，，，再根据已知条件证明是等腰直角三角形并计算的面积，最终“燕尾”四边形的面积即为的面积． 【详解】解：（1）延长到E，使，连接， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． （2）∵，， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． （3）如图，延长到点G，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：8． 【题型十】全等三角形综合问题 48．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）下列条件中，能判断两个三角形全等的是（   ） A．两个面积相等的等腰三角形 B．两边及第三边上的中线对应相等 C．两边相等的直角三角形 D．两边及第三边上的高线对应相等 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，需逐一分析各选项是否满足全等条件．选项A、C、D均存在反例，不能保证全等；选项B可通过构造全等三角形证明． 【详解】解：A、面积相等的两个等腰三角形不一定全等，例如底和高不同，但是底和高的乘积相同的等腰三角形面积相等，但二者不全等，不符合题意； B、如图，，，是上的中线，是上的中线，且， 延长到E，使得，连接，延长到，使得，连接， ， 是上的中线， ， 在和中 ， ， ， 同理可证：， ， 在和中 ， ， ， 同理可证：， ， 在和中 ， ，符合题意； C、两边相等的直角三角形不一定相等，例如一个直角三角形的两边是两直角边，另一个直角三角形的两边一边是斜边，一边是直角边，不符合题意； D、如图，，，，，， 与不全等，不符合题意； 故选：B． 49．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段检测）在如图的小正方形组成的网格中，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，图中能画出（   ）个与全等的格点三角形（不含）． A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】此题考查三角形全等的判定，解题关键在于掌握判定两个三角形全等的一般方法有：． 根据判定两三角形全等．认真观察图形可得答案． 【详解】解：如图所示，由网格的特点可知， ∴正方形每条边上（该边上的边与相等）都可作两个全等的三角形， ∴共有八个全等三角形， ∴图中能画出与全等的格点三角形（不含）的个数为7个， 故选：C． 50．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，点C在的延长线上，，，则图中共有______对全等三角形．    【答案】3 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴； ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴； 综上分析可知：全等的三角形有3对． 故答案为：3． 51．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，A，B分别是线段上的点，，． (1)求证：； (2)连接，则图中共有______对全等三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等三角形综合问题 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． （1）根据题意可得到，从而可以得到． （2）通过可证，通过可证，即可得到答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴（）． （2）如图，连接， 由（1）可知， ∴， ∵，， ∴， 在与中，，，， ∴； ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故全等三角形共有3对． 52．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）在学习“关于三角形全等的条件”时，我们知道“两边和一角分别相等”包括两种情况：如果这个角是两边的夹角，那么可以通过“”判定两个三角形全等；如果这个角是其中一组等边的对角，那么这两个三角形不一定全等．小明学完之后有个疑惑，“不一定全等”究竟怎么判别呢？聪明的你请给小明做出解释：什么情况下可以全等，并给出证明；什么情况下不能全等，并画出反例． 【答案】见解析 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定． 分三种情况逐一判断即可． 【详解】解：如图①，当时， 在和中， ， ∴（）； 如图②，当时，通过作图，可知与不一定全等． 如图③，当时，作交的延长线于G，作交的延长线于H． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【题型十一】线段垂直平分线的性质与判定 53．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，分别是的边、的垂直平分线，若，，则的周长是多少（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵，分别是的边、的垂直平分线， ∴，， ∴的周长， 故选：A． 54．（24-25八年级上·河北唐山·阶段检测）有下列命题：①线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端的距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点在线段外且，过点作直线，则是线段的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．其中正确的是___________（填序号）． 【答案】①/1 【知识点】线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段的垂直平分线及其性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：线段垂直平分线上任一点到线段两端的距离相等，故①正确； 因为垂直平分线不一定被线段本身平分，所以线段上任一点到垂直平分线两端的距离不一定相等，故②错误； 经过线段中点的直线有无数条，故③错误； 点在线段外且，过点作直线，当时，则是线段的垂直平分线，故④错误； 过线段的中点才能作这条线段的中垂线．故⑤错误； 故答案为：① 55．（25-26八年级上·江苏南通·期末）下面是小明“作等腰三角形底边上的中线”的尺规作图过程． 已知：如图，在中，． 求作：等腰三角形边上的中线． 作法： 分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点； 作直线交于点； 所以就是所求作的等腰三角形边上的中线． 根据小明的尺规作图过程，解决下面的问题： (1)使用没有刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)证明：是的中点． 【答案】(1)如图，D即为所求； (2)证明：如图，连接，， 由作图可知，， ∴在垂直平分线上， ∵， ∴在垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴是的中点． 【知识点】线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了尺规作图——作线段的垂直平分线，垂直平分线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意作法即可求解； （）连接，，通过垂直平分线的判定即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 56．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若的周长为，求的长； (2)试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：点F是在边的垂直平分线上，理由如下： 如图所示，连接， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴点F是在边的垂直平分线． 【知识点】线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟知线段垂直平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，据此可得结论． 【详解】（1）解：∵分别垂直平分和， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即； 【题型十二】角平分线的性质定理与判定定理 57．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，直线，垂足为O，点A是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点B是射线上的一个动点（不与点O重合），连结，作 的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、垂线的定义理解、角平分线的判定定理 【分析】作，，，作射线，由角平分线的性质得，可得平分，进而知，，当时，最小，此时点C在处，再由可得答案． 【详解】作于点E，作于点G，作于点H，作射线．    ∵平分，，，， ∴． 同理：， ∴， ∴平分， ∴． ∵， ∴． 根据题意可知点C在的平分线上运动，当时，最小，此时点C在处． 在中，． 所以，当线段最小时，的度数是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理和逆定理，垂线段最短，角的和差等，构造辅助线是解题的关键． 58．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，，，点是中点，点分别是边上的动点，且不与端点重合，作和的角平分线交于点，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、两点之间线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，过作交延长线于点，作，于点，连接，则，证明点在平分线上，所以，再证明，得，又，则当三点共线时有最小值，即有最小值，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作交延长线于点，作，于点，连接，则， ∵和的角平分线交于点， ∴，， ∴， ∴点在平分线上， ∴， ∵点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时有最小值，即有最小值，为， 如图， 故答案为：． 59．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，，是的中点，平分，若，则_______． 【答案】/40度 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据平行线的性质求出，根据角平分线的判定定理得到，计算即可． 【详解】解：作于． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分，，， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴， 又，， ∴． 故答案为:． 60．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，证明的外角的平分线的交点在的平分线上． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等和到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．作的平分线，相交于点，过点作于点，于点，于点，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等和到角的两边的距离相等的点在角的平分线上解答即可． 【详解】证明：如图，作的平分线，相交于点，过点作于点，于点，于点， ∵平分，， ∴， 同理得， ∴， ∴平分， ∴的外角的平分线的交点在的平分线上． 【题型十三】旋转模型 61．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为BC边上一点，CD＝1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、等边三角形的性质 【分析】以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM，连接EM，证明△BDF≌△MDE（SAS），可得BF=ME，故当ME最小时，BF最小，此时ME⊥AC，过M作MN⊥BC于N，即可得ME=NC=2，从而知BF最小值是2． 【详解】解：以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM，连接EM，如图： ∵△BDM和△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，DM＝BD，∠BDM＝∠FDE＝60°， ∴∠BDM﹣∠MDF＝∠FDE﹣∠MDF，即∠BDF＝∠MDE， ∴△BDF≌△MDE（SAS）， ∴BF＝ME， ∴当ME最小时，BF最小，此时ME⊥AC，如图： 过M作MN⊥BC于N， ∵BC＝3，CD＝1， ∴BD＝2， ∴ND＝0.5BD＝1，NC＝2， 而∠MNC＝∠NCE＝∠CEM＝90°， ∴四边形MNCE是矩形， ∴ME＝NC＝2， 而BF＝ME， ∴BF最小值是2． 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形及等边三角形的综合应用，涉及动点问题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，把求BF最小值问题转化为求EM最小值． 62．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）阅读理解：“分割、拼凑法”是几何证明中常用的方法．苏科版八上数学第一章《全等三角形》中，有以下两道题，其中将问题1中的图1分割成两个全等三角形，而问题2是“HL定理”的证明，却将图2两个直角三角形拼成了一个等腰三角形图3． 请按照上面的思路，补全问题1、2的解答： (1)问题1： 已知：如图1，在中，．求证：． (2)问题2： 如图2，在和中，，；把两个直角三角形如图3所示拼在一起．求证：是等腰三角形； (3)问题3：如图4，中，，四边形是正方形，．求阴影部分的面积和． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正方形的性质及旋转的性质． （1）作中线，证明，可得结论； （2）证明点B，，共线，结合，即可得到结论； （3）绕点E顺时针旋转，则点D与点F重合，得到，证明是直角三角形，利用即可求解． 【详解】（1）证明：如图，作中线， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ， ， 点B，，共线， 又∵， 是等腰三角形； （3）解：如图，把绕点E顺时针旋转，则点D与点F重合，得到， 由旋转得，， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ． 63．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段检测）【基础巩固】 在中，，，点是平面内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，； （1）如图1，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，当A、D、E三点在同一条直线上时，求的大小； 【拓展提高】 （3）如图3，与交于点，点为的中点，交于点，连接，若，且为18，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）6 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）由，即，可得，用可知； （2）由和均为等腰直角三角形，得，故，而，知，故； （3）连接，，由和均为等腰直角三角形，知，而点为的中点，可得，，又，故，是等腰直角三角形，有，，从而可证，得，，，即得，故，得，从而，即可解得． 【详解】（1）证明：，即， ， 在和中， ， ； （2）解：，，， 和均为等腰直角三角形， ， ， 同（1）可得， ， ； （3）解：如图，连接，， ，，， 和均为等腰直角三角形， ， 点为的中点， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在 和中， ， ， ，， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型十四】等腰三角形的性质和判定 64．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，点在的角平分线上，于点，．若，，则的面积等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了角平分线、含角直角三角形、等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质；过点作， 交于点，根据角平分线的性质可得和， 再根据含角直角三角形的性质计算求得的长，利用平行线的性质证明， 求得，利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解： 如图， 过点作， 交于点， 如图所示： 由条件可知， ， ∵， ， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴的面积是 故选：B． 65．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，为的角平分线，，于，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义，延长至点，使得，连接，则，由角平分线的定义可得，证明，得出，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，则， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 66．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，，，点是的中点，过点作交于点，，则的长度为__________． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形等知识，连接，由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，进而得到，再证明垂直平分，得到，，求得，结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 67．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在等腰中，，，的垂直平分线分别交于点E、D． (1)请用直尺和圆规在图中作出直线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1) 如图，即为所求作的直线； (2) 【知识点】作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，等腰三角形的判定与性质，准确作图是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，进而得到，即． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵垂直平分，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 68．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，的角平分线交于点． (1)是等腰三角形吗？为什么？ (2)连接，是的垂直平分线吗？为什么？ 【答案】(1)是，理由见解析 (2)是，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键． （1）根据等边对等角和等腰三角形的判定进行解答即可； （2）根据等角对等边和线段垂直平分线的判定进行解答即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形， 理由是：∵， ∴， ∵，的角平分线交于点． ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）是的垂直平分线，理由： ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵ ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． 【题型十五】等边三角形的判定和性质 69．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，点为边的中点，于，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．先根据等边三角形的判定和性质得出，再根据直角三角形中两锐角互余得出，根据角的直角三角形性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， 故． 故选：C． 70．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知，在射线上取一点，且，以点为顶点作，将绕点旋转，的两边分别与射线相交于点，连接，线段与线段的交点记为，以下4个结论：①是等腰三角形；②当点为中点时，是等边三角形；③当时，；④在旋转过程中，四边形的面积始终不发生改变．其中结论正确的有（   ） A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线性质定理以及直角三角形的性质等知识，过作于点P，于点Q，证明可判断①正确；证明可判断②正确；分别证明和即可判断③正确；证明,根据可判断④正确． 【详解】解：①过作于点P，于点Q，则，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故①正确； ②∵，点为中点， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； ③当时，，， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，, ∴， 又， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴, ∴， ∴为定值，故④正确， 综上，正确的结论是①②③④， 故选：D． 71．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为______． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，线段最短问题，解题的关键是掌握相关知识，并正确作出辅助线． 延长到点，使得，连接，，由，，，可得：，，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接，， ，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 72．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法正确的是______．（填写序号） ①的垂直平分线一定与相交于点 ② ③当为中点时，是等边三角形 ④当为中点时， 【答案】①②③④ 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质 【分析】连接，根据，点是的中点得，则，进而得点在线段的垂直平分线上，由此可对①进行判断；设，根据得，，再根据得，则，由此可对②进行判断；当为中点时，则，是线段的垂直平分线，由此得，然后根据，，得，由此可对③进行判断；连接并延长交于，根据是等边三角形得，则，进而得，，由此得，，由为中点，则，由此可对④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：连接，如图1所示：   ，点是的中点， 为斜边上的中线， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 即线段的垂直平分线一定与相交于点，故①正确， 设， ， ， ， ， ， ， 即，故②正确， 当为中点时，则， ， 是线段的垂直平分线， ， ，，， ， ， 是等边三角形，故③正确， 连接，并延长交于，如图2所示：      当为中点时， 点为的中点， 根据三角形三条中线交于一点得：点为的中点， 当为中点时，是等边三角形， ，，平分，平分， ， ， 在中，， ， ， ，， ∵为中点， ∴ ，故④正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键． 73．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在中，于点D，于点E，F为的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，．求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题． （2）证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵于点D，于点E， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 故． （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴的周长为9． 74．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，垂直平分交、于点、，点在上，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，掌握相关的性质、正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求出，根据等边三角形的判定证明； （2）过点O作于F，根据含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）证明：是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：如图，过点O作于F， 在中，， 则， ， ， ， ， ， ． 1. 核心工具：本章所有题型围绕两大核心展开——三角形三边关系、内角和与外角定理，是边长取值、角度计算、图形存在性判断的基础。 2. 重点模块：熟练掌握三角形高、中线、角平分线的定义与性质，重点突破钝角三角形高线作图、中线等分面积两大高频考点。 3. 核心解题思想 分类讨论思想：不确定三角形形状、等腰三角形边长/角度未知时，必须分类讨论； 方程思想：角度计算题型，常设未知角度为x，利用内角和、外角定理列方程求解。 4. 高频拓展模型：飞镖模型、8字形模型，是考试角度快速计算的常用拓展方法。 5. 答题易错提醒：求三角形边长、周长时，务必最后检验三边关系；区分内角与外角，避免概念误用。 一、单选题 1．如图点B，C，D在同一直线上．若，，，则等于（   ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等可得，，进而求出，即可求解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 故选C． 2．如图，的三个顶点分别在正方形网格的3个格点上．若在网格图中的格点上有一点（不与点，，重合），使得与全等，则这样的三角形有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查利用三角形全等的判定作图，熟记三角形全等的判定定理是解决问题的关键．以为公共边，结合两个三角形全等的判定定理，使所作的三角形另外两条边分别与的边相等即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在网格图中的格点上有一点（不与点，，重合），使得与全等，则这样的三角形有3个， 故选：B． 3．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的判定、角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质 【分析】此题考查了角平分线的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等知识．根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A. 在角的内部,到角两边的距离相等的点一定在角的平分线上，故选项错误，符合题意； B. 角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确，不符合题意； C. 到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，故选项正确，不符合题意； D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故选项正确，不符合题意； 故选：A 4．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，分别是斜边上的高和中线，下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，根据以上知识逐一分析各选项即可. 【详解】解：∵， 是斜边上的中线， ∴， ∴，，A正确，不符合题意， ∵是斜边上的高， ∴， ∴，故B正确，不符合题意， ∵不一定等于， 是斜边上的高， ∴不一定等于， ∴不一定正确，故C符合题意， ∵， ∴，故D正确不符合题意， 故选：C 5．如图，在中，，，D为中点，则线段的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，熟悉三角形的三边关系，利用中线构造全等三角形是解答的关键． 延长到点E，使，连接，可证，再根据三角形的三边关系可求得的取值范围，进而可得的取值范围． 【详解】解：延长到点E，使，连接，则， ∵D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．如图，在中，D是边上的中点，，，连接交于点P，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，，进而得到，推出，即可得解． 【详解】解：连接，    ∵D是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：； 故选C． 【点睛】本题考查三角形的中线，与三角形的高有关的计算．熟练掌握同高三角形的面积比等于底边比，是解题的关键． 7．已知：如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点运动，当点运动（    ）秒时，和全等． A．2 B．2或6 C．2或14 D．6或14 【答案】C 【分析】设动点运动秒时，和全等，分两种情况进行讨论，由题意可知和即可求解． 【详解】解：设动点运动秒时，和全等， ①∵，， ，根据证得， 由题意得：， ∴， ②∵，若， ，根据证得， 由题意得：，解得． ∴当点运动2秒或14时，和全等， 故选：C． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，矩形的性质知识，解题关键是选择合适的方法证明三角形全等，注意利用分类讨论的思想． 8．如图，在四边形中，，连接、相交于点，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键．先证明，进而得到，再证明，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴；故选项A正确； ∵， ∴；故选项B正确； ∴， ∴；故选项D正确； 在中，为斜边， ∴， ∴；故选项C错误； 故选：C． 9．如图，，连接交于F，连接．结论：①；②；③；④ 平分．正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设交于点O，证明，可以判断①②，由，，可以判断③，过点C作，于点G，H，由，得，根据角平分线的性质可以判断④． 【详解】解：如图，设交于点O，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③错误； 过点C作，于点G，H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分，故④正确， 综上所述：结论正确的为①②④，共3个． 10．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，延长分别交，于点，，连接．下列结论：；；；，其中正确的是：（    ） A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，可得，，根据三角形的内角和，可得，判断①；根据旋转的性质，三角形的内角和，平角的性质，可得，判断②；连接，根据等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，可得，判断③；连接，根据旋转的性质，可得，，根据等边三角形的判定和性质，可得是等边三角形，，根据三角形三边的关系，可得，进行判断④即可． 【详解】解：由旋转性质可知，，旋转角 ． ∴， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴，故①正确． ∵， ∴ ． ∵是的延长线， ∴，故②正确． 如图，连接， ∵，，且由旋转， ∴是等边三角形，即， ∵， ∴ ∵ ∴（） ． ∴，故③正确． 连接， 由旋转可得：，， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ④错误． 综上，正确的是①②③ ． 故选：． 【点睛】本题考查等腰三角形，等边三角形，全等三角形的知识，解题的关键是掌握旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系． 二、填空题 11．如图，已知点B，C，F，E在同一条直线上，，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是___________．（答案不唯一）．（只需写出一个） 【答案】 【分析】由已知，，可根据全等三角形的判定，只需补充或或其中一个都行，答案不唯一． 本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定的一般方法：、、、、，根据已知和图形添加正确的条件是解答的关键． 【详解】可添加，由，，，根据可判定， 故答案为：． 12．如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质和角平分线的定义，解题的关键是能正确作出辅助线，证明平分； 过点E作，根据角平分线的性质可得，则有，再根据，即可得出平分即可解答． 【详解】解：过点E作，如图所示： 三角形的外角和的平分线交于点E， ， ， ， 平分， ， 故答案为：． 13．已知中，，是边上的高，，那么的度数是____． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，分情况讨论：当为锐角三角形时，当钝角三角形时，结合等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图①， 当为锐角三角形时，； 如图②，当为钝角三角形时，， 所以． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 14．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，，，垂足分别为E，F．已知，，则______． 【答案】/度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，依据直角三角形两锐角互余，即可得到的度数，再根据全等三角形的对应角相等，即可得到结论，熟记性质并准确识图判断出对应角是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15．如图，已知平分，平分，，，下面四个结论：①平分；②；③；④其中正确的是______．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】题目主要考查角平分线的判定和性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定和性质，作于点H，根据角平分线的判定和性质及三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质依次判断即可，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 【详解】解：如图，作于点H， ∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴平分；故①正确； ∵，， ∴， 故②错误； ∵，， ∴ ∴， 故③错误； ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理得：， ∴， 故④正确； 故答案为：①④． 16．如图，在四边形中，分别是上的点，且，则图中线段之间的数量关系为 _____________． 【答案】 【分析】将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点，证明，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 如图所示，将绕点顺时针旋转，则与重合，点的对应点为点， ∴，即点共线， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 17．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③ACN≌ABM；④CD＝DN．其中符合题意结论的序号是_____． 【答案】①②③ 【分析】此题考查的是全等三角形的判定和性质的应用，只要先找出图中的全等三角形就可判断题中结论是否正确． 【详解】∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF， ∴△ABE≌△ACF（AAS）， ∴AC=AB，BE=CF，即结论②正确； ∵AC=AB，∠B=∠C，∠CAN=∠BAM， ∴△ACN≌△ABM（ASA），即结论③正确； ∵∠BAE=∠CAF， ∵∠1=∠BAE-∠BAC，∠2=∠CAF-∠BAC， ∴∠1=∠2，即结论①正确； ∴△AEM≌△AFN（ASA）， ∴AM=AN， ∴CM=BN， ∵∠CDM=∠BDN，∠C=∠B， ∴△CDM≌△BDN， ∴CD=BD， 无法判断CD=DN，故④错误， ∴题中正确的结论应该是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】此题考查了三角形全等的判定和性质；对图中的全等三角形作出正确判断是正确解答本题的关键． 18．如图，中，，的垂直平分线交于点，交边于点，若，则的周长为______． 【答案】15 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质可，从而利用等腰三角形的性质可得，进而利用三角形外角的性质可得，然后结合已知可得是等边三角形，从而利用等边三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为15， 故答案为：15， 19．如图，中，，，是边上的中线，，是上的动点，是边上的动点，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】在上取点，使，过点作，交于，通过证明推出，将的最小值转化为，最后通过等面积法求出即可． 【详解】解：如图，在上取点，使，过点作，交于， ，是边上的中线， ， 和中， ， ， ，当点，，共线时，取得最小值， 为点到的最短距离， 当点运动到点，点运动到点，即与重合，取得最小值， ，，， ， 解得， 故的最小值为． 三、解答题 20．已知a，b，c是一个三角形的三边长． (1)若，则的取值范围是___________． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形三边关系、化简绝对值等知识点，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键． （1）由三角形三边关系定理即可解答； （2）由绝对值的意义和三角形三边关系定理化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：， ． 故答案为：． （2）解：∵a，b，c是一个三角形的三边长， ∴， ∴ ∴ ． 21．小强为了测量一幢高楼的高度，在旗杆与楼之间选定一点．测得在点观察旗杆顶端的视线与地面的夹角，测得在点观察楼顶的视线与地面的夹角，量得到楼底的距离与旗杆的高度相等，均为米，量得旗杆与楼之间的距离为米，如图，小强计算出了楼高，楼高是多少米．    【答案】米 【分析】证明，得到（米）． 【详解】根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 22．请从①；②这两个条件中任意选择其中一个，补充在下面的横线上，并作答． 已知：如图，点在同一条直线上，且，_____________． 求证：． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】 选①， 证明：因为， 所以， 又，， 所以； 选②， 证明：因为， 所以， 即， 又，， 所以．（选择其中一种即可） 【分析】选①，可利用证明； 选②，可利用证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了两直线平行同位角相等，用证明三角形全等（），用（）证明三角形全等（或者），添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 23．如图，四边形的对角线，相交于点，，点在上，． (1)求证：； (2)连接，若，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，垂直平分线；等腰三角形； （1）根据角边角判定三角形全等即可； （2）连接，结合三角形全等的性质证出所在直线为的垂直平分线，再证，即可证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在和中， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴点A在的垂直平分线上．     ∵， ∴点E在的垂直平分线上， ∴所在直线为的垂直平分线， ∴．     ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴． 24．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） (1)如图1，在边上找一点，使得； (2)如图2，在边上求作点，使点到点的距离与点到的距离相等． 【答案】(1) 点即为所求： (2) 点即为所求： 【分析】本题考查了尺规作图、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质，根据题意正确作图是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线，与交于点，则点即为所求； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，作的平分线与交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：理由：由作图可得，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：理由：由作图可得，，平分， ∴点到距离与点到的距离相等， 又∵点到距离为， ∴点到点的距离与点到的距离相等． 25．如图1，在中，两个内角和的平分线交于点，连接，于点，于点． (1)求证：平分； (2)如图2，延长至点，使，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． （1）作于点M，由角平分线的性质得，从而，进而可证平分； （2）设，则，证明得，从而，然后利用三角形内角和定理列式即可求解． 【详解】（1）证明：作于点M， ∵两个内角和的平分线交于点， ，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：设， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图2，和是共边直角三角形，E、F分别是、的中点，连接，求证：． (3)拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于结合性质作出恰当的辅助线，构造等腰三角形． （1）根据题干概念，按要求画图即可． （2）连接，根据直角三角形斜边上的中线得到，再根据等腰三角形三线合一即可求解； （3）设、延长线交于点，证明，再结合题干的条件与等腰三角形底边上“三线合一”，即可解题． 【详解】（1）解：如图所示即为所求作的三角形， （2）证明：如图，连接， ∵E点是中点 ∴分别是和斜边上的中线 ∴， ∴ ∴是等腰三角形 ∵F点是中点 ∴； （3）证明：分别延长、交于点，如图所示： ， ， ，， ， ， ，又， ， 平分． 27．如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点的速度为，点的速度为．点第一次到达点时，同时停止运动． (1)点运动几秒时，两点重合？ (2)点、运动几秒时，可得到等边？ (3)当点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰？如存在，请求出此时点、点运动的时间． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】（1）解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合， 得方程， 解得, 答：点M、N运动10秒时，M、N两点重合； （2）解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①， ，， 是等边三角形， ， 解得， ∴点M、N运动秒时，可得到等边． （3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 情况一： 设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， ， 解得：； 即10秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形； 情况二： 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ，，， 即， 解得：． 综上所述，故假设成立． ∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形， 此时M、N运动的时间为秒. 1 学科网（北京）股份有限公司 $