1.5 等腰三角形(1)—等腰三角形的性质 教学设计 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

该初中数学教学设计聚焦等腰三角形性质，通过折纸活动引导学生观察对称特征，引出定义后，以作中线证全等为支架，探究“等边对等角”和“三线合一”，衔接三角形全等知识。 资料以“折纸—猜想—证明”为主线，借助几何直观培养空间观念，通过全等推理发展逻辑思维，融入中考真题练习强化应用意识，助力学生深化理解，为教师提供梯度化教学资源。

1.5 等腰三角形(1)—等腰三角形的性质 【教学目标】 1. 理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理，发展推理能力. 2. 经历“折纸一猜想一证明”的过程，利用轴对称性和全等三角形研究等腰三角形，培养几何直观。 【教学重点】理解等腰三角形的性质定理. 【教学难点】等腰三角形性质定理的推理过程. 【教学过程】 1、 情景创设 1、如图，把一张长方形纸片对折，沿虚线剪下并展开，得到的三角形有什么特征？ 2、得到定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角.相等的边叫作腰. 如图，在△ABC中，AB=AC，则AB，AC叫作△ABC的腰. 二、探索活动 活动一、我们已经知道，等腰三角形的两个底角相等，这是如何证明的呢？ 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，作BC边上的中线AD. 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD （SSS) ∴∠B=∠C. 我们把等腰三角形中两个相等的角叫作底角. 于是，我们得到等腰三角形的性质定理1： 等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”) 如右图，∵AB=AC， ∴∠B=∠C. 尝试练习1: （1）（2025春•牡丹区期中）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（　　） A．55° B．70° C．40°或70° D．55°或70° （2）（2025秋•山东校级期中）已知等腰三角形的一边长为8cm，周长为20cm，则另两边长为（　　） A．8cm，4cm；B．6cm，4cm；C．6cm，6cm； D．4cm，8cm或6cm，6cm 活动二、如右图，根据△ABD≌△ACD，你还能得到什么结论？ 根据△ABD≌△ACD，可知∠BAD=∠CAD， 所以AD是△ABC的角平分线. 根据△ABD≌△ACD，可知∠ADB=∠ADC，而∠ADB+∠ADC=180°. 所以AD⊥BC，即AD是△ABC 的高. 于是，我们得到等腰三角形的性质定理2： 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”). 尝试练习2：（2025秋•安吉县期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，则下列结论不正确的是（　　） A．BD＝CD B．∠BAC＝∠ABC C．AD平分∠BAC D．S△ABD＝S△ACD 三、例题讲解 例1. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD。求证：∠ADB=∠BAC. B 尝试练习2：(书本第44页练习2)如图，AB=AD，CB=CD，连接AC，BD.求证：AC⊥BD. 例2．（2025春•浦东新区校级期末）在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝.AD． （1）如图1，求∠BAC的度数； （2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC． 四.小结思考 (1)“等边对等角”揭示了特殊三角形中边与角之间的关系.你认为还可以研究等腰三角形的哪些问题? (2)在等腰三角形相关的几何问题中，可以画哪些辅助线?(等腰三角形底边上的高线、中线及顶角 平分线是常用的辅助线，通过添画辅助线，把一个等腰三角形分成一对全等的直角三角形) 五、当堂练习 1．（2026春•长安区校级期末）等腰三角形周长是19，其中一边长是5，则等腰三角形的底边长是（　　） A．5 B．5或9 C．9 D．7 2．（2025秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，BD平分∠ABC交AC于点D，则∠ADB等于（　　） A．105° B．110° C．115° D．120°第2题 第3题 第4题 3．（2025秋•南开区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E为AC边上一点，连接DE，DE＝AE，若∠B＝54°，则∠ADE的大小为　 　 （度）． 4．（2025秋•庐阳区校级月考）“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠O的度数是　 　 ． 5．（2025春•南阳校级期末）已知：如图，等腰△ABC中，AB＝BC，腰BC的垂直平分线分别交AB、BC于E、D，连接CE． （1）若BC＝5，AC＝3，求△ACE的周长； （2）若∠B＝40°，求∠ACE的度数． 6．（2025秋•台安县月考）在△ABC中，已知点D在BC上，且CD＝CA，点E在CB的延长线上，且BE＝BA． （1）如图①，若∠BAC＝120°，AB＝AC，求∠DAE的度数； （2）试求∠DAE与∠BAC的数量关系． 1.5 等腰三角形(1)—等腰三角形的性质答案 【教学目标】 3. 理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理，发展推理能力. 4. 经历“折纸一猜想一证明”的过程，利用轴对称性和全等三角形研究等腰三角形，培养几何直观。 【教学重点】理解等腰三角形的性质定理. 【教学难点】等腰三角形性质定理的推理过程. 【教学过程】 2、 情景创设 1、如图，把一张长方形纸片对折，沿虚线剪下并展开，得到的三角形有什么特征？ 2、得到定义：有两条边相等的三角形叫作等腰三角.相等的边叫作腰. 如图，在△ABC中，AB=AC，则AB，AC叫作△ABC的腰. 二、探索活动 活动一、我们已经知道，等腰三角形的两个底角相等，这是如何证明的呢？ 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，作BC边上的中线AD. 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD （SSS) ∴∠B=∠C. 我们把等腰三角形中两个相等的角叫作底角. 于是，我们得到等腰三角形的性质定理1： 等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”) 如右图，∵AB=AC， ∴∠B=∠C. 尝试练习1: （1）（2025春•牡丹区期中）等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（　D　） A．55° B．70° C．40°或70° D．55°或70° （2）（2025秋•山东校级期中）已知等腰三角形的一边长为8cm，周长为20cm，则另两边长为（　D　） A．8cm，4cm；B．6cm，4cm；C．6cm，6cm； D．4cm，8cm或6cm，6cm 活动二、如右图，根据△ABD≌△ACD，你还能得到什么结论？ 根据△ABD≌△ACD，可知∠BAD=∠CAD， 所以AD是△ABC的角平分线. 根据△ABD≌△ACD，可知∠ADB=∠ADC，而∠ADB+∠ADC=180°. 所以AD⊥BC，即AD是△ABC 的高. 于是，我们得到等腰三角形的性质定理2： 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”). 尝试练习2：（2025秋•安吉县期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，则下列结论不正确的是（　B　） A．BD＝CD B．∠BAC＝∠ABC C．AD平分∠BAC D．S△ABD＝S△ACD 三、例题讲解 例1. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD。求证：∠ADB=∠BAC. 证明:∵AB=AC,AD=BD, ∴∠B=∠C，∠BAD=∠B(等边对等角). ∵∠C=∠BAD， ∵∠ADB是ADC的外角， ∴ ∠ADB=∠C+∠CAD. ∴.∠ADB=∠BAD+∠CAD. ∴∠ADB=∠BAC. 尝试练习2：(书本第44页练习2)如图，AB=AD，CB=CD，连接AC，BD.求证：AC⊥BD.B 证明：设AC与BD的交点为0. O ∵AB=AD, CB=CD, ∴∠ADB=∠ABD, ∠CDB= ∠CBD, ∴∠ADC=∠ABC, ∴△ADC≌△ABC. ∴∠DAC=∠BAC ∴AC⊥BD(三线合一). 也可以直接利用线段中垂线性质定理的逆定理证明，体会证明角度的多样化. 例2．（2025春•浦东新区校级期末）在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝.AD． （1）如图1，求∠BAC的度数； （2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC． （1）解：设∠ABD＝x°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝x°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝2x°， 又∵BD＝AD， ∴∠A＝x°， 又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°， ∴∠BDC＝∠C＝2x°， ∴BD＝BC， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴x+2x+2x＝180， 解得x＝36， ∴∠A＝36°， ∴∠BAC的度数为36°； （2）∵E是AB的中点，BD＝AD， ∴EF是AB的垂直平分线， ∴AF＝BF， ∴∠FBA＝∠FAB＝72°， ∴∠AFB＝∠FAC＝36°， ∴CA＝CF， ∴AB＝AC＝CF， ∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC． 四.小结思考 (1)“等边对等角”揭示了特殊三角形中边与角之间的关系.你认为还可以研究等腰三角形的哪些问题? (2)在等腰三角形相关的几何问题中，可以画哪些辅助线?(等腰三角形底边上的高线、中线及顶角 平分线是常用的辅助线，通过添画辅助线，把一个等腰三角形分成一对全等三角形) 五、当堂练习 1．（2026春•长安区校级期末）等腰三角形周长是19，其中一边长是5，则等腰三角形的底边长是（B） A．5 B．5或9 C．9 D．7 2．（2025秋•海淀区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，BD平分∠ABC交AC于点D，则∠ADB等于（ A　） A．105° B．110° C．115° D．120°第2题 第3题 第4题 3．（2025秋•南开区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E为AC边上一点，连接DE，DE＝AE，若∠B＝54°，则∠ADE的大小为　36　 （度）． 4．（2025秋•庐阳区校级月考）“三等分角”大约在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠O的度数是 　250　 ． 5．（2025春•南阳校级期末）已知：如图，等腰△ABC中，AB＝BC，腰BC的垂直平分线分别交AB、BC于E、D，连接CE． （1）若BC＝5，AC＝3，求△ACE的周长； （2）若∠B＝40°，求∠ACE的度数． 解：（1）∵ED垂直平分BC， ∴EC＝EB， ∵AB＝BC＝5，AC＝3， ∴△ACE的周长＝CA+AE+CE＝CA+AE+BE＝AC+AB＝8； （2）∵ED垂直平分BC， ∴EC＝EB， ∴∠ECB＝∠B＝40°， ∵AB＝CB， ∴∠BCA＝∠A（180°﹣40°）＝70°， ∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝30°． 6．（2025秋•台安县月考）在△ABC中，已知点D在BC上，且CD＝CA，点E在CB的延长线上，且BE＝BA． （1）如图①，若∠BAC＝120°，AB＝AC，求∠DAE的度数； （2）试求∠DAE与∠BAC的数量关系． 解：（1）在△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，∠BAC＝120°， ∴2∠C+120°＝180°， ∴∠C＝30°， ∴∠ABC＝∠C＝30°， 在△CAD中，CD＝CA， ∴∠CAD＝∠CDA， ∵∠CAD+∠CDA+∠C＝180°， ∴2∠CAD+30°＝180°， ∴∠CAD＝75°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝120°﹣75°＝45°， 在△ABE中，BE＝BA， ∴∠BAE＝∠E， ∵∠ABC是△ABE的外角， ∴∠ABC＝∠BAE+∠E＝2∠BAE＝30°， ∴∠BAE＝15°， ∴∠DAE＝∠BAE+∠BAD＝15°+45°＝60°． （2）∠DAE与∠BAC的数量是：，理由如下： 设∠BAE＝α，∠DAB＝β， 在△ABE中，BE＝BA， ∴∠E＝∠BAE＝α， ∵∠ABD是△ABE的外角， ∴∠ABD＝∠E+∠BAE＝2α， ∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠CDA＝∠ABD+∠DAB＝2α+β， 在△CAD中，CD＝CA， ∴∠CAD＝∠CDA＝2α+β， ∴∠BAC＝∠CAD+∠DAB＝2α+β+β＝2（α+β）， 又∵∠DAE＝∠BAE+∠DAB＝α+β， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $