28.1 成比例的线段（教学课件）数学新教材沪教版五四制九年级上册

该初中数学课件聚焦“成比例的线段”核心内容，涵盖定义、比例中项、基本性质及黄金分割。课堂导入通过照片放大、地图比例尺、身高影长等生活情境，关联六年级数的比知识，搭建新旧知识学习支架。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过合比等性质推导发展数学思维，结合黄金分割计算与中考应用强化数学语言表达。采用情境引入、合作探究等方法，助学生提升应用能力，为教师提供丰富教学资源与实践支持。

28.1 成比例的线段 第二十八章 相似三角形 沪教版九年级上册 学习目标 理解成比例的线段的定义，会判断四条线段是否成比例，理解比例中项概念，会求两条线段的比例中项。 一 掌握比例基本性质、更比、反比、合比、等比性质，熟练进行比例式变形、求值计算，初步认识黄金分割与黄金比。 二 1 情境引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 情境引入 照片放大后会变形吗 小明：想把 3 寸照片放大成 6 寸 01 02 03 店员提问：保持原比例还是拉伸满框？ 小明：长和宽按相同倍数放大 → 照片不变形 这个"相同的倍数"背后，藏着怎样的数学规律？ 04 = (成比例) 情境引入 地图上的比例尺秘密 学校→公园 图上距离 4 cm 实际距离 40 m 学校→图书馆 图上距离 6 cm 实际距离 60 m 4 : 4000 = 6 :6000 两个比值 相等——是巧合吗？ 两个比值 完全相等——这不是巧合 地图上，图上距离与实际距离的比都相等。 情境引入 成比例 两个比值竟然相等！你能解释原因吗？ 六年级我们学过数的比，以及四个数成比例，今天我们学习线段成比例。 自然界中隐藏着大量成比例的线段关系，等待我们去发现、研究。 小丽 身高 140 厘米 影长 175 厘米 小华 身高 160 厘米 影长 200 厘米 VS = 的线段 合作探究 成比例的线段 两条线段长度的比叫作两条线段的比。 特别注意：求两条线段的长度比时，单位必须统一，比值没有单位。 定义：如果四条线段 a、b、c、d 满足 a : b = c : d，则这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 比例线段也可写成分数形式： = 基本性质 如果 a：b=c：d 或 = 那么 ad=bc (外项积等于内项积). 比例中项 若 a : b = b : c，即 b² = ac，则 b 是 a 和 c 的比例中项。 巩固练习 1. 已知线段a=4cm，c=9 cm. 求线段a 和 c 的比例中项b . 成比例的线段 总结：线段的长度都是正数，两条线段的比值也都是正数 解：由题意得b² = ac； ∴b² = ∴b =6或b=-6(舍) 巩固练习 2. 如图，已知：AD 、BE 是∆ABC 的两条高。求证： . 成比例的线段 总结：线段的长度都是正数，两条线段的比值也都是正数 解：∵S∆ABC=BC=AC； ∴BC=AC ∴ 合作探究 比例线段的性质 性质1 基本性质： 性质2 合比性质： 如果 = ,那么 ad=bc. 常见变式： , … (检验方法：交叉相乘是否满足 ad=bc ). 如果 = ,那么 = . (分子加分母，比例线段依然成立) 证明：∵ = ，∴+1 = +1 ∴ = . 性质3 合比性质(推论)： 如果 = ,那么 = . (分子减分母，比例线段依然成立) 证明：∵ = ，∴-1 = -1 ∴ = . 挑战 已知 = ,求证： = . （特别说明：默认式中出现的分母均不为零) ① ② （提示：②① 即可得） 合作探究 成比例线段的性质 性质1 基本性质 性质2 合比性质 如果 = ,那么 ad=bc. 如果 = ,那么 = . 性质3 合比性质(推论) 如果 = ,那么 = . 证明： 由题意得到a=bk,c=dk 性质4 等比性质 如果 = =k，那么 =k (b+d). ∴ = =k. 总结 设参法（k）是比例线段计算、证明的常用方法。 挑战 已知 = = =…= ，求证： = 典例分析 例2 下列四组线段中，属于成比例线段的一组是（    ） A．1，2，3，4 B．2，6，4，8 C．1，2，10，5 D．8，3，5，2 总结：判断三步法—— 排序 → 计算 → 比较 解：A ∵ ∴线段1，2，3，4不属于成比例线段； B ∵ ∴线段2，6，4，8不属于成比例线段； C ∵ ∴线段1，2，10，5属于成比例线段； D ∵ ∴线段8，3，5，2不属于成比例线段； 比例线段的性质 典例分析 例2 如图 ,已知： 求证：(1) (2). 比例线段的性质 证明:(1)∵ ∴ （合比性质） 即 (2)∵ ∴ ∴ （合比性质） 即 归纳总结 成比例的线段 性质1 基本性质 性质2 合比性质 如果 = ,那么 ad=bc. 如果 = ,那么 = . 性质3 合比性质(推论) 如果 = ,那么 = . 证明： 由题意得到a=bk,c=dk 性质4 等比性质 如果 = =k，那么 =k (b+d). ∴ = =k. 定义： 如果四条线段 a、b、c、d 满足 a : b = c : d，则这四条线段叫做 成比例线段，简称 比例线段. 上面的点P 将线段AB 分割成两段，其中较长一段( AP) 为较短一段 (BP) 和线段AB 的比例中项，这样的分割叫作黄金分割，点 P 叫作线段AB 的黄金分割点.分割得到的较长线段与整条线段的比值 叫作黄金数，它 是一个无理数，近似值通常取为0.618. 合作探究 黄金分割 探究： 已知线段AB, 在线段AB 上是否存在一点P，使得 = . 解： 设AB=l,AP=x，那么PB=l-x 由 可得方程 即， 解之，得， 或 答：通过计算说明了满足要求的点P  是存在的. 舍去负值∴ 定义：上面的点P 将线段AB 分割成两段，其中较长一段( AP) 为较短一段 (BP) 和线段AB 的比例中项，这样的分割叫作黄金分割，点 P 叫作线段AB 的黄金分割点. 0.618 分割得到的较长线段与整条线段的比值叫作黄金数，它 是一个无理数，近似值通常取为0.618.   典例分析 例3 如图已知点C、P 都是线段AB 的黄金分割点，若AB=4，则CD的长是_____． 比例线段的性质 解: ∵点C、P 都是线段AB 的黄金分割点 ∴ 总结：在线段的黄金分割图中，较长线段AP=AB，较短线段PB=AB 即 AP=BC= AB= ∴CP=AP+BC-AB= +-4= 巩固练习 3. 如果线段MN 的长为2 cm, 点 P 是线段MN 的黄金分割点， 那么较长线段MP 的长是________cm, 较短线段PN 的长是________cm. 解：(1) MP=MN= 解：(2) PN=MN= 成比例的线段 小结梳理 成比例的线段 中考链接 1. （2026·北京海淀·二模）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为3∶2 的矩形．若墙上投影画面的短边长1.2 m为，则投影画面的长边长为（     ） A．0.8m B．1.8m C．2m D．2.4m 成比例的线段 B 中考链接 2. （2026·辽宁阜新·二模）如图，社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（ABCE）和健身区（CHGD）均为正方形，且点E、G分别为AF、FH的黄金分割点（其中AE>EF，GH>FG），若长AF为200m，则的CD长为___________m. 成比例的线段 100(3-) 作业 习题28.1 第1~3题 必做题 成比例的线段 作业 1.如图，在Rt△ABC中 ，CD是斜边AB上的高.试猜想线段AB、AC、BC、CD 是否成比例.如果成比例，请写出这个比例式. 选做题 成比例的线段 【答案】成比例= 沪教版九年级上册 谢谢观看！ $