2.6 指数与指数函数 讲义- 2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦指数与指数函数核心考点，涵盖根式、分数指数幂、运算性质及函数图象性质等知识点，按“知识点梳理-题型分类突破”架构组织，通过知识回顾夯实基础，题型精讲（含8类典型题型）结合方法技巧指导，真题训练（如2025模拟题）助力学生突破运算、图象应用等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以分层教学为特色，每个题型配备方法技巧（如比较大小用单调性与中间值法）和梯度例题，注重培养数学思维（运算推理）与数学语言（符号表达），例如题型七恒成立问题通过分离参数法提升逻辑分析能力，帮助学生在有限时间内高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2.6　指数与指数函数 目录 知识点1.根式 2 知识点2.分数指数幂 2 知识点3.指数幂的运算性质 2 知识点4.指数函数及其性质 2 题型一：指数幂的运算 3 题型二：指数函数的图象及应用 4 题型三：指数函数过定点问题 6 题型四：比较指数式的大小 7 题型五：解指数方程或不等式 8 题型六：指数函数的最值与值域问题 9 题型七：指数函数中的恒成立问题 11 题型八：指数函数的综合问题 13 01 知识回顾 知识点1.根式 (1)一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (3)()n=a. 当n为奇数时，=a， 当n为偶数时，=|a|= 知识点2.分数指数幂 正数的正分数指数幂：=(a>0，m，n∈N*，n>1). 正数的负分数指数幂：==(a>0，m，n∈N*，n>1). 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 知识点3.指数幂的运算性质 aras=ar+s；(ar)s=ars；(ab)r=arbr(a>0，b>0，r，s∈R). 知识点4.指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，+∞) 性质 过定点(0，1)，即x=0时，y=1 当x>0时，y>1；当x<0时， 0<y<1 当x<0时，y>1；当x>0时， 0<y<1 增函数 减函数 指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b. 02 必做典例 题型一：指数幂的运算 1. 计算：++×[(-2)4=　　　　.  【答案】　+19 【解析】　原式=+-1+×23 =2+-1+×8 =+1+×8=+19. 2. （1）； （2）已知，，求的值. 【解析】（1）原式 （2）因为，， 所以，， 所以. 3. （多选题）已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由，所以A正确； 由，所以B正确； 由， 因为，，所以，所以C错误； 由，所以D正确． 故选：ABD． 题型二：指数函数的图象及应用 【方法技巧】 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当时，指数函数的图像呈上升趋势；当时，指数函数的图像呈下降趋势. 4. 下给出下列函数，其中为指数函数的是(　　) A.y=x4 B.y=xx C.y=πx D.y=-4x 【答案】　C 【解析】　因为指数函数的形式为y=ax(a>0且a≠1)，所以y=πx是指数函数，即C正确；而A，B，D中的函数都不满足要求，故A，B，D错误. 5. 若函数f(x)=(a2+2a-2)(a+4)x为指数函数，则(　　) A.a=1或a=-3 B.a>0且a≠1 C.a=1 D.a=-3 【答案】　C 【解析】　因为函数f(x)=(a2+2a-2)(a+4)x为指数函数，则解得a=1. 6. 已知指数函数f(x)的图象过点则f(x)=　　　　，[f(2)]2的值为　　　　　　. 【答案】　 【解析】　设指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)， 把点代入可得解得a=. 所以f(x)=所以[f(2)]2=. 7. 如图是指数函数①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 【答案】　B 【解析】　作直线x=1，由下到上分别与②，①，④，③相交，所以b<a<1<d<c. 8. (多选)已知函数f(x)=ax-b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象如图所示，则(　　) A.a>1 B.0<a<1 C.b>1 D.0<b<1 【答案】　BD 【解析】　观察图象得，函数f(x)=ax-b是减函数，因此0<a<1， 设图象与y轴交点的纵坐标为y0，则0<y0<1， 又y0=f(0)=1-b，于是得0<1-b<1，解得0<b<1， 所以0<a<1，0<b<1. 9. (多选)(2025·淮安模拟)已知实数a，b满足等式=，则下列关系式中可能成立的是(　　) A.0<b<a B.b<a<0 C.a=b D.a<b<0 【答案】　ACD 【解析】　如图所示，当=>1时，则a<b<0； 当==1时，则a=b=0； 当0<=<1时，0<b<a. 题型三：指数函数过定点问题 【方法技巧】 恒过定点． 10. 函数f(x)=ax-2+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(　　) A.(0，1) B.(0，2) C.(2，1) D.(2，2) 【答案】　D 【解析】　方法一　令x-2=0， 得x=2，则f(2)=2， 故函数f(x)的图象恒过定点(2，2). 方法二　因为y=ax(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(0，1)， 又f(x)=ax-2+1的图象是由y=ax的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，故f(x)的图象恒过定点(2，2). 11. 要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为(　　) A.t≤-1 B.t<-1 C.t≤-3 D.t≥-3 【答案】　C 【解析】　∵函数g(x)=3x+1+t的图象过定点(0，3+t)，且为增函数，要使g(x)的图象不经过第二象限，则3+t≤0，解得t≤-3. 12. 已知函数，且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 . 【答案】 【解析】对于函数，且，令，则， 则函数且的图象恒过定点， 则，且， 故， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为， 故答案为; 题型四：比较指数式的大小 【方法技巧】 比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法． 13. (2026·大同模拟)设a=0.30.2，b=1.10.2，c=1.10.3，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b 【答案】　A 【解析】　因为函数y=1.1x单调递增，所以1=1.10<1.10.2<1.10.3，故1<b<c， 又函数y=0.3x单调递减，所以a=0.30.2<0.30=1，所以a<b<c. 14. 设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 【答案】　C 解析　∵1.50.6>1.50=1，0.60.6<0.60=1，故1.50.6>0.60.6， 又函数y=0.6x是减函数，且1.5>0.6， ∴0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6.即b<a<c. 15. （2025·云南·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以，因为，， 所以，所以. 故选：D. 题型五：解指数方程或不等式 【方法技巧】 利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 16. 解不等式23x-1≤2. 【解析】　不等式23x-1≤2可化为23x-1≤21， 则3x-1≤1，解得x≤ 故原不等式的解集是. 17. >ax+6，求实数x的取值范围. 【解析】　分情况讨论：①当0<a<1时，函数f(x)=ax是减函数， ∴x2-3x+1<x+6， ∴x2-4x-5<0， 解得-1<x<5； ②当a>1时，函数f(x)=ax是增函数， ∴x2-3x+1>x+6， ∴x2-4x-5>0，解得x<-1或x>5， 综上所述，当0<a<1时，实数x的取值范围是{x|-1<x<5}； 当a>1时，实数x的取值范围是{x|x<-1或x>5}. 18. 不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】不等式，可化为， 即，解得，所以， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 19. (2025·大连期末)不等式2·10x-3x-6x≤0的解集为　　　　　　.  【答案】　(-∞，0] 【解析】　原不等式等价于2--≤0， 令f(x)=2--，则f(0)=0， 所以f(x)≤f(0)， 因为y=和y=在R上单调递减，所以函数f(x)在R上单调递增， 所以x≤0，所以原不等式的解集为(-∞，0]. 题型六：指数函数的最值与值域问题 【方法技巧】 指数函数的最值与值域问题通常利用指数函数的单调性解决. 20. （2025·高三·云南楚雄·期末）已知奇函数在上的最大值为，则 ． 【答案】2或 【解析】因为是奇函数，所以， 解得，即． 当时，函数在上单调递增，则，解得． 当时，函数在上单调递减，则，解得． 故答案为：2或 21. 已知函数，且，若函数在[0，2]上的最大值比最小值大，则的值为 . 【答案】或 【解析】①当时，函数在[0，1]上是减函数，在（1，2]上也是减函数. ∵，∴函数的最大值为，而，∴函数的最小值为， ∴，解得，符合题意. ②当时，函数在[0，1]上是增函数，在（1，2]上是减函数. ∵， ∴函数的最大值为，而，， 当时，，此时函数的最小值为，因此有，无解； 当时，，此时函数的最小值为，因此有，解得，符合题意. 综上所述，实数的值为或. 故答案为：或. 22. 已知函数在处取得最小值. (1)求，的值； (2)，求函数，的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的值. 【解析】（1）因为在处取得最小值， 即，，解得，； （2）由（1）知，则， 所以， 令，∵，则， 则，， 由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以，此时即，解得； 又，， 当时，即，解得， 所以当时，，当时， 题型七：指数函数中的恒成立问题 【方法技巧】 已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解； （2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决． 23. 已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，， ∴当时，， 当时，为增函数，所以时，取得最大值， ∵对，使得，∴， ∴，解得. 故答案为：. 24. （2025·高三·河北衡水·开学考试）已知函数是奇函数，且. (1)求的值； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）是奇函数， 经检验当时，是奇函数符合题意， 又或（舍），； （2），即， 又，故恒成立， 令，因为，故，由对勾函数性质可得在上单调递减，. 题型八：指数函数的综合问题 【方法技巧】 指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解． 25. 　(2025·合肥期末)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数f(x)的单调性，并说明理由； (3)若不等式f(m·3x)+f(3x-9x-2)>0对任意的x≥0恒成立，求实数m的取值范围. 【解析】　(1)由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)===0， 解得a=1，经检验，a=1符合题意，所以a=1. (2)函数f(x)在R上是减函数，理由如下. 由(1)知f(x)==-1，因为函数y=ex+1在R上单调递增， 所以函数y=在R上单调递减，所以函数f(x)=-1在R上单调递减， 即函数f(x)在R上是减函数. (3)由f(m·3x)+f(3x-9x-2)>0，得f(m·3x)>-f(3x-9x-2)=f(9x-3x+2)， 由(2)知，f(x)是R上的减函数，则m·3x<9x-3x+2，即m<=3x+-1， 依题意，m<3x+-1对任意的x≥0恒成立， 而3x≥1，则3x+-1≥2-1=2-1，当且仅当3x=，即3x=时取等号， 因此m<2-1， 所以实数m的取值范围是(-∞，2-1). 26. 已知函数f(x)=g(x)=f(x)-1. (1)判断函数y=g(x)的奇偶性，并求函数y=g(x)的值域； (2)若实数m满足g(m)+g(m-2)>0，求实数m的取值范围. 【解析】　(1)因为g(x)=f(x)-1=-1=定义域为R， 设任意x∈R，-x∈R，且g(-x)==-g(x)，所以函数g(x)是奇函数. 又因为g(x)=-1=-1，1+3-2x>1，所以0<<2， 所以-1<-1<1，所以函数y=g(x)的值域是(-1，1). (2)因为y=1+3-2x是R上的减函数，所以g(x)=-1=-1在R上是增函数， 所以y=g(x)在R上是单调递增的奇函数，由g(m)+g(m-2)>0得，g(m)>-g(m-2)=g(2-m)， 所以m>2-m，所以m>1.故实数m的取值范围是(1，+∞). 27. 若函数是定义在上的奇函数，且对任意恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为函数是定义在上的奇函数， 所以，解得，所以， 又因为，所以， 即对任意恒成立，所以， 所以易得到在上单调递增， 由，得，即， 因为是定义在上的奇函数，所以， 因为在上单调递增，所以，即对任意恒成立， 若，则，此时对任意恒成立； 若，则，解得， 综上：的取值范围为． 故答案为：. 28. （2025·河南平顶山·模拟预测）已知函数且）为定义在R上的奇函数 (1)利用单调性的定义证明：函数在R上单调递增； (2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数有且仅有两个零点，求实数k的取值范围． 【解析】（1）证明：由函数为奇函数，有，解得， 当时，，，符合函数为奇函数，可知符合题意． 设，有 ， 由，有，有，故函数在上单调递增； （2）由 ． （1）当时，不等式为恒成立，符合题意； （2）当时，有，解得， 由上知实数的取值范围为； （3）由，方程可化为， 若函数有且仅有两个零点，相当于方程有两个不相等的正根， 故有，即解得． 故实数的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.6　指数与指数函数 目录 知识点1.根式 2 知识点2.分数指数幂 2 知识点3.指数幂的运算性质 2 知识点4.指数函数及其性质 2 题型一：指数幂的运算 3 题型二：指数函数的图象及应用 4 题型三：指数函数过定点问题 6 题型四：比较指数式的大小 7 题型五：解指数方程或不等式 8 题型六：指数函数的最值与值域问题 9 题型七：指数函数中的恒成立问题 11 题型八：指数函数的综合问题 13 01 知识回顾 知识点1.根式 (1)一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (3)()n=a. 当n为奇数时，=a， 当n为偶数时，=|a|= 知识点2.分数指数幂 正数的正分数指数幂：=(a>0，m，n∈N*，n>1). 正数的负分数指数幂：==(a>0，m，n∈N*，n>1). 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 知识点3.指数幂的运算性质 aras=ar+s；(ar)s=ars；(ab)r=arbr(a>0，b>0，r，s∈R). 知识点4.指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，+∞) 性质 过定点(0，1)，即x=0时，y=1 当x>0时，y>1；当x<0时， 0<y<1 当x<0时，y>1；当x>0时， 0<y<1 增函数 减函数 指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b. 02 必做典例 题型一：指数幂的运算 1. 计算：++×[(-2)4=　　　　.  2. （1）； （2） 已知，，求的值. 3. （多选题）已知，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：指数函数的图象及应用 【方法技巧】 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当时，指数函数的图像呈上升趋势；当时，指数函数的图像呈下降趋势. 4. 下给出下列函数，其中为指数函数的是(　　) A.y=x4 B.y=xx C.y=πx D.y=-4x 5. 若函数f(x)=(a2+2a-2)(a+4)x为指数函数，则(　　) A.a=1或a=-3 B.a>0且a≠1 C.a=1 D.a=-3 6. 已知指数函数f(x)的图象过点则f(x)=　　　　，[f(2)]2的值为　　　　　　. 7. 如图是指数函数①y=ax，②y=bx，③y=cx，④y=dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(　　) A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 8. (多选)已知函数f(x)=ax-b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象如图所示，则(　　) A.a>1 B.0<a<1 C.b>1 D.0<b<1 9. (多选)(2025·淮安模拟)已知实数a，b满足等式=，则下列关系式中可能成立的是(　　) A.0<b<a B.b<a<0 C.a=b D.a<b<0 题型三：指数函数过定点问题 【方法技巧】 恒过定点． 10. 函数f(x)=ax-2+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(　　) A.(0，1) B.(0，2) C.(2，1) D.(2，2) 11. 要使g(x)=3x+1+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为(　　) A.t≤-1 B.t<-1 C.t≤-3 D.t≥-3 12. 已知函数，且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 . 题型四：比较指数式的大小 【方法技巧】 比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法． 13. (2026·大同模拟)设a=0.30.2，b=1.10.2，c=1.10.3，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b 14. 设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 15. （2025·云南·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 题型五：解指数方程或不等式 【方法技巧】 利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 16. 解不等式23x-1≤2. 17. >ax+6，求实数x的取值范围. 18. 不等式的解集为 ． 19. (2025·大连期末)不等式2·10x-3x-6x≤0的解集为　　　　　　.  题型六：指数函数的最值与值域问题 【方法技巧】 指数函数的最值与值域问题通常利用指数函数的单调性解决. 20. （2025·高三·云南楚雄·期末）已知奇函数在上的最大值为，则 ． 21. 已知函数，且，若函数在[0，2]上的最大值比最小值大，则的值为 . 22. 已知函数在处取得最小值. (1)求，的值； (2)，求函数，的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的值. 题型七：指数函数中的恒成立问题 【方法技巧】 已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解； （2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决． 23. 已知函数，若，使得，则实数a的取值范围是 . 24. （2025·高三·河北衡水·开学考试）已知函数是奇函数，且. (1)求的值； (2)若，不等式恒成立，求的取值范围. 题型八：指数函数的综合问题 【方法技巧】 指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解． 25. 　(2025·合肥期末)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数f(x)的单调性，并说明理由； (3)若不等式f(m·3x)+f(3x-9x-2)>0对任意的x≥0恒成立，求实数m的取值范围. 26. 已知函数f(x)=g(x)=f(x)-1. (1)判断函数y=g(x)的奇偶性，并求函数y=g(x)的值域； (2)若实数m满足g(m)+g(m-2)>0，求实数m的取值范围. 27. 若函数是定义在上的奇函数，且对任意恒成立，则的取值范围为 ． 28. （2025·河南平顶山·模拟预测）已知函数且）为定义在R上的奇函数 (1)利用单调性的定义证明：函数在R上单调递增； (2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数有且仅有两个零点，求实数k的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $