第2章 2.6 指数与指数函数（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦指数与指数函数核心考点，涵盖根式、分数指数幂的定义与运算性质，指数函数的概念、图象及单调性等考查要求，按“概念-运算-性质-应用”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生突破运算技巧与性质应用难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用“辨析-建模-应用”教学策略，如指数幂运算中通过正误判断培养学生的运算能力与推理意识，指数函数图象问题结合分类讨论（a>1与0<a<1）发展逻辑思维。设置基础判断、能力提升、综合应用分层练习，配合即时反馈，保障复习效果，助力学生构建知识网络，提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

§2.6　指数与指数函数 ★[考试要求] 1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 1．根式 (1)如果xn＝a，那么　x　叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做　根式　，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝　a　. 当n为奇数时，＝　a　； 当n为偶数时，＝|a|＝ 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于　0　，0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质 aras＝　ar＋s　；(ar)s＝　ars　；(ab)r＝　arbr　(a>0，b>0，r，s∈R)． 4．指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 　(0，＋∞)　 性质 过定点　(0,1)　，即x＝0时，y＝1 当x>0时，　y>1　； 当x<0时，　0<y<1　 当x<0时，　y>1　； 当x>0时，　0<y<1　 在(－∞，＋∞)上是　增函数　 在(－∞，＋∞)上是　减函数　 1．指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． 2．函数y＝ax与y＝x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称． 3．底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝－ax是指数函数．(×) (2)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(√) (3)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(×) (4)函数y＝ax＋2(a＞0，且a≠1)过定点(0,2)．(×) 2．化简的结果为(　　) A．－9　　　 B．7 C．－10　　　 D．9 解析：B　 3．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，f(2)＝4，则(　　) A．f(－2)＞f(－1) B．f(－1)＞f(－2) C．f(1)＞f(2) D．f(－2)＞f(2) 解析：A　[由a－2＝4，a＞0，得a＝， ∴f(x)＝－|x|＝2|x|. 又∵|－2|＞|－1|，∴2|－2|＞2|－1|， 即f(－2)＞f(－1)．] 4．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P，则f(－1)＝　________　. 解析：由题意知＝a2，所以a＝， 所以f(x)＝x，所以f(－1)＝－1＝. 答案： 　　　指数幂的运算 [例1]　[多选]下列运算正确的是(　　) [解析]　对于A，＋()0－2－1＝0.5＋1－＝1，A错误； 对于B，×＋(π－1)0＝－2－＋－2×＋1＝－＋25×＋1＝－＋2＝，B正确； 由(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝16，得x2＋x－2＝14， 所以＝＝，D正确． [答案]　BD 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一． [多选]下列计算正确的是(　　) A.＝ B. C.＝ D．已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2 解析：BC　[对于A，＝＝＝≠，所以A错误； 对于B， ＝－9a(a>0，b>0)，所以B正确； 对于C，，所以C正确； 对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4， 所以x＋x－1＝±2，D错误．] 　　　指数函数的图象及应用 [例2]　(1)[多选]下列选项正确的是(　　) A．函数f(x)＝(2a2－3a＋2)·ax是指数函数，则a＝ B．函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的值域为R C．函数f(x)＝ax＋1的图象可以由f(x)＝ax向右平移一个单位得到 D．函数y＝a2x＋3－1恒过定点 [解析]　对于A,2a2－3a＋2＝1且a＞0，a≠1，a＝，A正确； 对于B，不论0＜a＜1，还是a＞1，值域都为(0，＋∞)，B错误； 对于C，f(x)＝ax向左平移一个单位得到f(x)＝ax＋1，C错误； 对于D，令2x＋3＝0，则x＝－，y＝0，所以函数y＝a2x＋3－1恒过定点，故D正确． [答案]　AD (2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________． [解析]　①当0<a<1时，y＝|ax－1|的图象如图1.因为y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，所以0<2a<1，所以0<a<. ②当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图2，而此时直线y＝2a不可能与y＝|ax－1|的图象有两个交点．综上，a的取值范围是0<a<. [答案]　 与指数函数有关的图象问题的求解方法 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 1．[多选]已知实数a，b满足等式2 026a＝2 027b，则下列关系式成立的是(　　) A．0<b<a　　　　　　 B．a<b<0 C．0<a<b D．a＝b 解析：ABD　[如图，观察易知a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.] 2．(2025·北京卷)为得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上的所有点(　　) A．横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变成原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变 解析：A　[由y＝9x＝32x，根据平移法则即可解出． 因为y＝9x＝32x，所以将函数y＝3x的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数y＝9x的图象，故选：A.] 　　　指数函数的性质及应用 ►[角度1]　比较指数式的大小　 [例3－1]　下列大小关系不正确的是(　　) [解析]　A选项，.因为2.5＞1，＞，又因为指数函数y＝2.5x在R上单调递增，所以，即，故A正确；B选项，，因为0＜＜1，－＞－；又因为指数函数y＝x在R上单调递减，所以，故B正确；C选项，因为，，所以，故C错误；D选项，因为2.51.6＞1,2－0.2＜1，所以2.51.6＞2－0.2.故D正确． [答案]　C ►[角度2]　解简单的指数方程或不等式　 [例3－2]　(1)若x满足不等式，则函数y＝2x的值域是(　　) A. B. C. D．[2，＋∞) [解析]　将化为x2＋1≤－2(x－2)，即x2＋2x－3≤0，解得x∈[－3,1]，所以2－3≤2x≤21，所以函数y＝2x的值域是. [答案]　B (2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________． [解析]　①当a<1时，由f(1－a)＝f(a－1)得41－a＝2a－(a－1)，即22－2a＝2，所以2－2a＝1，解得a＝；②当a>1时，由f(1－a)＝f(a－1)得4a－1＝2a－(1－a)，即22a－2＝22a－1，所以2a－2＝2a－1，无解．综上可知，a＝. [答案]　 ►[角度3]　指数函数性质的综合应用　 [例3－3]　已知函数f(x)、奇函数g(x)和偶函数h(x)的定义域均为R，且满足f(x)＝g(x)－h(x)，若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)． (1)求g(x)的解析式； (2)求h(x)在R上的最大值． [解]　(1)由f(x)＝g(x)－h(x)可知f(－x) ＝g(－x)－h(－x)，由g(x)为奇函数，h(x)为偶函数，可知g(－x)＝－g(x)，h(－x)＝h(x)， 则f(－x)＝－g(x)－h(x)， 则g(x)＝＝. (2)由(1)得h(x)＝－＝－， 当a＞0，且a≠1时，ax＞0，则ax＋a－x＝ax＋≥ 2＝2，当且仅当ax＝1，即x＝0时取等号， 故h(x)＝－在R上的最大值为－1. (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量． (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 1．设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0,1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．(0,2] D．[2，＋∞) 解析：D　[由题意易得，≥1，所以a的取值范围是[2，＋∞)．] 2．[多选]已知函数f(x)＝＋a(a∈R)，则(　　) A．f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) B．f(x)的值域为R C．当a＝1时，f(x)为奇函数 D．当a＝2时，f(－x)＋f(x)＝2 解析：ACD　[对于函数f(x)＝＋a(a∈R)，令2x－1≠0，解得x≠0， 所以f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确； 因为2x＞0，当2x－1＞0时，＞0，所以＋a＞a， 当－1＜2x－1＜0时，＜－2，所以＋a＜－2＋a， 综上可得f(x)的值域为(－∞，－2＋a)∪(a，＋∞)，故B错误； 当a＝1时，f(x)＝＋1＝，则f(－x)＝＝－＝－f(x)， 所以f(x)＝＋1为奇函数，故C正确； 当a＝2时f(x)＝＋2＝＋1， 则f(－x)＋f(x)＝＋1＋＋1＝2，故D正确．] 学科网（北京）股份有限公司 $