专题03 配方法的应用12类热考问题（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 以完全平方公式与非负性为底层逻辑，构建12类热考问题的配方法应用体系，实现从基础变形到综合应用的能力迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1核心总结|恒等变形、多变量联立方程组|从公式原理到解题准则，奠定方法基础| |题型精讲|12类典例+变式|单/双变量配方、消元配方等|按应用场景分类，覆盖求值、比较大小、最值等核心考法| |压轴挑战|19道综合题|跨知识综合应用|从基础到压轴，培养抽象能力与推理意识|

专题03 配方法的应用12类热考问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、配方法直接求值 2 类型二、单式配方比较代数式大小 2 类型三、双配方构造非负式比较大小 8 类型四、单变量配方求整式最值 10 类型五、双变量双配方求多元代数式最值 13 类型六、双变量先消元再配方求解最值 17 类型七、利用配方非负性判定三角形形状 20 类型八、配方法证明代数式恒正 / 恒负恒成立 22 类型九、配方法在实数范围内分解二次三项式 26 类型十、配方法结合新定义运算综合题型 28 类型十一、配方法解决几何周长、面积、线段最值应用题 32 类型十二、配方法求解一元二次方程、逆向求参数 40 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 配方法是初中代数极具工具性的核心变形手段，贯穿代数式求值、大小比较、最值求解、几何判定、因式分解、方程参数求解等多类高频题型，整套应用全部依托完全平方公式与平方数的非负性（）两大底层逻辑展开，解题坚守两条核心准则：一是配方过程恒等变形，添项拆项必须同步补回常数，保证原式数值不变；二是多变量双配方题型中，每一个平方项单独为 0 联立方程组求解，不可遗漏任一约束条件，最终结果务必回代原式检验有效性。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、配方法直接求值 典例精讲1（2025九年级上·广东深圳·专题练习）若将一元二次方程化成的形式，则的值为______． 【答案】5 【分析】本题考查配方法的应用，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 通过配方法将一元二次方程化为完全平方形式，确定参数m和n的值，再代入计算即可． 【详解】解：原方程， 配方得， 即， 与形式对比， 得，， ∴． 故答案为：5． 题型归纳 1.特征：多项式可分组拆解为若干完全平方式相加，整体和为 0，求解字母取值或复杂代数式的值。 2.方法：分组凑完全平方，利用平方非负性，令每一个平方括号内的式子等于 0，联立方程组解出未知数，再整体代入计算目标式子。 3.易错提醒：分组配方时常数项拆分错误；多个平方项只列单个等式，未联立方程组；代入计算时符号运算失误。 变式训练1（23-24九年级上·全国·课后作业）已知，则的值为__________． 【答案】 【分析】先移项，得到，再将左边配方，利用非负数的性质求出、，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，求代数式的值，正确求出、的值是解题的关键． 变式训练2（2025八年级上·全国·专题练习）若、、为实数，且满足，求的值为__． 【答案】 【分析】根据配方法的理论依据，即公式，将原方程转化为即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质和实数的计算，解题的关键是熟练掌握配方法的理论依据． 变式训练3（23-24九年级上·广东广州·期中）已知多项式，若无论取何实数，的值都不是负数，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查配方法的应用，根据配方法可进行求解． 【详解】解： ∵无论取何实数，的值都不是负数， ∴ ∴， 故答案为：． 变式训练4（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知，则的值等于_________． 【答案】 【分析】本题考查了裂项法求和、配方法的应用，学会利用配方法求出未知数的值是解题的关键．利用配方法把方程变形为，求出的值，再代入到题目中的式子，利用裂项法求和即可解答． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 类型二、单式配方比较代数式大小 典例精讲2（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，（x为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将变形为，再结合非负性判断即可． 【详解】解：， ， 故选：A． 题型归纳 1.特征：两个整式大小无法直接判断，采用作差法，对差值进行单次配方判定正负。 2.方法：A-B构造差值，配方化为平方加常数形式，根据结果正负判断A与B的大小。 3.易错提醒：作差后去括号符号出错；配方时二次项系数未化为 1 导致常数项配错。 变式训练1（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得：______． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减、完全平方公式，利用作差法和配方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式训练2（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【答案】（1），，； （2）， 理由如下： ， 无论取什么值，总有； （3） 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． （1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有； （3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断． 【详解】解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）略 （3）拓展： ， 故． 变式训练3（25-26九年级下·山东烟台·期中）数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． (1)比较的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）通过计算并判断的正负性，即可比较的大小； （2）利用整式的加减运算法则表示出，再利用配方法整理得，最后利用非负数的性质即可证明． 【详解】（1）解：， ∴ ， ∴； （2）证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∴不可能小于0． 变式训练4（24-25九年级上·山西阳泉·期中）阅读下列材料： “作差法”是比较两数（或两式）大小的常用方法．方法如下： 如果用与分别表示两个代数式，那么若，则；若，则； 若，则． 例如：已知为任意实数）． 若为任意实数），则______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，完全平方公式， 将两个多项式作差，再配方的出完全平方公式，即可得出结论． 【详解】解：， 所以． 故选：． 类型三、双配方构造非负式比较大小 典例精讲3（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）已知，满足，，则，的大小关系为____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，通过计算与的差值，并利用完全平方公式将差值化为完全平方式之和加常数，根据非负性判断差值恒为正，由此即可得出结果，熟练掌握此知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型归纳 1.特征：差值可拆分为两组及以上完全平方和的形式，依靠多重非负性判定整体符号。 2.方法：对差值进行两次及以上配方，转化为多个平方相加，直接判定差值≥0 或≤0，完成大小比较。 3.易错提醒：多组配方分组混乱，无法凑出完整完全平方式；忽略平方可以等于 0 的临界情况。 变式训练1（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）已知，，则与的大小关系是______． 【答案】 【分析】利用作差法比较两个多项式的大小，得到的代数式，即可得到． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵， ∴． 变式训练2（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知，，则M与N的大小关系是__． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用、整式的乘法混合运算，利用作差法比较大小是解题的关键． 通过计算与的差，并化简表达式，利用完全平方公式判断其符号，即可得出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 故答案为：． 类型四、单变量配方求整式最值 典例精讲4（25-26九年级上·全国·课后作业）例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当__时，代数式有最小值，最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，先整理，因为对于任意实数x都有，故当时，代数式有最小值，最小值为，即可作答． 【详解】解：由题意可得： ∵对于任意实数x都有 ∴ ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：只含单个字母的二次多项式，求最大值或最小值。 2.方法：二次项系数化为 1 后配方，写成形式，依据平方非负性确定顶点k即为最值。 3.易错提醒：二次项系数为负数时，判断最值方向颠倒；配方时常数项加减计算错误。 变式训练1（22-23九年级上·辽宁丹东·期中）当x取何值时，多项式有_________（填最大值或最小值），其最大值或最小值是_______． 【答案】 最大值 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法得到，再由偶次方的非负性即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴有最大值，最小值为， 故答案为：． 变式训练2（25-26九年级上·湖南娄底·期中）对于多项式，由于，所以有最小值3，则代数式的最小值是__________ ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，通过配方法将二次代数式转化为完全平方式与常数项的和，利用完全平方式的非负性求最小值． 【详解】解：∵ ∵ ∴ ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 变式训练3（20-21九年级上·全国·单元测试）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．因为，所以就有个最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值． ①当________时，代数式有最________（填写大或小）值为________． ②当________时，代数式有最________（填写大或小）值为________． 【答案】；大；；小 【分析】①根据非负数得性质得所以当时，式子有最大值4； ②先配方得由于则当x=2时，式子有最小值−5. 【详解】①代数式，∵ ∴当时，式子有最大值4； ② ∵ ∴ 即当x=2时，式子有最小值−5. 故答案为①： ；大；4；②：2；小；−5. 【点睛】考查了配方法的应用，用配方法解一元二次方程，利用配方法将二次三项式配方 即可求出最值. 类型五、双变量双配方求多元代数式最值 典例精讲5（2024九年级·全国·竞赛）代数式的最大值为______________． 【答案】4 【分析】本题考查了配方法，非负数的性质．利用配方法将原式配方成，再利用非负数的性质解答即可． 【详解】解： ， 当，时，代数式的最大值为4． 故答案为：4． 题型归纳 1.特征：含有两个不同未知数的二次齐次式，无约束条件直接配方求最值。 2.方法：分别对两个字母分组独立配方，化为两个完全平方加常数的结构，直接读出最值。 3.易错提醒：交叉项拆分错误，不能拆成两组独立完全平方；混淆自变量取值范围。 变式训练1（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知实数、、满足，则实数的最大值为 __． 【答案】2022 【分析】仔细观察等式左侧，先将多项式进行分组，再利用配方法化简其形式，最后根据平方的非负性确定的最大值. 【详解】解：， ， ， ， ， ， 当时，的值最大， ， ， 实数的最大值为2022， 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了配方法与平方的非负性，能够识别多种情况下的配方条件，正确的配方是解题关键. 变式训练2（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求代数式的最小值． 例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的最小值是．∴． ∴当时，的最小值是． ∴的最小值是． 根据示例求代数式的最小值是_______． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用、非负数的性质，依据题意将化为，又对于任意的，都有，，进而得解．熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 【详解】解：∵ ， 又∵对于任意的，都有，， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 变式训练3（2026·江苏连云港·一模）设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 【答案】/ 【分析】把变形为，结合， ，从而可得，进而可得解． 【详解】解：由题意得： 又∵， ， ∴， ∴W的最小值为． 变式训练4（25-26九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方式（注意：完全平方式是多项式的结构形式，区别于完全平方公式，完全平方公式是等式形式的运算规律）。如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是-1． (1)【直接应用】代数式的最小值为_____；代数式的最大值为_____； (2)【类比应用】若多项式，试求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 【答案】(1)；13 (2)2025 (3) 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键． （1）配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用配方法把原式进行变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （3）设垂直于墙的一边长为米，则另一边长为米，利用矩形的面积公式可得，再利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值，最小值为， ， 当时，代数式有最大值，最大值为13， 故答案为：；13； （2） ． 当，时，有最小值为2025． （3）设菜地垂直于墙面的一边为，则平行于墙的一边长为， 根据题意，得，． ． 当时，有最大值，最大值为． 故围成的菜地的最大面积是． 类型六、双变量先消元再配方求解最值 典例精讲6（24-25九年级上·江苏镇江·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数、满足，则的最大值为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了配方法的应用，不等式的性质，由已知式子表示出y，代入中，配方后再利用非负数的性质以及不等式的性质求出最大值即可． 【详解】解： ∵， ∴ ∴， ∴当时，有最大值，最大值为：2． 故答案为：2． 题型归纳 1.特征：给出两个变量的等量关系式，求二元二次代数式最值。 2.方法：先用已知等式消去一个变量，转化为单变量二次式，再配方求解最值。 3.易错提醒：消元代入时代数式替换出错；消元后忽略自变量隐含取值限制（如边长大于 0）。 变式训练1（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）已知实数，满足，则代数式的最小值等于______． 【答案】12 【分析】本题考查了配方法求最小值的运用，掌握配方法是解题的关键． 根据已知条件得到，，代入代数式，运用配方法得到，当时取得最小时，由此计算即可． 【详解】解：实数，满足， ∴，， ∴代数式变形得到, ， ∵， ∴， 当时取得最小时， ∴， ∴最小值为 故答案为：12 ． 变式训练2（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知为实数，满足，那么的最小值为______． 【答案】14 【分析】本题考查解三元一次方程组、配方法的应用．解方程组转化为只含的代数式，利用配方法求最值，是解题的关键．用含的式子表示出，将转化为只含的代数式，利用配方法，求出最值即可． 【详解】解：， ，得，则③， ，得，则④， 把③④代入得， ； ∵， ∴的最小值是14， 故答案为：14． 变式训练3（2022年浙师大附中基地班九年级上学期数学卷）实数，满足是实数，则的最小值是________． 【答案】20 【分析】此题考查了完全平方公式的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．把变形为，求出m的最小值，将代入所求式子，根据完全平方公式进行变形，利用偶次方的非负性解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 即m的最小值为1． ∴ ， 当时， 原式 ∵， 则代数式的最小值是20， 故答案为：20． 类型七、利用配方非负性判定三角形形状 典例精讲7（21-22八年级上·福建泉州·期末）已知：、、满足，则以、、为边长的三角形是个（    ）三角形 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据，求出、、的值即可做出判断． 【详解】解：， ， ，即， 根据非负式和为零成立的条件即可得到， 、、为三角形的边长， ， 三角形是直角三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查配方法及非负式和为零成立的条件，熟记等腰三角形定义是解决问题的关键． 题型归纳 1.特征：给出三角形三边a、b、c的二次齐次等式，判断等腰、等边、直角三角形。 2.方法：对三边关系式整体配方，拆成多个平方和为 0，得出边长之间的等量关系判定形状。 3.易错提醒：三边公式配方分组不合理；得出边长关系后不会对应三角形特殊类型。 变式训练1（22-23八年级上·河南濮阳·阶段检测）已知a，b，c是三角形三边长，且，则此三角形是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】先根据完全平方公式将变形得到三边长，再判断即可． 【详解】， 即， 由平方的非负性可知， 即，，， ∴此三角形是等腰三角形， 故选B． 【点睛】本题考查了平方的非负性和完全平方公式的实际应用，能够得到是解题的关键． 变式训练2（22-23八年级上·江苏南京·开学考试）若的三边、、满足条件：，则这个三角形最长边上的高为________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，注意直角三角形中，斜边上的高=两直角边的乘积÷斜边的长． 首先把已知条件写出三个完全平方公式的和的形式，再根据非负数的性质求得a、b、c，然后根据勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求最长边上的高． 【详解】解：， ， ， ， ， ∴是直角三角形， ∴这个三角形最长边上的高为：． 故答案为：． 变式训练3（23-24八年级上·山东泰安·阶段检测）已知为三角形三边，且满足.试说明该三角形是等边三角形． 【答案】 解：， ， ， ， ，，， ， 为等边三角形． 【分析】可将题目所给的关于、、的等量关系式进行适当变形，转换为几个完全平方式，然后根据非负数的性质求出、、三边的数量关系，进而可判断出的形状． 【详解】略 【点睛】本题考查了配方法的应用，关键是对要求的式子进行变形和因式分解，将已知的等式转化为偶次方的和，根据非负数的性质解答． 类型八、配方法证明代数式恒正 / 恒负恒成立 典例精讲8（24-25九年级上·甘肃·期中）用配方法求证：代数式的值恒为正数． 【答案】 证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值恒为正数． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法得到，再根据偶次方的非负性得到，据此可证明结论． 【详解】略 题型归纳 1.特征：求证某整式恒大于 0、恒小于 0、恒为正数 / 非负数。 2.方法：配方转化为平方加常数的固定形式，根据平方非负性直接说明取值范围。 3.易错提醒：恒等变形过程不等价，改变原式取值；二次项系数正负影响最终符号判断。 变式训练1（25-26九年级上·宁夏银川·期中）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可将多项式变形为的形式，我们把这样的变形叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法可解决一些多项式的最大值或最小值等问题．例如：当为何值时，多项式的值最小并求出最小值． 解：，无论为何值，， 当，即时，的值最小，且最小值为-3． 根据以上材料，解答下列问题： (1)当_____时，的值最大，且最大值为_____； (2)用多项式的配方法将多项式化成的形式，并求出当x为何值时，多项式的值最小及最小值； (3)求证：无论，取任何实数，多项式的值总为正数． 【答案】(1)， (2)时，的值最小，且最小值为 (3) 证明：∵ ∵， ∴，即多项式的值总为正数． 【分析】本题考查了配方法的应用； （1）根据非负数的性质可得，进而求得的最大值； （2）根据题中给出的例题，利用完全平方公式进行配方后，再根据平方项的非负性求其最小值即可； （3）利用配方法将多项式化成后，再结合平方的非负性即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，的值最大，且最大值为； 故答案为：，． （2）解： ∵无论为何值， 当，即时，的值最小，且最小值为． （3）略 变式训练2（24-25九年级上·四川遂宁·阶段检测）已知代数式用配方法说明：不论x为何值，代数式的值总是负数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了配方，根据配方法的步骤把代数式进行配方，即可得出答案． 【详解】解： ∵， ∴ ∴， ∴不论x为何值，代数式的值总是负数． 变式训练3（24-25八年级上·福建漳州·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等 例如：分解因式： (1)请用上述方法把分解因式； (2)求多项式的最小值； (3)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【答案】(1) (2) (3) ∵ ， 又∵，， ∴， ∴无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法的应用是解题的关键：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． （1）按照题干中所给的方法，利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法将多项式变形为，然后利用完全平方式的非负性即可求出多项式的最小值； （3）利用配方法将多项式变形为，然后利用完全平方式的非负性即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为1； （3）略 类型九、配方法在实数范围内分解二次三项式 典例精讲9（23-24八年级上·上海闵行·期末）在实数范围内分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握配方法和平方差法因式分解是解题的关键．先配方再用平方差公式法，进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：对形式二次三项式，要求在实数范围内因式分解。 2.方法：先配方，再利用平方差公式拆解因式。 3.易错提醒：配方后直接结束，忘记用平方差继续分解；根号内符号处理不当导致分解错误。 变式训练1（23-24八年级上·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式：_________． 【答案】 【分析】先利用配方法进行整理，再根据平方差公式进行因式分解即可。 【详解】解：， 根据平方差公式可得， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，注意在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止是解题的关键． 变式训练2（23-24八年级上·全国·单元测试）在实数范围内分解因式等于（） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查实数范围内分解因式即实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），注意配方．先提公因式得，再运用配方法变形得，最后运用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： 故选：C 变式训练3（22-23八年级上·贵州黔南·期末）【阅读材料】 利用完全平方公式，可以将多项式（均为常数且）变形为的形式，如．我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：． 【问题解决】 (1)用多项式的配方法将化成的形式是 ，当多项式的值为时，的值为 ． (2)把多项式进行分解因式． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据配方法即可将化成的形式，由，解方程即可求出的值； （）利用配方法把原式转化为，再利用平方差公式因式分解即可； 本题考查了配方法，因式分解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 当的值为时， 则， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解： ， ， ． 类型十、配方法结合新定义运算综合题型 典例精讲10（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 【答案】 【分析】先根据题中的新定义，求出a，b的值，再将a，b的值代入代数式中，运用配方法求得其最小值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴应为， ∴， ∴， ∴， ∴， 代数式 ， ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：题干自定义运算规则、新符号，嵌套二次多项式结构，需要配方化简求解。 2.方法：严格按照新定义列式，整理后用配方法化简、求值或证明。 3.易错提醒：曲解新定义运算顺序，列式本身出错；配方后未按题目要求作答。 变式训练1（23-24九年级下·安徽宣城·自主招生）定义：对于函数，随的增大而增大，且，，．若，则的最大值为________． 【答案】1 【分析】本题考查了新定义，不等式的性质，配方法求最值的计算，理解新定义运算，掌握不等式的性质，配方法求最值的计算方法是解题的关键． 根据题意得到，，，则，，由此得到当时，有最大值，代入计算即可求解． 【详解】解：已知， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴， 故答案为：1 ． 变式训练2（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 变式训练3（24-25九年级上·广西南宁·阶段检测）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被用到代数式的变形中．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．若（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了配方法和完全平方公式的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．运用题中的新定义结合配方的方法确定出所求即可． 【详解】解：，且为“完美数”， ， ； 故选：C． 变式训练4（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是 (2)， (3)代数式的最小值为 【分析】（1）根据“和谐方程”定义进行判断即可； （2）根据“和谐方程”定义得出，求出b的值，再解方程即可； （3）根据“和谐方程”定义得出，把代入得出根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵方程中，，， ∴， ∴方程是“和谐方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， 解得：， 解方程， 解得； （3）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， ∴， ∴ ， ， ， 即代数式的最小值为． 类型十一、配方法解决几何周长、面积、线段最值应用题 典例精讲11（20-21八年级下·安徽合肥·期中）如图所示，已知在△ABC中，∠B=90º，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q同时从点B开始沿边BC向点C以1cm/s的速度移动，若一动点运动到终点，则另一动点也随之停止，设运动时间为ts． （1）当t=1时，△PBQ的周长= cm． （2）当t为多少时，△PBQ的面积等于4cm2？请说明理由． （3）当t= s时，PQ的长度最小，最小值为 cm？ 【答案】(1) (6+)；（2）t=2或t=4；见解析；（3）． 【分析】（1）由题意可以得到AP、PB、BQ的值，再由勾股定理得到PQ的值，即可得到△PBQ的周长； （2）由题意可以得到关于t的方程，解方程即可得到t的值； （3）由题意，可以把PQ2用关于t的关系式表示出来，然后用配方法可以得到PQ2的最小值，从而得到PQ的最小值． 【详解】解：（1）由题意可得： t=1时，AP=1×1=1，BQ=1×1=1， ∴PB=AB-PA=6-1=5， ∴PQ=， ∴△PBQ的周长=PB+BQ+PQ=(6+)cm， 故答案为(6+)； （2）由题意可得：， ∴（6-t）t=8， 解之可得t=2或t=4， （3）由题意可得： =， ∴当t=3时，的最小值为18，PQ的最小值为， 故答案为3；． 【点睛】本题考查三角形动点问题的综合应用，熟练掌握动点运动距离的求法、三角形面积的求法、勾股定理的应用及配方法求最值的方法是解题关键． 题型归纳 1.特征：矩形、正方形等几何背景，设边长为变量，求周长、面积、线段长度的最大或最小值。 2.方法：根据几何公式列出二次函数表达式，通过配方法求出顶点最值，结合几何实际取舍答案。 3.易错提醒：几何等量关系列式错误；忽略边长必须大于 0 的实际取值范围。 变式训练1（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值 （2）①矩形鸡场的面积为；②当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米 【分析】本题主要考查配方法的运用，理解配方法的计算方法是关键． （1）根据材料提示的配方法求解即可； （2）①根据图示得到矩形的长及取值范围，由矩形的面积公式即可求解；②根据材料提示的配方法，结合矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值； （2）①根据图示，矩形鸡场的长为米， ∵墙长24米， ∴， ∴， ∴矩形鸡场的面积为； ② ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值， ∴当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米． 变式训练2（24-25九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，用长为的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为__________． (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽． (3)在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到．请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 【答案】(1) (2)此时花圃的长为9米，宽为5米 (3)这个花圃的面积不能达到；这个花圃面积最大可以做到． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的应用，列代数式： （1）用篱笆的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出； （2）根据长方形的面积公式列方程求解即可； （3）长方形的面积公式列方程，看方程是否有符合题意的解即可；利用配方法得到，再由偶次方的非负性即可得到答案． 【详解】（1）解：设花圃的宽为x米， 则米， 故答案为：； （2）解：由题意可得：， ∴ 解得：，， 当时，，不符合题意，故舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长为9米，宽为5米； （3）解：当时，则， ∴， ∴此时原方程无解， ∴这个花圃的面积不能达到 ， ∵， ∴， ∴这个花圃面积最大可以做到． 变式训练3（23-24九年级上·陕西渭南·阶段检测）问题提出 （1）已知代数式，则的最小值为___________； 问题探究 （2）如图1，在矩形中，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度，沿向点移动；同时点从点出发，以每秒个单位的速度，沿向点移动，连接，，．若两个点同时运动的时间为秒（），设的面积为，用含的函数关系式表示； 问题解决 （3）如图2，某生态农庄有一块形状为正方形的土地，其中．管理者想规划出一个形状为五边形的区域建成亲子采摘中心，根据设计要求，点、、分别是、、上的点（均不与正方形顶点重合），且，．根据设计需求，要使五边形面积尽可能的小，请问，是否存在符合设计要求的面积最小的五边形？若存在，求五边形面积的最小值并求此时的长；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）；（3）当时，五边形的面积最小，最小值为 【分析】（1）根据配方法，即可求解； （2）根据题意可得，，则，进而根据，即可求解； （3）先证明，进而根据五边形面积为得出关系式，根据配方法，即可求解． 【详解】（1）解：， 则的最小值为， 故答案为：． （2）依题意，，则， ∴ （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， 设，则 ∴五边形面积为 ， ∴当时，五边形面积的最小值为． 【点睛】本题考查了配方法的应用，正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 变式训练4（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 类型十二、配方法求解一元二次方程、逆向求参数 典例精讲12（25-26八年级下·陕西西安·期末）用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，对左边配方后即可求出的值． 【详解】解：原方程为，一次项系数为，其一半的平方为， 方程两边同时加，可得， 由完全平方公式整理左边，得， 要求方程化为的形式， ． 题型归纳 1.特征：方程配方后给出顶点式、完全平方式，反求方程中字母参数取值。 2.方法：对方程完整配方，与已知标准形式对应系数相等列等式求解，二次项含参必须附加a≠0。 3.易错提醒：配方遗漏二次项系数提取；求出参数后不检验判别式，出现无实根无效解。 变式训练1（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若将一元二次方程化为的形式，则______ ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是配方法，解题关键是熟练掌握配方法． 通过配方法将一元二次方程化为完全平方形式，比较系数确定和的值，再计算它们的和． 【详解】解：方程 配方，得 ， 即 ， ，， ． 故答案为：． 变式训练2（25-26九年级上·陕西西安·期中）若方程可以配方成，则的值为______． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程——配方法，方程移项后，两边加上变形即可得到结果，熟练掌握完全平方公式和利用配方法解方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， 故答案为：． 变式训练3（25-26九年级上·湖北武汉·期中）用配方法解方程，首先移项得，然后配方，化简得，再通过降次转化为两个一元一次方程求解，那么这里的值为______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键 根据配方法，一次项系数的一半即为b的值，据此即可解答． 【详解】解：， 移项得， 配方时，加上一次项系数8的一半的平方，即 ，得： ，即 ． 因此，b的值为4． 故答案为4． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（    ） A．1 B．5 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 通过完成平方将方程化为的形式，直接计算n的值即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴． 故选D． 2．（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 3．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用，掌握知识点是解题的关键． 利用配方法将多项式转化为完全平方加常数的形式，根据平方的非负性判断其值恒为正数即可． 【详解】解：∵ ∵对于所有实数，都有， ∴ 因此，多项式的值总是正数． 故选：A． 4．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得，即得，进而即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故选：． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，（为任意实数），则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了配方法的应用，掌握配方法、偶次方的非负性是解题的关键． 先求出的值，然后根据偶次方的非负性，判断出值的正负，进而判断出两者的大小关系． 【详解】解： ． ， ， ， ． 故答案为：C． 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）把整式表示成的形式，则的最小值为（    ） A．5 B．2.5 C．7 D．3.5 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，先利用整式的混合运算法则，结合完全平方公式将化简，因为把整式表示成的形式，得出，故，即可作答． 【详解】解：∵ ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 当时，则有最小值，且为． 故选：A． 7．（24-25八年级下·浙江·阶段检测）小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（    ） （1）小聪认为找不到实数x，使得值为0； （2）小明认为只有当时，的值为4； （3）小伶发现没有最小值； （4）小刚发现没有最大值． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4） 【答案】C 【分析】本题考查配方法的应用，解一元二次方程，利用配方法确定的范围判断（1）（3）（4），解一元二次方程判断（2）即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， 故不存在实数x，使得值为0， 当时，有最小值为4，不存在最大值， 当时，解得：； 故（1）（2）（4）正确，（3）错误； 故选C． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的唯一最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是配方法、平方的非负性及三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握配方法在三角形的三边关系中的应用． 先利用配方法对含的式子和含有的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出和的值，然后根据三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， 三角形的三条边为，，， ， ， 又这个三角形的最大边为， ． 故选：． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）关于x的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是（   ） A．1 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得到，根据得到，推出，根据推出，代入，推出的最大值是6． 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌两根之和与两根之积与系数的关系，解方程组，运用配方法求最值． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实根、， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值6． 故选：C． 10．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，，为内一点，．若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查的是旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质以及配方法的应用．把绕点逆时针旋转得到，作于，根据旋转变换的性质和等腰三角形的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据勾股定理和配方法计算可得出答案． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到，作于， 则， ， ，， 由勾股定理得 ， ， 在中， ， ， 则的最小值为， 故答案为：． 11．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根及配方法求代数式的最小值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据“和美方程”的定义，将代入方程得到与的关系式，再代入所求表达式，通过配方法求最小值． 【详解】方程是“和美方程”， 是它的一个根， 将代入方程得：， 即， ， 配方得：， 由于， 当时，取得最小值， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）实数a，b，c满足，．当时，____；实数a的取值范围是____． 【答案】 4 【分析】本题考查配方法的应用，等式的性质，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键； 把代入，可得：，然后把，代入，求得，把代入，得到，然后即可求解； 【详解】解：把代入， 即， ∴， 把，代入，即， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 故答案为：4；； 13．（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）若分式不论取何值总有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的意义，配方法的应用，对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．当分母是个二项式时，分式有意义的条件时分母能整理成的形式，即一个完全平方式与一个正数的和的形式．只有这样不论未知数取何值，式子都不可能等于0． 【详解】解：分式不论取何值总有意义，则其分母必不等于0， 即把分母整理成的形式为 ， 不等于0， ，即， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查配方法的应用，根据配方法可进行求解． 【详解】解：， ∵无论x取何实数，A的值都不是负数，且， ∴， 解得， 故答案为：． 15．（2025九年级上·全国·专题练习）已知是一元二次方程的一个根，则的最大值为______；的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题时，注意配方法的应用和非负数的性质的运用． 把代入方程计算求出，的取值范围即可得到的最大值，的最小值． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ． ， ， 同理，． 综上所述，的最大值是，的最小值是． 故答案为：，． 16．（25-26九年级上·广东汕头·期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为，所以， 因此，当时，有最小值，其最小值为1，即的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 已知代数式，则的最小值为_____； (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图，在中，，，，点分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当为何值时？的面积最大，其最大值为多少？ 【答案】(1) (2) ，理由如下： ，， ； (3)当时，的面积最大，且最大面积为 【分析】本题主要考查了配方法求最值、非负数的性质等知识点，根据阅读材料、理解配方法是解答本题的关键． （1）根据阅读材料提供的方法解答即可； （2）先列出甲乙两块菜地的面积的代数式，然后作差比较即可； （3）先用t表示出，然后表示出的面积，然后用配方法求得面积的最大值即可． 【详解】（1）解： 当时，，因此 有最小值，最小值为， ∴ A的最小值为， 故答案为：； （2）略 （3）解：由题意得：， 当时，的面积最大，且最大面积为． 17．（2025九年级上·全国·专题练习）利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：． 根据上述过程，解答下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． (2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的解题过程进行模仿，得，再分析，得出，即可作答． （2）先整理得，，故，再分析，则，即可作答． 【详解】（1）解： ， ， ∴， 则； （2）解：，理由如下： 由题意，得， 则， ， ∵， ， 即， 则． 18．（25-26九年级上·贵州安顺·期中）配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的． 例如：已知，求，的值． 由题意，得， 即， ，， ，． 根据以上材料，解答下列各题． (1)若，求的值； (2)若，，分别表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】本题主要考查配方法的应用及三角形的分类，等边三角形的判定，熟练掌握配方法的应用及三角形的分类是解题的关键； （1）用完全平方公式对方程左边进行配方，再根据非负数和为0的性质求得x、y，再代值计算便可； （2）先将方程两边都乘以2，再把方程左边分解成几个完全平方式之和，进而根据非负数和为0的性质得出，再由此判断三角形的形状． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 19．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”．理由：因为，再如，（，是整数），所以M也是“完美数”． [问题解决] （1）请你再写一个小于10的“完美数”______； （2）若二次三项式（是整数）是“完美数”，可配方成（，为常数），则的值为______； [问题探究] （3）已知（，是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值． [问题拓展] （4）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义进而可以列式计算得解； （4）依据题意，由，则，从而，进而计算可以得解． 【详解】（1）4是“完美数”，理由：因为； 故答案为：答案不唯一； （2）， ，， ， 故答案为：12 （3）， 由题意得：， ； （4）由题意，， ，即 又， 当时，取最小值为4， 的最小值为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 配方法的应用12类热考问题 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、配方法直接求值 1 类型二、单式配方比较代数式大小 2 类型三、双配方构造非负式比较大小 3 类型四、单变量配方求整式最值 3 类型五、双变量双配方求多元代数式最值 4 类型六、双变量先消元再配方求解最值 5 类型七、利用配方非负性判定三角形形状 6 类型八、配方法证明代数式恒正 / 恒负恒成立 6 类型九、配方法在实数范围内分解二次三项式 7 类型十、配方法结合新定义运算综合题型 8 类型十一、配方法解决几何周长、面积、线段最值应用题 9 类型十二、配方法求解一元二次方程、逆向求参数 12 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 配方法是初中代数极具工具性的核心变形手段，贯穿代数式求值、大小比较、最值求解、几何判定、因式分解、方程参数求解等多类高频题型，整套应用全部依托完全平方公式与平方数的非负性（）两大底层逻辑展开，解题坚守两条核心准则：一是配方过程恒等变形，添项拆项必须同步补回常数，保证原式数值不变；二是多变量双配方题型中，每一个平方项单独为 0 联立方程组求解，不可遗漏任一约束条件，最终结果务必回代原式检验有效性。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、配方法直接求值 典例精讲1（2025九年级上·广东深圳·专题练习）若将一元二次方程化成的形式，则的值为______． 题型归纳 1.特征：多项式可分组拆解为若干完全平方式相加，整体和为 0，求解字母取值或复杂代数式的值。 2.方法：分组凑完全平方，利用平方非负性，令每一个平方括号内的式子等于 0，联立方程组解出未知数，再整体代入计算目标式子。 3.易错提醒：分组配方时常数项拆分错误；多个平方项只列单个等式，未联立方程组；代入计算时符号运算失误。 变式训练1（23-24九年级上·全国·课后作业）已知，则的值为__________． 变式训练2（2025八年级上·全国·专题练习）若、、为实数，且满足，求的值为__． 变式训练3（23-24九年级上·广东广州·期中）已知多项式，若无论取何实数，的值都不是负数，则的取值范围是______． 变式训练4（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知，则的值等于_________． 类型二、单式配方比较代数式大小 典例精讲2（24-25九年级上·全国·课后作业）已知，（x为任意实数），则关于P，Q的大小关系判断正确的是（　　） A． B． C． D．无法确定 题型归纳 1.特征：两个整式大小无法直接判断，采用作差法，对差值进行单次配方判定正负。 2.方法：A-B构造差值，配方化为平方加常数形式，根据结果正负判断A与B的大小。 3.易错提醒：作差后去括号符号出错；配方时二次项系数未化为 1 导致常数项配错。 变式训练1（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若m为实数，，，则比较P，Q的大小可得：______． 变式训练2（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 变式训练3（25-26九年级下·山东烟台·期中）数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． (1)比较的大小； (2)若，证明：不可能小于0． 变式训练4（24-25九年级上·山西阳泉·期中）阅读下列材料： “作差法”是比较两数（或两式）大小的常用方法．方法如下： 如果用与分别表示两个代数式，那么若，则；若，则； 若，则． 例如：已知为任意实数）． 若为任意实数），则______．（填“>”“<”或“=”） 类型三、双配方构造非负式比较大小 典例精讲3（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）已知，满足，，则，的大小关系为____． 题型归纳 1.特征：差值可拆分为两组及以上完全平方和的形式，依靠多重非负性判定整体符号。 2.方法：对差值进行两次及以上配方，转化为多个平方相加，直接判定差值≥0 或≤0，完成大小比较。 3.易错提醒：多组配方分组混乱，无法凑出完整完全平方式；忽略平方可以等于 0 的临界情况。 变式训练1（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）已知，，则与的大小关系是______． 变式训练2（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知，，则M与N的大小关系是__． 类型四、单变量配方求整式最值 典例精讲4（25-26九年级上·全国·课后作业）例如：代数式，因为，所以当时，的最小值是2；则当__时，代数式有最小值，最小值为______． 题型归纳 1.特征：只含单个字母的二次多项式，求最大值或最小值。 2.方法：二次项系数化为 1 后配方，写成形式，依据平方非负性确定顶点k即为最值。 3.易错提醒：二次项系数为负数时，判断最值方向颠倒；配方时常数项加减计算错误。 变式训练1（22-23九年级上·辽宁丹东·期中）当x取何值时，多项式有_________（填最大值或最小值），其最大值或最小值是_______． 变式训练2（25-26九年级上·湖南娄底·期中）对于多项式，由于，所以有最小值3，则代数式的最小值是__________ ． 变式训练3（20-21九年级上·全国·单元测试）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．因为，所以就有个最小值，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值．同样，因为，所以有最大值，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值． ①当________时，代数式有最________（填写大或小）值为________． ②当________时，代数式有最________（填写大或小）值为________． 类型五、双变量双配方求多元代数式最值 典例精讲5（2024九年级·全国·竞赛）代数式的最大值为______________． 题型归纳 1.特征：含有两个不同未知数的二次齐次式，无约束条件直接配方求最值。 2.方法：分别对两个字母分组独立配方，化为两个完全平方加常数的结构，直接读出最值。 3.易错提醒：交叉项拆分错误，不能拆成两组独立完全平方；混淆自变量取值范围。 变式训练1（22-23九年级上·江苏苏州·期中）已知实数、、满足，则实数的最大值为 __． 变式训练2（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在学习完全平方公式的运用时，我们常利用配方法求代数式的最小值． 例如：求代数式的最小值时可以用如下解答方法： 解：． ∵，∴当时，的最小值是．∴． ∴当时，的最小值是． ∴的最小值是． 根据示例求代数式的最小值是_______． 变式训练3（2026·江苏连云港·一模）设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 变式训练4（25-26九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）阅读与思考： 【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方式（注意：完全平方式是多项式的结构形式，区别于完全平方公式，完全平方公式是等式形式的运算规律）。如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：求代数式的最小值． ，可知当时，有最小值，最小值是-5． 再例如：求代数式的最大值． ．可知当时，有最大值．最大值是-1． (1)【直接应用】代数式的最小值为_____；代数式的最大值为_____； (2)【类比应用】若多项式，试求的最小值； (3)【知识迁移】如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积． 类型六、双变量先消元再配方求解最值 典例精讲6（24-25九年级上·江苏镇江·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数、满足，则的最大值为______． 题型归纳 1.特征：给出两个变量的等量关系式，求二元二次代数式最值。 2.方法：先用已知等式消去一个变量，转化为单变量二次式，再配方求解最值。 3.易错提醒：消元代入时代数式替换出错；消元后忽略自变量隐含取值限制（如边长大于 0）。 变式训练1（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）已知实数，满足，则代数式的最小值等于______． 变式训练2（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知为实数，满足，那么的最小值为______． 变式训练3（2022年浙师大附中基地班九年级上学期数学卷）实数，满足是实数，则的最小值是________． 类型七、利用配方非负性判定三角形形状 典例精讲7（21-22八年级上·福建泉州·期末）已知：、、满足，则以、、为边长的三角形是个（    ）三角形 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 题型归纳 1.特征：给出三角形三边a、b、c的二次齐次等式，判断等腰、等边、直角三角形。 2.方法：对三边关系式整体配方，拆成多个平方和为 0，得出边长之间的等量关系判定形状。 3.易错提醒：三边公式配方分组不合理；得出边长关系后不会对应三角形特殊类型。 变式训练1（22-23八年级上·河南濮阳·阶段检测）已知a，b，c是三角形三边长，且，则此三角形是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定 变式训练2（22-23八年级上·江苏南京·开学考试）若的三边、、满足条件：，则这个三角形最长边上的高为________． 变式训练3（23-24八年级上·山东泰安·阶段检测）已知为三角形三边，且满足.试说明该三角形是等边三角形． 类型八、配方法证明代数式恒正 / 恒负恒成立 典例精讲8（24-25九年级上·甘肃·期中）用配方法求证：代数式的值恒为正数． 题型归纳 1.特征：求证某整式恒大于 0、恒小于 0、恒为正数 / 非负数。 2.方法：配方转化为平方加常数的固定形式，根据平方非负性直接说明取值范围。 3.易错提醒：恒等变形过程不等价，改变原式取值；二次项系数正负影响最终符号判断。 变式训练1（25-26九年级上·宁夏银川·期中）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可将多项式变形为的形式，我们把这样的变形叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法可解决一些多项式的最大值或最小值等问题．例如：当为何值时，多项式的值最小并求出最小值． 解：，无论为何值，， 当，即时，的值最小，且最小值为-3． 根据以上材料，解答下列问题： (1)当_____时，的值最大，且最大值为_____； (2)用多项式的配方法将多项式化成的形式，并求出当x为何值时，多项式的值最小及最小值； (3)求证：无论，取任何实数，多项式的值总为正数． 变式训练2（24-25九年级上·四川遂宁·阶段检测）已知代数式用配方法说明：不论x为何值，代数式的值总是负数． 变式训练3（24-25八年级上·福建漳州·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等 例如：分解因式： (1)请用上述方法把分解因式； (2)求多项式的最小值； (3)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 类型九、配方法在实数范围内分解二次三项式 典例精讲9（23-24八年级上·上海闵行·期末）在实数范围内分解因式：________． 题型归纳 1.特征：对形式二次三项式，要求在实数范围内因式分解。 2.方法：先配方，再利用平方差公式拆解因式。 3.易错提醒：配方后直接结束，忘记用平方差继续分解；根号内符号处理不当导致分解错误。 变式训练1（23-24八年级上·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式：_________． 变式训练2（23-24八年级上·全国·单元测试）在实数范围内分解因式等于（） A．B． C．D． 变式训练3（22-23八年级上·贵州黔南·期末）【阅读材料】 利用完全平方公式，可以将多项式（均为常数且）变形为的形式，如．我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：． 【问题解决】 (1)用多项式的配方法将化成的形式是 ，当多项式的值为时，的值为 ． (2)把多项式进行分解因式． 类型十、配方法结合新定义运算综合题型 典例精讲10（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 题型归纳 1.特征：题干自定义运算规则、新符号，嵌套二次多项式结构，需要配方化简求解。 2.方法：严格按照新定义列式，整理后用配方法化简、求值或证明。 3.易错提醒：曲解新定义运算顺序，列式本身出错；配方后未按题目要求作答。 变式训练1（23-24九年级下·安徽宣城·自主招生）定义：对于函数，随的增大而增大，且，，．若，则的最大值为________． 变式训练2（25-26八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（     ） A． B． C． D． 变式训练3（24-25九年级上·广西南宁·阶段检测）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，这种方法常被用到代数式的变形中．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．若（x，y是整数，k是常数），且为“完美数”，则k的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式训练4（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 类型十一、配方法解决几何周长、面积、线段最值应用题 典例精讲11（20-21八年级下·安徽合肥·期中）如图所示，已知在△ABC中，∠B=90º，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q同时从点B开始沿边BC向点C以1cm/s的速度移动，若一动点运动到终点，则另一动点也随之停止，设运动时间为ts． （1）当t=1时，△PBQ的周长= cm． （2）当t为多少时，△PBQ的面积等于4cm2？请说明理由． （3）当t= s时，PQ的长度最小，最小值为 cm？ 题型归纳 1.特征：矩形、正方形等几何背景，设边长为变量，求周长、面积、线段长度的最大或最小值。 2.方法：根据几何公式列出二次函数表达式，通过配方法求出顶点最值，结合几何实际取舍答案。 3.易错提醒：几何等量关系列式错误；忽略边长必须大于 0 的实际取值范围。 变式训练1（25-26九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 变式训练2（24-25九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，用长为的篱笆和一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为__________． (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽． (3)在不增加篱笆总长度的情况下，这个花圃的面积能否达到．请说明理由．猜想一下，这个花圃面积最大可以做到多少？ 变式训练3（23-24九年级上·陕西渭南·阶段检测）问题提出 （1）已知代数式，则的最小值为___________； 问题探究 （2）如图1，在矩形中，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度，沿向点移动；同时点从点出发，以每秒个单位的速度，沿向点移动，连接，，．若两个点同时运动的时间为秒（），设的面积为，用含的函数关系式表示； 问题解决 （3）如图2，某生态农庄有一块形状为正方形的土地，其中．管理者想规划出一个形状为五边形的区域建成亲子采摘中心，根据设计要求，点、、分别是、、上的点（均不与正方形顶点重合），且，．根据设计需求，要使五边形面积尽可能的小，请问，是否存在符合设计要求的面积最小的五边形？若存在，求五边形面积的最小值并求此时的长；若不存在，请说明理由．    变式训练4（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 类型十二、配方法求解一元二次方程、逆向求参数 典例精讲12（25-26八年级下·陕西西安·期末）用配方法将方程化成的形式，则的值为___________． 题型归纳 1.特征：方程配方后给出顶点式、完全平方式，反求方程中字母参数取值。 2.方法：对方程完整配方，与已知标准形式对应系数相等列等式求解，二次项含参必须附加a≠0。 3.易错提醒：配方遗漏二次项系数提取；求出参数后不检验判别式，出现无实根无效解。 变式训练1（25-26九年级上·江苏无锡·期中）若将一元二次方程化为的形式，则______ ． 变式训练2（25-26九年级上·陕西西安·期中）若方程可以配方成，则的值为______． 变式训练3（25-26九年级上·湖北武汉·期中）用配方法解方程，首先移项得，然后配方，化简得，再通过降次转化为两个一元一次方程求解，那么这里的值为______． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26九年级上·湖北随州·阶段检测）把方程化成的形式，其中m，n为实数，则n的值是（    ） A．1 B．5 C．16 D．17 2．（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 3．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 4．（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知，（为任意实数），则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 6．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）把整式表示成的形式，则的最小值为（    ） A．5 B．2.5 C．7 D．3.5 7．（24-25八年级下·浙江·阶段检测）小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（    ） （1）小聪认为找不到实数x，使得值为0； （2）小明认为只有当时，的值为4； （3）小伶发现没有最小值； （4）小刚发现没有最大值． A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4） 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知三角形的三条边为，，，且满足，则这个三角形的唯一最大边的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）关于x的方程有两个不相等的实根，，若，则的最大值是（   ） A．1 B．4 C．6 D．8 10．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，，为内一点，．若，则的最小值为________． 11．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为_____． 12．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）实数a，b，c满足，．当时，____；实数a的取值范围是____． 13．（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）若分式不论取何值总有意义，则的取值范围是___________． 14．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知多项式，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是______． 15．（2025九年级上·全国·专题练习）已知是一元二次方程的一个根，则的最大值为______；的最小值为______． 16．（25-26九年级上·广东汕头·期末）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为，所以， 因此，当时，有最小值，其最小值为1，即的最小值为1．通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 已知代数式，则的最小值为_____； (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图，在中，，，，点分别是线段和上的动点，点从点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当为何值时？的面积最大，其最大值为多少？ 17．（2025九年级上·全国·专题练习）利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：． 根据上述过程，解答下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． (2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由． 18．（25-26九年级上·贵州安顺·期中）配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的． 例如：已知，求，的值． 由题意，得， 即， ，， ，． 根据以上材料，解答下列各题． (1)若，求的值； (2)若，，分别表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 19．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式进行配方． 解：． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”．理由：因为，再如，（，是整数），所以M也是“完美数”． [问题解决] （1）请你再写一个小于10的“完美数”______； （2）若二次三项式（是整数）是“完美数”，可配方成（，为常数），则的值为______； [问题探究] （3）已知（，是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值． [问题拓展] （4）已知实数x，y满足，求代数式的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $