21.2.1解一元二次方程——配方法（题型专练）数学人教版九年级上册

21.2.1解一元二次方程：配方法 题型一、直接开平方法的认识 1．（2024春•百色期中）一元二次方程的根为　　 A． B． C．， D． 2．（2024秋•潍坊期中）解下列一元二次方程可以直接开平方的是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•红桥区期中）解一元二次方程时，可以将其转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•东海县期中）老师出示问题：“解方程，”四位同学给出了以下答案： 甲；乙；丙；丁，． 下列判断正确的是　　 A．甲正确 B．乙正确 C．丙正确 D．丁正确 题型二、用直接开平方法解方程 5．用直接开平方法解下列方程： （1） （2）． 6．直接开平方法解下列方程： （1）； （2）． 7．用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）． 8．若，求的值． 题型三、直接开平方法的应用 9．（2023秋•衡山县期末）关于的方程无实数根，那么满足的条件是　　 A． B． C． D． 10．（2025春•崇川区校级月考）若方程有解，则的取值范围是　　 ． 11．（2024秋•镇江期中）已知关于的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则的取值范围是　　． 12．（2023秋•武胜县期末）若方程的解是，则方程的解是　　． 题型四、配方法 13．（2025春•鹿城区校级月考）已知一元二次方程可配成，则的值为　　 A． B．1 C． D．5 14．（2025春•杭州期中）用配方法解方程，应在方程两边同时加上　　 A．9 B．6 C．36 D．3 15．（2023秋•邯郸期末）若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为 　　． 题型五、用配方法解方程 16．用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17．用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型六、用配方法解方程的过程性问题 19．（2024秋•沧州期末）阅读图中杨老师讲解“一元二次方程的解法”时在黑板上的板书过程并完成任务． （1）①图中解方程的方法是　　 ； ．直接开平方法；．配方法；．公式法；．因式分解法 ②第二步变形的依据是　　 ； （2）用公式法解方程：． 20．（2025春•舟山期中）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ，， 此方程无实数根 （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法　　 ，乙同学的解法　　（填“正确”或者“不正确” （2） 请选择合适的方法解一元二次方程． 题型一、解含字母的一元二次方程 21．（2024春•青浦区校级期末）解关于的方程：． 22．（2024春•金山区期末）解关于的方程：． 23．（2024秋•青浦区校级期末）解关于的方程：． 24．（2025春•杨浦区期中）解方程：． 题型二、用配方法解决非负性问题 25．（2025春•滨湖区期中）已知，求的值为　　 A．3 B．6 C．9 D．27 26．（2023秋•陵城区期末）已知，则的值为　　 A．4 B．2 C． D． 27．（2025•固原一模）若，满足，则的值为 　　． 题型三、用配方法比较代数式的大小 28．（2024•江北区校级开学）已知、满足等式，，则，的大小关系是　　 A． B． C． D． 29．（2023秋•东湖区期末）若，，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．不能确定 题型四、用配方法求最值问题 30．（2023春•梁溪区校级期中）在求解代数式的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法：解：原式，无论取何值，，代数式，即当时，代数式有最小值为4．仿照上述思路，则代数式的最值为　　 A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 31．（2025春•姑苏区校级月考）探究代数式的最小值时，我们可以这样处理： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： （1）当 　　 时，有最小值是 　　 ； （2）多项式有最 　　 （填“大”或“小” 值，该值为 　　 ； （3）已知，求的最小值． 题型五、用配方法解决三角形周长问题 32．（2023秋•公安县期末）先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求和的值． 解：， ， ， ，， ，． （1）若，求的值； （2）已知，，是等腰的三条边长，且，满足，求的周长． 33．（2025春•锦江区校级期中）已知，，是△的三条边长，且，，是正整数． （1）若，，满足且，求的长． （2）若△为等腰三角形，且满足，求△的周长． 题型六、用配方法解决三角形形状问题 34．已知，，为三边长． （1）求证：． （2）当，试判断的形状． 35．（2025春•瑶海区期中）已知，则的值是　　 A．4 B． C．8 D． 36．（2025春•藤县期中）已知关于的方程，，为常数，的解是，，那么方程的解为　　 A．， B．， C．， D．， 37．（2025春•庐阳区校级期中）已知关于的方程，，常数，的解是，，那么： （1）方程解为 　　 ； （2）解为 　　 ． 38．（2025春•浙江期中）若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是　　 A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 39．（2025春•姑苏区校级月考）已知，，则 　　 ． 40．（2025春•沈阳期中）当 　　 时，多项式有最大值？求出这个最大值 　　 ． 41．（2025春•市中区校级期中）原题呈现：若，求、的值． 方法介绍： ①看到可想到如果添上常数4恰好就是，这个过程叫做“配方”，同理，恰好把常数5分配完； ②从而原式可以化为由平方的非负性可得且． 经验运用： （1）若，求的值． （2）当，，分别取何值时，代数式有最小值？并求其最小值． 42．（2025•莆田模拟）已知，，均为正数，满足如下三个条件： ①，②，③． （1）小明探究发现结论：， 证明如下：由①②，得④， 由④③，得． 小红探究发现结论：， 证明如下：由①②，得④， 请你将小红的证明过程补充完整； （2）请你利用小明和小红发现的结论或者按照自己的思路，求出和的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.1解一元二次方程：配方法 题型一、直接开平方法的认识 1．（2024春•百色期中）一元二次方程的根为　　 A． B． C．， D． 【答案】 【分析】运用直接开方法求解即可． 【详解】解：， 直接开方得：， ， 故选：． 【点睛】本题考查解一元二次方程，运用直接开方法求解即可． 2．（2024秋•潍坊期中）解下列一元二次方程可以直接开平方的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】形如的方程可以用直接开平方法求解． 【详解】解：方程可以直接开平方． 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 3．（2024秋•红桥区期中）解一元二次方程时，可以将其转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据直接开平方法求解即可． 【详解】解：原方程变形为：， ， 或， 故选：． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键． 4．（2024秋•东海县期中）老师出示问题：“解方程，”四位同学给出了以下答案： 甲；乙；丙；丁，． 下列判断正确的是　　 A．甲正确 B．乙正确 C．丙正确 D．丁正确 【答案】 【分析】先移项，再两边开平方即可． 【详解】解：， ， 则，， 丁正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 题型二、用直接开平方法解方程 5．用直接开平方法解下列方程： （1） （2）． 【分析】（1）先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程； （2）先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解：（1）， ， 所以，； （2）， ， 所以，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 6．直接开平方法解下列方程： （1）；（2）． 【分析】（1）先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程； （2）先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】解：（1）， ， 所以，； （2）， ， 所以，． 【点睛】本题考查解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 7．用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）． 【分析】（1）直接利用开平方解方程得出答案； （2）方程两边同时开平方，进而得出答案． 【详解】解：（1） ， 则， 解得：，； （2）． ， 解得：，． 【点睛】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键． 8．若，求的值． 【分析】设，以代替已知方程中的，列出关于的新方程，通过解新方程即可求得的值，从而得出答案． 【详解】解：设，则由原方程得： ，即， 解得：或． 当时，，则， 当时，，则， 则． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，用到的知识点是直接开平方法和换元法解一元二次方程，换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换． 题型三、直接开平方法的应用 9．（2023秋•衡山县期末）关于的方程无实数根，那么满足的条件是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】方程左边是一个式的平方，根据平方的非负性，得关于的不等式，求解不等式即可． 【详解】解：当时，方程无解． 即． 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的直接开平方法，运用直接开平方法，等号的另一边必须是非负数． 10．（2025春•崇川区校级月考）若方程有解，则的取值范围是　　 ． 【答案】． 【分析】根据直接开平方法可得关于的不等式，进而求解可得． 【详解】解：方程有解， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，理解平方的非负性是解题关键． 11．（2024秋•镇江期中）已知关于的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则的取值范围是　　． 【答案】． 【分析】本题考查的是平方根的性质，利用平方根的含义解方程，根据非负数才有平方根可得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程可以用直接开平方法求解， 是非负数， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平方根的性质，利用平方根的含义解方程，根据非负数才有平方根可得答案． 12．（2023秋•武胜县期末）若方程的解是，则方程的解是　，　． 【答案】，． 【分析】由题意可知，即可得出，然后利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：方程的解是， ， 方程中，， ， ，， 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了直接开平方法法解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 题型四、配方法 13．（2025春•鹿城区校级月考）已知一元二次方程可配成，则的值为　　 A． B．1 C． D．5 【答案】 【分析】利用配方法把一元二次方程变形为，所以，，然后求出、的值，最后计算它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， 解得， ． 故选：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 14．（2025春•杭州期中）用配方法解方程，应在方程两边同时加上　　 A．9 B．6 C．36 D．3 【答案】 【分析】根据完全平方公式求解即可． 【详解】解：， ，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程—配方法，用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 15．（2023秋•邯郸期末）若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为 　11　． 【答案】11． 【分析】先把常数项移到等号的另一边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方后得新方程，根据题目中两个方程相等确定、，最后求出． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得． ． 一元二次方程配方后得到方程， ，． ． ． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了配方法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解决本题的关键． 题型五、用配方法解方程 16．用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3）原方程无解； （4），． 【分析】（1）直接利用解一元二次方程配方法进行计算即可； （2）直接利用解一元二次方程配方法进行计算即可； （3）直接利用解一元二次方程配方法进行计算即可； （4）先化成一般式，再利用配方法进行计算即可． 【详解】解：（1）， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：，； （2）， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：，； （3）， 移项得：， 配方得：， 即， ， 原方程无解； （4）， 原方程化为， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程配方法，将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 17．用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【分析】（1）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答； （3）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答； （4）利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， 或， ，； （2）， ， ， ， ， ， 或， ，； （3）， ， ， ， ， ， 或， ，； （4）， ， ， ， ， ， 或， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键． 18．用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【分析】（1）方程利用配方法求出解即可； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程整理后，利用配方法求出解即可； （4）方程整理后，利用配方法求出解即可． 【详解】解：（1）， ，即， 则． ， 即，； （2）配方得：， 即． 两边开平方，得， ，； （3）去括号、移项、合并同类项，得， 配方，得，即， 开方，得， 解得，； （4）把常数项移到右边，并将两边同除以4，得， 配方，得，即． 开方得：． 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 题型六、用配方法解方程的过程性问题 19．（2024秋•沧州期末）阅读图中杨老师讲解“一元二次方程的解法”时在黑板上的板书过程并完成任务． （1）①图中解方程的方法是　　 ； ．直接开平方法；．配方法；．公式法；．因式分解法 ②第二步变形的依据是　　 ； （2）用公式法解方程：． 【答案】（1），等式的基本性质，等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立； （2），． 【分析】（1）根据配方法解方程的基本步骤解答即可； （2）根据题中给出的方法解答即可． 【详解】解：（1）①；②等式的基本性质，等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立； 故答案为：，等式的基本性质，等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立． （2）， ，，， ， ，． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法，因式分解法是解题的关键． 20．（2025春•舟山期中）解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 或 乙同学： ，， 此方程无实数根 （1）你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法　不正确　 ，乙同学的解法　　（填“正确”或者“不正确” （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】（1）不正确；不正确． （2），． 【分析】（1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据公式法可对解法二进行判断； （2）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】解：（1）甲同学的解法不正确，乙同学的解法不正确， 故答案为：不正确；不正确． （2）， ， ， 或， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用恰当的方法进行计算． 题型一、解含字母的一元二次方程 21．（2024春•青浦区校级期末）解关于的方程：． 【答案】． 【分析】利用直接开平方法对所给方程进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 因为， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程直接开平方法，熟知直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 22．（2024春•金山区期末）解关于的方程：． 【分析】方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解． 【详解】解：方程整理得：， 即， 若，即，开方得：； 若，即，方程无实数根． 【点睛】此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 23．（2024秋•青浦区校级期末）解关于的方程：． 【答案】，． 【分析】用直接开平方法即可解关于的一元二次方程． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方法的解法直接开平方法，熟练掌握该方法是解题的关键． 24．（2025春•杨浦区期中）解方程：． 【答案】当时，此方程无解；当时，； 【分析】对的取值范围进行分类讨论，再进行求解即可． 【详解】解：由题知， ． 当时，此方程无解； 当时， ， 所以． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程直接开平方法，熟知直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 题型二、用配方法解决非负性问题 25．（2025春•滨湖区期中）已知，求的值为　　 A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】 【分析】依据题意，由，可得，从而，，则，进而计算可以得解． 【详解】解：由题意，， ． ． ，． ． ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 26．（2023秋•陵城区期末）已知，则的值为　　 A．4 B．2 C． D． 【答案】 【分析】利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出、，计算即可． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ， 故选：． 【点睛】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式是解题的关键． 27．（2025•固原一模）若，满足，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出与的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：已知等式变形得：， 即， ，， ，， 解得：，， 则． 故答案为：． 【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 题型三、用配方法比较代数式的大小 28．（2024•江北区校级开学）已知、满足等式，，则，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用作差法判断即可． 【详解】解：， ， ． 故选：． 【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 29．（2023秋•东湖区期末）若，，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．不能确定 【答案】 【分析】两个式子作差计算即可． 【详解】解： ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用和非负数的性质，解题时要注意配方的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． 题型四、用配方法求最值问题 30．（2023春•梁溪区校级期中）在求解代数式的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法：解：原式，无论取何值，，代数式，即当时，代数式有最小值为4．仿照上述思路，则代数式的最值为　　 A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】 【分析】根据题意把代数式配成的形式，再利用偶次方的非负性即可得出最值． 【详解】解：由题意可得：原式 ， 无论取何值，，即， 代数式，即当时，代数式有最大值， 故选：． 【点睛】本题主要是考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成的形式． 31．（2025春•姑苏区校级月考）探究代数式的最小值时，我们可以这样处理： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： （1）当 　　 时，有最小值是 　　 ； （2）多项式有最 　　 （填“大”或“小” 值，该值为 　　 ； （3）已知，求的最小值． 【答案】（1）；； （2）大；17； （3）． 【分析】（1）（2）利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答； （3）根据题意得到，利用配方法把变形，再根据偶次方的非负性解答． 【详解】解：（1）， ， 当时，的值最小，最小值是0． ． 当时，有最小值是， 故答案为：；； （2）， ， ， 有最大值0， 有最大值，最大值为17， 故答案为：大；17； （3）， ， ， 则的最小值为． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 题型五、用配方法解决三角形周长问题 32．（2023秋•公安县期末）先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求和的值． 解：， ， ， ，， ，． （1）若，求的值； （2）已知，，是等腰的三条边长，且，满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）17． 【分析】（1）依据题意，由配方变形为，从而可得，且，求出，后即可计算得解； （2）依据题意，由配方变形为，从而求出，，再由，，是等腰的三条边长，结合两边之和大于第三边进而求出，，，最后计算可以得解． 【详解】解：（1）由题意，， ，即． ，且． ，． ． （2）由题意，， ． ． ，． ，． 又，，是等腰的三条边长， ，．（若，，依据两边之和大于第三边，不合题意，舍去． 的周长为：． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法进行变形是关键． 33．（2025春•锦江区校级期中）已知，，是△的三条边长，且，，是正整数． （1）若，，满足且，求的长． （2）若△为等腰三角形，且满足，求△的周长． 【答案】（1）；（2）12． 【分析】（1）依据题意，由，则，则正整数解为，或，，又，可得，进而可以判断得解； （2）依据题意，由，可得，从而，，又△为等腰三角形，若第三边为2，从而分两种情形讨论计算可以得解． 【详解】解：（1）由题意，， ． 正整数解为，或，． 又， ． ． （2）由题意，， ． ． ，． △为等腰三角形，若第三边为2， ①三边为2、2、5，不能构成三角形；②第三边为5，则三边为2、5、5． 综上，周长为：． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、三角形三边关系、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 题型六、用配方法解决三角形形状问题 34．已知，，为三边长． （1）求证：． （2）当，试判断的形状． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）是等边三角形． 【分析】（1）先依据完全平方公式将原式变形为，然后再利用平方差公式进行分解，然后结合三角形的三边关系进行判断即可； （2）先利用完全平方公式将原式变形为，然后，依据非负数的性质可得到、、之间的关系，从而可对的形状作出判断． 【解答】（1）证明：， ，，为三边长， ，， ，， ； （2）解：是等边三角形． 理由：， ， ， ， 是等边三角形． 【点睛】本题主要考查的是利用配方法判断三角形的形状的知识，能够对不等式进行适当的变形是解题的关键． 35．（2025春•瑶海区期中）已知，则的值是　　 A．4 B． C．8 D． 【答案】 【分析】将整式适当变形，利用配方法和非负数的意义求得，，的值，再利用积的乘方的运算性质解答即可． 【详解】解：， ， ， ，，， ，，， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，非负数的意义，积的乘方的性质，熟练掌握配方法是解题的关键． 36．（2025春•藤县期中）已知关于的方程，，为常数，的解是，，那么方程的解为　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】先把方程可变形为：，然后根据题意可得：或，从而进行计算即可解答． 【详解】解：方程可变形为：， 由题意得：或， 解得：，， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 37．（2025春•庐阳区校级期中）已知关于的方程，，常数，的解是，，那么： （1）方程解为 　，　 ； （2）解为 　　 ． 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）用替换原来的，据此可解决问题． （2）用替换原来的，据此可解决问题． 【详解】解：（1）由题知， 因为关于的方程，，常数，的解是，， 则由方程得， 或， 所以，． 故答案为：，． （2）由题知， 因为关于的方程，，常数，的解是，， 则由方程得， ， 所以或， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程直接开平方法及换元法解一元二次方程，熟知换元法是解题的关键． 38．（2025春•浙江期中）若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是　　 A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 【答案】 【分析】依据题意，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：由题意得，， 又， ． ， ， ， ． 当时，能取的最小值是2020， 故选：． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键． 39．（2025春•姑苏区校级月考）已知，，则 　　 ． 【答案】． 【分析】依据题意，由，则，结合，故，从而，即可判断得解． 【详解】解：由题意，， ． ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用、代数式求值，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 40．（2025春•沈阳期中）当 　　 时，多项式有最大值？求出这个最大值 　　 ． 【答案】；5． 【分析】依据题意可得，，又，从而可以判断得解． 【详解】解：由题意得，． ． 当时，有最大值，最大值是5． 故答案为：；5． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，配方法进行因式分解，非负数的性质等，将各小题中的多项式配方是求解本题的关键． 41．（2025春•市中区校级期中）原题呈现：若，求、的值． 方法介绍： ①看到可想到如果添上常数4恰好就是，这个过程叫做“配方”，同理，恰好把常数5分配完； ②从而原式可以化为由平方的非负性可得且． 经验运用： （1）若，求的值． （2）当，，分别取何值时，代数式有最小值？并求其最小值． 【答案】（1）； （2）当，时，代数式有最小值，最小值为5． 【分析】（1）将已知等式整理，配方，利用偶次方的非负性可求得和的值，从而的值可求； （2）将已知等式整理，配方，利用偶次方的非负性即可求解． 【详解】解：（1）已知等式整理得：， 即， ，， 解得：，， ； （2）已知等式整理得： ， ，，， ， 当，，，即，时， 代数式有最小值，最小值为5． 【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 42．（2025•莆田模拟）已知，，均为正数，满足如下三个条件： ①，②，③． （1）小明探究发现结论：， 证明如下：由①②，得④， 由④③，得． 小红探究发现结论：， 证明如下：由①②，得④， 请你将小红的证明过程补充完整； （2）请你利用小明和小红发现的结论或者按照自己的思路，求出和的值． 【答案】（1）证明过程见解析；（2），． 【分析】（1）依据题意，由①②，得④，又③，故可得，又由②，从而可以判断得解； （2）依据题意，由小红的结论，则，结合③，从而，又②，可得，故，从而，可得（负根舍去），又，故，最后可得，即可判断得解． 【解答】（1）证明：由①②，得④， 又③， ，即． ． 又②， ． （2）解：由题意，由小红的结论， ． 又③， ． 又②， ． ． ． （负根舍去）． 又， ． ． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质：偶次方、平方差公式，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$