暑假题型分类复习：解答题-2025-2026学年北师大版 数学七年级下册

**基本信息** 以解答题为载体，系统整合七年级下册六大核心考点，通过“考点汇总+跟踪训练”模式，融合几何直观、推理能力与模型意识，构建“概念-方法-应用”递进式训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式的乘除|4题|乘法公式简便运算、数形结合推导公式|从代数运算到几何意义理解，强化符号意识| |相交线与平行线|4题|辅助线添加（作平行线）、角关系转化|以平行线性质为核心，培养推理能力| |概率初步|4题|古典概型计算、频率估计概率|从基础概率到数据分析，渗透数据意识| |三角形|4题|全等判定、构造辅助线（倍长中线）|深化三角形性质应用，发展空间观念| |图形的轴对称|4题|轴对称性质应用、折叠问题处理|结合网格操作，强化几何直观| |变量之间的关系|2题|函数图像分析、实际问题建模|从直观描述到模型构建，培养应用意识|

暑假题型分类复习：解答题-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024） 考点汇总 考点一：整式的乘除 考点二：相交线与平行线 考点三：概率初步 考点四：三角形 考点五：图形的轴对称 考点六：变量之间的关系 跟踪训练 考点一：整式的乘除 1．利用乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 2．先化简，再求值：，其中，． 3．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积． ①方法1：________；方法2：________ ②请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系：________ (2)根据（1）题中的等量关系，解决问题：已知，，则________． (3)①类比（1）的探究过程，请用不同的代数式表示图2中大正方形的面积． 由此得到的等式为________；（用m、n、p表示）； ②根据上面的结论，已知，时，求的值是多少？ 4．定义：对于两个正数和，如果，那么．例如：因为，所以． (1)填空： ① ______； ② ______； (2)观察下列式子：． 请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，求的值． 考点二：相交线与平行线 5．如图，已知，，，若，求的度数． 6．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，，． 求证：． 请将下面的证明过程及推理依据补充完整： 证明：∵（已知）， ∴___________（___________）． ∵（已知） ∴（___________）， ∴______________________（___________）． ∴． 7．已知直线，将三角形按如图所示放置，其中，边，分别与直线，相交于点，，边分别与直线，交于点，． (1)若，求的度数； (2)连接．当恰好平分时，求与之间的数量关系． 8．【定义】对于和，若存在正整数，使得，使得，则称是的“倍补角”．例如：当，时，有，则称是的“2倍补角”． (1)【理解】若，则的“4 倍补角”是_______． (2)【应用】已知直线，点分别在直线AB，CD上． ①如图1，在直线和之间取一点，连接，当时，是的“3倍补角”，求的度数． ②如图2，在直线和之间分别取两点，连接，且，，连接．当时，是的 “倍补角”，求的值． 考点三：概率初步 9．某校组织学生去革命纪念馆参观，现有延安革命纪念馆、西安事变纪念馆、渭华起义纪念馆三个纪念馆可供选择，以班级为单位，在这三个纪念馆中随机选择一个纪念馆进行参观，1班的班主任准备了一些除颜色不同外其余都相同的小球，其中红球10个、黑球18个、白球12个，将这些小球放入不透明的箱子中摇匀后，班长从中随机摸出一个小球，若摸到红球，则全班去延安革命纪念馆参观；若摸到黑球，则全班去西安事变纪念馆参观；若摸到白球，则全班去渭华起义纪念馆参观． (1)事件“班长摸到蓝球”为 事件；（填“随机”“必然”或“不可能”） (2)求1班去渭华起义纪念馆参观的概率． 10．现有正面分别写有“敦”“煌”“莫”“高”“窟”的卡片共张，这些卡片的大小、形状、背面完全相同．已知“敦”字卡片有张，“煌”字卡片有张，“莫”字卡片有张，“高”字卡片有张，其余都是“窟”字卡片，将这些卡片背面朝上随机放置在桌面上． (1)随机抽取一张，抽到“窟”字卡片的概率是多少？ (2)若从这些卡片中取出张“煌”字卡片，再放入张“莫”字卡片，混匀后，随机抽取一张，抽到写有“莫”字卡片的概率为，求的值． 11．某农业科技站在试验田测试一种新型小麦种子的发芽率，对不同数量的种子进行了多次发芽试验，记录了每次试验种子的发芽频率，绘制了如图所示的统计图．请根据图中信息，回答下列问题： (1)该种子发芽的概率大约为______（精确到）； (2)某种植户已经购买了千克约粒这种小麦种子，估计这批种子能发芽的数量； (3)若一片试验田需要株发芽的麦苗，估计至少需要准备多少粒这种小麦种子？ 12．学校开展交通安全知识竞赛，并从本校七年级随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（根据成绩共分、、、四个等级），其中获得等级和等级的人数相等．相应的条形统计图和扇形统计图如下．根据以上信息，解答下列问题： (1)共抽取了________名学生； (2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中等级对应的圆心角的度数； (3)等级中有名女生，等级中有名女生，学校计划从等级为或的学生中抽取名参加区级交通安全知识竞赛，则抽到女生的概率是多少？ 考点四：三角形 13．如图，，，．求证：． 14．如图，莹莹想知道一堵墙上的点距地面的高度（墙与地面垂直，即），但又不便直接测量，于是莹莹同学设计了下面的方案： 第一步：找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合，直杆与地面的夹角为． 第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到，直杆的底端滑到地面点． 第三步：测量的长度，即点距地面的高度． 请你说明这样设计的理由． 15．如图，在中，，点在边上，连接，点是边上一点，且，连接交于点．延长到，使得，连接，是的中线． (1)依题意补全图形； (2)若，． ①证明：； ②用等式表示与的数量关系，并证明． 16．根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 考点五：图形的轴对称 17．如图，和的顶点都在边长为1的正方形组成的网格的格点上，且和关于直线成轴对称． (1)的面积为_____； (2)请在网格中作出直线m； (3)请在直线的上方找一点D（不与点A重合），作出，使．（无需证明） 18．如图，小深制作了一只风筝，风筝面抽象成四边形．为了飞行时受力均匀，保持平稳，风筝面需要制作成轴对称图形，即被垂直平分． (1)小深通过测量得到了，还需测量得到______（不添加新的点和线的前提下，增加一个条件），即可判断制作的风筝面为轴对称图形，请说明理由． (2)若四边形是轴对称图形，且，，求的度数． 19．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上），利用网格画图． (1)在图中作出关于直线对称的； (2)连接，则与的位置关系是 ，线段与的数量关系是 ． 20．我们已经学习了角平分线的概念，那么你会用这一知识解决有关问题吗？ (1)如图1，将长方形笔记本的一张活页纸的一角折叠，使该角的顶点落在点处，为折痕．若，求的度数． (2)在（1）的条件下，如果将它的另一个角也斜折过去，并使边与重合，点落在点处，折痕为，如图2，求的度数． (3)若改变图2中的大小，则的位置也随之改变，那么（2）中的大小会不会改变？请说明理由． 考点六：变量之间的关系 21．如图是自动测温仪测得的某个城市在一天24时的气温变化情况： (1)指出图中的变量； (2)气温在哪段时间是上升的？ (3)求这天的温差（最高气温与最低气温的差值）． 22．贵阳市道路上的隔离栏是一道靓丽的风景线，小红在学习了《变量之间的关系》后，与之产生了联系．该隔离栏平面示意图如图所示，已知每根立柱宽为，两根立柱间距为． (1)当立柱根数为4根时，隔离栏的总长度为 ； (2)设有根立柱，隔离栏总长度为，请写出与之间的关系式； (3)若隔离栏总长度为，请求出立柱的根数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)1 (2)11025 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．， 【分析】先去括号展开各项，合并同类项进行化简，再代入，值计算结果． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 3．(1)①，；②； (2)1 (3)①；②14 【分析】（1）①小正方形的面积等于其边长的平方，小正方形的面积又等于大正方形的面积减去4个小长方形的面积，据此求解即可；②根据（1）①即可得到答案； （2）根据（1）可得，据此代入求值即可； （3）①大正方形的面积等于其边长的平方，大正方形的面积等于三个小正方形的面积加上6个小长方形的面积，据此求解即可；②根据（3）①可得，据此代入求值即可． 【详解】（1）解：①图②中阴影部分是一个边长为的正方形，其面积为， 图②中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，其面积为； ②∵（1）①中两种表示方法表示的面积相等， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∵，， ∴； （3）解：①大正方形的边长为，则其面积为， 大正方形的面积等于三个小正方形的面积加上6个小长方形的面积，则其面积为， ∴； ②由（3）①得， ∴， ∵，， ∴． 4．(1)①2；②4 (2)猜想：． 理由：设． ． ． ． ． ． (3)8 【详解】（1）解：，． ，． （2）略． （3）解：， ， ． 又， 由（2）可知． 5． 【分析】先证明，再根据平行线的性质和等量代换得到，证明，利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：， ， 即， ， ， ， ， ， （内错角相等，两直线平行）， ， ， ． 6．；两直线平行，同位角相等；等量代换；；；内错角相等，两直线平行 【分析】先得出，则可得，再得出，根据平行线的性质即可得证． 【详解】略． 7．(1) (2) 【分析】（1）过点作，得到，进而由两直线平行，内错角相等得，，进而根据角的和差关系求解即可； （2）设，，则，可得，再由角平分线的定义可得，然后根据邻补角的定义可得，等量代换即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ； （2）解：设，，则， 由（1）得， ， ， 恰好平分， ， ， ， 即． 8．(1) (2)①，② 【分析】（1）根据题目中是的“倍补角”的定义，即可求解； （2）①过点作，根据题目中是的“倍补角”的定义，和平行的性质，即可求解；②根据题目中各角度之间的倍数关系和平行的性质，可解得，过点作，过点作，根据平行的性质和是的 “倍补角”，用含有的式子表示，结合为正整数和的范围，可解得的值． 【详解】（1）解：设的“4 倍补角”为， 则由题意可知，， 解得； （2）解：①∵，是的“3倍补角”， ∴， 过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴； ②设，，（） ，，（） ∵， ∴， ∵， ， ∴，即， 过点作，过点作， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（∵，，∴） ∵是的 “倍补角”， ∴， 即 解得， ∵，为正整数， ∴当时，， 当时，，（舍去，∵） 综上，． 9．(1)不可能 (2) 【分析】（1）根据箱子中球的颜色判断事件类型即可； （2）根据概率公式，用符合条件的结果数除以所有可能的结果数，即可求出对应概率． 【详解】（1）解：箱子中只有红球、黑球、白球，没有蓝球，一定摸不到蓝球， 故事件“班长摸到蓝球”为不可能事件； （2）解：先计算小球的总数量：（个）， 摸到白球即去渭华起义纪念馆参观，白球共12个， 根据概率公式得：， 答：1班去渭华起义纪念馆参观的概率为． 10．(1) (2) 【分析】（1）用“窟”字卡片的数量除以卡片的总数量即可； （2）根据抽到写有“莫”字卡片的概率为列方程求解即可． 【详解】（1）解：（抽到“窟”字卡片）； （2）解：由题意，得， 解得． 11．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率估计概率，结合统计图解答即可； （2）用总数乘以发芽概率即可估计发芽数量； （3）用所需发芽麦苗数除以发芽概率即可求得至少需要准备的种子数． 【详解】（1）解：由统计图可知，随着种子数量增加，发芽频率稳定在附近， 因此该种子发芽的概率大约为； （2）解：由（1）可知该种子发芽的概率大约为， ， 答：估计这批种子能发芽的数量约为粒； （3）解：由（1）可知该种子发芽的概率大约为， ， 答：估计至少需要准备粒这种小麦种子． 12．(1) (2)， (3) 【分析】（1）用等级的人数除以其人数占比即可求解； （2）求出等级的人数，可补全统计图，再用度乘以等级的人数占比可求出对应的圆心角度数； （3）用等级和等级的女生人数之和除以等级和等级的人数之和，即可求解． 【详解】（1）解：（名）， ∴共抽取了名学生． （2）解：等级的人数为（人）， 扇形统计图中等级对应的圆心角的度数为． （3）解：， ∴抽到女生的概率是． 13．证明：， ， ， 在和中， ， ． 【分析】解：先证，再证，即可得答案． 【详解】解：略． 14．解：因为， 所以， 在与中， 因为， 所以， 所以． 【分析】根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】略 15．(1)补全图形如下： (2)①证明：， ． ， ， ， ， ．                                                                          在和中， ， ， ；                                     ②关系：；                                         证明：延长到，使得，连接， 是的中线， ． 在和中， ， ， ，， ， ． ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 【分析】（1）按照题意进行画图即可； （2）①证明，根据全等三角形的性质即可求解； ②延长到，使得，连接，证明，通过平行线的性质以及角度的和差关系可知，进而证明即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 16．(1)证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． (2)①； 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． ②4 【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可； （2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 17．(1) (2)直线m如图： (3)如图， 【分析】（1）利用割补法求面积即可； （2）连接对应点，再找到对应线段的中点，连接即可得到直线m； （3）先证明以和为斜边且网格边长为直角边的三角形全等，即可得到，再把平移得到，此时，，结合即可证明； 【详解】（1）解：的面积为； （2）略 （3）略 18．(1)解：还需测量得到，理由如下： 如图所示，设交于点O， 在和中， ， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴被垂直平分， ∴制作的风筝面为轴对称图形； 还需测量得到，理由如下： 如图所示，设交于点O， 在和中， ， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴被垂直平分， ∴制作的风筝面为轴对称图形； (2) 【分析】（1）添加条件或，证明，得到，再证明，得到，则可证明被垂直平分，则制作的风筝面为轴对称图形； （2）设交于点O，证明，得到，则；再证明，得到，则． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，设交于点O， ∵四边形是轴对称图形，即被垂直平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 19．(1) (2)互相垂直，相等 【分析】（1）利用网格作图，分别作出、、关于直线的对称点，依次连接三点，得到的即为所求的轴对称图形； （2）依据轴对称性质：对应点连线垂直对称轴，判定与互相垂直，依据轴对称变换里对应线段长度不变，可得与长度相等． 【详解】（1）解：分别过格点、、作直线的垂线，延长垂线，在另一侧截取和原始顶点到距离相等的线段，得到对称点、、（三点均落在网格格点上），按顺序依次连接、、，即为所求的轴对称图形； （2）如图： 依据轴对称性质：对应点的连线被对称轴垂直平分， ∴对称轴， ​∴与的位置关系：互相垂直； 依据轴对称性质：轴对称变换前后对应线段长度相等， ∴线段与的数量关系：． 20．(1) (2) (3)解：不变，理由如下： ∵折叠， ∴， ∴ ， 即， ∴的大小不会改变． 【分析】（1）根据折痕是角平分线，以及平角的定义进行求解即可； （2）根据折痕是角平分线，以及角的和差关系进行求解即可； （3）根据折痕是角平分线，平角的定义以及角的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵折叠，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∵折叠， ∴， ∴； （3）略 21．(1)温度和时间 (2)气温在3时到14时是上升的 (3) 【分析】（1）直接观察图象，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解； （3）观察图象可得最高气温为，最低气温，即可求解． 【详解】（1）解：由图可得，图中的变量是温度和时间． （2）解：观察图象得：气温在3时到14时是上升的． （3）解：观察图象得：最高气温为，最低气温． ∴这天的温差为． 22．(1) (2) (3)立柱共有43根 【分析】（1）根据隔离栏的总长度立柱根数+（立柱根数），列式计算即可； （2）根据隔离栏的总长度立柱根数+（立柱根数），列式即可； （3）令代入（2）的关系式求出x的值即可． 【详解】（1）解：当立柱根数为4根时，隔离栏的总长度为：； （2）解：设有根立柱，隔离栏总长度为， 则， （3）解：若隔离栏总长度为，令， 则， 解得：， 答：立柱共有43根． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $