1.2 整式的乘法暑期专项练习2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 以整式乘法法则为核心，通过面积模型、规律探究等题型构建“法则应用-公式推导-综合迁移”的方法体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选5-6题、解答19题|单项式/多项式乘法法则，合并同类项技巧|从单项式乘多项式到多项式乘多项式，逐步深化运算逻辑| |公式应用|单选1-4题、填空13题|面积法验证乘法公式，系数对应关系分析|通过图形面积直观理解公式几何意义，建立代数与几何联系| |综合拓展|单选7-10题、解答17-20题|不含某项系数处理，杨辉三角规律迁移，作差比较大小|从具体计算到抽象规律探究，培养创新意识与推理能力|

1.2 整式的乘法 暑期专项练习2025-2026学年北师大版 七年级数学下册 一、单选题 1．小李同学制作了如图所示的卡片A类、B类、C类各2张，其中A、B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形．现要拼一个两边分别是和的大长方形，那么下列关于他所准备的C类卡片的张数的说法中，正确的是（    ） A．够用，剩余1张 B．不够用，缺1张 C．不够用，缺2张 D．够用，剩余2张 2．已知，则的结果是（　　） A． B．5 C．7 D．13 3．一个三角形的一边长是，对应边的高是，则这个三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个面积为的长方形．则需要（    ） A．A类卡片2张，B类卡片3张 B．A类卡片3张，C类卡片2张 C．A类卡片3张，B类卡片2张 D．B类卡片3张，C类卡片2张 5．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 6．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 7．甲、乙两长方形的边长如图所示（m为正整数），其周长分别为、，其面积分别为、，则周长与面积的大小关系正确的是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 8．阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题：四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果可能是（   ） A． B． C． D． 9．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为自然数）展开式的项数及各项系数的规律．例如：，系数为1；，系数分别为1，1；，系数分别为1，2，1；…则展开后的常数项是（     ） A．50 B．40 C．36 D．35 10．若展开的结果中不含的一次项，则满足的关系式是(     ) A． B． C． D． 二、填空题 11．化简：__________． 12．若，，则A______B（填“”、“”或“”）． 13．有下列四个表达式： ①；②；③；④．其中不能表示如图所示的正方形的面积的是___________（填序号）． 14．已知的展开式中，不含有和，则_______，_______． 15．计算：_________． 三、解答题 16．下面是小华的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务. ， （第一步）， （第二步）， （第三步） 任务： (1)小华的运算过程从第______步开始出错； (2)请写出正确的运算过程. 17．观察以下等式： ．．． (1)按以上等式的规律填空：； (2)试利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； (3)利用（1）中的公式化简：． 18．小Q在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小正告诉他结果中的一次项系数为． (1)被染黑的常数为 ； (2)请你帮助小Q算出这道题的结果． 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．阅读材料解决问题：当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． (1)用“”或“”或“”填空： ∵______0，∴______； (2)已知n为自然数，，，试比较P与Q的大小； (3)已知，，直接写出A与B的大小比较结果． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B A A D A A D 1．B 【分析】首先计算得到，然后比较求解即可． 【详解】解： ∴C类卡片3张， ∵小李同学制作了C类卡片2张， ∴他所准备的C类卡片的张数不够用，缺1张． 2．C 【分析】先展开等式左边，再根据多项式相等对应项系数相等求出和的值，最后计算即可． 【详解】解：， 又， 对应项系数相等，可得 ，，即， ． 3．C 【详解】解：由题意得 ． 4．B 【分析】首先根据长方形面积公式计算目标图形的面积，利用单项式乘多项式法则展开，再结合图中A、B、C三类卡片的面积特征，通过对比多项式中各项的系数确定所需卡片的数量； 【详解】解：， 由图可知： A类卡片是长为、宽为的长方形，面积为，B类卡片是边长为的正方形，面积为，C类卡片是边长为的正方形，面积为， ∵目标面积中包含个和个， ∴需要C类卡片张，A类卡片张． 5．A 【分析】将单项式分别乘以多项式的每一项，结合同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： 6．A 【详解】解：． 7．D 【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则分别求出，，，，再求差，比较，即可判断． 【详解】解：由题意得，， ， ∴， ∵m为正整数， ∴， ∴； ， ， ∴， ∴； 综上，选项D符合题意． 8．A 【分析】将多项式相乘的结果展开即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 根据选项得：或， 解得或， 则或． 只有选项A符合题意． 9．A 【分析】根据杨辉三角规律得出展开式的各项系数，确定展开式中含的项和常数项，分别与中的和相乘后求和即可． 【详解】解：由杨辉三角可知，展开式的系数依次为， 展开式的通项形式为， 即， 展开后出现常数项，分两种情况： 即展开式中与中的相乘，对应系数为，展开式中与中的相乘，对应系数为，该项乘积为， 展开后的常数项是． 10．D 【分析】本题考查多项式乘多项式中不含某一项时字母关系式的求解，先利用多项式乘多项式法则展开式子，合并同类项后，根据不含的一次项即一次项系数为，整理即可得到，的关系式． 【详解】解： ， 又∵ 展开结果中不含的一次项，因此一次项系数为0 ∴ ，整理得 故选：D． 11． 【分析】根据多项式乘多项式的法则展开原式，再合并同类项即可得到结果． 【详解】解： ． 12． 【分析】先分别展开两个整式，再计算两式的差，根据差的正负判断大小． 【详解】解：， ∴ 因此． 13．③ 【分析】根据正方形的面积公式，大正方形的面积可以表示为边长的平方，也可以表示为四个小图形面积之和，还可以表示为两个矩形面积之和，分别对四个表达式进行判断即可． 【详解】解：由图可知，大正方形的边长为， 大正方形的面积为，故①能表示； 大正方形的面积也可以看作是四个小图形的面积之和，即，故②能表示； 大正方形的面积还可以看作是上下两个矩形的面积之和，上方矩形面积为，下方矩形面积为，总面积为，故④能表示； 而表示的是边长为的正方形的面积，与题意不符，故③不能表示． 14． 【分析】这个式子可化简为，由题意得，和两项的系数为零，代入求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 其展开式中，不含有和， ，解得． 15．/ 【分析】本题考查单项式乘单项式的运算，根据单项式乘单项式运算法则，结合同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 16．(1)一 (2)见解析 【分析】题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式的运算法则判断即可； 根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）小华的运算过程从第一步开始出错， 故答案为：一； （2） ． 17．(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了整式的探究性题型，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式． （1）读懂题意，按照题中的规律填空； （2）利用多项式乘以多项式计算； （3）根据规律化简式子，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为：； （2）解： 即． （3）解：依题意， ∴ ． 18．(1) (2) 【分析】（1）设被染黑的常数为a，根据多项式乘以多项式的运算法则求出的展开结果，再根据一次项系数为得到关于a的方程，解方程即可得到答案； （2）根据（1）所求，结合多项式乘以多项式的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：设被染黑的常数为a， 则 ， ∵一次项系数为， ∴， ∴， ∴被染黑的常数为； （2）解：由（1）得 ． 19．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘法，掌握多项式乘多项式法则、乘法公式是解题关键． （1）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （2）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （3）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （4）利用多项式乘多项式法则展开计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据阅读材料计算即可求解； （2）根据多项式乘以多项式，再求结果的差，根据阅读内容即可比较出结果； （3）用一个字母表示一串特殊的数字，再利用多项式乘以多项式，进而比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∴； （2）解：∵，， ∴． ∴； （3）解：设， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $