期末题型分类突破：解答题-2025-2026学年数学七年级下册北师大版

**基本信息** 以期末解答题突破为核心，整合七年级下册六大模块，提炼解题方法，构建“概念-方法-应用”逻辑链条，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式的乘除|4题|公式变形求最值、多项式运算|从公式应用到实际问题建模| |相交线与平行线|4题|角平分线性质、平行判定与性质|从基础推理到动态与新定义综合| |概率初步|4题|概率计算、频率估计概率|从古典概型到统计推断| |三角形|4题|全等证明、动态分类讨论|从静态证明到动态几何应用| |图形的轴对称|4题|对称性质、折叠变换|从作图操作到折叠性质应用| |变量之间的关系|2题|函数关系式建立|从数据整理到实际问题解决|

期末题型分类突破：解答题-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024） 题型导航 题型一：整式的乘除 题型二：相交线与平行线 题型三：概率初步 题型四：三角形 题型五：图形的轴对称 题型六：变量之间的关系 题型特训 题型一：整式的乘除 1．化简：． 2．先化简，再求值：，已知， 3．我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ，∴当时，的值最小，最小值是， ∴，∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当_______时，代数式的最小值是_______； (2)知识运用：若，当_______时，y有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (3)知识拓展：若，求的最小值． 4．某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼（如图①），也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院（如图②），同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． 一组的同学们认为回字形福建土楼的占地面积更大；二组的同学们认为山西大院的占地面积更大； 为证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了测量，测量结果如图所示． (1)请用，分别表示这两个建筑物的占地面积；（结果化为最简） (2)若，，请判断哪个建筑物的占地面积更大？ 题型二：相交线与平行线 5．如图，已知直线，，相交于点O，，平分，，求的度数． 6．如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F在同一直线上，与交于点G， ，，平分，求的度数． 解：∵（已知） ∴（ ） ． ∵平分（已知） ∴（ ） ． ∵（ ） ∴（ ） ∵（ ） ∴（ ） ∴（ ） ∴（ ） ∴． 7．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分； (1)求的度数； (2)如图2，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转（、的对应点分别为、）．设旋转时间为秒，在旋转过程中，若边，求的值； 8．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”，例如，，，因为，所以是的“4系数补角”． 【概念理解】 (1)若，则的“2系数补角”的度数为________． (2)【初步认识】如图1，平面内，，点E、F分别为直线、上一点，点P为平行线间一点，连接，，已知，，完成下列问题： ①求的度数； ②是的“_______系数补角”． (3)【问题解决】在平面内，，点E为直线上一点，点F为直线上一点，点P为平行线间一点，连接，，设与直线的夹角为α，当，且是的“3系数补角”时，的度数为________． 题型三：概率初步 9．一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中红球1个、白球3个、黑球2个，将袋子中的小球摇匀后从中随机摸出1个小球．现有两种游戏规则： ①摸出白球则甲胜，摸出非白球则乙胜； ②摸出黑球则甲胜，摸出白球则乙胜，摸出红球（不放回）重新摸球． 为使游戏对甲、乙双方公平，应选择哪种游戏规则？并说明公平的理由． 10．某商场为了吸引顾客，设立了一个如图所示的转盘，转盘被等分成16份，指针停在每个扇形区域的机会相等．活动规则如下：顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准打折区域，那么顾客就可以获得此项待遇（若指针停在分界线上，则需重新转动，直至指针落在扇形区域为止）． (1)甲顾客消费150元，求甲顾客获得打折待遇的概率． (2)乙顾客消费120元，求乙顾客获得八折待遇的概率． 11．某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试验研究时，收集的以下试验结果： 试验的种子数（m） 500 1000 1500 2000 3000 10000 发芽的种子粒数（n） 471 946 1425 1898 y 9502 发芽频率 0.942 0.946 x 0.949 0.951 0.950 (1)求表中______，______（填数值）； (2)任取一粒该植物的种子，估计它能发芽的概率为______（填数值，保留两位小数）； (3)若学校为兴趣小组准备了80000粒种子进行发芽培育，试估算多少粒种子会发芽？ 12．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小红做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 71 129 334 537 670 2010 摸到白球的频率 0.645 0.69 0.668 0.671 0.670 0.670 (1)填空：___________，___________，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为___________．（精确到0.01） (2)某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是___________． A．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于5； B．某东西向的路口信号灯按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯； C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． (3)若盒子中一共有100个球，小红和小亮用这个盒子来玩游戏， ①根据试验结果，盒子中最有可能有___________个白球： ②由①的结果，约定游戏规则：拿出17个白球，搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，摸到白球小红胜，摸到黑球则小亮胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 题型四：三角形 13．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 14．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 15．如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示线段长度： ______， ______； (2)当时，求的值； (3)若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 16．如图，在等腰直角三角形中，，，点为直线上一动点，连接，在直线的右上方作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于点，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交于点，求证：； (3)当点在直线上时，连接交直线于点，若，请直接写出的值． 题型五：图形的轴对称 17．如图，已知和直线，请使用尺规作图法在直线上作一点，连接，使得平分．（保留作图痕迹，不写作法） 18．如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 19．如图，与关于直线对称，点、的对称点分别为点、，且点、、在一条直线上，其中，，． (1)求的周长； (2)连接，求的面积． 20．若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“美妙角”．即，则称和互为“美妙角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“美妙角”，当时，求的度数； (2)如图1，一张长方形纸片，点P在边上，点E在边上．将纸片沿着折叠，点B落在点处． ①若与互为“美妙角”，求的度数； ②点F在线段或上，再将纸片沿着折叠，使点C落在．若与互为“美妙角”，则 ． 题型六：变量之间的关系 21．一摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据表中给出的数据信息，解答下列问题： (1)请将下表补充完整： 碗的数量/个 1 2 3 4 5 … 高度 5.2 6.4 ______ 8.8 ______ … (2)直接写出整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式______； (3)当碗的数量为10个时，求这些碗的高度． 22．盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物体的重量存在着一定的数量关系，如表所示： 重量（单位：千克） 0 2 3 指针转过的角度 (1)请直接写出_______，______； (2)设盘秤转过的角的数值为，物体的重量为，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出与之间的关系式为_______； (3)某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克，且指针第二次转过的角度比第一次大，该顾客一共购买了多少千克水果． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《期末题型分类突破：解答题-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案 1． 【分析】根据积的乘方、同底数幂乘法、幂的乘方分别化简每一项，再合并同类项． 【详解】解： ． 2．， 【分析】先利用平方差公式计算，再用完全平方公式展开，接着去括号、合并同类项化简括号内的式子，最后进行多项式除以单项式的运算，将、的值代入最简式计算． 【详解】解： 当，时，原式． 3．(1)2；11 (2)；大； (3)的最小值为． 【分析】（1）根据完全平方公式将原式整理后即可确定最小值； （2）将等式右边根据题中材料变形后即可确定当取何值时能取到最大值； （3）首先得到有关的关系式，根据完全平方公式将原式整理后确定最小值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值； （2）解：∵， ∴当时有最大值； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为． 4．(1)回字形福建土楼的占地面积为，山西大院的占地面积为 (2)山西大院的占地面积更大 【分析】（1）根据图形特点，根据长方形面积公式，利用多项式乘以多项式运算法则求解； （2）根据，，分别求两个代数式的值，比较值的大小，判断哪个建筑物的占地面积更大即可． 【详解】（1）解：根据题意得：回字形福建土楼面积为： ； 山西大院的占地面积为： ． （2）解：当，时， 回字形福建土楼的占地面积； 山西大院的占地面积， 而， 故山西大院的占地面积更大． 5． 【分析】利用两直线垂直的性质，对顶角的性质和角平分线的性质，即可求出结果． 【详解】解：与是对顶角， ， 平分， ， ， ， ， ． 6．邻补角定义；角平分线定义；已知；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【详解】略 7．(1) (2)的值为或 【分析】（1）根据平角的定义，求出，由角平分线求出，平行求出，再利用角的和差关系即可得解； （2）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图①中，， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）如图2中，Ⅰ，当时，， ， ， ， ， ； Ⅱ如图3，当时，延长至点，则， ， ， ， ， 综上所述，在旋转过程中，若，的值为或． 8．(1)； (2)①；②5； (3)或． 【分析】（1）设的“2系数补角”是，根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）①过点作，得，可得； ②根据几系数补角的定义列方程求解即可； （3）先求出，再分点P在之间，点在点左右两侧，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设的“2系数补角”是，根据题意，得： ， 解得：， 所以，的“2系数补角”的度数是； （2）解：①过点作，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②∵，， 根据定义得， ∴， 解得， ∴是的“5系数补角”； （3）解：∵，且是的“3系数补角”， ∴， ∴， ∴， 当点P在之间，点在点右侧，如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点P在之间，点在点左侧，如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 又 ∴； 综上，的度数为或． 9．解：应选择规则①，理由如下： ∵一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的6个小球，其中红球1个、白球3个、黑球2个， ∴①甲胜的概率为：，乙胜的概率为：， ， ∴游戏公平； ②摸出红球重新摸球，则可看作一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5个小球，其中白球3个、黑球2个， 甲胜的概率为：，乙胜的概率为：， ， ∴游戏不公平； ∴为使游戏对甲、乙双方公平，应选择规则①． 【分析】分别计算两种游戏规则甲、乙双方胜利的概率，进而计算即可． 【详解】略 10．(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）直接利用概率公式进行计算即可. 【详解】（1）解：总共分成16份，其中打折区域有6份， 故甲顾客获得打折待遇的概率为； （2）解：总共分成16份，其中八折区域有2份； ∴乙顾客获得八折待遇的概率为. 11．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据发芽频率公式计算即可得出结果； （2）观察表格数据即可得出结果； （3）根据发芽频率公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：任取一粒该植物的种子，估计它能发芽的概率为； （3）解：（粒）， 若学校为兴趣小组准备了80000粒种子进行发芽培育，粒种子会发芽． 12．(1)；； (2)A (3)①67； ②不公平，理由如下： 拿出个白球后，盒子里一共有黑球个，盒子里一共有白球个， 则小红胜的概率为，则小亮胜的概率为， ， ∴不公平． 【分析】（1）根据频率频数总数可得、的值，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值； （2）求出、、三个选项中事件发生的概率即可得到答案； （3）①利用总数乘以频率即可解答； ②分别计算小红胜和小亮胜的概率，再对比即可． 【详解】（1）解：； ； 由表格可知，随着试验次数的增加，摸到白球频率逐步稳定在附近， 故从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为； （2）解：掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于5的概率为； 某东西向的路口信号灯按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯的概率为． 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为； 故符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是A； （3）解：①根据试验结果，盒子中最有可能有个白球； ②略 13．证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】根据，得到，利用即可得证. 【详解】略 14．(1)27 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ． 15．(1)，； (2) (3)存在，， 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）当时，，为等边三角形，进行求解即可； （3）假设存在点为线段中点的情况．过点作交于点．证明，得出相等的线段，然后列方程求解即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）当时，， ∴为等边三角形， ∴．∴，解得：； （3）存在． 过点作交于点，如图2所示； ∴，， 在中，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点为线段中点， ∴，在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，解得：， ∴当秒时，点为线段中点，此时， ∴， ∵， ∴． 16．(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）利用即可得证； （2）过点作，交的延长线于点，证明，得到，再证明，即可得证； （3）分3种情况，进行讨论求解即可. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴设，则， ①当点在线段上时，如图1， 由（1）知，； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上时，如图2， 由（2）可知：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当点在线段的延长线上时，作交的延长线于点，如图： 同法可得：，， ∴，，， ∴ ∴， ∴； 综上：或或. 17． 如图，点即为所求， 【分析】作的角平分线交直线于点，连接即可． 【详解】略． 18．(1)如图，直线即为所求； (2)如图，直线即为所求． 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为直线； （2）作出的平分线即为直线． 【详解】（1）略 （2）略 19．(1) (2) 【分析】（1）首先根据对称的性质得到，，然后等量代换求解即可； （2）首先根据对称的性质得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴，， ∴的周长； （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵，， ∴的面积． 20．(1)或 (2)或；或或 【分析】（1）根据定义得出，从而求得结果； （2）①设，则，根据定义得出，进而求得结果； ②设，当在或内时，，进一步得出结果； 当在外部时，可得出方程，进一步得出结果． 【详解】（1）解：和互为“美妙角”， ， ， ， 或； （2）解：①设，则， 与互为“美妙角”， ， 或； ②设， 如图1﹣1和图1﹣2 当在或内时， ， ， 与互为“美妙角”， ， 或， 如图2， 当在外部时， ， ， ， ， 综上所述：或或． 21．(1)7.6；10 (2) (3) 【分析】（1）根据每增加一个碗增加的高度相同求解即可； （2）根据整齐叠放在桌面上碗的高度一个碗的高度（碗的总数，从而可得碗的高度与碗的数量（个）之间的关系式； （3）把代入函数关系式即可解答． 【详解】（1）解：由表格可知，1个碗高，2个碗高， ∴每增加1个碗，高度增加． ∴3个碗的高度为，5个碗的高度为． （2）解：由题意得：， 整齐叠放在桌面上碗的高度与碗的数量（个之间的关系式：； （3）解：当时，， 这些碗的高度为． 22．(1)45；10 (2) (3)12千克 【分析】（1）根据表格的数值可发现规律，重量每增加1千克，指针转过的角度增加，由此可解； （2）根据重量每增加1千克，指针转过的角度增加，即可写出与之间的关系式； （3）设出第一次称重的重量，由条件“第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克”可表示出第二次称重的重量，再根据转过的角与物体的重量之间的关系式表示出两次的旋转角度，由“指针第二次转过的角度比第一次大”建立等式即可． 【详解】（1）解：观察表格，重量每增加1千克，指针转过的角度增加， 重量为千克时，指针转过的角度为； 当指针转过的角度为时，重量为（千克）； （2）解：∵重量每增加1千克，指针转过的角度增加， ∴转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为； （3）解：设第一次称重的重量为千克， ∵第二次的重量是第一次重量的2倍多3千克， ∴第二次称重的重量为千克， 由（2）知，转过的角的数值为与物体的重量为的关系式为， ∴第一次称重转过的角的数值为，第二次称重转过的角的数值为， ∵指针第二次转过的角度比第一次大， ∴， 解得， ∴第一次称重的重量为3千克，第二次称重的重量为（千克）， （千克）， 答：该顾客一共购买了12千克水果． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $