3.2.1.2 函数的最大（小）值 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数的最大（小）值核心知识点，承接上节函数单调性内容，通过观察二次函数图象特征提问，搭建从已知单调性到未知最值的知识支架，引导学生逐步深入。 此资料以三级目标分层设计，通过二次函数实例抽象最值定义培养数学抽象素养，结合烟花高度问题归纳求解步骤发展逻辑推理能力，小组讨论与实例应用提升学生参与度，助力教师高效教学，夯实学生函数性质理解与运算能力。

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 3.2.1.2 函数的最大（小）值 设计时间 授课时间 课标要求 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 2.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． 第二课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，通过具体实例，经历函数最大值、最小值概念的抽象过程，并能准确说出最大值、最小值的定义，用例子说明“任意”“都有”“存在”等关键词的含义，发展数学抽象素养. 拓展性目标：★★ 通过任务二，能求解简单函数的最大（小）值. 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，归纳求函数最大值和最小值的一般步骤，总结出函数单调性与最值之间的关系，发展逻辑推理、数学运算素养. 课时学习重难点 教学重点：函数最大（小）值的定义及其应用． 教学难点：用符号语言表达函数的最大值、最小值． 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 1、 创设情境，提出问题： 上一节我们通过观察了图象后，发现图象有上升和下降的特征，从而学习了函数的第一个性质——单调性，我们还能发现图象还有哪些特征? 二、目标一：学生通过具体实例，经历函数最大值、最小值概念的抽象过程，并能准确说出最大值、最小值的定义，用例子说明“任意”“都有”“存在”等关键词的含义，发展数学抽象素养. 任务一：学生回答问题1，过具体实例，经历函数最大值、最小值概念的抽象过程 问题1： 观察二次函数的图象，我们发现除了单调性外，还有一些其他性质，比如它有一个最高点（0,0)．请将这个点有关的特征梳理到表3.2-2中． 函数 图象特征 图象上有一个最高点（0,0） 文字语言 符号语言 结论 表3.2-2 函数 图象特征 图象上有一个最高点（0,0） 文字语言 无论取定义域内任何实数，都有函数值小于或等于0；当时，函数取得最大的函数值0，函数没有最小值 符号语言 ，；不存在实数，使得对任意，都有（无最小值） 结论 函数的最大值为 0，在处取得；函数无最小值 答： 注意：在使用符号语言表示时，可能会出现不同的形式，如①)∀x∈R都有f(x)≤f(0)和 ②∀x∈R，都有f(x)≤0. 教师不要马上对表达②予以纠正，而是启发学生思考这两种表达是否等价. 评估一：学生能回答问题2,并能准确说出最大值、最小值的定义，用例子说明“任意”“都有”“存在”等关键词的含义，发展数学抽象素养. （小组讨论）问题2：（1） 函数有最大值吗？为什么？ （2） 函数有最大值吗？为什么？ （3）请你归纳上述例子的特征，类比用符号语言表达单调性的方式，用符号语言表达函数y=f(x)的最大值. （4）你能类比函数最大值的概念，写出函数最小值的概念吗？ 答：（1）没有，最高点式空心的,不存在最大值； （2） 有，最高点是（0,2），存在最大值为2，任意的函数值都小于等于2. （3） 1.函数的最大值的定义： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足: (1)x∈I，都有f(x)≤M; (2)x0∈I，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. （4） 2.函数的最小值的定义： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足: (1)x∈I，都有f(x)≥m; (2)x0∈I，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 三、目标二：学生能求解简单函数的最大（小）值 任务二：学生能求解简单函数的最大（小）值 例4. “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为 h(t)=－4.，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距离地面的高度是多少（精确到1m)？ 解：画出函数 h(t)=－4. 的图象(图3.2-4).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度. 由二次函数的知识，对于函数h(t)=－4.，我们有: 当 1.5时，函数有最大值 29 于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m. 评估二：学生通过例题，熟练求解简单函数的最大（小）值 例5. 已知函数 ，求函数的最大值和最小值. 分析:由函数 的图象(图3.2-5)可知，函数在区间[2,6]上单调递减.所以，函数 在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值和最小值. 解：∀,∈[2,6]，且,则 -= － = = 由 2≤≤6, 得->0，>0, 于是 ->0, 即 所以，函数在区间[2，6]上单调递减。 因此，函数 在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值.在 x=2时取得最大值，最大值是 2;在 x=6时取得最小值，最小值是0.4. 四、目标三：归纳求函数最大值和最小值的一般步骤，总结出函数单调性与最值之间的关系，发展逻辑推理、数学运算素养. 任务三：归纳求函数最大值和最小值的一般步骤. 问题3：结合两个例题，你能归纳求函数最大值和最小值的一般步骤吗？ 答： 第一步，确定函数定义域； 第二步，通过图象或者代数推理（利用单调性的定义证明）函数的单调性； 第三步，将可能取得最值的自变量代入，求出对应函数值； 第四步，比较大小，求出最大（小）值. 评估三：总结出函数单调性与最值之间的关系. 思考：回顾本节课内容，你能总结出函数单调性与最值之间的关系吗？ 答： 最大值、最小值是单调性自然导出的性质，所以先确定了函数单调性，就可以求出最大（小）值．如在一个区间上先单调递增再单调递减即可得到最大值，在整个闭区间上单调的函数即在端点处取得最值. 学生自主完成表格，再进行展示交流.教师带领学生，一起抽象出函数最大值的概念。 学生先自主思考，先给出自己的定义，再小组讨论，与教科书上的表达对照，检查、完善. 学生类比得出定义. 学生阅读题目，理解题意，教师引导学生思考“爆裂的最佳时刻”的含义，可以依据函数的哪个性质求解，可以根据哪类函数的知识求解等，然后由师生共同解答. 学生先独立思考理解题意，再交流解题思路.教师引导学生思考如何获得解题方向（画图，或代人特殊值后猜想单调性），如何精确判断单调性，如何确保满足最大值和最小值定义中的两个条件等.明确解题步骤后，再由学生自主完成解答，再投影展示学生的解题过程，规范格式. 师生一起梳理出解题步骤 通过具体函数的分析，体会用符号语言刻画函数最大值的过程．对问题1中的函数进行分析时，有的学生可能得出“大于或等于所有函数值的数就是函数的最大值”的错误认识.为了纠正错误，以问题（1），（2）给出正反两方面的变式，让学生理解函数最大值的充要条件，为形成严谨的定义做铺垫． 类比函数单调性的研究经验，从具体到一般抽象出函数最大值的定义，再类比得到函数最小值的定义. 体会函数模型的现实应用，把实际问题转化为二次函数最大值问题，感受函数性质的应用价值. 在应用中理解函数最大值、最小值的定义，总结求最值的基本步骤，感悟最大（小）值与单调性之间的关系，提高逻辑推理的严谨性、表达的规范性. 课堂小结 1.函数的最值的定义 2.函数的单调性与最值的关系 学生作业 1.基础性作业：教科书第81页练习第1、2、3题； 答案： １.函数图象可能如图所示. 由图可知,增区间为[8,12],[13,18],减区间为[12,13],[18,20]. ２.最小值 ｆ(ｘ)在[ －6,11]上的大致图象如图. 由图可知 ｆ(-２)是函数ｆ(ｘ)的一个最小值. 3.∵ 函数ｆ(ｘ)＝在区间[２,６]上单调递减 ∴ ｆ(ｘ)max＝ｆ(２)＝ ,ｆ(ｘ)min＝ｆ(6)＝ 2.提升性作业：教科书第86页习题3.2第4、7题； 答案： 4.ｙ＝- +162-21000=-(-4050)2+307050 所以当ｘ＝4050时,ｙ取得最大值,ｙｍax＝307050 故每辆车的月租金为4050元时,租赁公司的月收益最大,为307050元. 7.(１)()＝－2ｘ＝(ｘ－１)２－１ 故()的单调递增区间为[１,＋∞),递减区间为(－∞ ,１]. ｇ(ｘ)＝－2ｘ＝(ｘ－１)２－１,ｘ∈[２,４] 故ｇ(ｘ)的单调递增区间为[２,４]. (２)由(１)知,当ｘ＝１时,ｆ(ｘ)取最小值－１. 当ｘ＝２时,ｇ(ｘ)取最小值０. 3.拓展性作业:教科书第86页习题3.2第10题. 10. 答案：设每间熊猫居室的面积为ｙｍ２,由宽为ｘｍ,得每间熊猫居室 的长为ｍ,那么 ｙ＝∙=—=— 所以当ｘ＝５时，ｙ有最大值37.5. 故宽为5ｍ时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大，最大面积是37.5ｍ２ 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $