暑假题型分类复习：解答题-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦八年级下册核心考点，以题型分类为框架，融合解题方法提炼与知识逻辑建构，强化推理意识与模型应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形的证明|4题（含动态面积问题）|垂直平分线性质、角平分线模型、辅助线构造|性质推导→多结论证明→动态几何应用| |不等式与不等式组|4题（含方案设计）|解集确定、实际问题建模、函数图像解不等式|概念理解→解法应用→代数几何综合| |图形的平移与旋转|4题（含坐标系变换）|坐标变换规则、旋转中心确定、平移距离计算|变换性质→作图操作→综合变换应用| |因式分解|4题（含整体思想）|提公因式法、公式法、配方法、规律探究|基本方法→技巧拓展→代数推理| |分式与分式方程|4题（含新定义题型）|分式化简、方程求解、实际应用建模|概念辨析→运算技巧→模型应用| |平行四边形|4题（含网格作图）|性质与判定、中点辅助线、动态存在性|性质推导→判定应用→几何综合探究|

暑假题型分类复习：解答题-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024） 考点汇总 考点一：三角形的证明 考点二：不等式与不等式组 考点三：图形的平移与旋转 考点四：因式分解 考点五：分式与分式方程 考点六：平行四边形 跟踪训练 考点一：三角形的证明 1．如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 2．如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：； (2)若是的中点，求证：． 3．如图，在中，、、是三个内角的平分线，交于点． (1)若，求的度数； (2)判断与的数量关系并说明理由． 4．如图，在中，，，，E点是BC边上一点，且，动点M从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，当点M与点C重合时，停止运动．在运动过程中，设动点M运动的时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y与x的函数表达式以及自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出该函数y的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的值．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 考点二：不等式与不等式组 5．解下列不等式组 (1)； (2)． 6．某城市义务绿化小队决定进行义务植树活动，现决定采购“女贞”和“小叶黄杨”两种类型的树苗共1000棵，已知“女贞”树苗的单价为每棵6元，“小叶黄杨”树苗的单价为每棵2元． (1)若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的，则最少可以购买“女贞”树苗多少棵？ (2)若购买树苗的预算不超过3010元，则最多可以购买“女贞”树苗多少棵？ 7．如图，直线：与：交于点，，与轴分别交于点，． (1)求的值； (2)关于的不等式的解集为 ； (3)上是否存在点，使得．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．某校为了准备跳绳比赛，计划在某文体书店购买A、B两种跳绳，已知A种跳绳每条10元，B种跳绳每条5元，且B种跳绳比A种跳绳多购买20条．现该文体书店对A、B两种跳绳开展促销活动，活动方案如下（顾客只能选择其中一种方案）： 方案一：购买一条A种跳绳，赠送一条B种跳绳； 方案二：购买A种和B种跳绳都打八折． 设该校选择方案一购买跳绳所花费用为（元），选择方案二购买跳绳所花费用为（元），购买A种跳绳的条数为（条）． (1)请分别求出、与x之间的函数关系式； (2)当x在什么范围时，选择方案一所花费用小于选择方案二所花费用． 考点三：图形的平移与旋转 9．如图，在三角形中，，，沿方向平移至，若．求： (1)沿方向平移的距离； (2)四边形的周长． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，，． (1)在图中作出三角形； (2)把三角形先向下平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度，作出三角形平移后的三角形（点、、的对应点分别为点、、），并写出点的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，在图中画出； (2)将绕点C顺时针旋转后得到，在图中画出； (3)若可以看作绕某点旋转得到，则旋转中心的坐标是 ． 12．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，将线段平移得到线段，点A，点B的对应点分别是点D和点C，点C落在y轴负半轴上，连接和，且，交x轴于点 E． (1)①求点D的坐标； ②求四边形的面积； (2)如图2，过点E作，和的外角平分线交于点G，求的度数； (3)若点是线段上动点，点在x轴上，使得，求点Q的坐标． 考点四：因式分解 13．分解因式： (1)； (2)． 14．观察下列等式，并回答问题． ； ； ； …… 晨晨发现规律：比任意一个偶数大的数与此偶数的平方差能被整除． (1)的结果是的 倍； (2)设偶数为（为整数），试说明与的平方差能被整除． 15．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 16．阅读材料：教材中把形如的式子叫做完全平方式．对于某些多项式不是完全平方式，我们可以做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法可以将一些多项式进行因式分解，例如：分解因式： ． 解决问题： (1)若多项式是完全平方式，求常数的值； (2)分解因式：． 考点五：分式与分式方程 17．解下列分式方程： (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，其中． 19．长治市博物馆位于山西省长治市潞州区太行西街号，占地面积平方米，建筑面积平方米，是一座地方综合性历史博物馆．某班级组织同学们乘坐大巴车前往长治市博物馆开展“研学之旅”．总路程约，大巴车从学校出发，其中一位老师因有事耽误，没有赶上大巴车，因此比大巴车晚从学校自驾小汽车出发，并以大巴车倍的速度走同样的路线赶往长治市博物馆，结果与大巴车同时到达．求大巴车和小汽车的平均速度． 20．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①；    ②；    ③； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 考点六：平行四边形 21．如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点． (1)尺规作图：求作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，证明：． 22．如图，在梯形中，，，若为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 23．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，为上的点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务．每个任务的连线不超过六条． (1)在图（1）中，先在上画点，连接，使；再在上画点，连接，使． (2)在图（2）中，先画；再在上画，两点，使，． 24．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与轴、轴分别交于、两点，是线段上的一个动点（与点、不重合），连接． (1)若， 求点、的坐标及直线的函数关系式； 当时，求点的坐标； 在直线上是否存在点，使得四边形QPOB为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (2)当时，一次函数的最大值为4，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)证明：，且， 垂直平分． ， 垂直平分， ， ； (2)13 【分析】（1）根据垂直平分线的判定与性质证明即可； （2）根据的周长以及的长度可得的长度，再根据垂直平分线的性质得到边长相等，由此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：垂直平分， ， 的周长为，， ， 即的周长为． 2．(1)证明：， ． ， ， ． ． ． ． (2)证明：如图，过点作于点， ， ， ． ，， ． 是的中点， ． ， ． ． ， 【分析】（1）由得，，由得，证得，进一步可得结论． （2）过点作于点，则可证明，再证明，得，得出，故可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 3．(1) (2)， 证明：设， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴ ∴． 【分析】（1）根据角平分线可知，进而由三角形的外角即可求解； （2）设，根据角平分线以及三角形的内角关系即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵ ∴ ∴ （2）略 4．(1) (2)函数的图象如图所示： 性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； (3)或 【分析】（1）先根据直角三角形的边角关系，计算出、的长度，确定动点在段和段的时间分界点，作为分段讨论的依据，当在上运动时，因为要计算的面积，所以过作的垂线，利用特殊直角三角形的边的关系求出该垂线的长度，结合底，推导该段与的函数关系及对应的范围；当在上运动时，因为，所以，即到的距离等于的长度，结合的运动路程表示出，推导该段与的函数关系及对应的范围； （2）画函数图象时，根据两段函数的类型和对应的取值范围，描出关键点后连线；观察图象的单调性、最值等特征总结函数性质； （3）求时的值，分别代入两段函数解析式求解，结合的取值范围筛选符合条件的解，也可结合图象读取对应横坐标． 【详解】（1）解：当时，点在上，， 如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 当时，点在上，， 如图所示， ∴； 综上可得，． （2）略 （3）分两段解方程： 当时，令，得； 当时，令，得； ∴的值为或． 5．(1) (2) 【分析】首先分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终解集． 【详解】（1）解： 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， ∴原不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， ∴原不等式组的解集为． 6．(1)250棵 (2)252棵 【分析】（1）设购买“女贞”树苗a棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵．根据“购买‘女贞’树苗的数量不少于‘小叶黄杨’树苗数量的”列不等式求解即可； （2）设购买“女贞”树苗b棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵．根据“购买树苗的预算不超过3010元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买“女贞”树苗a棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵． 由题意可得：， 解得． ∴最少可以购买“女贞”树苗250棵； （2）解：设购买“女贞”树苗b棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵． 由题意可列不等式， 解得：， ∴最多可以购买“女贞”树苗252棵． 7．(1) (2) (3)或 【分析】（1）先把点代入，求出点A的坐标，再把点A代入，即可求出n的值． （2）结合函数图象，当不等式时，即直线在直线上方，据此求解即可． （3）分别求出点B，C的坐标，先求出，设，再由，进而可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入， 得， ∴， 把代入， 得， 解得． （2）解：由（1）知，， 结合函数图象，当时，不等式． （3）解：当时，则，∴， 当时，则，∴， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴或． 8．(1)（为正整数），（为正整数） (2)当且为正整数时，选择方案一所花费用小于选择方案二所花费用. 【分析】（1）先根据数量关系得到B种跳绳的购买数为，再根据两种促销方案的规则分别列出总费用与的函数关系式； （2）根据费用的大小关系列出一元一次不等式，求解不等式得到的范围． 【详解】（1）解：由题意可知，购买A种跳绳条，则购买B种跳绳条，为正整数， 方案一：购买一条A赠送一条B， 共赠送条B跳绳，需要付费的B跳绳数量为条． 总费用，即（为正整数）． 方案二：两种跳绳都打八折，总费用为原价总和的． ，即（为正整数）． （2）解：根据题意得，，即， 解得． 当且为正整数时，选择方案一所花费用小于选择方案二所花费用． 9．(1) (2) 【分析】（1）根据平移的性质可得，由可求出的长，即为平移的距离； （2）根据平移的性质可求出和的长，进一步即可求出结果． 【详解】（1）解：∵沿方向平移至， ， ， ， 即沿方向平移的距离是． （2）解：由平移的性质可得：， ， ∴四边形的周长． ∴四边形的周长是． 10．(1)如图，三角形即为所作． (2)如图，三角形即为所作， 则，， 【分析】（1）根据A，B，C的坐标描出点，顺次连接即可； （2）分别作出A，B，C的对应点，再顺次连接可得三角形，即可． 【详解】（1）略 （2）略 11．(1)如图，即为所求； (2)如图，即为所求； (3) 【分析】（1）将三个顶点向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）将点A，B绕点C顺时针旋转得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （3）和的垂直平分线的交点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，和的垂直平分线交于点， ∴旋转中心的坐标是． 12．(1)①；②9 (2) (3)或 【分析】（1）①先求出点C的坐标，进而根据点B和点C的坐标判断出平移方式，再根据平移方式可得点D的坐标；②根据列式求解即可； （2）根据平行线的性质得到，，则可证明；根据角平分线的定义可推出，再根据四边形内角和定理可得答案； （3）过点D作轴于点H，连接，证明，得到，则；由平移的性质可得，则，进而得到， 即可得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵将线段平移得到线段，点A，点B的对应点分别是点D和点C， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵， ∴点D的坐标为，即； ②∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴； ∵和的外角平分线交于点G， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点D作轴于点H，连接， ∴； 由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵点是线段上动点， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴或， ∴点Q的坐标为或． 13．(1) (2) 【分析】（1）先变形式子得到公因式，再提取公因式分解； （2）直接套用平方差公式，整理后即可分解． 【详解】（1）解: （2）解： 14．(1)45 (2)解： ， ∵为整数， ∴为整数， ∴与的平方差能被整除． 【分析】（1）利用平方差公式计算即可； （2）利用平方差公式计算出的结果即可． 【详解】（1）解： ， 则的结果是的45倍． （2）略． 15．(1) (2)证明：将“”看成整体，令， 则：原式， 再将“”还原，得原式， ， 无论取何值时，的值一定是非负数． 【分析】（1）令，代入原式，利用完全平方式因式分解，再将“”还原即可； （2）令，代入原式，化简后再利用完全平方式因式分解，再将“”还原，得原式，任何情况下，都是非负数，题目得证． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则：原式， 再将“”还原，得原式； （2）略 16．(1)； (2)． 【详解】（1）解：多项式是完全平方式， ， ， ； （2）解： ． 17．(1) (2) 【分析】（1）先去分母，得出一元一次方程，解方程求出整式方程的解，最后检验即可得出答案； （2）先去分母，去括号，得出一元一次方程，解方程求出整式方程的解，最后检验即可得出答案． 【详解】（1）解： 去分母得，， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． （2）解：， 去分母得，， 去括号得，， 解得：． 经检验，是原分式方程的解． 18．， 【详解】解：， 当时，原式． 19．大巴车的平均速度为，小汽车的平均速度为 【分析】设大巴车的平均速度为，则小汽车的平均速度为，然后根据时间路程速度列出方程求解即可． 【详解】解：设大巴车的平均速度为，则小汽车的平均速度为． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ． 答：大巴车的平均速度为，小汽车的平均速度为． 20．(1)①②③ (2) (3)整数的值为或或或 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义逐个判断即可； （2）根据，利用完全平方公式进行化简即可； （3）先得出为整数，再结合（2）的结论，得出所有可能的取值，由此即可得． 【详解】（1）解：①， ②， ③， 则属于“和谐分式”的是①②③． （2）解： ． （3）解：∵为整数， ∴也为整数， 由（2）已得：， 要使“和谐分式”的值为整数，则需的值为整数， ∴所有可能的值为，，，， ∴所有可能的值为，，，， 即当整数的值为或或或时，“和谐分式”的值为整数． 21．(1)解：即为的平分线： (2)证明：在平行四边形中，，， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交，于点，点，再分别以点，点为圆心，大于一半的长度为半径画弧，两弧相交于点，连接交于点，则即为的平分线； （2）根据平行四边形的性质可得，，再利用角分线的定义可得角度相等，再由等角对等边证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 22．(1)证明：为的中点， ， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形； (2)． 【分析】（1）根据线段的中点以及等量代换得出，然后根据平行四边形的判定定理进行证明即可； （2）根据等边三角形和平行四边形的性质得出相等的边，即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）得四边形是平行四边形， ，， 为的中点， ， 是等边三角形， ， ． 23．(1) (2) 其他方法： 【分析】（1）取点左边两格的格点，则根据垂直平分线的性质得到，即可得到；连接交竖直格线于点，连接并延长交于点，根据垂直平分线的性质得到，则，即可证明得到，即可得到，则，得到，延长交于点即可得到． （2）取点左边格的格点，连接，即可根据和得到；先根据点与点上下距离固定确定中点，连接并延长交于，由得到，，即可证明，得到，再由得到；设与竖直格线交于点，根据点与点左右距离固定确定中点，根据点与点上下距离固定确定中点，则是的中位线，得到，根据的中位线过点，结合过点有且只有一条直线与平行得到是的中位线，即是中点，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 24．(1)①；②；③存在， (2)的值为或 【分析】（1）直线与轴、轴分别交于、两点，令，求出点坐标，令，求出点坐标，利用待定系数法求直线的函数表达式． 分别表示出和 ，再利用计算即可． 根据且时，四边形是平行四边形，进行计算即可． （2）需要分类讨论和这两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于、两点 当时，即解得 ∴点坐标为． 当时，即解得 ∴点坐标为． 直线与轴、轴分别交于、两点，点的坐标为，将点、坐标代入函数表达式中得 解得 ∴直线的函数表达式为， 整理得 ∴直线的函数表达式为． 过点作，如图， 设点的坐标为 ∴ 当时， 则 ∴ ∴点的坐标为 代入直线表达式得解得 ∴点的坐标为． 存在，当且时，四边形为平行四边形,如图， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：当时，一次函数的最大值为4 由可得 当，即时，随的增大而增大 ∴当时， ∴ 当，即时，随的增大而减小 ∴当时， ∴ 综上所述，的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $