（暑假专项提优）解答题考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年数学八年级下册北师大版

**基本信息** 聚焦八年级下册六大核心考点，通过分层训练构建"概念理解-技能应用-综合探究"的三阶提升体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形的证明|4题（含3问探究题）|尺规作图、多步推理、动态几何|从全等证明到角平分线性质，构建平面几何逻辑链| |不等式与不等式组|4题（含新定义"伴随方程"）|解法应用、参数讨论、实际建模|体现"解法-应用-拓展"的代数思维进阶| |图形变换|4题（坐标与变换综合）|平移旋转作图、面积计算、动态点问题|衔接平面直角坐标系与变换性质的应用| |因式分解|4题（含拼图验证）|公式法、分组分解、几何意义|从代数变形到几何直观的双向转化| |分式与分式方程|4题（含"关联代数式"新定义）|化简求值、应用题、概念辨析|强化分式运算与方程思想的融合| |平行四边形|4题（含坐标系综合题）|性质判定、中点问题、动态存在性|整合三角形与四边形的推理体系|

（暑假专项提优）解答题考点汇总与跟踪训练-2025-2026学年数学八年级下册北师大版（2024） 考点汇总 考点一：三角形的证明 考点二：不等式与不等式组 考点三：图形的平移与旋转 考点四：因式分解 考点五：分式与分式方程 考点六：平行四边形 跟踪训练 考点一：三角形的证明 1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°. （1）利用尺规作图：作线段AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹，不写作法)； （2）已知BC=1，设MN与AB交于点 D，连接CD，求△BCD的周长. 2．如图，四边形ABCD中，BD为对角线，，，，，，求证：. 3．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P. （1）如图1，如果∠A=50°，求∠BPC的度数. （2）如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试求出∠Q、∠A之间的数量关系. （3）如图3，在（2）的条件下，延长BP、QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出∠A的度数. 4．综合与实践 【知识背景】在中，． 【操作探究】 操作一：在射线上有点，连接，过点作的垂线，交于点； 操作二：射线与射线交于点； 【初步探究】 （1）当在线段上时，补全图1，写出一对互余的角： ▲ ； 【继续探究】 （2）若是的角平分线，求证：； 【拓展探究】 （3）连接．若，直接写出的面积． 考点二：不等式与不等式组 5． 解不等式 (组) ： （1） （2） 6．某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需175元． （1）求甲、乙两种书的单价； （2）学校决定购买甲、乙两种书共60本，且两种书的总费用不超过2500元，那么该校最多可以购买多少本乙种书? 7．小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足，求的取值范围的问题中是这么做的：将方程（1）+（2）：得，进而，又．代入得：，，即的取值范围为． 你能用小明的方法解决下问题吗？ 已知方程组的解满足． （1）求a的取值范围； （2）求a为何整数时，不等式2ax-x＞2a-1的解集为x＜1？请直接写出a的整数值　 　. 8．若一元一次方程的解在某个一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“伴随方程”.例如：方程3x-6=0的解为x=2，不等式组 的解集为1<x<3，因为1<2<3，所以称方程3x-6=0为不等式组 的“伴随方程”. （1）在方程(①3x-3=0；②x-(3x+1)=-7； 中，不等式组 的“伴随方程”是　 　；(填序号) （2）若不等式组的一个“伴随方程”的解是整数，且这个“伴随方程”是x+m=0，求常数m的值； （3）①解两个方程(用含m的式子表示)： 2(x+m) =x+5和3x-2m=4； ②是否存在整数m，使得这两个方程都是不等式组 的“伴随方程”?若存在，求出所有符合条件的m值；若不存在，说明理由. 考点三：图形的平移与旋转 9． 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为，，． （1）若点的坐标为（4，0），画出△ABC经过平移后得到的，并写出点的坐标； （2）若△ABC和关于原点O成中心对称，画出，并写出点的坐标． 10．如图，三角形三个顶点的坐标分别是，，，将三角形平移，得到三角形，其中任一点平移后的对应点为． （1）请画出三角形； （2）线段与的关系是________； （3）平移过程中线段扫过的面积是________； （4）如图，点P是的中点，在边上画点M，使得． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是A（4，4），B（3，2），C（1，2）. （1）画出△ABC关于y轴的对称图形 （2）将绕点C顺时针旋转90°，画出旋转后的图形 12．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接，，． （1）求点C的坐标和三角形的面积； （2）在x轴上是否存在一点D，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． 考点四：因式分解 13．将下列各式分解因式： （1）x2y-16y； （2）（a-b）2-6（b-a）+9. 14．如图，将一张矩形纸片按如图所示分割成 6块，其中有两块是边长为 x的正方形，一块是边长为 y的正方形（0<x<y). （1）观察图形，代数式 可因式分解为　 　； （2）图中阴影部分面积之和记作 S1，非阴影部分面积之和记作 S2. ①用含 x，y的代数式表示 S1， S2； ②若 求 的值. 15．阅读材料：若，求m、n的值． ， ， ， ．根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值 16．拼图游戏：一天，小嘉在玩纸片拼图游戏时，发现利用图①中的三种材料各若干，可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：． （1）则图③可以解释为等式：______． （2）如图④，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若用、表示四个长方形的两边，结合图案，指出以下关系式：①；②；③；④，其中正确的关系式为______． （3）在虚线框中用图①中的基本图形若干块（每种至少用一次）拼成一个长方形，使拼出的长方形面积为，并通过拼图对多项式因式分解：______（拼图图形画在方框内）． 考点五：分式与分式方程 17． 解方程： （1）； （2）． 18．先化简、再求值：，其中|x|=1. 19．四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式.已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少 100元，且 4000元购进甲种茶叶的重量与 5000元购进乙种茶叶的重量相同. （1）求甲、乙两种茶叶的进价； （2）某商店计划购进两种茶叶共 30千克，且甲种茶叶的重量不低于乙种茶叶重量的求商店至少购进甲种茶叶多少千克? 20．我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值(此时x满足A，B均有意义)，有A+B或A-B为定值，则称代数式A，B互为关于x的“关联代数式”.例如：A=-2x-1，B=2x-1，因为A+B=-2，所以A，B互为关于x的“关联代数式”.根据该约定，解答下列问题. （1）判断下列各式是否互为关于x的“关联代数式”.若是，则在横线中划“√”，若不是，则划“×”. ①x+1与-x+2；　 　 ②与2x2-2；　 　 ③与 　 　 （2）若关于x的代数式 B互为关于x的“关联代数式”，求 的值； （3）若关于x的代数式A=mx+1，B=nx-2，A，B互为关于x的“关联代数式”，且满足 求此时 的值. 考点六：平行四边形 21．如图，在中，点E，F分别是上的两点．且．相交于点M，相交于点N． （1）写出图中除外的所有平行四边形； （2）求证：． 22．在△ABC中，AB=BC，D是BC的中点，E是AB的中点，延长CB至F，使BF=. （1）求证：四边形DEFB是平行四边形. （2）若AB=BC=10，AC=12，求四边形DEFB的周长. 23．如图，在中，，，分别为，的中点，连接，为的中点，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连接，． （1）若，求的长； （2）证明：； （3）当时，求的值． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点，交轴正半轴于点． （1）点的坐标是_____，直线的函数表达式是_______； （2）点为直线上一点，当与面积相等时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点在线段上时，作直线，点为直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：如图，MN即为所求 （2）解：如图，连接CD， ∵∠BCA=90°，∠A=30°，BC=1， ∴AB=2 ∵ MN是AC的垂直平分线， ∴CD=AD. ∴BD+CD=BD+AD=AB. ∴△BCD 的周长=BD+CD+BC=AB+BC=2+1=3． 2．【答案】证明：，，， ， ， ， 是直角三角形， ， . 3．【答案】（1）解：115° （2）解： （3）解：45°或135°或36°或144° 4．【答案】（1）与 解：（2）如图所示， ∵是的角平分线， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． （3）或． 5．【答案】（1）解：不等式去分母， 得2(2x-1) -3(5x+1) ≤6， 去括号， 得4x-2-15x-3≤6， 移项， 得 4x-15x≤6+2+3， 合并同类项， 得-11x≤11 系数化为1， 得x≥-1， （2）解：解不等式①，得x≤3， 解不等式②，得x>-2， 所以不等式组的解集为-2<x≤3. 6．【答案】（1）解：设甲种书为每本元，乙种书为每本元，由题意得 ， 解得：， 答：甲种书为每本元，乙种书为每本元． （2）解：设购买乙种书每本，购买甲种书（）本，由题意得 ， 解得：， 为整数， 取， 答：该校最多可以购买本乙种书． 7．【答案】（1）解： ①+②，得：3x+3y=3+3a ∴x+y=1+a， ∵． ∴ ∴-2＜a≤1 （2）0，-1，-2....... 8．【答案】（1）② （2）不等式组 解集为 ∴不等式组的整数解是-1， ∵不等式组 的一个“伴随方程”x+m=0的解是整数， ∴-m=-1， 即m=1， 故常数m的值为：1； （3）①2(x+m) =x+5 2x+2m=x+5， x=5-2m； 3x-2m=4， 3x=2m+4， ②由于关于x的不等式组 的解集为1<x<5， 若这两个方程都是不等式组 的“伴随方程”， 则1<5-2m<5或 由1<5-2m<5解得0<m<2， 由 解得 ∴0<m<2， ∵m是整数， ∴m=1， ∴m=1时，使得这两个方程都是不等式组 的“伴随方程”. 9．【答案】（1）解：作图略； （2）解：作图略； 10．【答案】（1）解：如图，三角形即为所求作的， （2）解：； （3）解：20； （4）解：如图， 11．【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； 12．【答案】（1）解：由题可得点C的坐标为； ， ， ∴ （2）解：存在，由（1），点B的坐标为 ∴点B到x轴的距离为4 ∵， ， ∵点A的坐标为 ∴点D的横坐标为或 ∴点D的坐标为或． 13．【答案】（1）y（x+4）（x-4） （2）（a-b+3）2 14．【答案】（1）（2x+y)（x+y) （2）解：①根据题意得：； ②∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即， ∴ 15．【答案】（1）解：，，， ，，， （2），， ，，，，， 又是正整数，的边c的值2，3，4，5，6； 的边c的最大值6 16．【答案】（1） （2）①②③④ （3）解：如图， 17．【答案】（1）解： （2）解：无解 18．【答案】 19．【答案】（1）解：设甲种茶叶的进价为x元，乙种茶叶的进价为(x+100)元， 由题意得： 解得x=400， 经检验，x=400是原分式方程的解，且符合题意， ∴x+100=400+100=500， 答：每千克甲种茶叶的进价为400元，每千克乙种茶叶的进价为500元 （2）解：设购进甲种茶叶m千克，则购进乙种茶叶(30-m)千克， 由题意得： 解得m≥12， 答：商店至少购进甲种茶叶12千克 20．【答案】（1）√；×；√ （2）解：∵，， ∴ ， ∵A，互为关于的“关联代数式”，且无论a，b取何值，都不为定值， ∴为定值， ∴， ∴ ∴ ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∵A，B互为关于的“关联代数式”， ∴为定值或为定值， ①当为定值时，，， ∴， 不合题意，舍去． ②当为定值时，，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为． ​​​​​​​ 21．【答案】（1），， （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 又， 四边形是平行四边形， ． 22．【答案】（1）证明：∵D、E分别是AC、AB的中点， ∴DE∥BC，DE= ∵BF=， ∴DE=BF，DE∥BF， ∴四边形DEFB是平行四边形. （2）解：在△ABC中， ∵AB=BC=10，AD=CD=6， ∴BD⊥AC， 在Rt△ABC中，∠ADB=90°， 由勾股定理得， DE==5， ∵四边形DEFB是平行四边形 ∴EF=BD=8，BF=DE=5， ∴四边形DEFB是平行四边形的周长=2(DE+BD)=26. 23．【答案】（1）解：为的中点，为的中点，为的中点， 是的中位线，， ， ， ； （2）证明：连接， 为的中点，为的中点， 是的中位线，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：为的中点， ， 为的中点， ， ． 24．【答案】（1）；​​​​​​​ （2）解：设直线的解析式为，将代入，∴，解得， ∴， ∵与面积相等， 则点到直线的距离等于点到直线的距离， ①当点在线段上时，如图，过点作与平行的直线，与的交点即为点， 则可知直线的解析式为， 当时， 解得，即， 将代入，得， ∴ ②当点在延长线上时，如图，设此时为， 结合①知，当时，， 过作轴于点，过作轴于点， 则由知， ， ∴， 则； 综上所述，点坐标为或． （3）解：由和，同理得直线解析式为，①当为边，为边时，如图1，过点作轴，交于点， 要使四边形为平行四边形，则只需满足， 由知， 将代入到直线∶中，得， 解得， ∴，则， 则由得； ②当为边，为对角线时，如图2，同上，过点作轴，交于点， 由四边形为平行四边形，同样需满足， 则同理，由，得； ③当为对角线，为边时，如图3，过作轴于点， 若四边形为平行四边形，则可证， ∴ ∴，， ∴； 综上所述，点坐标为，或． 学科网（北京）股份有限公司 $