暑假作业05 一元一次不等式（组）的解法（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 系统梳理一元一次不等式（组）解法全流程，以“概念-性质-解法-应用”逻辑链整合知识点与9类题型，突出推理意识与应用能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|5个核心知识点|不等关系符号规范、不等式性质（含变号规则）、解集数轴表示法、一元一次不等式五步解法、不等式组“同大取大”等口诀|从不等关系符号（基础）→性质（原理）→解集表示（工具）→不等式（组）解法（应用）递进| |题型训练|9类题型（含综合题）|性质辨析、解法规范、整数解/最值求法、参数问题分类讨论、函数图像与解集结合|基础题型（性质应用、求解）→综合题型（参数、函数结合）→拓展题型（特殊不等式），覆盖中考高频考法|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业05 一元一次不等式（组）的解法 【知识点1 不等关系的符号语言】 1. 大于/小于：＞/＜ 2. 大于或等于（不少于 / 至少）：≥ 3. 小于或等于（不多于 / 至多）：≤ 4. 不超过：≤ 5. 不低于：≥ 6. 关键点：区分“不大于”（≤）与“不小于”（≥），不要把“不超过20”写成＜20。 【知识点2 二次根式的定义】 设，c为实数： 1. 性质1：，两边同加/同减一个数，不等号方向不变 2. 性质2（正）：若，则，，两边同乘/同除正数，方向不变 3. 性质3（负）：若，则，，两边同乘/同除负数，方向必须翻转 【知识点3 不等式的解、解集、数轴表示】 1. 解与解集 (1) 解：使不等式成立的每一个未知数的值 (2) 解集：所有解组成的集合（不等式的解通常有无限多个） 2. 数轴表示规则（必须规范）： (1) ，空心○，向右 (2) ，空心○，向左 (3) ，实心●，向右 (4) ，实心●，向左 【知识点4 一元一次不等式】 1. 定义（判断标准） (1) 左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式。 (2) 判别三要素：①一个未知数；②次数1；③两边整式 2. 解法步骤 (1) 去分母：两边乘各分母的正的最小公倍数，每项都乘，常数项也不能漏乘，分母含字母时不讨论正负就不能盲目乘（八下通常只出数字系数） (2) 去括号：分配律展开，符号别错 (3) 移项：未知数项移一边，常数移另一边，移项要变号 (4) 合并同类项：化成型（或等） (5) 系数化为1：两边同除以a，若，方向不变；若，方向翻转 【知识点5 一元一次不等式组】 1. 定义：把两个（或多个，通常就是两个）一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 2. 解集的定义：不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集，若无公共部分则不等式组无解。 3. 解法程序 (1) 分别解组中的每个一元一次不等式，求出各自解集（写清楚型） (2) 同一数轴上画出每个解集（叠在一起） (3) 取公共部分（“找重叠区”） 4. 两大不等式解集的公共部分：设， (1) ，同大取大， (2) ，同小取小， (3) （其中），大小小大取中间， (4) （其中），大大小小是无解，无解 5. 解集情况全貌（两种不等式的搭配）：对于这类搭配，先比较a与b： (1) ⇒解集： (2) ⇒看等号： 1 若一个是≥一个是≤且同为a，才可能取到点； 2 若一个是＞一个是＜在同一点⇒无解 (3) ⇒无解 题型01 不等式及其基本性质 1．（2026·山东济南·模拟预测）已知，，在数轴上的位置如图所示，则下列不等式中成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，，根据不等式的性质判断即可得到，，，． 【详解】解：由题意得，， 不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向要改变， ，故A成立； 不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变， ，故B不成立； 不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向要改变， ，故C不成立； 不等式两边同时加一个数，不等号方向不变， ，故D不成立． 2．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）若，则下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一判断各选项，找出结论不一定成立的选项即可． 【详解】A. 不等式两边同时减1，不等号方向不变， ∵， ∴，结论一定成立，故此选项不符合题意； B. 不等式两边同时乘正数2，不等号方向不变，得，两边同时加3，不等号方向不变，得，结论一定成立，故此选项不符合题意； C. 不等式两边同时乘负数，不等号方向改变， ∵， ∴，结论一定成立，故此选项不符合题意； D. 举例：当，时，满足，但，，此时， 因此结论不一定成立，故此选项符合题意． 题型02 解一元一次不等式（组） 1．（25-26七年级下·全国·期末）解不等式：，并将解集表示在数轴上． 【答案】； 【详解】解：去括号，得 ． 移项，得 ， 合并同类项，得 ， x系数化为1，得 ， 把解集表示在数轴上如下： 2．（25-26七年级下·全国·期末）解不等式：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【详解】解：去分母，得， 去括号，得，， 移项，得，， 合并同类项，得，， 系数化为1，得，． 解集在数轴上表示如下： 题型03 求一元一次不等式的（组）整数解 1．（25-26七年级下·山东淄博·阶段检测）若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（     ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】解题时无需分别解出，直接将方程组两个方程相加得到目标式，再代入不等式求出的取值范围，即可得到最小整数解． 【详解】解：， 由①+②得：， 方程组的解满足， ， 解得， 为整数， 的最小整数解为，故选C． 2．（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）解不等式组；并写出它的所有整数解． 【答案】，所有整数解为、、0 【详解】解：， 解不等式， 解得：， 解不等式， 解得：， ， 所有整数解为、、0． 题型04 求一元一次不等式的最值 1．（25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测）已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 【答案】7 【分析】由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴的最大值为， 此时， 故最大值为． 2．（25-26八年级上·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 题型05 解特殊不等式（组） 1．（25-26八年级下·广东河源·期中）【阅读理解】 小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式，求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)的解集是________，的解集是_________； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)或， (2) (3)或 【分析】（1）仿照题干的解法解得即可； （2）原式变形为，再仿照题干的解法解得即可； （3）原式变形为，再仿照题干的解法解得即可． 【详解】（1）解：令，解得：， 画数轴如下：   ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于4，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于4， ∴的解集为或； 令，解得：， 画数轴如下：   ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于3，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于3， ∴的解集为； （2）解：， ∴， 令， ∴， 解得：或1； 画出数轴如下：    点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数到的绝对值大于4，点A和点B之间的点表示的数到的绝对值小于4， ∴的解集为； （3）解：， ∴， ∴， 令，解得：， 画数轴如下：   ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于15，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于15， ∴的解集为或， 即的解集为或． 2．（2026·福建厦门·一模）圆周率是指圆的周长与其直径的比值，是无限不循环小数，其常用近似值可表示为3．141592653……．古往今来，历代中外数学家均围绕圆周率的精确估算展开了深入的探索，产生了很多方法，如我国魏晋时期数学家刘徽首创的“割圆术”，此外还有如下方法： 1．利用“布丰投针试验”估算 1777年，法国数学家布丰设计了著名的投针试验：如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上．针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟该试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值________附近（结果精确到0.001）；根据上述数据请你估计的近似值为________（精确到0.01）． 2．利用“莱布尼茨无穷级数”逼近 17世纪，德国数学家莱布尼茨创立微积分，推导出计算的另一种表达式 （n为非负整数） 记，则； 当时，，； 当时，，； 当时，，； ……随着n增大，逐渐逼近，的值越接近的值． 问题2：当与的常用近似值的绝对差值小于0.21时，求n的最小值． 【答案】问题1：0.318；；问题2： 【分析】本题考查根据频率估计概率，解不等式，代数式求值； 问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值0.318附近，即，再代入计算即可； 问题2：根据题意，解得，再逐个取的值，一直到满足条件即可． 【详解】解：问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值0.318附近，即， ∵，， ∴， 解得， ∴估计的近似值为， 故答案为：0.318；； 问题2：当与的常用近似值的绝对差值小于0.21时，即， 解得， ∵当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，满足； ∴n的最小值． 题型06 一元一次不等式组的参数问题 1．（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）已知关于x的不等式组的解集为，则的值是________． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解以及代数式求值，先分别求解每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集得到关于、的方程，求出、的值后，代入计算即可得到结果． 【详解】解：解不等式， 解得：， 解不等式， 解得：， ， ， ， 解得：， ． 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）对于定义了一种新运算，规定，关于的不等式组有且只有3个整数解，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据新定义化简关于a的不等式，根据不等式组有3个整数解，得到关于的不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 关于的不等式组可化为， 解不等式①得： ，即， 解不等式②得： ，即， 不等式组有且只有3个整数解，且， 整数解为 可得， 解得：． 题型07 由直线与坐标轴交点求不等式解集 1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（a，b是常数）的图像经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数图象经过的象限判断a的符号，再结合与x轴的交点，确定时x的取值范围即可． 【详解】∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，函数值随的增大而减小， ∵一次函数图象与轴交于点， ∴当时，， 不等式，即， 结合函数增减性可得：． 2．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）一次函数是常数，且的图象如图所示，那么关于的不等式的正整数解是__________． 【答案】 ，2 【分析】根据不等式与一次函数的关系求解即可． 【详解】 解：由图象可知， 当时，函数图象在  x  轴上方或  x 轴上，即 ， 所以不等式的解集为． 因为 x是正整数， 所以x的正整数值为  1，2 ． 题型08 根据两条直线交点求不等式解集 1．（2026·广西崇左·二模）如图，直线与直线相交于点P，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【分析】直接利用图象法进行求解即可. 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为. 2．（2026·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，直线与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）将代入先求出k，再将代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的下方，画出临界状态图象分析即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入得：， 解得：； 将，代入得：， 解得：； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 把代入得：， ∴的函数图象总是经过点， 把代入得：， 解得：， 当直线平行时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又小于函数的值， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的下方，则画出图象为， 由图象得：当直线在直线与直线之间时，符合题意， ∴m的取值范围为． 题型09 不等式组与方程组结合的问题 1．（25-26七年级下·全国·期末）学科素养·应用意识阅读下列材料： 问题：已知，且，，求的取值范围． 解：，．又，，．又，①，．即②．①+②得．的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是________；的取值范围是________； (2)已知，且，，根据上述做法得到，求、的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题干的方法及不等式的性质求解即可； （2）仿照题干的方法得出，确定方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ． 又， ， ． 又， ①， ． 即②． ①+②得． 的取值范围是． （2）， ， 又， ， ， 又， ， ①． ， ，即， ②， ①+②，得． ， ， 解得． 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知关于x，y的方程组． (1)用含m的代数式表示方程组的解； (2)若方程组的解满足，，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，当m取整数时，直接写出满足条件的所有m的值． 【答案】(1) (2) (3)整数m可取2，3，4，5 【分析】（1）将m看作已知量求解即可； （2）根据（1）中结果结合要求列不等式组求解即可； （3）根据m的取值范围作答即可． 【详解】（1）解： 得， 解得：， 将代入得， 解得：， ∴； （2）解：∵，， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵， ∴整数m可取2，3，4，5． 1．（25-26七年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则点所在象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据象限内点的坐标符号特征，先由点A的位置得到m和n的符号，再判断点B横纵坐标的符号，即可确定点B所在象限. 【详解】解：∵点在第二象限， ∴根据第二象限点的坐标特征可得 ，， ∵，∴与同号， 又∵，∴，， 对于点， ∵，，∴ ， ∵，∴； ∴点的横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的符号特征，因此点在第二象限. 2．（25-26七年级下·山东济宁·期末）下列判断正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】根据不等式性质对各选项逐一判断即可得到结果． 【详解】解：对选项A：∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，故A正确． 对选项B：举反例，若，，满足，但，故B错误． 对选项C：当时，根据不等式性质，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，可得，故C错误． 对选项D：当时，不等式两边同时乘以负数，不等号方向改变，可得，故D错误． 3．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知关于x，y的方程组，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解含参数的二元一次方程组，得到关于的表达式，再根据题干条件列出不等式求解即可 【详解】解：， 由②得， 代入①得：， 化简得， 把代入，得：， ∵， ∴， 解得：． 4．（25-26八年级下·河北雄安·期中）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A．3 B．5 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数为非负数求出x的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义 ∴被开方数满足 解得， 故选项B正确． 5．（25-26八年级下·河南·期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是________． 【答案】 【分析】首先根据不等式的解集是求出，且，然后代入求解． 【详解】解： 移项得， ∵关于的不等式的解集是， ∴，且 ∴ ∴，且 ∴ 解得． 6．（25-26八年级下·北京西城·期中）已知一次函数（为实数），当时，，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一次函数性质可得，当时，，要使时，，即要使，然后解关于的一元一次不等式即可． 【详解】解：由当时，，可得随着的减小而增大，即， ∵， ∴当时，， ∴要使时，，即要使， ∴． 7．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为__________ 【答案】 【分析】将方程组中两个方程作差，得到关于的表达式，再代入不等式，解一元一次不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：， 由得， ， 化简得，， 方程组的解满足， ， 根据不等式的基本性质移项得，． 8．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）已知点，解答下列各题． (1)点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标； (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 2026 【分析】（1）根据点P在x轴上，纵坐标的值为0，由此列式求解即可； （2）根据平行于y轴，横坐标相等，由此列式求解即可； （3）根据第二象限的特点列不等式得到，根据到坐标轴距离相等列式得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵点P在x轴上， ∴， 解得，， ∴， ∴； （2）解：∵点Q的坐标为，直线轴， ∴， 解得，， ∴， ∴； （3）解：∵点P在第二象限， ∴， 解得，， ∴， ∵点P到x轴、y轴的距离相等， ∴， 解得，， ∴． 9．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，其中m是非负整数，求m的值． 【答案】或 【分析】先把m当做已知数，求出的值，再根据列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：方程组， 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵m是非负整数， ∴或． 10．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）计算： (1)． (2)求不等式的负整数解． (3)解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集． 【答案】(1) (2)负整数解为 (3)不等式组的解集为 【分析】（1）分别根据乘方、算术平方根、立方根、绝对值的化简规则逐项计算，再合并同类项; （2）先去分母消去分式，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出不等式解集，再从解集中筛选负整数； （3）分别解两个一元一次不等式，得到各自解集后取公共部分，再在数轴上表示范围． 【详解】（1）解：． （2）解：去分母，两边同乘6： ， ， ， ， ， 大于的负整数只有． （3）解：解不等式： ， ， ， ， 解不等式： 两边同乘12去分母： ， ， ， ， ， ， 综上，不等式组解集为． 1．（2026·重庆·二模）一个四位自然数的各个数位的数字互不相等且均不为0，若千位数字与个位数字的差等于十位数字与百位数字的差，则称其为“凌跃数”．将的千位与个位数字调换位置，百位与十位数字调换位置，得到新的数，记，则_____，若“凌跃数”（，，，均为整数，且，，，），记的各个数位上的数字之和为，若为完全平方数，且为整数，则满足条件的所有的值之和为________． 【答案】 【分析】根据新定义直接得出的值，根据，分别求得的值，设千位，百位，十位，个位，得出，根据为完全平方数，得出，则，根据为整数，得出为整数，结合，且各个数位上的数字互不相等，得出，或，，进一步计算，即可求解． 【详解】解：，调换后，则： 已知（，，，均为整数，且，，，）， 若， ∴， 十位为，不符合各个数位的数字均不为0的要求，舍去； 若， ∴， 设千位，百位，十位，个位，满足，，均不为0． 凌跃数满足，即 对任意四位数，调换后， ∵ ∴ ∴ ∴ ，， 范围内的完全平方数只有， ∴ ∴ ∵为整数， ∴， ∴ ，即为整数， 又∵各个数位上的数字互不相等， 当，时，各个数位上的数字为 ，符合条件，； 当，时，各个数位上的数字为 ，符合条件，； 所有满足条件的的和为． 2．（2026·重庆·三模）若实数，同时满足，，则的值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性确定的取值范围，去掉第一个绝对值，再分和两种情况讨论，解方程组得到，的值，再计算． 【详解】解：由移项得， 绝对值为非负数， ，即， ， ∴， 将代入，得， 整理得， ①当时，即，得， 此时，代入得， 把代入得，即，矛盾，方程组无解； ②当时，即，得，结合得， 此时，代入得：， 整理得， 把代入得， 解得，即，则，满足和， ∴． 3．（25-26七年级下·山东淄博·阶段检测）如图，一个正比例函数的图象与一个一次函数的图象相交于点，且一次函数的图象与y轴相交于点，与x轴交于点C． (1)方程组的解是_； (2)请写出当时x的取值范围； (3)若将直线绕点A旋转，使的面积为8，求旋转后直线的函数解析式； (4)在x轴上求一点P使.等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或或或 【分析】（1）根据点A的坐标即可解答； （2）先求出的解析式，再求出函数与轴交点坐标，根据图象当时，的函数图象与的函数图象都在轴上方，且的函数图象在的函数图象上方，根据图象即可解答； （3）首先根据三角形的面积公式求得的长，即可得到C的坐标，利用待定系数法即可求解； （4）已知等腰三角形中的一边，分是底边；是腰，且A是顶角的顶点；是腰，且O是顶角的顶点．三种情况进行讨论． 【详解】（1）解：∵，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点， ∴方程组的解是； （2）解：将，代入中，则， 解得， 则， 令，解得， ∴函数与轴交点坐标为， 根据图象得：当时，的函数图象与的函数图象都在轴上方，且的函数图象在的函数图象上方， 则当时，x的取值范围为； （3）解：∵的面积为8， ∴，即， 解得：， ∴C的坐标是或． 设直线的解析式是：， 当C的坐标是时，根据题意得： ，解得：， ∴直线的解析式是； 当C的坐标是时，根据题意得： ，解得：， ∴直线的解析式是：； （4）解：当是底边时，过点A作轴于点M，则， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 当是腰，O是顶角的顶点时，， 此时P的坐标是或； 当是腰，A是顶角的顶点时，如图，，过点A作轴于点M，则， ∴， 此时P的坐标是； 综上所述，P的坐标是或或或． / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：口已完成 用时： min 自评勋章： 恩恩恩恩 暑假作业05一元一次不等式（组）的解法 知识复盘卡 【知识点1不等关系的符号语言】 1.大于1小于：>/< 2. 大于或等于（不少于/至少）：≥ 3. 小于或等于（不多于/至多）：≤ 4.不超过：≤ 5. 不低于：≥ 6. 关键点：区分“不大于”（≤）与“不小于”（≥），不要把“不超过20”写成<20。 【知识点2二次根式的定义】 设a<b,c为实数： 1.性质1：a±c<b±c,两边同加/同减一个数，不等号方向不变 2. 性质2（正）：若c>0,则ac<bc,<,两边同乘/同除正数，方向不变 CC 3. 性质3（负）：若c<0,则ac>bc,口>b,两边同乘/同除负数，方向必须翻转 【知识点3不等式的解、解集、数轴表示】 1.解与解集 (1)解：使不等式成立的每一个未知数的值 (2)解集：所有解组成的集合（不等式的解通常有无限多个） 2. 数轴表示规则（必须规范）： (1)x>a,空心○，向右 (2)x<a,空心O,向左 (3)x≥a,实心●，向右 (4x≤a,实心●，向左 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【知识点4一元一次不等式】 1. 定义（判断标准） (1)左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式。 (2)判别三要素：①一个未知数；②次数1；③两边整式 2.解法步骤 (1)去分母：两边乘各分母的正的最小公倍数，每项都乘，常数项也不能漏乘，分母含字母时不讨论 正负就不能盲目乘（八下通常只出数字系数） (2)去括号：分配律展开，符号别错 (3)移项：未知数项移一边，常数移另一边，移项要变号 (4合并同类项：化成axr+b>0型（或ax>b等） (⑤)系数化为1：两边同除以a,若a>0,方向不变；若a<0,方向翻转 【知识点5一元一次不等式组】 1. 定义：把两个（或多个，通常就是两个）一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式 组。 2. 解集的定义：不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集，若无公共部分 则不等式组无解。 3.解法程序 (1)分别解组中的每个一元一次不等式，求出各自解集（写清楚x>a型） (2)同一数轴上画出每个解集（叠在一起） (3)取公共部分(“找重叠区”) 4. 两大不等式解集的公共部分：设a<b, (1) 4,同大取大，x≥b (2) x≤ x≤ ,同小取小，x≤a (3) x≥a (其中a≤b),大小小大取中间，a≤x≤b x≤b x≤a (4) (其中a<b),大大小小是无解，无解 x≥b 5. 解集情况全貌（两种不等式的搭配）：对于>“这类搭配，先比较a与b: x<b (1)a<b→解集：a<x<b (2)a=b三看等号： ①若一个是≥一个是≤且同为α，才可能取到点； 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②若一个是>一个是<在同一点÷无解 (3)a>b→无解 培优拓展训练 ★巩固提升练 题型01不等式及其基本性质 1.(2026山东济南模拟预测)已知a,b,C在数轴上的位置如图所示，则下列不等式中成立的是() C a A.cb>ab B.ac>ab C.cb<ac D.c+b>a+b 2.(25-26七年级下·江苏南京·阶段检测)若a<b,则下列结论不一定成立的是() A.a-1<b-1B.2a+3<2b+3C.-4a>-4b D.a2<b2 题型02解一元一次不等式（组） 1.(25-26七年级下·全国期末)解不等式：31-2x<7-2(x-4),并将解集表示在数轴上. -5-4-3-2-1012345→ 2.(25.26七年级下全国期未)解不等式：41+-1≤5+x并把解集在数轴上表示出米 3 2 题型03求一元一次不等式的（组）整数解 2x+5y=3m 1.(25-26七年级下·山东淄博阶段检测)若关于x,y的方程组 x-3y=2+m 的解满足3x+2y>7,则m 的最小整数解为()· A.4 B.3 C.2 D.1 [2x+6>0 2.（25-26七年级下江苏宿迁·阶段检测)解不等式组 1-2x20:并写出它的所有整数解。 题型04求一元一次不等式的最值 1.(25-26七年级下·上海杨浦·阶段检测)已知实数x,y,z满足x+y=6,x-z=8,若x≥-3y,则 x+y+z的最大值为 x=1 2.(25-26八年级上·福建三明·期末)若 y=1是方程2ax+y=25的解，ab是正整数，则a+b的最小 值是 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型05解特殊不等式（组） 1.(25-26八年级下·广东河源期中)【阅读理解】 小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知 数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式，求绝对值不等式x>3的解集.小明同学的思路如下：先根 据绝对值的定义，求出x恰好是3时x的值，并在数轴上表示为点A,B如图所示 A B -5-4-3-2-1012345 观察数轴发现，以点A,B为分界点把数轴分为三部分：点A左边的点表示的数的绝对值大于3；点A, B之间的点（不包括点A,B)表示的数的绝对值小于3；点B右边的点表示的数的绝对值大于3. 因此，小明得出结论：绝对值不等式x>3的解集为x<-3或x>3. 【迁移应用】 (1)x>4的解集是 x<3的解集是 (2)求绝对值不等式x+3+2<6的解集； (3)直接写出不等式x2≥225的解集， 2.(2026福建厦门一模)圆周率是指圆的周长与其直径的比值，是无限不循环小数，其常用近似值可表 示为3.141592653...·古往今来，历代中外数学家均围绕圆周率的精确估算展开了深入的探索，产生 了很多方法，如我国魏晋时期数学家刘徽首创的“割圆术”，此外还有如下方法： 1.利用“布丰投针试验”估算π 1777年，法国数学家布丰设计了著名的投针试验：如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一 银长度为1<小的针任意投在这个平面上.针与直线相交的概率为P,可以通过这一试验来佰 π的近似值.某数学兴趣小组利用计算机模拟该试验，取1=。d,得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值 附近（结果精确到 0.001);根据上述数据请你估计的近似值为 (精确到0.01). 2.利用“莱布尼茨无穷级数”逼近刀 17世纪，德国数学家莱布尼茨创立微积分，推导出计算π的另一种表达式 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1-1. 357 +…+(1)、1 (n为非负整数) 2n+1 记5-1号方 7++(←10”、1 2n+’则元。=45n: 当n=0时，S。=1,元=4×1=4； 33，元，=4x28 当m=1时，S,=1-1=2, =9≈2.67； 33 当=2时，=1写与吕=4吕 1515 ≈3.47； 能若n增大，S逐渐适近子元的催越接近x的值。 问题2：当元n与π的常用近似值的绝对差值小于0.21时，求n的最小值. 题型06一元一次不等式组的参数问题 x-1<b的解集为-1<x<3,则d的值 x+2>a 1.(25-26七年级下·江苏宿迁阶段检测)己知关于x的不等式组 是 2.（25-26八年级下·河南郑州期中)对于x,y定义了一种新运算G,规定Gx,y)=2x-y,关于Q的不等 式组 G1,a]≤k有且只有3个整数解，则实数k的取值范围是 G(a,3)<5 题型07由直线与坐标轴校点求不等式解集 1.(25-26八年级下·上海阶段检测)已知一次函数y=x+b(a,b是常数)的图像经过第一、二、四象 限，且与x轴交于点(2,0)，则关于x的不等式ax+b>0的解集为() A.x<-2 B.x<2 C.x>2 D.x>-2 2.（25-26八年级下.宁夏银川期中)一次函数y=+b(k,b是常数，且k≠0)的图象如图所示，那么关于 x的不等式kx+b≥0的正整数解是 VA y=kx+b 2八 题型08根据两条直线交点求不等式解集 1.(2026广西崇左二模)如图，直线l:y=x+b与直线l:y=kx+m相交于点P,则关于x的不等式 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x+b≤kx+m的解集为 12 2.(2026北京石景山：二模)在平面直角坐标系x0y中，直线y=c+1k≠0)与y=x+b的图象交于点 (2,4). (1)求k,b的值： (2)当x≤2时，对于x的每一个值，函数y=mx-1(m≠0)的值既小于函数y=c+1的值，又小于函数 y=x+b的值，直接写出m的取值范围. 题型09不等式组与方程组结合的问题 1.（25-26七年级下·全国期末)学科素养应用意识阅读下列材料： 问题：已知x-y=2,且x>1,y<0,求x+y的取值范围， 解：x-y=2,∴x=y+2,又x>1,y+2>1,y>-1,又y<0,.-1<y<0①， .-1+2<y+2<0+2.即1<x<2②.①+②得-1+1<x+y<0+2.x+y的取值范围是0<x+y<2. 请按照上述方法，完成下列问题： (1)己知x-y=3,且x>-1,y<0,则x的取值范围是 ;x+y的取值范围是 (2)已知x-y=a,且x<-b,y>2b,根据上述做法得到-2<3x-y<10,求a、b的值. x+2y=m 2.(25-26七年级下·河南周口·期中)已知关于x,y的方程组{ 2x-y=31 (I)用含m的代数式表示方程组的解； 1 (2)若方程组的解满足x< 5,y≥0，求m的取值范围： (3)在(2)的条件下，当m取整数时，直接写出满足条件的所有m的值. ★7能力培优练 1.(25-26七年级下·重庆期中)在平面直角坐标系中，若点A(m+n,mn在第二象限，则点B(m+2n,-m) 所在象限是() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(25-26七年级下·山东济宁.期末)下列判断正确的是() A.如果a>b,那么a+2>b+1 B.如果a>b,那么a2>b2 / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.如果ac>bc,那么a>b D.如果、b ,那么a>b CC 3x+2y=m+1 3.(25-26七年级下·河南周口阶段检测)己知关于x,y的方程组 2x+y=m-1,若x>,则m的取值 范围是() A.m>4 B.m<4 C.m>-4 D.m<-4 4.(25-26八年级下·河北雄安·期中)若√x-4在实数范围内有意义，则实数x的值可以是() A.3 B.5 C.0 D.-1 5。(25-2ó八年级下河有期中)若关于x的不等式r->0的解集是x<行则关于的不等式 (m+nx<n-m的解集是 6.(25-26八年级下·北京西城期中)已知一次函数y=mx-1(m为实数)，当x<-1时，y>3,则m的 取值范围是 x+2y=4k 7.(25-26七年级下·湖南衡阳·期中)若关于x、y的二元一次方程组 2x+y=5k-6 的解满足x-y>1,则 k的取值范围为 8.(25-26七年级下·河北邯郸期中)已知点P(2a-4,a+7),解答下列各题. (I)点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)点Q的坐标为(4,5)，直线P2∥y轴；求出点P的坐标： (3)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2024+2025的值. 9.(24-25七年级下·北京朝阳期中)已知关于x,y的二元一次方程组 2x-y=4n-5,的解满足x+y>-3, x+4y=-7m+2 其中m是非负整数，求m的值。 10.（25-26七年级下·辽宁盘锦期中)计算： ()-1224+-22+-64+V万-3. (2)求不等式2r-19x+2 1的负整数解. 3 6 3(x+2>x-2 (3)解不等式组： 5+2≥5x+1,并利用数轴确定不等式组的解集。 x-5 4 6 7创新拓展练 1.(2026重庆·二模)一个四位自然数M的各个数位的数字互不相等且均不为0，若千位数字与个位数字 的差等于十位数字与百位数字的差，则称其为“凌跃数”.将M的千位与个位数字调换位置，百位与十位 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 数字调换位置，得到新的数M',记F(M)=M-M ,则F(5968)=,若“凌跃数” 909 N=1000a+100b+50c+d+2(a,b,c,d均为整数，且1≤a≤9,0≤b≤8,3≤c≤4,0≤d≤7)， 记N的各个数位上的数字之和为G(V,若G(N)为完全平方数，且N为整数，则满足条件的所有 2b+1 N的值之和为 2.(2026重庆·三模)若实数x,y同时满足x-2-y=3,x-y-1=4,则x的值为 3.（25-26七年级下·山东淄博·阶段检测)如图，一个正比例函数y=kx的图象与一个一次函数 y2=k2x+b的图象相交于点A(3,4),且一次函数的图象与y轴相交于点B(0,-5),与x轴交于点C. 5 4 -012345x (1)方程组 y=kx y2=kx+b 的解是； (2)请写出当0<2<片时x的取值范围： (3)若将直线AB绕点A旋转，使△AOC的面积为8，求旋转后直线AB的函数解析式： (④)在x轴上求一点P使△POA.等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标. /