第十六讲 对数 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案围绕“对数”展开，核心知识点包括对数的定义、常见对数（常用对数、自然对数）、运算性质及换底公式。课堂导入从指数与对数的关系切入，引导学生推导运算性质和换底公式，构建指数到对数的知识脉络，明确学习目标与重难点。 资料亮点在于必考题型全归纳，涵盖基本概念、指对互化、计算求值等，结合易错辨析，注重推导过程。通过问题引导学生经历数学思维过程，提升数学运算核心素养，培养推理意识与应用能力，帮助学生系统掌握对数知识，适合教学使用。

第十六讲 对数 【学习目标】经历利用指数与对数的关系，推导对数运算性质、换底公式等的过程，体会对数运算的降级特征，并能初步利用它们解决问题，提升数学运算核心素养． 【学习重点】对数的运算性质及换底公式. 【学习难点】对数运算性质及换底公式的推导. 必掌握知识点： 1.对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2.常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； 3.对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 必考题型全归纳 题型一：对数的基本概念与对数成立条件 1.对数定义：若，则。 2.对数有意义的前提条件（高频考点） 底数：且； 真数：； 零和负数没有对数；即中，式子无意义。 3.特殊对数： 常用对数：以为底，记作； 自然对数：以为底，记作。 4.两个恒等式： （1 的对数为 0）； （底数的对数等于 1）。 易错辨析： ，不一定推出（要大于 0）； 可以推出（等式成立隐含真数大于 0）。 1．对于a>0，且a≠1，下列说法中，正确的是（    ） ①若M=N，则logaM=logaN； ②若logaM=logaN，则M=N； ③若logaM2=logaN2，则M=N； ④若M=N，则logaM2=logaN2. A．①③ B．②④ C．② D．①②③④ 2．给出下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫作常用对数; ④以为底的对数叫作自然对数. 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．使对数有意义的的取值范围为 A． B． C． D． 4．在中，实数a的取值范围是 A． B． C． D． 题型二：指数式与对数式互化（核心） 互化公式： 底不变，指数变对数，幂变真数。 1.指数式 ⇒ 对数式； 2.对数式 ⇒ 指数式； 很多解方程题目，把对数式转成指数式求解未知数。 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．若，则x的值为（    ） A． B．2 C． D． 【点睛】本题考查对数的概念，可把对数式改写为指数式再求解． 7．若，则__________. 8．对数式与指数式的转化：，则____________．（．） 题型三：利用指对互化做计算求值 已知对数等式，先改写为指数式，求出未知数；或者已知指数式改写对数，代入代数式计算。 常见题型： ① 给对数求指数幂的值； ② 给指数等式，求对数代数式； ③ 解方程求。 9．已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 10．已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 12．已知，计算（   ） A． B．1 C． D．2 题型四：对数条件结合基本不等式求最值 利用对数运算先化简条件等式，得到两个正数的和或者积为定值，再使用基本不等式 （一正、二定、三相等）求代数式最小值。 13．若，则的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D．3 题型五：对数式的代换，用已知对数表示目标对数 已知、，通过指对互化，把写成指数形式，再对目标对数进行变形，用来表示结果。 14．已知，，则________．（用，表示）． 巩固提升： 1．求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 2．若，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 3．（多选）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．已知实数满足，则（    ） A．11 B．12 C．16 D．17 5．（1）若，求的值. （2）若，求的值. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六讲 对数 【学习目标】经历利用指数与对数的关系，推导对数运算性质、换底公式等的过程，体会对数运算的降级特征，并能初步利用它们解决问题，提升数学运算核心素养． 【学习重点】对数的运算性质及换底公式. 【学习难点】对数运算性质及换底公式的推导. 必掌握知识点： 1.对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2.常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； 3.对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 必考题型全归纳 题型一：对数的基本概念与对数成立条件 1.对数定义：若，则。 2.对数有意义的前提条件（高频考点） 底数：且； 真数：； 零和负数没有对数；即中，式子无意义。 3.特殊对数： 常用对数：以为底，记作； 自然对数：以为底，记作。 4.两个恒等式： （1 的对数为 0）； （底数的对数等于 1）。 易错辨析： ，不一定推出（要大于 0）； 可以推出（等式成立隐含真数大于 0）。 1．对于a>0，且a≠1，下列说法中，正确的是（    ） ①若M=N，则logaM=logaN； ②若logaM=logaN，则M=N； ③若logaM2=logaN2，则M=N； ④若M=N，则logaM2=logaN2. A．①③ B．②④ C．② D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据对数的基本概念对各个说法逐一判断即可. 【详解】对于①，当M=N≤0时，logaM，logaN都没有意义，故不成立； 对于②，logaM=logaN，则必有M>0，N>0，M=N，故正确； 对于③，当M，N互为相反数且不为0时，也有logaM2=logaN2，但此时M≠N，故错误； 对于④，当M=N=0时，logaM2，logaN2都没有意义，故错误. 综上，只有②正确. 故选:C 2．给出下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫作常用对数; ④以为底的对数叫作自然对数. 其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据对数的概念和定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】零和负数没有对数，命题①正确； ，不能写成对数式，命题②错误，； 以10为底的对数叫做常用对数，命题③正确； 以为底的对数叫作自然对数，命题④正确； 故正确命题是①③④，故选：C. 3．使对数有意义的的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据底大于零且不等于1，真数大于零列不等式组，解不等式组即可. 【详解】使对数有意义的需满足, 解得． 故选B． 【点睛】本题考查对数式的性质，对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0，是基础题． 4．在中，实数a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对数式有意义的条件是：真数为正数，底为正数且不为1，联立得到不等式组，解出即可． 【详解】由对数的定义知，解得 或 .故选C． 【点睛】本题主要考查了对数式有意义的条件，即真数为正数，底为正数且不为1，属于基础题． 题型二：指数式与对数式互化（核心） 互化公式： 底不变，指数变对数，幂变真数。 1.指数式 ⇒ 对数式； 2.对数式 ⇒ 指数式； 很多解方程题目，把对数式转成指数式求解未知数。 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的定义求解. 【详解】∵，∴，∴.故选C. 【点睛】本题考查对数的定义，属于基础题. 6．若，则x的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由对数的定义计算． 【详解】∵，∴，又，∴． 故选：B． 【点睛】本题考查对数的概念，可把对数式改写为指数式再求解． 7．若，则__________. 【答案】9 【分析】利用对数的定义直接求解. 【详解】由，得. 故答案为：9 8．对数式与指数式的转化：，则____________．（．） 【答案】x 【分析】略 【详解】指对互化 故答案为：. 题型三：利用指对互化做计算求值 已知对数等式，先改写为指数式，求出未知数；或者已知指数式改写对数，代入代数式计算。 常见题型： ① 给对数求指数幂的值； ② 给指数等式，求对数代数式； ③ 解方程求。 9．已知，则的值为（   ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【分析】先处理指数幂 的值，再运用指数与对数的互化求出，最后根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以.故选：B. 10．已知，，，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数式与对数式的互化，结合指数式的运算法则，得到，进一步求的值. 【详解】设， 则，，， 所以， 又，，则，所以.故选：C 11．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数和对数互化公式和运算性质直接计算即可得解. 【详解】由题可得，所以.故选：D 12．已知，计算（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用指数、对数的关系可得：,代入求解即可. 【详解】由题可得：,所以 故选：A 题型四：对数条件结合基本不等式求最值 利用对数运算先化简条件等式，得到两个正数的和或者积为定值，再使用基本不等式 （一正、二定、三相等）求代数式最小值。 13．若，则的最小值为（    ） A． B．4 C．8 D．3 【答案】C 【分析】先根据对数的运算法则求出的值，再利用基本不等式可求的最小值. 【详解】由，因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 题型五：对数式的代换，用已知对数表示目标对数 已知、，通过指对互化，把写成指数形式，再对目标对数进行变形，用来表示结果。 14．已知，，则________．（用，表示）． 【答案】 【分析】由对数的运算法则进行求解． 【详解】由，得， 则， 因为， 所以． 巩固提升： 1．求下列各式中的x的值． (1)． (2)； (3). 【答案】(1) (2)9 (3)2 【分析】根据对数与指数的互化，结合指数的运算性质逐一求解； 【详解】（1）由，得； （2）由，得，所以； （3）因为，所以，所以. 2．若，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】B 【分析】将对数式化成指数式，运算得解. 【详解】由题知，解得. 故选：B. 3．（多选）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】利用指数式和对数式的互化关系逐个选项判断求解即可. 【详解】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于A，可化为，故A正确， 对于B，可化为，故B错误， 对于C，可化为，故C错误， 对于D，可化为，故D正确.故选：AD 4．已知实数满足，则（    ） A．11 B．12 C．16 D．17 【答案】D 【分析】由指对互化公式即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：D. 5．（1）若，求的值. （2）若，求的值. 【答案】（1）2；（2） 【分析】（1）将指数式转化为对数式，代入目标式，利用对数的运算性质计算即可； （2）求出，代入目标式，利用对数的运算性质计算即可. 【详解】（1）因为，所以，， 所以. （2）若，则，， 所以. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $