26.4 第1课时 最大高度和最大面积问题-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次函数解决最大高度和最大面积问题，通过小球竖直上抛运动实例导入，先回顾二次函数顶点最值公式，再结合实际问题分析变量关系，搭建从函数性质到实际应用的学习支架。 其特色在于以生活实例（如跳水运动、矩形菜园围篱笆）为载体，引导学生用数学眼光抽象变量关系，通过“审设列解检”步骤培养数学思维，强调自变量取值范围对最值的影响。这有助于学生提升问题解决能力，教师可借助结构化流程高效教学。

第二十六章 二次函数 26.4 实际问题与二次函数 第1课时 最大高度和最大面积问题 学习目标 学习重难点 能应用二次函数的性质解决最大高度问题和最大面积问题. 分析实际问题中变量之间的二次函数关系. 难点 重点 （1）分析实际问题中变量之间的二次函数关系. （2）会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. （3）能应用二次函数的性质解决最大高度问题和最大面积问题. 导入新知 知识点 二次函数与几何图形面积的最值 ① 问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 可以看出，这个函数的图象是一条抛物看线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点. 也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值. 4 解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度. h＝30t-5t2 (0≤t≤6) 即小球运动的时间是3s时，小球最高，且最大高度是45m. 5 归纳 一般地，当a>0(a<0)时，抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，也就是说当 时，二次函数 y = ax 2 + bx + c有最小（大）值 . 如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？ 典型例题 例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)之间的关系式是h=-4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点?运动员跳水过程中重心的最大高度是多少?(结果保留小数点后一位.) h=-4.9t2+2.8t+11,当 解：对于二次函数 当t=-=-0.3时， h有最大值==11.4. 因此，运动员起跳后大约0.3 s时，其重心达到最高点，最大高度为 11.4 m. 例2 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用 20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大?最大面积是多少? 解:设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的 边长为(20-2x)m，矩形菜园的面积S=x(20-2x), 即S=-2x2+20x（0＜x＜10）. 当x=-=-=5时， S 有最大值==50. 因此，当垂直于墙的边长为5 m时，这个矩形 菜园的面积最大，最大面积为50 m2. 变式 如图，用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，这个矩形的长、宽分别为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少? 解：根据题意设矩形菜园平行于墙的一边长为l m，菜园的面积为S m2 ， 得(0< l ≤18),即 S=(0<l ≤18). 二次函数 S= 的对称轴为 ， 因为0<l ≤18，所以l=18 时，S取得最大值， 即当矩形的长为21 m，宽是18 m 时，菜园的面积最大，最大面积为378 m2. 当 l<30 时，S 随 l 的增大而增大， 归纳1 用二次函数解决实际问题的一般步骤 1.审：仔细审题，厘清题意. 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数. 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式. 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题. 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 归纳2 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值； 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内. 巩固练习 已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边分别为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？ 解：设直角三角形的一条直角边为 x，则另一直角边为8-x．直角三角形的面积是S． 根据题意，得 配方，得 所以当x=4时，即两条直角边各为4时，此时三角形的面积最大，最大面积是8． 12 随堂演练 1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是 . 2.如图2，在△ABC中， ∠B=90 °, AB=12cm, BC=24cm，动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小. 图1 A B C P Q 图2 3 13 3.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+ BD=10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面 积最大？ 解：设AC=x,四边形ABCD面积为y, 则BD=(10-x). 即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大. 课堂小结 最大高度、最大面积问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，需要利用函数的增减性来确定 15 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 16 绿卡图书—走向成功的通行证 17 $