26.4 第1课时 最大高度与最大面积问题 分层练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，从基础应用到综合拓展，系统巩固二次函数实际应用，培养数学建模与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层·基础夯实|二次函数求最大高度、面积的基础应用|选择、填空、解答题结合，新情境与教材变式题，强化运算能力| |B层·理解运用|抛物线运动、动点问题中的最值与方程|综合判断与教材变式，一题多解，发展推理意识| |C层·拓展挑战|动点综合、利润、拱形等复杂实际问题|多情境综合应用，强化模型意识与应用能力|

26.4 第1课时 最大高度与最大面积问题 分层练习 考查范围：二次函数在实际问题中的应用，重点考查利用二次函数求最大高度、最大面积，以及建立函数模型解决运动与拱桥情境问题。 一、A层·基础夯实 1. ★ [选择题]（利用二次函数求最大高度） 新情境 生活实际 为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4m，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数解析式，则水流喷出的最大高度为（　　） A. 2.88m B. 3.84m C. 4.8m D. 5.76m 2. ★ [填空题]（利用二次函数求最大高度） 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间为________s. 3. ★ [选择题]（利用二次函数求最大面积） 已知一个直角三角形的两直角边长之和为20cm，则该直角三角形的最大面积为（　　） A. 25cm² B. 50cm² C. 100cm² D. 200cm² 4. ★ [填空题]（利用二次函数求最大面积） 某农场拟建三间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）.计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间矩形种牛饲养室的总占地面积最大为________m². 5. ★ [填空题]（利用二次函数求最大面积） 教材变式题 有一块三角形材料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝8cm，用这块材料剪出一个▱EFDB，其中，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，则剪出的▱EFDB的最大面积是________cm². 6. ★ [解答题]（矩形框架面积最值） 如图，用一根60cm长的铁丝制作一个“日”字形矩形框架ABCD，铁丝恰好全部用完. （1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144cm²，则AB的长为多少？ （2）求矩形框架ABCD的最大面积. 二、B层·理解运用 7. ★ [选择题]（抛物线运动中的最值与方程） 一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 .有下列结论：① 这名男生铅球推出的水平距离为10m；② 铅球到达的最大高度为2.5m；③ 当铅球的高度为1.5m时，推出的水平距离为2m或6m.其中，正确的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. ★ [填空题]（动点问题中的面积最值） 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A出发，沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发，沿CB向点B以2cm/s的速度运动（当点Q运动到点B时，点P，Q同时停止运动）.在运动过程中，四边形PABQ的最小面积为________. 9. ★ [解答题]（抛物线形拱桥问题） 教材变式题 一题多解 某抛物线形拱桥的截面图如图所示，水面的宽AB为8米.AB上的点E到点A的距离AE＝1米，点E到拱桥顶面的垂直距离 .以A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.求： （1）该抛物线所对应的函数解析式； （2）拱桥顶面离水面AB的最大高度. 三、C层·拓展挑战 10. ★ [解答题]（动点面积最值综合） 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问： （1）经过几秒时，△PBQ的面积等于8cm²？ （2）经过几秒时，五边形APQCD的面积最小？最小值是多少？ 11. [填空题]（二次函数最大高度） 某物体竖直上抛后离地面的高度h（m）与时间t（s）满足，则物体达到最高点时的时间为________s. 12. [填空题]（矩形面积最值） 用长为40cm的绳子围成一个矩形，设矩形的一边长为xcm，面积为Scm²，则当x＝________cm时，矩形面积最大. 13. [解答题]（围栏面积最值） 某校劳动实践基地要用24m长的围栏围成一块一边靠墙的矩形菜地，设垂直于墙的一边长为xm.求菜地面积S关于x的函数解析式，并求菜地面积的最大值. 14. [解答题]（利润最大问题） 某文具店销售一种笔记本，每本进价为6元.若每本售价为10元，每天可售出80本；经调查，售价每提高1元，每天少售出5本.设每本售价为x元，求每天利润y关于x的函数解析式，并求每天最大利润. 15. [解答题]（拱形高度问题） 一座抛物线形拱门的宽为6m，最高点距地面3m.以拱门底边所在直线为x轴，底边中点为原点建立平面直角坐标系，求拱门对应抛物线的函数解析式. 16. [解答题]（动点面积最值） 在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm.点P从A沿AC向C以1cm/s的速度运动，点Q从C沿CB向B以1cm/s的速度运动，P，Q同时出发.设运动时间为ts，求△PCQ面积S关于t的函数解析式，并求面积最大值. 参考答案与解析 1. A 解析：由落点A到点O的距离为4m可知抛物线过点（4，0），求得a＝－1.2，顶点横坐标为2，最大高度为2.88m。 2. 2 解析：h＝－5t²＋20t＝－5（t－2）²＋20，故t＝2时高度最大。 3. B 解析：设两直角边为xcm、（20－x）cm，面积S＝1/2 x（20－x），当x＝10时S最大，为50cm²。 4. 144 解析：设垂直墙的隔墙长为xm，则平行墙的一边为（48－4x）m，面积S＝x（48－4x），当x＝6时最大面积为144m²。 5. cm² 解析：建立面积关于边长的二次函数，配方后可得平行四边形最大面积为4√3cm²。 6. （1）AB的长为12cm或8cm；（2）矩形框架ABCD的最大面积为150cm²。 解析：设AD＝xcm，则AB＝（60－2x）/3cm，面积S＝x（60－2x）/3，分别列方程和配方求最值。 7. B 解析：推出的水平距离、最大高度和指定高度对应的水平距离分别代入函数与方程判断，只有②正确。 8. 15cm² 解析：由运动时间建立四边形面积函数，转化为二次函数最值问题，最小面积为15cm²。 9. （1）；（2）最大高度为4米。 解析：抛物线过A（0，0）、B（8，0）、F（1，7/4），代入求解析式，再化为顶点式求最大高度。 10. （1）经过2s或4s时，△PBQ的面积等于8cm²；（2）经过3s时，五边形APQCD的面积最小，最小值为63cm²。 解析：设运动时间为t，PB＝6－t，BQ＝2t，△PBQ面积为－t²＋6t，分别解方程和求最大值。 11. 3 解析：顶点横坐标t＝－b/2a＝－30/[2×（－5）]＝3。 12. 10 解析：矩形周长为40cm，面积S＝x（20－x），当x＝10时面积最大。 13. S＝x（24－2x），最大面积为72m²。 解析：靠墙矩形只需三边围栏，面积S＝x（24－2x）＝－2（x－6）²＋72。 14. 每天最大利润为405元。 解析：每天销量为80－5（x－10），利润y＝（x－6）[80－5（x－10）]＝－5（x－16）²＋405。 15. 解析：设解析式为y＝ax²＋3，代入点（3，0）得a＝－1/3。 16. S＝，最大面积为8cm²。 解析：PC＝8－t，CQ＝t，S＝1/2（8－t）t＝－1/2（t－4）²＋8。 学科网（北京）股份有限公司 $