25.3 实际问题与一元二次方程（4)-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”中的循环问题，通过排球邀请赛、主客场比赛等实际情境导入，引导学生从单循环（握手）和双循环（互赠贺卡）问题中抽象数量关系，构建从具体问题到方程模型的学习支架。 其亮点在于以问题驱动培养数学眼光，通过对比单双循环差异推导公式发展推理意识，用规范解题步骤强化数学语言表达。实例丰富如握手问题、贺卡赠送练习，助力学生提升应用能力，为教师提供结构化教学流程。

第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程（4） 学习目标 学习重难点 列一元二次方程解决循环问题. 分析题目中的等量关系. 难点 重点 会分析题目中的数量关系并列出一元二次方程解决问题. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，你说组织者应邀请多少个队参赛？ 问题 导入新知 知识点 循环问题 通过“设应邀请支球队参赛”，并根据“每两支球队之间比赛1场”，列得方程 ² 56=0. 解方程，得 =8，2=-7(不合题意，舍去) 因此，比赛组织者应邀请8支球队参赛. 下面再来看一种有关比赛球队数量与场数的问题. 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300. 他算得对吗？为什么？ 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛．如果有n支球队参赛．那么比赛的总场数为(-1). 探究 解：假设这个人算得对，即支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么 (-1)=300. 解方程，得 = 由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数，因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 由总场数为(-1)可知，其必为两个连续正整数的乘积，如2，6，12，20，.…，240，272，306，... 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300. 他算得对吗？为什么？ 探究1 某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了10次手，有多少人参加聚会？ 解：设共有人参加聚会，则每个人要握手(1)次，共握手(1)次，但每人都重复了一次，故根据题意得 =10 解方程，得 =5，2=-4(不合题意，舍去) 答：共有5个人参加聚会. 探究2 以上两个循环问题有什么不同？ 在球赛问题，每两个球队之间都进行了两场比赛； 而在握手问题中每两个人之间只发生了一次握手行为. 单循环 双循环 思考 公式推导：每个人与其余(－1)人发生行为整体两两重复计算，必须除以2. 单循环总次数公式： 单循环(只进行一次)含义： 任意两者之间只发生一次行为，不分先后、不重复. 常见题型：握手、篮球赛单场对决、合影、两两通话一次. 公式推导：每个人与其余(－1)人发生行为整体两两计算，无需除以 2. 双循环总次数公式： 双循环(互相进行)含义： 任意两者之间互相发生两次行为，你来我往. 常见题型：互赠贺卡、互送礼物、两队互赛两场、互发消息. 1.审题读题，圈出关键词，判断单循环还是双循环； 2.设总数量为未知数； 3.根据题型代入对应公式列出一元二次方程； 4.选用合适方法解方程，求出两个根； 5.结合实际取舍：人数、队伍数必须为正整数，舍去负数与小数根，规范写答. 循环问题解题步骤： 巩固练习 1.参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，参加聚会的人数为是( ). A. 4人 B. 5人 C. 6人 D. 7人 B 2.随着中考结束, 初三某毕业班的每一个同学都向其他同学曾送一张自己的照片留作纪念, 全班共送了2256张照片, 若该班有x名同学, 则根据题意可列出方程为( ). A.x(x−1)＝2256 B.x(x＋1)＝2256 C.2x(x−1)＝2256 D.12x(x−1)＝2256 A 13 3.在第33届奥运会中国国家乒乓球队选拔赛的某个阶段中，采用分组单循环(每两人之间都只进行一场比赛)制，每组x人，若每组共需进行15场比赛，则每组有多少人？ 解：设比赛每组有x人. x(x－1)＝15 解得x1＝6， x2＝－5(舍去) ∴每组有6人参赛. 14 4.中秋将至，小雯、小智和他们的好朋友在准备互送一些贺卡. 若他们共送贺卡72张，则这个他们共有多少人? 解：设他们共有x人. x(x－1)＝72 解得 x1＝9，x2＝－8(舍去) ∴他们共有9人. 15 课堂小结 循环问题 单循环 任意两者之间只发生一次行为，不分先后、不重复 双循环 任意两者之间互相发生两次行为，你来我往 16 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 17 绿卡图书—走向成功的通行证 18 $