第二十五章 一元二次方程---数学活动 课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程公共解条件探究、线段分割中的代数关系及几何作图，通过方程问题情境和线段分割游戏导入，衔接已学方程知识，为方程应用与几何作图搭建学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融合代数推理与几何实践，通过方程相加、判别式分析培养推理能力（数学思维），从线段分割抽象出方程并尺规作图发展抽象能力与几何直观（数学眼光）。课堂练习中的证明题和应用题，让学生用数学语言表达推理过程，提升模型意识（数学语言）。实例如活动1推导a+b+c=0，活动2得出黄金比例并作图，学生能提升探究与应用能力，教师可借助案例优化教学。

数学活动 人教九年级上册第二十五章 探究方程有公共解的条件 已 知abc≠0，下列方程： 活动1 ax²+bx+c=0, ① bx²+cx+a=0. ② cx²+ax+b=0 ③ 恰有一个公共解 . 给出a、b、c 满足的条件，并求出方程①②③的解. 设三个方程的公共解为x0，将x0代入三个方程可得： 活动1 探究方程有公共解的条件 提取公因式(a+b+c)得：(a+b+c)(x02+x0+1)=0。 将(1)、(2)、(3)式相加得：(a+b+c)x02+(a+b十c)x0+(a+b十c)=0， 对于x2+x+1=0，其判别式 =12-4x1x1=-3<0，所以x2 +x+1≠0. 因为abc≠0，所以a+b+c=0，即c=-a-b。 把x0=1代入方程②得：b+c+a=0，所以x=1是方程②的解。 活动1 探究方程有公共解的条件 将c=-a-b代入(1)式得：ax02+bx0-a-b=0， 因式分解得：a(x02-1)+b(x0一1)=0， 即a(x0-1)(x0+1)+b(x0-1)=0， 提取公因式(x0-1)得：(x0-1)[a(x0+1)+b]=0, 即(x0-1)(ax0+a+b)=0。 因为三个方程恰有一个公共解，所以x0=1。 将x0=1代入c=-a-b 得：a+b+c=0。 把x0=1代入方程①得：a+b+c=0，所以x=1是方程①的解。 王芳：李明，我们来做个智力游戏吧。你能把任意一条线段分成两两不等的 三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和吗? 神奇的线段分割 活动2 李明：你来试试这个。 李明：这简单，我来分。 方法是：先把线段平均分成两份，其中一份作为最长的线段；把另一份分成不相等的两份，就满足条件。 还是把一条线段分成两两不等的三条线段，如果三条线段的长度分别为a、b、c, 且 a>b>c, 你能找到合适的 a、b、c, 使 同时成立吗? 神奇的线段分割 活动2 李明：当然，不过要费一番脑筋。 王芳：这可能吗? 我们可以通过代数推导来分析这个问题: 已知条件: 步骤1 : 代入消元 由条件2，a=b+c，将其代入条件3: 神奇的线段分割 活动2 步骤2 : 通分化简 左边通分: 交叉相乘得: 展开: 整理得: 神奇的线段分割 活动2 步骤3 : 解关于b的方程 将方程视为关于6的一元二次方程: 用求根公式: 因为b>0，取正根: 步骤4 : 求a 现在，你来试一试解决王芳和李明提出的问题，并用直尺和圆规作出李明提出的问题中线段的两个分点。 1．已知方程mx2－nx－6＝0与方程mx2＋3nx－18＝0有一公共解是3，求m，n的值，并求方程mx2－nx－6＝0的另一个解． 解：把x＝3代入方程mx2－nx－6＝0和mx2＋3nx－18＝0可得 解得 把m，n的值代入mx2－nx－6＝0，得 x2－x－6＝0，解得x1＝3，x2＝－2， 即方程的另一个根为x＝2. 课堂练习 2．已知三个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，bx2＋cx＋a＝0，cx2＋ax＋b＝0有公共根，求证：a＋b＋c＝0. 证明：设这三个方程的一个公共根为t. 把x＝t代入，得 at2＋bt＋c＝0，bt2＋ct＋a＝0，ct2＋at＋b＝0， 相加得(a＋b＋c)t2＋(b＋c＋a)t＋(a＋b＋c)＝0， (a＋b＋c)(t2＋t＋1)＝0， ∵t2＋t＋1≠0，∴a＋b＋c＝0. 3.已知关于的一元二次方程 和 只有一个公共解，求 的值及公共解. 解：设两个方程的公共解为 ， 则①， ， ，得 ， ，或 . 把代入方程，得 ， ，方程无实数根. 把公共解代入①，得，解得 . 故的值为9，两个方程的公共解为 . 11 4.当取何正整数时，关于的一元二次方程 和 有一个整数公共解？ 解：设两个方程的整数公共解为 , 则①， ， ，得 . 为整数， 必为6的因数， ，，，，解得 ,0,1,2,4,5,6,9. 为正整数， ,2,4,5,6,9, 经检验，当 ,2,4时，两个方程无解； 当 时，两个方程的公共解不是整数， 或6. 12 5．已知a>b>c>0，满足a＝b＋c且＋＝. (1)求证：b2－bc－c2＝0； (1)证明：已知a＝b＋c，＋＝， ∴＝，∴c(a＋b)＝ab. 将a＝b＋c代入， 左边为c[(b＋c)＋b]＝c(2b＋c)＝2bc＋c2， 右边为b(b＋c)＝b2＋bc. 因此2bc＋c2＝b2＋bc，∴b2－bc－c2＝0. (2)求a∶b∶c的值； (2)解：∵b2－bc－c2＝0， ∴b＝＝. ∵b>0，∴b＝c. a＝b＋c＝c＋c＝c. ∴a∶b∶c＝∶∶1＝(3＋)∶(1＋)∶2. (3)用直尺和圆规在一条直线上画出具有a，b，c关系的三条线段． (3)①画线段AB，过B作AB的垂线BD，使BD＝AB； ②连接AD，以D为圆心，BD为半径画弧，交AD于点E； ③以A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点F； ④以A为圆心，AB长为半径画弧，交射线BA的延长线于点M； ⑤则＋＝，AM，AF，FB即具有a，b，c关系的三条线段． 图略． 6.[2026临汾多校月考]下面是某同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读 并完成相应的任务.#1 中外比点 概念理解：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比 小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点. 16 深入理解： 材料一：如图1，点是线段的中外比点， ，整体线段为 ，大线段为，小线段为 ，根据中外比点的概念可得线段的比例 关系为________. ________________________________________________________ 材料二：在材料一的基础上，若，求 的长. 解：设，则 . …… 续表 17 任务： （1）材料一横线处所缺的内容为_ ________. （2）补全材料二的求解过程. 解：根据题意，得，即 ， 整理，得，解得， ． ， 不符合题意，舍去． ． 18 （3）如图2，用无刻度的直尺和圆规求作线段的中外比点 . （保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 19 解：如图，点 即为所求（答案不唯一）． 解法提示：第一步：作线段的垂直平分线 ； 第二步：过点作 ； 第三步：以点为圆心、长为半径作弧，交 于 点，交于点 ； 第五步：以点为圆心，长为半径作弧，交于点 ， 则点 为所求. 第四步：以点为圆心， 长为半径作弧，交第三步 所作弧于点 ； 20 连接.设，根据题意，得, ， ， , ， ,， ， 点为线段 的中外比点． $