25.3 实际问题与一元二次方程（1)-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“用一元二次方程解决几何问题”，通过封面设计实际情境导入，结合回顾“审设列解检答”步骤作为学习支架，帮助学生衔接旧知与新知，构建从实际问题到方程模型的思维路径。 其亮点在于以实际问题驱动，通过封面设计、矩形面积等实例培养数学眼光，引导分析等量关系和多解法对比发展数学思维，归纳几何问题关键（面积等量关系）强化模型意识。学生能提升实际问题解决能力，教师可利用结构化流程和丰富例题提高教学效率。

第 二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程（1） 学习目标 学习重难点 列一元二次方程解决几何问题. 分析题目中的等量关系. 难点 重点 会分析题目中的数量关系并列出一元二次方程解决问题. 回顾复习 列方程解决实际问题的一般步骤有哪些？ 审、设、列、解、检、答 导入新知 知识点 几何问题与一元二次方程 ① 探究 要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？ 5 分析 由题意得，中央的矩形的长宽之比=封面的长宽之比=27∶21=9∶7 设中央的矩形的长和宽分别是9a cm和7a cm. 由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是 设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm， 则中央的矩形的长为 cm，宽为 cm. （27-18x） （21-14x） 6 根据题意，可列出方程 解方程得 故上下边衬的宽度为: 左右边衬的宽度为: 方程的哪个根符合实际意 义？为什么？ 符合实际意义，因为 时，上、下边衬的宽度之和会超过封面的长度，不符合实际情况. 7 思考 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 解:设中央的矩形两边别为9x cm，7x cm. 依题意得 解得 故上下边衬的宽度为: 故左右边衬的宽度为: cm cm （舍去） 8 例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个? 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x，x+1，x+2，其中x为正整数. 由勾股定理，得x2+(x+1)2=(x+2)2. 解方程，得x1=3，x2=-1（不符合题意，舍去）. 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5. 9 例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一? 解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40 m， 可得此边的邻边长为(20-x)m；再由矩形的面积为96 m2，得x(20-x)=96. 解方程，得x1=12，x2=8. 因此，用一根长为40 m的细绳可以围成面积为96 m2的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为8 m，12 m. 10 归纳 利用一元二次方程解决几何问题 主要集中在几何图形的面积问题, 找到面积的等量关系是关键. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程. 11 随堂演练 1.如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6 cm，BC=8 cm.点P沿AC边从点A向终点C以1 cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？ B A C P Q 解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9 cm² 根据题意得AP= x cm,PC=(6-x) cm,CQ=2x cm. 解得x1= x2=3. ∴点P，Q出发3 s后可使△PCQ的面积为9 cm². 12 2.如图，在一块宽为20 m, 长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540 ㎡,求道路的宽为多少？ 解：设道路的宽为 x m. (32-x)(20-x)=540. 整理，得x2-52x+100=0. 解得 x1=2,x2=50(舍去). 答：道路的宽为2 m. 13 3. 如图， 用长为22 m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14 m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1 m 的两扇小门． 解：设扩充后广场的长为3x m，则宽为2x m. 根据题意，得3x·2x·100+30(3x·2x－50×40)=642 000. 解得x1=30，x2=－30(不合题意，舍去)． 所以3x=90，2x=60. 即扩充后广场的长和宽应分别为90 m 和60 m. 14 4. 小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？ （2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗？请说明理由. 15 解：(1)设其中一个小正方形的边长为x cm,则另一个小正 方形的边长为 =(10-x)cm. 依题意x2+(10-x)2=58，解得x1=3,x2=7. 当x=3时，小正方形周长为12 cm；当x=7时，小正方形周长为28 cm. ∴小林应把长为40 cm的铁丝剪为28 cm和12 cm的两段. (2)对.两个正方形的面积之和为： x2+(10-x)2=2x2-20x+100 =2(x2-10x+25)+50=2(x-5)2+50 ∵无论x取何值，2(x-5)2总是不小于0的. ∴2(x-5)2+50≥50.即这两个正方形的面积之和总是不小于50 cm2的，所以不可能等于48 cm2. 小峰的说法是对的. 16 课堂小结 与几何图形有关的一元二次方程的应用题主要涉及三角形、四边形等，解题时经常用到三角形的三边关系、三角形全等、面积、勾股定理等内容. 17 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 18 绿卡图书—走向成功的通行证 19 $