25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“一元二次方程的根与系数的关系”，通过回顾一般形式和求根公式，从因式分解法特例到一般形式推导，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步发现根与系数的关系。 其亮点在于以探究式学习为主线，通过“思考1”“思考2”引导学生自主推理，培养推理能力，结合例题和随堂演练（如已知一根求参数、代数式变形）提升抽象能力和运算能力。课堂小结系统梳理关系及应用，帮助学生构建知识模型，教师可直接用于教学，学生能深化理解与应用。

第 二十五章 一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标 学习重难点 了解一元二次方程的根与系数的关系 利用一元二次方程根与系数的关系解决问题. 难点 重点 （1）探索一元二次方程的根与系数的关系. （2）利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 回顾复习 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 导入新知 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 ① 探究 由求根公式 可知，通过对系数a，b，c进行有限次加、减、乘、乘方、开方等运算，可以得到方程的根.求根公式反映了一元二次方程的根与系数的关系，这种关系还有其他表现形式吗? 5 思考1 从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0 ( x1，x2为已知数 ) 的两根为 x1 和 x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗? 6 (x-x1)(x-x2)=0 x2-(x1+x2)x+x1·x2=0 左边展开，化为一般形式 方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1＋x2＝－p，x1x2＝q. 7 思考2 一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1， 它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢? 8 由求根公式可知 9 归纳 方程的两个根 x1，x2 和系数 a，b，c 有如下关系： 注意 一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是a ≠ 0，b2-4ac ≥ 0 10 例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2 的和与积. (1) x2-6x-15=0； (2) 3x2+7x-9=0； (3) 5x-1=4x2 . 解：(1)x1+x2=-(-6)=6, x1x2=-15. 11 知识点2 根与系数关系的应用 ② 例2 已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，求方程的另一个根及k的值. 解： 设这个方程的另一个根为t，则 t＋2＝，2t＝. ∴ t＝， k＝-7. 当k＝-7时，Δ=(-7)2-4×5×(-6)=169＞0， ∴另一个根为，k的值为-7. 还有其他的做法吗？ 12 随堂演练 1. 若x1，x2 是方程x2－2mx+m2－m－1=0 的两个根，且x1+x2=1－x1x2，则m的值为( ) A. －1 或2 B. 1 或－2 C. －2 D. 1 D 2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则p = , q= . 1 -2 13 随堂演练 3. x1，x2是方程x2－5x－7=0的两根，不解方程求下列各式的值： （1） ；（2） . 解：∵x1，x2是方程x2-5x-7=0的两根，∴x1+x2=5，x1x2=-7. 14 归纳 常见的关系： 3. 4. 15 课堂小结 根与系数的关系 内容 应用 求字母或代数式的值 16 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 17 绿卡图书—走向成功的通行证 18 $