第25章 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（吃透教材）-【众相原创】2026-2027学年九年级全一册数学分层练同步课件（人教版·新教材 广西专版）

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，先梳理教材核心公式及使用条件，再通过教材母题变式搭建学习支架，衔接解一元二次方程与代数式求值、参数求解等前后知识，帮助学生逐步掌握韦达定理应用。 其亮点在于中考题型分层分类设计，从基础梳理到提升训练，结合易错点强调（如忽视Δ≥0），培养学生推理意识与应用意识。课堂10分钟即时练习助力巩固，教师可精准教学，学生能提升运算能力与逻辑思维，高效备考。

数 学 教材知识梳理 第二十五章 一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教材母题变式 课堂10分钟 一元二次方程的根与系数的关系：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根x1，x2与其系数a，b，c有如下关系：x1＋x2＝ ①_______，x1x2＝②. 一元二次方程的根与系数的关系的使用条件：Δ ③____0. － ≥ 教材母题1 利用根与系数的关系求两根之和与两根之积 例1 (教材P16例5改编)不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)x2＋3x＋1＝0； 解：Δ＝32－4×1×1＝5＞0， ∴方程有两个实数根x1，x2， ∴x1＋x2＝－3，x1x2＝1. (2)2x2＋3＝5x2＋x. 解：将原方程整理，得3x2＋x－3＝0，Δ＝12－4×3×(－3)＝37＞0， ∴方程有两个实数根x1，x2， ∴x1＋x2＝－ ，x1x2＝－1. 教材母题2 已知一根求另一根及待定字母的取值 例2 已知方程x2－x＋c＝0的一根为3，求方程的另一根及c 的值. 解：设方程的另一根为x1， ∵x1＋3＝1，∴x1＝－2. ∵x1×3＝－2×3＝c， ∴c＝－6. 变式1 关于x的一元二次方程x2＋px＋4＝0的一个根为x1＝2，则另一个根为x2＝___. 变式2 已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k－1＝0的一个根为x1＝3，则方程的另一个根是x2＝___. 2 1 教材母题3 利用根与系数的关系求代数式的值 例3 (教材P18T11改编)设x1，x2是一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)x1＋x2－x1x2； 解：∵x1＋x2＝，x1x2＝， ∴x1＋x2－x1x2＝－ ＝2. (2)＋； 解：＋＝(x1＋x2)2－2x1x2 ＝－1＝. (3)＋. 解：＋＝＝5. 易错点用根与系数的关系时忽视隐含条件 例4已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根α，β 满足＋＝1，则m的值为_____. 用根与系数的关系时，一定要注意前提条件Δ≥0，还要注意二次项系数不能为0. －3 1.已知关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两根分别是＋1，－1，则(　　) A.b＝2，c＝1 B.b＝2，c＝－1 C.b＝－2，c＝－1 D.b＝－2，c＝1 D 2.已知a，b是方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则a＋b＋2 026的值是(　　) A.2 027 B.2 026 C.2 025 D.2 024 C 3.一元二次方程x2－6x＋6＝0的两个实数根的倒数之和为(　 ) A.2 B.－2 C.1 D.－1 C 4.已知方程x2－4x－7＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝___，x1x2＝_____. 4 －7 5.已知关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0有两个不相等的实数根x1，x2. (1)若m＝5，求此时方程的解； 解：由题意，得x2－4x－2×5＋5＝0， 整理，得x2－4x－5＝0，解得x1＝5，x2＝－1. (2)当x1x2＞0时，求m的取值范围. 解：∵x2－4x－2m＋5＝0有两个不相等的实数根x1，x2， ∴x1x2＝－2m＋5. ∵x1x2＞0，∴－2m＋5＞0，解得m＜. ∵Δ＝(－4)2－4(－2m＋5)＞0，解得m＞， ∴m的取值范围为＜m＜. $