4.2.2 指数函数的图象和性质 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数的图象和性质，通过“指数爆炸”现象导入，结合复习回顾指数函数概念，类比幂函数研究方法（背景、图像、性质、应用），搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步探究。 其亮点在于以描点画图、对比归纳为核心，通过让学生亲手绘制y=2^x与y=(1/2)^x图像并发现对称性，培养数学眼光（几何直观），结合表格系统总结a>1与0<a<1的性质，发展数学思维（推理能力），例题与检测分层设计，助力学生掌握应用，教师可直接用于课堂提升教学效率。

第四章指数函数与对数函数 4.2.2指数函数的图象和性质 人教A版 ( 2019) 必修第一册 1.熟练掌握指数函数的图象和性质； 2.会用指数函数的图象和性质解决数学问题. 学习目标 指数函数的概念： 一般地，形如y=a(a>0, 且a≠1)的函数叫做指数函数，其中指数x是自 变量，定义域为R. 解析式特点： 【1】ax的系数为1; 【2】ax的指数为自变量； 【3】ax的底数是大于零且不等于1的常数. 复习回顾 为了研究指数函数，下面我们类比研究幂函数性质的过程和方法，首 先作出指数函数的图像，然后借助指数函数的图像研究指数函数的性质. 背景 概念 图像与性质 应用 研究函数的一般方法： 大家常听到“指数爆炸”这个说法，为什么指数增长会爆发力极强?从y= 2×的图象就能直观找到答案：x取正数时函数值升得非常快，x取负数时又无限贴 近x 轴.那是不是所有指数函数都是这样上涨的?如果底数小于1,图象会变成什 么样?今天我们通过亲手画图、对比归纳，搞懂指数函数的图象特征和对应性质. 新课导入 X y -2 0.25 -1.5 0.35 -1 0.5 -0.5 0.71 0 1 0.5 1.41 1 2 1.5 2.83 2 4 数y=2* 的图象(如图). 像 请完成x,y 的对应值表，并用描点法画出函 探索新知 x y, y, -2 0.25 4 -1.5 0.35 -1 0.5 2 -0.5 0.71 0 1 1 0.5 1.41 1 2 0.5 1.5 2.83 2 4 0.25 关于y轴对称，都经过定点(0,1) 探索新知 y₁=2 y₂ = 2* 你能发现两 个图像的特 征吗? y=( 专 P ₁ y↑ 0 /y=2 ,P x 画出函数 的图象，并与函数y=2* 的图象进行比较，它们 有什么关系?能否利用函数y=2× 的图象，画出函数 思考 的图象? 因为 ,点( x ,y)与点(-x ,y)关于y轴对称，所以 函数y=2 *图象上任意一点P(x ,y)关于y轴的对称点P(-x ,y)都在 函数 的图象上，反之亦然.由此可知，底数互为倒数的两 个指数函数的图象关于y轴对称. 探索新知 根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数 的图象，比如利用函数y=2* 的图象，画出 的图象(如图). y=2* P ₁ x 探索新知 思考 选取底数a(a>0, 且a≠1) 的若干个不同的值，在同一直角坐 标系内画出相应的指数函数的图象.观察这些图象的位置、公共点和 变化趋势，它们有哪些共性?由此你能概括出指数函数y=a(a>0, 且a≠1) 的值域和性质吗? 用描点法来作出函数 改变底数大小先画出a>1 定义域：R 值域：(0,+∞) 都是单调递增函数 无最大值，无最小值 非奇非偶函数 图象都经过定点(0,1),f(0)=1 底数都大于1 在第一象限，底数越大，越靠近y轴 图象都在x 轴上方(y>0), 向上无限延伸，向下 无限接近于x 轴，但不与x 轴相交 X -4 -3 -2 -1 2 4 y=2* 和 y=3*,y=4* 的 图 象 9 8 7t 6 5 4 3 2 用描点法来作出函数 再 画 出 0< a<1 的 函 数 y=(2 底数都大于0且小于1 在第一象限，底数越小，越靠近x轴 定义域：R 值域：(0,+∞) 都是单调递减函数 无最大值，无最小值 非奇非偶函数 图象都经过定点(0,1),f(O)=1 X 2 3 4 图象都在x 轴上方(y>0), 向上无限延伸，向下 无限接近于x 轴，但不与x 轴相交 -4 -3 -2 -1 y=(2 y 9 8 7t 6 5 4 3 的 图 象 和 0< a<1⇔ 减函数 a >1⇔ 增函数 如图，选取底数a的若干值，用信息技术画图， 发现指数函数y=a× 的图象按底数a的取值，可分为 0< a<1 和a>1 两种类型.因此，指数函数的性质 也可以分0 <a<1 和a>1 两种情况进行研究. y=3* y=2* 2 x 根据图像你能总结出y=a 的性质吗? 探索新知 4 2 -2 项 目 0<a<1 a>1 图象 定义域 R 值域 (0,十∞) 性质 (1)过定点(0,1),即x=0时， y=1 (2)减函数 (2)增函数 指数函数的图象和性质 项 目 0<a<1 a>1 函数值的变化情况 当x>0时，0<aˣ<1, 当x=0时， aˣ=1, 当x<0时， a>1 当x>0时， aˣ>1, 当x=0时， ax=1, 当x<0时，0<aˣ<1 函数y=a与 指数函数的图象和性质 例题 【例1】比较下列各题中两个实数的大小. (1)1.72.5和1.7³ (2)0.8- √2和0.8- √³ (3)1.70.3和0.93.1 分析：对于(1)(2),要比较的两个值可以看作一个指数函数的两 个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于(3),1.70.3 和0.93.1不能看作某一个指数函数的两个函数值.可以利用函数y=1.7* 和 y= 0.9 的单调性，以及“x=0 时 ，y=1” 这条性质把它们联系起来. 例题 解 ：(1)1.725和1.7³可看作函数y=1.7* 当x 分别取 2.5和3时 所对应的两个函数值. 因为底数1.7>1,所以指数函数y=1.7* 是增函数. 因为2.5<3,所以1.72.⁵<1.7³. (2)同(1)理，因为0<0.8<1,所以指数函数y=0.8* 是减函数. 因为-√2>- √3,所以0.8-√²<0.8-√3. (3)由指数函数的性质知1.7.³>1.7⁰=1,0.93.¹<0.9⁰=1, 所以1.7⁰.³>0.93.1. 利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应 函数值的大小关系. 例题 比较幂的大小的方法 (1) 同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较. (2) 指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图 象，当x 取相同幂指数时可观察出函数值的大小. (3) 底数、指数都不同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂 与两数比较，或借助“1”与两数比较. (4) 底数含参数时，要按底数a>1 和 0< a<1 两种情况分类讨论. 例题 【例2】教材P118 例 4 如图，某城市人口呈指数增长. (1)根据图象，估计该城市人口每 翻一番所需的时间(倍增期); (2)该城市人口从80万人开始，经 过20年会增长到多少万人? 例题 分析： (1)因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增 期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期. (2)要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数 量关系. 例题 解 ：(1)观察图象，发现该城市人口经过20年约为10万人，经 过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为 20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年 . (2) 因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因 此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人. 【例3】求下列函数的定义域和值域 (1)y=3√x²-2x (2) 【解】(1) 所以定义域为{x|x≤0 或x≥2} 因为 √x²-2x≥0, 所以y≥3⁰=1, 值域为[1,+∞] (2) 因为x-1≠0, 所以x≠1, 定义域为{x|x≠1} 所以值域为(0,2 ) U(2, +) 因为 练习.求下列函数的定义域和值域： (1): (2)y=22x-x²; (3)y=4×-2×+1. 解：(1)定义域为R.∵1+3x>1,∴ , ∴ 0<y< 1, 故函数的值域为(0,1). (2)定义域为R.∵t=2x-x²≤1,∴y= 22x-x² ∈[0,2]. (3)定义域为R.令t=2x, 则t>0, 故函数的值域为 当 堂 检 测 1.已知关于x 的函数y=aˣ⁻¹+2(a>0, 且a≠1) 的图象恒过定点A, 则点A的坐标为( ) A.(1,0) B.(1,2) C.(2,2) D.(1,3) 答案：D 解析：令x=1, 则y=3, 所以函数图象恒过定点(1,3).故选：D. 当 堂 检测 2.如图是指数函数f(x)=a³(a>0且a≠1)的部分图象，已知a取 , ,2,3这四个值，则曲线C₁,C₂,C₃,C4相对应的a依次为( ) A ,2,3 B D 答案：D 解析：当x=1时， y越大， a越大.C₂ 的a值小于C的a值小于C₄ 的a 值小于C₃ 的a值.故选： D. ,3,2 C. 当 堂 检 测 ,c= 0.8⁰.9,则a,b,c 的大小关系为( ) A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c 答案：A 解析：依题意， ,而a=90.4>9⁰=1=0.8⁰>0.8⁰.⁹=c, 所以c<a<b. 故选：A. 3. 设a=94 , 当 堂 检 测 4. 函数f(x)=2²- ¹ 的值域为( ) B.[0,+∞] C.[1,+∞] D.[2,+∞] 答案：A 解析：因为y=x²-1 的值域为(-1,+),且y=2’ 在R 上单调递增， 所以f(x)=2²- ¹ 的值域为 ,故选：A. 当 堂 检 测 5. 函数f(x)=a(a>0, 且a≠1) 在区间[1,2]上的最大值比最小值大 则a 的值为 . a 2' 当 堂 检 测 答案： 解析：当a>1时，则函数f(x) 在区间[1,2]上单调递增，由题意可得： ,解得 (舍去);当0<a<1 时，则函 数f(x) 在区间[1,2]上单调递减，由题意可得： 解得 或a=0 (舍去);综上所述： 或 .故答案为： 当 堂 检 测 6.已知m>1,n>-1, 则函数y=m×+n 图象必定不经过( ). A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 答案：D. 图象恒过点(0,1+ n), ∵n>-1,∴ 点(0,1+ n) 在y轴正半轴上. 故图象不经过第四象限. 当 堂 检 测 课后思考题： 解下列不等式： (1)3x-¹>1;(2) ;(3)0.3+²<0.3x² 提示：指数不等式解法：两边化为同底数， 再用单调性 a>1 0<a<1 图 象 定义域 R 值域 (0, +0) 过定点 (0, 1) 性质 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 当x<0时，y>1;当x>0时，0<y<1. 取值分布 当x<0 时 ，0<y<1;当x>0时， y>1. 奇偶性 既不是奇函数也不是偶函数 课堂总结 指数函数的图象和性质 成功就是多努力一点点 $