27.3 第2课时 实际问题与反比例函数（2）-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（人教版·新教材）

该教案聚焦实际问题中反比例函数模型的建构与应用，以物理功率问题导入，通过引导学生熟悉电学公式PR=U²搭建学习支架，衔接已有物理知识与数学建模，帮助学生从学科情境过渡到函数关系分析。 特色在于跨学科整合与问题驱动，结合物理功率调节、力学功与位移等实例培养数学眼光，通过探究与例题引导逻辑推理发展数学思维，用函数解析式解决压强、密度问题强化数学语言表达，提升学生建模能力，为教师提供结构化教学方案。

26.2 实际问题与反比例函数 第2课时 实际问题与反比例函数（2） 课题 实际问题与反比例函数（2） 课型 新授课 教学内容 教材第76-78页的内容 教学目标 1.能够从物理等其他学科问题中建构反比例函数模型。 2.从实际问题中寻找变量之间的关系，利用所学知识分析物理等其他学科的问题，建立函数模型解决实际问题。 教学重难点 教学重点：从物理等其他学科问题中建构反比例函数模型。 教学难点：建立函数模型解决实际问题。 教 学 过 程 备 注 1.实践探究，学习新知 【探究】—个用电器的电阻是可调节的，其范围是110〜220，已知电压为220 V，这个用电器的电路图如图所示. (1)输出功率犘与电阻只有怎样的函数关系？ (2)这个用电器功率的范围是多少？ 【师生活动】教学时，教师应先让学生熟悉与本例相关的电学知识，即PR = U2，然后让学生独立完成，对个别有困难的同学，可予以指导，也可让他们与同伴交流，从而能解决问题，在大多数同学完成以后，教师可设置以下两个问题，让学生进一步加深对知识的理解： ①想一想，为什么收音机的音量，某些台灯的亮度以及电风扇的转速都可以调节？②你还能列举一些生活中用电器应用反比例函数性质的例子吗？ 2.学以致用，应用新知 【例1】在力F(单位:N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位:m)，则力F所做的功W(单位:J)满足W=Fs.当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. (1)当力F为10 N时，求F所做的功W； (2)写出s关于F的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100 m，求力的范围. 解：(1)由图可知，当力F为10 N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50 m，此时F所做的功W=Fs=10×50=500(J). (2)当W为定值时，可以用反比例函数描述s与F之间的关系.由(1)可知其解析式为s=. (3)将s=100代入s=，可得F=5(N). 因为s随着F的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于100 m， 力F要大于5 N. 【例2】一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v（单位:km/h）与行驶全程所用时间t（单位:h）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120. (1) 写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围； (2) (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天 10 时40分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围. 解：(1)甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的关系.由图可知，当t=2时，v=120，于是有v=①; 当v=60 时，由①得t=4. 因为 60≤v≤120，并且平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小，所以2≤t≤4. (2)客车上午8时从甲地出发，若当天10时40分到达乙地，则行驶全程所用时间t=2 h，代入①，可得v=90(km/h);若当天 11时到达乙地，则行驶全程所用时间t=3 h，代入①，可得v=80(km/h). 因为平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小，所以客车平均速度v的范围是80≤v≤90. 3.随堂训练，巩固新知 （1）一村民在清理鱼塘时不慎被困在淤泥中，消防员以门板作船进行救援，设人和门板对淤泥的压力合计900N，门板面积为S（m2），则人和门板对淤泥的压强P（pa）和门板面积S（m2）之间的函数关系式为（ ） A. P=900+S B. P= C. P= D. P=900S 答案：B （2）一只额定功率为800W的家用电饭锅，工作时测得电路两端的电压U为200V，此时的工作电阻R不小于62.5Ω，则通过电路的电流强度I（ ） A.等于4A B.不大于3.2A C.不小于3.2A D.不大于3.57A 答案：B （3）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化。已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示。 ①求密度ρ关于体积V的函数解析式； ②当V=8 m3时，求该气体的密度ρ。 解：①设ρ=，将（4，2.5）代入，得2.5=，解得k=10.∴ρ=。 ②将V=8代入ρ=，得ρ=。 ∴该气体的密度为 kg/m3。 （4）某容器内充满了一定质量的气体，当温度不变时，容器内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示． ①求出这个函数的解析式； ②当容器内的气体体积是0.6m3时，此时容器内的气压是多少千帕？ ③当容器内的气压大于240kPa时，容器将爆炸，为了安全起见，容器内气体体积应不小于多少m3? 解：①设这个函数的表达式为p＝.根据图象可知其经过点(2，60)，得60＝，解得k＝120.则p＝； ②当V＝0.6m3时，p＝＝200(kPa)； ③当p≤240kPa时，得≤240，解得V≥. 所以为了安全起见，容器的体积应不小于m3. （5）某汽车的输出功率P为一定值，汽车行驶时的速度v(m/s)与它所受的牵引力F(N)之间的函数关系如下图所示： ①这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式； ②当它所受牵引力为2400N时，汽车的速度为多少？ ③如果限定汽车的速度不超过30m/s，则F在什么范围内？ 解：①设v与F之间的函数关系式为v＝ ，把(3000，20)代入v＝，得P＝60000，∴这辆汽车的功率是60000W.这一函数的表达式为v＝； ②将F＝2400N代入v＝，得v＝＝25(m/s)， ∴汽车的速度v＝3600×25÷1000＝90(km/h)； ③把v≤30代入v＝，得F≥2000(N)，∴F≥2000N. 5.课堂小结，自我完善 教师引导学生一起回顾： （1）我们建立反比例函数模型解决其他学科的实际问题的过程是怎样的？ （2）在这个过程中要注意什么问题？ 6.布置作业 课本P78练习. 从学生熟悉的功率、电压、电流的物理关系出发，建立反比例函数模型，实现物理与数学知识的相互转化，从而培养学生灵活应用知识的能力。 让学生进一步体会数学建模思想，培养学生学以致用的能力，即能用所学知识解决现实世界中实际问题的能力，也可增强学生的学习兴趣. 学生在反思中整理知识，梳理思维，获得成功的体验和失败的感受，巩固和提高应用反比例函数解决实际问题的能力，巩固对反比例函数的性质的认识。 通过小结，激发学生参与地主动性，帮助学生梳理本节课所学内容，突出重点，强化记忆。 板书设计 实际问题与反比例函数（2） 教后反思 本节是在上一节的基础上，进一步学习与反比例函数有关的涉及其他学科的知识。尽量选用学生熟悉的实例进行教学，使学生从身边事物入手，真正体会数学知识来源于生活。在这些实际应用中，备课时应注意到与学生的实际生活相联系，并且注意用函数观点来对这些问题做出某种解释，从而加深对函数的认识，并突出知识之间的内在联系，特别是与物理知识之间的联系。注意要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的活动时间，不断引导学生利用数学知识解决实际问题。 学科网（北京）股份有限公司 $