27.3 第1课时 实际问题与反比例函数（1）-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（人教版·新教材）

该教案聚焦“实际问题与反比例函数”核心知识点，通过拉面师傅做拉面的生活实例（体积20cm³，面条长度y与横截面积S的关系）导入，衔接已学反比例函数概念，搭建从现实情境到数学模型的学习支架，梳理变量关系分析脉络。 特色在于以生活及跨学科实例（港口卸货、杠杆原理）驱动教学，培养数学眼光（抽象变量关系）、数学思维（数形结合与方程不等式综合）、数学语言（建立函数模型）。如探究2结合杠杆定律，让学生用反比例函数解释“动力臂越长越省力”，提升应用意识与创新思维，为教师提供结构化流程，助力学生掌握建模方法。

27.3 实际问题与反比例函数 第1课时 实际问题与反比例函数（1） 课题 实际问题与反比例函数（1） 课型 新授课 教学内容 教材第74-76页的内容 教学目标 1.能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题。 2.能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题。 3.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。 教学重难点 教学重点：掌握从实际问题中建构反比例函数模型。 教学难点：在实际问题中寻找变量之间的关系，建立函数模型。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 拉面师傅手艺精湛，如果他要把体积为20 cm2的面团做成拉面，你能写出面条的总长度y（单位：cm）与面条粗细（横截面积）S（单位：cm2）的函数解析式吗？若拉面师傅拉的面条粗2 mm2，面条总长是多少？ 【师生活动】教师引导学生建立反比例函数模型解决。 2.实践探究，学习新知 【探究1】港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700 t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9 h. (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v(单位:t/h)与卸载完所有货物的总时间水(单位:h)之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6 h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物? 【师生活动】教师提示学生从函数角度出发，应如何理解“不超过6 h卸载完毕”，并进行讨论，学生展示结果，教师规范解题书写过程。 在此活动中，教师应鼓励学生运用数形结合，用多种方法来思考问题，充分利用好方程，不等式，函数三者之间的关系。重点关注：①学生能否自己建构函数模型；②学生能否将函数，方程、不等式的知识联系起来。 【探究2】某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200 N和0.5 m. (1)动力F和动力臂有怎样的函数关系？当动力 臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ 【师生活动】先由学生根据“杠杆定律”解决上述问题． 教师可引导学生揭示“杠杆乎衡”与“反比例函数”之间的关系。在大部分学生自主完成后，可提出以下问题让学生思考，巩固提高：（1 )用反比例函数知识解释：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？（2)你能再举一些应用杠杆原理做实际例子吗？ 师生共同总结： 解决有关物理类实际问题的方法：利用各物理量之间的关系，建立数学模型，列出符合题意的反比例函数解析式，然后根据物理知识、函数性质、方程（组）、不等式及函数图象信息求解。 在此活动中，教师要重点关注学生能否从实际问题中抽象出函数模型；能否利用函数模型解释实际问题中的现象。 3.学以致用，应用新知 【例1】在某河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成的工程量x(m/天)的函数关系图象如图所示． (1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式； (2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15米，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？ (3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按30天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少米？ 解：(1)设y＝.∵点(24，50)在其图象上，∴k＝24×50＝1200，所求函数表达式为y＝； (2)由图象可知共需开挖水渠24×50＝1200(m)，2台挖掘机需要工作1200÷(2×15)＝40(天)； (3)1200÷30＝40(m)，故每天至少要完成40m. 【例2】如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种窖积为1L(1L＝1 dm3)的圆锥形漏斗． （1）漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系? （2）如果漏斗口的面积为100 cm2，则漏斗的深为多少? 解：(1)根据圆锥体的体积公式，设漏斗口的面积为S cm，漏斗的深为d cm，则容积为1L＝l dm3＝1000 cm3． 所以，S·d＝1000，S＝． （2）根据题意把S＝100 cm2代入S＝,中，得100＝，解得d＝30． 所以如果漏斗口的面积为100 cm2，则漏斗的深为30 cm． 4.随堂训练，巩固新知 （1）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价x(元)与销售量y(张)之间有如下关系： x(元) 3 4 5 6 y(张) 20 15 12 10 ①猜测并确定y与x的函数关系式； ②当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？ 答案：①从表中数据可知y与x成反比例函数关系，设y＝(k为常数，k≠0)，把点(3，20)代入得k＝60，∴y＝； ②当x＝10时，y＝＝6，∴日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是6张。 （2）王强家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v米/分，所需时间为t分钟． ①速度v与时间t之间有怎样的函数关系？ ②若王强到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？ ③如果王强骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？ 答案：①速度v与时间t之间是反比例函数关系，由题意可得v＝； ②把t＝15代入函数解析式，得v＝＝240.故他骑车的平均速度是240米/分； ③把v＝300代入函数解析式得＝300，解得t＝12.故他至少需要12分钟到达单位． （3）已知某矩形的面积为20cm2， ①写出其长y与宽x之间的函数表达式． ②当矩形的长为12cm时，求宽为多少?当矩形的宽为4cm，求其长为多少? ③如果要求矩形的长不小于8cm，其宽至多要多少? 答案：①根据矩形的面积公式，我们可以得到20＝xy． 所以y＝，即长y与宽x之间的函数表达式为y＝． ②把y＝12代入y＝中，得12＝，解得x＝ ． 把x＝4代入y＝中，有y＝＝5． 所以当矩形的长为12cm时，宽为 cm； 当矩形的宽为4 cm时，其长为5cm． ③y＝，此反比例函数在第一象限y随x的增大而减小，如果矩形的长不小于8cm，即y≥8cm，所以≥8cm， 因为x＞0，所以20≥8x．x≤ ．即宽至多是 m． 5.课堂小结，自我完善 教师引导学生一起回顾： （1）我们建立反比例函数模型解决实际问题的过程是怎样的？ （2）在这个过程中要注意什么问题？ 6.布置作业 课本P76练习. 展示反比例函数在实际生活中的应用情况，让学生初步体会利用反比例函数模型解决实际问题，激发学生的求知欲和浓厚的学习兴趣。 学生通过对v与t之间的函数关系的研究，认识到体积一定，当t改变时，v随之改变。首先建立解决问题的反比例函数模型，然后应用反比例函数的概念、性质进行解决，初步培养学生应用反比例函数解决实际问题的能力。 在了解杠杆原理的基础上，让学生探究杠杆问题中存在的反比例函数关系，初步感知反比例函数在其他学科中的应用，体会跨学科综合应用。 当条件改变时，函数关系也发生改变，发展学生分析、解决问题的能力。 本题可以通过计算解决以上问题，也可以根据函数的图象对问题进行解释，通过两种方法的比较，可以加深对这类问题的理解． 进一步分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释是什么?可以看作什么?逐步形成考察实际问题的能力。在解决问题时，还应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想。 让学生进一步体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，更进一步提高解决问题的能力。 通过小结，激发学生参与地主动性，帮助学生梳理本节课所学内容，突出重点，强化记忆。 板书设计 实际问题与反比例函数（1） 教后反思 本节课是用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么，可以是什么，从而逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时，不仅要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想，也要注意函数不等式、方程之间的联系． 学生已经有了反比例函数的概念及其图象与性质这些知识作为基础，并且上学期已经学习了正比例函数、一次函数，学生已经有了一定的知识准备.因此，本节课教师可从身边事物入手，使学生真正体会到数学知识来源于生活，有一种亲切感.在学习中要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的时间来进行交流活动，不断引导学生利用数学知识 来解决实际问题. 学科网（北京）股份有限公司 $