27.3 实际问题与反比例函数（第1课时）（课件）2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与反比例函数”，核心是识别变量间反比例关系并建立函数模型。课堂通过“旧识回顾”列举面积、体积等常见反比例关系，搭建新旧知识桥梁，引导学生从已有经验过渡到新内容。 其亮点在于结合港口卸货、撬棍杠杆等生活化实例及阿基米德杠杆原理科学史，以“数学眼光”抽象关系，“数学思维”推理运算，“数学语言”建立模型。总结四步解题法，当堂检测多样化，助力学生提升应用意识，教师可高效开展教学。

27.3 实际问题与反比例函数（第1课时） 人教版(2024)九年级上册 第二十七章 反比例函数 学习目标 1 能准确识别实际问题中变量间的反比例关系，并建立相应的反比例函数模型 2 在解决实际问题的过程中，能够运用多领域知识，选择合适的方法解决问题 旧识回顾 常见的与实际问题相关的反比例关系 (1) 面积一定时，矩形的________成反比例. (2) 面积一定时，三角形的一边长与______________成反比例. (3) 体积一定时，柱（锥）体的____________________成反比例. (4) 销售总价一定时，商品的______与销售数量成反比例. (5) 溶质质量一定时，溶液的________________成反比例. 长与宽 这条边上的高 底面积与底面上的高 单价 浓度与溶液质量 典型例题 例 1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h. (1) 此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度 v (单位：t/h) 与卸载完所有货物的总时间 t (单位：h) 之间有怎样的函数关系？ 在工程问题中，基本数量关系为： 工程量＝工作效率×工作时间， 当工程量为常量时，工作效率与工作时间之间的关系成反比例函数关系. 典型例题 例 1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h. (1) 此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度 v (单位：t/h) 与卸载完所有货物的总时间 t (单位：h) 之间有怎样的函数关系？ 分析：根据“平均装载速度×装载总时间＝货物总量”，可以先求出轮船装载货物的总量； 再根据“平均卸载速度＝货物总量 ÷ 卸载总时间”，得到 v 关于 t 的函数解析式. 典型例题 例 1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h. (1) 此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度 v (单位：t/h) 与卸载完所有货物的总时间 t (单位：h) 之间有怎样的函数关系？ 解：(1) 轮船上的货物总量为 700×9＝6 300 (t)， 所以 v 关于 t 的函数解析式为 典型例题 例 1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h. (2) 由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 又因为要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，所以 t≤6，所以 所以 v≥1050.因此起重机平均每小时至少要卸载 1 050 t 货物. 小于或等于 大于或等于 解：(2) 因为 ，所以 . 你还有其他的方法吗？ 典型例题 例 1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h. (2) 由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 解：(2) 把 t＝6 代入 ，得 从结果可以看出，如果全部货物恰好用 6 h 卸载完，那么平均每小时卸载 1 050 t. 典型例题 例 1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h. (2) 由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 解：(2) 对于函数 ， 当 t＞0 时，t 越小，v 越大. 因此，若货物不超过 6 小时卸载完，则平均每小时至少要卸载 1 050 t 货物. 方法总结：在解决反比例函数相关的实际问题中，若题目要求“至多”、“至少”，可以利用反比例函数的增减性来解答 . 探索新知 古希腊科学家阿基米德（公元前 287一前 212）发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂（如图）. 给我一个支点，我可以撬动地球！ ——阿基米德 阻力 动力 支点 动力臂 阻力臂 典型例题 例 2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m. (1) 动力  (单位：N) 与动力臂  (单位：m) 有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？ 解：(1) 根据“杠杆原理”，得 Fl＝1 200×0.5， 所以 F 关于 l 的函数解析式 . 当 l＝1.5 m 时， (N). 对于函数  ，当 l＝1.5 m 时，F＝400 N，此时杠杆平衡. 因此，撬动石头至少需要 400 N 的力. 典型例题 例 2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1 200 N 和 0.5 m. (2) 若想使动力 F 不超过 (1) 中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少？ 解：(2) 对于函数   ，当 l＞0 时，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F＝200 N 时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量. 将 F＝400 ＝200 代入  ，得 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，动力臂的长度就应该不小于3 m，则动力臂至少要加长 3－1.5＝1.5(m). 探索新知 用反比例函数的知识解释： 在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ 根据杠杆原理：动力×动力臂＝阻力×阻力臂，所以动力， 这说明当“阻力×阻力臂”的值不变时，动力和动力臂成反比例函数关系，其中“阻力 × 阻力臂＞0”. 根据反比例函数的性质：当 k＞0 且 x＞0 时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，因此在使用撬棍时，动力臂越长，越省力. 探索新知 用反比例函数解决实际问题的一般步骤： 找定值：从题意中找出乘积为定值的两个量 (如货物总量、杠杆“阻力×阻力臂”、容积、余额). 代值计算：代入已知自变量或因变量，求对应值. 分析 y 随 x 的变化情况：利用反比例函数的性质解决“至少或最多”的最值问题. 列函数：设自变量和因变量，根据“定值＝自变量×因变量”，整理成 (k 为定值，k≠0) 的形式. 当堂检测 当堂检测 B 当堂检测 C 当堂检测 D 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 本节课学习了哪些知识点呢？ 转化 回归 明确数学问题 分析实际情境 建立函数模型 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图象时，横、纵坐标的单位长度不一定相同. THANKS 1.一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为( ) A. B. C. D. 解析：由题意得，a与h的函数关系式为， 此函数是一个以h为自变量的反比例函数， 边上的高为h，，故选：B. 2.某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润率（利润和成本的比值）y与该店成本x的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析：∵ 甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴当销售同样数量的羽绒服时，甲，丁的利润相等， ∵丙在双曲线的上方，乙在双曲线的下方， ∴当销售同样数量的羽绒服时，丙的利润大于甲， 丁的利润，乙的利润小于甲，丁的利润.故选C. 3.《九章算术》中记载了古代“均赋”思想：当物资总量一定时，分摊的人数越多，平均每人分到的数量越少.现有一批粮食总量固定，设分摊人数为x人，平均每人分到粮食为y千克，且当时，，则下列说法错误的是( ) A.平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数 B.当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加 C.当时，平均每人分到粮食12千克 D.这批粮食总量有500千克 解析：当物资总量一定时，分摊的人数越多，平均每人分到的数量越少， 平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数，当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加，故A、B选项正确，不符合题意； 设该函数解析式为，当时，，， 该函数解析式为，这批粮食总量有600千克，故D选项错误，符合题意； 当时，，即当时，平均每人分到粮食12千克，故C选项正确，不符合题意； 4.某工厂生产一批零件，零件总数一定，每天生产的零件数y（个）与生产天数x（天）成反比例关系.已知时，. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若工厂想要在6天内完成这批零件的生产，那么每天至少需要生产多少个零件？ 解析：(1)设y与x之间的函数关系式为， 时，，， y与x之间的函数关系式为； 4.某工厂生产一批零件，零件总数一定，每天生产的零件数y（个）与生产天数x（天）成反比例关系.已知时，. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若工厂想要在6天内完成这批零件的生产，那么每天至少需要生产多少个零件？ 解析：(2)对于， 当时，， 在第一象限内，y随x的增大而减小， 工厂想要在6天内完成这批零件的生产，每天至少需要生产20个零件. 5.某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间t（单位：天）与入库平均速度v（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当入库平均速度为400吨/天时，入库所需要的时间为3天.求t与v之间的函数关系式，并求当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为多少天？ 解析：设反比例函数的表达式为， 将代入中，得， 解得，反比例函数的表达式为， 令，则， 当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为6天. $