25.3 实际问题与一元二次方程 第2课时 传播问题及平均变化率问题-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（人教版·新教材）

该教案聚焦传播问题及平均变化率问题，通过回顾上节课列一元二次方程解应用题步骤，以传染病传播实例（探究1）引入，用表格梳理传播过程人数关系，建立(1+x)²模型，再过渡到药品成本平均变化率问题（探究2），构建知识支架。 特色在于以真实情境驱动建模，如探究1用表格抽象每轮传染人数规律，培养数学眼光中的抽象能力；通过列方程求解并检验结果合理性（如舍去负数解），发展数学思维中的推理意识；结合冬奥会比赛、产量增长率等实例，强化数学语言的模型意识。助力学生掌握建模方法，提升应用能力，为教师提供清晰的问题链与实例，便于高效教学。

25.3 实际问题与一元二次方程 第2课时 传播问题及平均变化率问题 课题 实际问题与一元二次方程——传播问题及平均变化率问题 课型 新授课 教学内容 教材第21页的探究1，2内容 教学目标 1.会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得的结果是否合理． 2．联系实际，让学生进一步经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解应用题的步骤和关键． 教学重难点 教学重点：建立传播问题数学模型，建立平均变化率数学模型，找等量关系，列方程。 教学难点：找等量关系，列方程。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 导语：通过上节课的学习，谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般步骤及应注意的问题. 【探究1】某种传染病的传染速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人? 分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，第一轮传染后共有x+1人患了流感. 第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮传染后有[x+1+x(x+1)]人患了流感. 列表格如下： 传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数 1 1+x=(1+x)1 1+x+x(1+x)=(1+x)2 列式： x+1+x(x+1)=121 得x1=10, x2=-12（不合题意，舍去） 故平均一人传染了10个人. 拓展：如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少分人患流感？ 解：以1人为传染源,3轮传染后的人数是: (1+x)3=(1+10)3=1331. 【探究2】两年前生产1 t甲种药品的成本是10000元，生产1 t乙种药品的成本是12000元，随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是6000元，生产1 t乙种药品的成本是7200元.哪种药品成本的年平均下降率较大? 分析：设甲种药品成本的年平均下降率为x， 则一年后甲种药品的成本为10000（1-x）， 两年后的成本变为10000(1-x)2. 列出方程10000(1-x)2=6000， 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 设乙种药品的年平均下降率是y. 根据题意，列出方程为12000(1-y)2=7200. 解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775(不合题意, 舍去) 乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 比较这两种药品成本的年平均下降额与年平均下降率发现，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定大. 2.学以致用，应用新知 【例1】北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（　　） A．8 B．10 C．7 D．9 答案：B 【例2】有3人患了流感，经过两轮传染后共有300人患流感，若每轮传染中平均每人传染的人数相同（设为x），则第一轮传染后患流感的人数为 ， 第二轮传染后患流感的人数为 ，所以可列方程为 . 答案：3x x（3+3x） 3+3x+x（3+3x）＝300 【例3】某工厂一种产品2024年的产量是100万件，计划2026年产量达到121万件．假设2024年到2026年这种产品产量的年增长率相同． (1)求2024年到2026年这种产品产量的年增长率； (2)2024年这种产品的产量应达到多少万件？ 分析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，代入2025年产量的表达式即可解决． 解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1＋x)2＝121，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)． 答：这种产品产量的年增长率为10%. (2)100×(1＋10%)＝110(万件)． 答：2025年这种产品的产量应达到110万件． 3.随堂训练，巩固新知 （1）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． ①求每轮传染中平均一个人传染了多少个人？ ②如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 解：①设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝64， 解得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)． 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人． ②7×64＝448(人)． 答：又将有448人被传染． （2）月季生长速度很快，开花鲜艳诱人，且枝繁叶茂．现有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73.求每个支干长出多少小分支？ 解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意，得1＋x＋x2＝73， 解得x1＝8，x2＝－9(舍去)． 答：每个支干长出8个小分支． （3）某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设这个增长率为x.根据题意，得 200+200(1+x)+200(1+x)2=950 整理方程，得4x2+12x-7=0， 解这个方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5. 这个增长率为50%. 5.课堂小结，自我完善 根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得的结果是否合理。 6.布置作业 课本P22练习。 教师提出问题，并指导学生进行阅读，独立思考，学生根据个人理解，回答教师提出的问题.弄清题意，设出未知数，并表示相关量，根据相等关系尝试列方程，求根.根据实际问题要求，对根进行选择确定问题的解.教师组织学生合作交流，达到共识。 拓展中的思考问题虽然涉及三轮传播，但只是求值问题，不需要用方程解决。 实际问题中的数量关系比较复杂，更深入认识一元二次方程与现实生活的联系，加强建模思想。 建立数学模型，利用一元二次方程来解决实际问题．读懂题意，正确的列出方程是解题的关键。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 实际问题与一元二次方程——传播问题及平均变化率问题列一元二次方程解应用题的一般步骤 其他问题 传播问题 平均变化率问题 迁移以前方程解决问题的步骤，总结列一元二次方程解决问题的步骤，经历完整的建立一元二次方程解决实际问题的过程。 教后反思 教学过程中，强调利用一元二次方程解应用题的步骤和关键．特别是解有关的传播问题时，一定要明确每一轮传染源的基数。强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍。 学科网（北京）股份有限公司 $