第10讲 函数的单调性和最值（知识详解+11典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（人教A版必修第一册）

第10讲 函数的单调性和最值（知识详解+11典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直观感知函数的单调性 知识点02：直观感知函数的最大值和最小值 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：定义法判断或证明函数的单调性 题型02：求函数的单调区间 题型03：根据函数的单调性求参数值 题型04：利用函数单调性求最值或值域 题型05：根据函数的最值求参数 题型06：根据解析式直接判断函数的单调性 题型07：比较函数值的大小 题型08：函数不等式恒成立问题 题型09：分段函数的值域或最值 题型10：根据分段函数的单调性求参数 题型11：根据分段函数的值域(最值)求参数 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直观感知函数的单调性 函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 注意点： (1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集． (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替． (4)有序性，即要规定x1，x2的大小． (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一． (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质． 【例1】根据图象直观判断一次函数 的单调性，并写出单调区间。 解：1. 函数类型： 为一次函数，定义域为。 2. 图象特征：一次函数斜率 ，图象在全体实数范围内从左向右持续上升。 3. 单调性判断： 任取 ，若 ， 由 ，得 ，即 。 4. 结论：函数 在 上单调递增。 【知识点02】直观感知函数的最大值和最小值 函数的最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值． 注意点： (1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标． (2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值． (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性． (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是．比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值． 【例2】结合图象直观求二次函数 的最大值与最小值。 解：1. 函数图象特征： 是开口向下的抛物线，对称轴为 ，定义域为 。 2. 最高点分析： 图象顶点为 ，是整个图象的最高点， 对任意 ，恒有 ， 因此函数最大值为2，在 处取得。 3. 最低点分析： 抛物线开口向下，图象向两侧无限向下延伸，无最低点， 因此函数无最小值。 最终结论：函数最大值为 ，无最小值。 【题型01】定义法判断或证明函数的单调性 【典例1-1】函数在区间上为______（填“严格增函数”或“严格减函数”） 【答案】严格增函数 【分析】利用定义法证明单调性即可. 【详解】任取，则, 因为，所以，所以, 故在区间上为严格增函数. 故答案为：严格增函数 【变式1-1】（多选）（24-25高一上·辽宁·期末）已知函数的定义域为，，且当时，，则（   ） A． B． C． D．是增函数 【答案】ABD 【分析】令可判断A；令得，通过迭代可判断B；举反例可判断C；令，结合条件可判断D. 【详解】对A，令，得，A正确． 对B，令，得， 所以， 据此类推可得，所以，B正确． 对C，令，则， 且定义域为，当时，，满足题意，C错误． 对D，令，则． 当时，．因为当时，，所以， 即，，所以是增函数，D正确． 故选：ABD 【变式1-2】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 【答案】在上单调递减，证明见解析 【详解】在上单调递减，证明如下： 由，任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减. 【变式1-3】（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上的值域为 【分析】（1）利用换元法求解函数的解析式； （2）利用定义法证明的单调性，并求解值域. 【详解】（1）令，则，将其代入得 ，将替换为，得； （2）任取，且，则 因为，所以，因为，所以，即 分母恒成立， 因此，即，所以在上单调递减。 由单调性可知，在上单调递减，最大值在左端点处取得： 最小值在右端点处取得： 所以在上的值域为. 【题型02】求函数的单调区间 【典例2-1】（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解. 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 【变式2-1】（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间是______. 【答案】 【分析】利用函数单调性的定义判断在上的单调减区间，即可求解. 【详解】任取，且， 则， 当时，，，所以即， 当时，，，所以即， 所以在上单调递减，在上单调递增. 故答案为：. 【变式2-2】（25-26高一上·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间是______ 【答案】和 【分析】作出的函数图象，根据图象可判断出单调递减区间. 【详解】因为，作出的图象如下图所示，    由图象可知，的单调递减区间是和， 故答案为：和. 【变式2-3】判断函数的单调递减区间并加以证明. 【答案】函数的单调递减区间为，证明见解析. 【分析】首先根据对勾函数单调性得到其单调区间，再利用定义法即可证明. 【详解】函数的单调递减区间为，证明如下： 令， 则， 因为， 所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减，即函数的单调递减区间为. 【题型03】根据函数的单调性求参数值 【典例3-1】（25-26高一上·河南南阳·期中）已知函数 在上单调递增，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对进行分类讨论，根据函数在上单调递增，结合函数的性质即可求解. 【详解】当时，在上单调递增，因此， 当时， 为对勾函数，在上单调递增， 又函数在上单调递增，所以，则， 所以实数b的取值范围是. 故选：B 【变式3-1】（多选）（24-25高一下·云南昭通·阶段检测）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据一次分式型函数的单调性，即可得到两参数的范围. 【详解】由在区间上单调递增，则，即，故B正确，A错误； 又在区间上单调递增，则，即，故D正确，C错误. 故选：BD. 【变式3-2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【答案】 【详解】，定义域为， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 故的取值范围是. 【变式3-3】（24-25高一上·河北保定·期中）设函数，. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求不等式变形为，分、、三种情况讨论，结合一次不等式和二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）因为函数在上单调递减， 当时，即函数在上单调递减，合乎题意； 当时，因为二次函数在上单调递减， 可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. （2）不等式可化为， 当时，原不等式即为，解得； 当时，方程的两根分别为，. （i）当时，，解原不等式可得； （ii）当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【题型04】利用函数单调性求最值或值域 【典例4-1】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）函数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意利用配方法求二次函数最值即可. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数的最小值是2. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一上·四川德阳·期中）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合对勾函数的单调性即可求解. 【详解】设，所以在上单调递增，则, 所以函数的值域是, 故选：B 【变式4-2】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）函数在区间上的最大值与最小值的和为_____. 【答案】 【分析】由函数单调性确定最大值和最小值，即可求解. 【详解】由函数解析式可知在上单调递减， 所以最大值为，最小值为， 所以最大值与最小值的和为， 故答案为： 【变式4-3】已知函数. (1)若函数定义域为，求函数值域和最值 (2)若函数定义域为，求函数值域和最值. 【答案】(1)值域，最小值为，无最大值 (2)值域，最小值为，最大值为 【分析】分析函数的图象和性质，进而分析给定区间上函数的单调性，利用代入法，求出区间端点处的函数值，可得相应的函数值域和最值. 【详解】（1）函数的图象是开口朝上，且以直线为对称轴的抛物线， 若函数定义域为，则函数为减函数， 由，， 可得此时函数值域为，最小值为，无最大值； （2）若函数定义域为，则函数在上为减函数，在上为增函数， 由，，， 可得此时函数值域为，最小值为，最大值为； 【题型05】根据函数的最值求参数 【典例5-1】（2026高一·全国·专题练习）函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】显然， 若，则函数在区间上是减函数， 则，解得，不满足，舍去； 若，则函数在区间上是增函数，则，解得. 综上，. 【变式5-1】（25-26高一·全国·寒假作业）（多选）已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】AB 【分析】由一元二次函数的单调性和最值即可求解. 【详解】因为函数， 所以该函数在上单调递减，在上单调递增，最小值在处取得且为2. 令或， 所以若函数在区间上有最大值3、最小值2时，则. 故选：AB 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课前预习）函数在上的最大值为，则______. 【答案】 【分析】按照和分类判断出函数在上的单调性，即可得出函数的最值，利用最值列式求解即可. 【详解】易知，是由向左平移1个单位得到， 当时，即在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，解得，与矛盾； 当时，即在上单调递增， 所以在上单调递增，所以，解得. 故答案为：. 【变式5-3】已知函数. (1)当时，用定义法证明是上的增函数； (2)若的最小值为2，求的值. 【答案】(1) 设，则 ， 因为，所以，所以，， 则，所以， 故是上的增函数. (2)或 【分析】（1）利用单调性的定义证明即可； （2）先利用单调性的定义判断单调性，然后利用单调性求解最值，利用最值建立方程求解即可. 【详解】（1）略 （2）当时，由得的定义域为， 设，则 ， 因为，所以，所以，， 则，所以，故是上的增函数. 所以，即，满足条件； 当时，由得的定义域为， 设，则 ， 因为，所以，所以，， 则，所以，故是上的增函数. 所以，即，满足条件；综上，或. 【题型06】根据解析式直接判断函数的单调性 【典例6-1】（25-26高一上·重庆·期末）函数 的单调递增区间是__________. 【答案】 【分析】根据对勾函数的单调性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以对勾函数的单调递增区间是. 故答案为： 【变式6-1】下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，在R上单调递减，故A错误； 对于B，易知开口向上，对称轴为， 所以在区间上单调递增，故B正确； 对于C，开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D，开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，故D错误． 【变式6-2】（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）下列四个函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数、二次函数、绝对值函数、分式型函数的单调性逐一判断即可. 【详解】A：因为中的系数为， 所以该函数是实数集的减函数，不符合题意； B：，该函数的对称轴为， 因此当时该函数是增函数，显然不成立，不符合题意； C：当时，，此时该函数单调递减，不符合题意； D：当时，单调递增，符合题意， 故选：D 【变式6-3】（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】D 【分析】根据对勾函数单调性判断AB；根据函数单调性性质判断CD. 【详解】对于选项AB：在内单调递减，在内单调递增，故AB错误； 对于选项CD：因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增，故D正确； 故选：D. 【题型07】比较函数值的大小 【典例7-1】（2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递减，且， 所以. 【变式7-1】若函数在上是减函数，则的大小关系为______. 【答案】 【分析】结合单调性比较大小. 【详解】因为函数在上是减函数，且，所以有. 故答案为： 【变式7-2】（多选）（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由条件，可推得且，再结合单调性逐一分析选项. 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. 【变式7-3】已知二次函数，其中.比较和的大小. 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性判断即可. 【详解】因为的对称轴为， 所以， 因为，所以的图象开口向上，所以在上单调递减， 所以，则 【题型08】函数不等式恒成立问题 【典例8-1】（25-26高一上·新疆·阶段检测）若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】恒成立问题转化为最值问题求解即可. 【详解】，，即在上恒成立， 因为在上的最小值为1，所以. 故选：C. 【变式8-1】（25-26高一上·安徽六安·期中）若不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式恒成立问题，转化为小于在处的最小值即可. 【详解】由题意得，对恒成立， 且在的最小值为， 则. 故选：D. 【变式8-2】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）若任意实数使不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】确定最大值4，得到，求解即可. 【详解】，可得函数的对称轴为：， 因为，所以当时，得到最大值为4， 所以不等式恒成立，即恒成立， 可得，解得 故答案为： 【变式8-3】（25-26高一上·广西钦州·期末）已知函数． (1)证明在上单调递增； (2)设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据增减性定义，设出，求证即可证明在上单调递增； （2）由题意得，结合二次函数的图象与性质即可求得，进而得到实数k的取值范围. 【详解】（1），设， 则， 易得，故， 即当时，， ， 所以在上单调递增. （2）由在恒成立，则有当时，， ，易得是开口向上的二次函数，对称轴为， 故在上单调递增，所以，即， 故实数k的取值范围是 【题型09】分段函数的值域或最值 【典例9-1】（25-26高一上·湖北·阶段检测），用表示中的最小者，记为；若，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】画出函数图象，即可求解. 【详解】由，可得：，画出函数的图象，如下图， 由图象可知当时，取得最大值2， 故选：C 【变式9-1】（24-25高一上·福建龙岩·阶段检测）若定义运算，，则函数的值域为（   ） A． B．R C． D． 【答案】A 【分析】根据定义表示出，然后求取分段函数的值域； 【详解】，即， 当， 当或时，， 所以函数的值域为. 故选：A. 【变式9-2】（2025高一上·全国·专题练习）已知函数则的值域为______． 【答案】 【分析】根据分段函数的解析式，先求每一段函数的值域，再取并集，求整体函数的值域. 【详解】当时，，所以； 当时，，所以； 综上，的值域为． 故答案为：． 【变式9-3】当x取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 【答案】当，时，函数取得最小值为3. 【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此求得函数的最小值以及此时对应的的值. 【详解】当时，，此时. 当时，，此时. 当时，，此时. 综上，当时，函数值最小，最小值为3. 【题型10】根据分段函数的单调性求参数 【典例10-1】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数单调递减，需要满足在每一段上单调递减，且分段处，左端函数值大于等于右端函数值． 【详解】在上是减函数， ，解得． 故选：D． 【变式10-1】（多选）（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数在R上单调递减，则t可以为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】BC 【分析】设，由题可得在上单调递减，，据此可得答案. 【详解】设， 因在R上单调递减， 则在上单调递减，，从而. 则t可以为. 故选：BC 【变式10-2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数是增函数，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据分段函数单调性的求法，结合一次函数的性质，分析求解，即可得答案. 【详解】因为为增函数，所以，解得， 则实数的取值范围是. 【变式10-3】（25-26高一上·新疆和田·期末）已知函数为增函数，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设集合，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分段函数单调性列出不等式组求解即可； （2）根据题意得出，即可求解． 【详解】（1）由题可知，，解得， 所以． （2）若是的充分条件，则， ， 由题可知， 所以或（不合题意舍去） 所以，即，解得． 【题型11】根据分段函数的值域(最值)求参数 【典例11-1】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可得出时，，然后根据的值域为可得出，从而得出时，，从而可得出，从而解出的范围即可． 【详解】当时，， ∵的值域为，∴，即， ∴时，， ∴，解得，又因为，所以， ∴实数的取值范围是． 故选：B． 【变式11-1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数的最小值为0，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，计算可得，再结合图象即可求出答案. 【详解】设，则， 则， 在同一坐标系内作出函数的大致图象，得的图象， 函数的最小值为0，结合图象，或，解得， 所以. 故选：C 【变式11-2】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知，若的值域是，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据给定的分段函数值域，结合反比例函数及二次函数值域分段求出值域，进而求出c的范围. 【详解】函数的值域是，由当时，，得， 则，于是， 当时，，而，且， 因此，解得，则， 所以实数c的取值范围是. 故答案为： 【变式11-3】（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）函数，若函数的最小值是4．则______． 【答案】5或 【分析】分类讨论a的取值范围，去掉绝对值符号，确定函数的最小值，解方程求得a的值. 【详解】当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为，解得； 当时， ， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最小值为，解得； 综上，5或. 故答案为：5或. 知识点01 函数的单调性 核心梳理 1. 直观几何意义 在函数定义域的某一个区间内，通过图象升降判断单调性： 单调递增：图象从左至右上升； 单调递减：图象从左至右下降。 2. 严格代数定义（必背） 设函数 的定义域为 ，区间 ： 单调递增：任意 ，若 ，则 单调递减：任意 ，若 ，则 3. 核心关键注意点 （1）单调性是区间性质，只能说“函数在某区间递增/递减”，不能脱离区间笼统描述； （2）必须是区间内任意两个自变量，不能用特殊值判断单调性； （3）一个函数可以有多个单调区间，区间之间不能随意合并，需分开书写。 知识点02 函数的最大值与最小值 核心梳理 1. 直观几何意义 函数在定义域或指定区间内： 最大值：图象最高点的纵坐标； 最小值：图象最低点的纵坐标。 2. 严格代数定义 设函数 定义域为 ： 最大值定义：若 ，使得 ，有 ，则 为函数最大值。 最小值定义：若 ，使得 ，有 ，则 为函数最小值。 3. 最值存在条件 （1）最值必须在定义域/指定区间内取得； （2）开区间内的单调函数无最值；闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值； （3）函数不一定同时具备最大值和最小值，可只存在其一，或均不存在。 知识点03本节核心公式与必背结论汇总 核心考点 标准公式/结论 单调递增定义 单调递减定义 函数最大值 函数最小值 知识点04本节高频易错点总结 易错点1：忽略单调性的区间属性，直接说函数单调递增或递减，缺少区间描述。 易错点2：用个别点的函数值大小判断整体单调性，违背“任意自变量”的定义要求。 易错点3：多个单调区间错误用“”连接，多个区间需用“逗号”分隔。 易错点4：混淆最值的取值范围，将区间外的极值当作函数最值。 易错点5：误认为所有函数都有最值，无限区间上的单调函数无最值。 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出函数的分段函数性质，结合二次函数性质判断单调减区间. 【详解】由， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数单调减区间为. 故选：D 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出定义域，利用换元法，原函数转化为，分析可得的单调性，代入数据，即可得答案. 【详解】由题意得，解得，即的定义域为， 令，则，所以，且， 则原函数转化为， 因为与在上均为单调递减函数， 所以在上单调递减， 所以的最大值为，的最小值为， 所以的值域为，即原函数的值域为. 3．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得在上单调递增，故 4．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性比较即可. 【详解】函数是定义在R上的单调递增函数，且， 所以. 故选：A. 5．（25-26高一上·福建宁德·期末）已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】先确定函数的解析式，再分段求函数的最小值即可. 【详解】由 或. 所以. 当时，； 当时，； 当时，. 综上可得，. 故选：B 6．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）设，若的值域是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断的单调性，进而得，解出即可求解. 【详解】由题意得：当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，即， 所以， 故选：B. 7．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【答案】C 【分析】求得二次函数的对称轴，分和两种情况讨论，求解即可. 【详解】由，可得， 所以函数的对称轴为， 当时，， 又函数在上的最大值为， 所以，解得（舍去）， 当时，，所以， 所以，所以，解得或（舍去）. 故选：C. 8．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 二、多选题 9．（25-26高一上·吉林辽源·期中）下列函数中，满足在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的图像与性质分析即可得出答案. 【详解】对于A：为开口向上的二次函数，对称轴为y轴，所以满足上单调递增； 对于B：为反比例函数，在上单调递减； 对于C：当时，，显然单调递增； 对于D：为一次函数，且斜率大于0，所以满足上单调递增， 故选：ACD. 10．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数，则（   ） A． B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为1 【答案】ABD 【分析】利用代入法，结合函数单调性的性质、偶函数的定义和性质、最值的定义逐一判断即可. 【详解】，定义域为， 选项A：因为，所以A正确。 选项B：因为，所以B正确。 选项C：， 因为函数在上单调递减，且此时， 所以函数在上单调递增，所以C错误。 选项D：由A知是偶函数，的图象关于纵轴对称， 由上可知：在上单调递增， 所以当时，， 又因为，的图象关于纵轴对称， 所以在区间上的最小值为1，所以D正确. 11．（25-26高一上·广东深圳·期中）设函数，则（   ） A．直线是函数的对称轴 B．若函数在上单调递减，则 C．对，不等式总成立 D．当时， 【答案】BCD 【分析】根据解析式作出的图象可判断AB；通过作差法判断C；结合图象求出范围即可判断D. 【详解】， 如图，作出的图象， 对于A，由图可知，不是的对称轴，故A错误； 对于B，若函数在上单调递减，由图可知，，故B正确； 对于C，， 则 ， 所以，故C正确； 对于D，当时，，， 当时，，则，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 12．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数 的最大值为_____________． 【答案】2 【分析】求出函数在每一段的最大值，再进行比较，即可得答案. 【详解】当时，函数为减函数，所以在处取得最大值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得最大值. 故函数的最大值为2. 13．（25-26高一上·江苏苏州·期中）函数在区间上不是单调减函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分离常数得出，根据在区间上不是单调减函数便可得出，从而得出实数的取值范围． 【详解】在上不是单调减函数， ，解得 故答案为： 14．（25-26高一上·广西·期中）已知函数，若存在，使得成立，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据条件将问题转化为“在上有解”，然后构造函数，采用分类讨论法分析出的最大值，则的范围可求. 【详解】当时，的取值范围是，则即在上有解， 设， 令，且的对称轴， 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，即； 当时，，在上单调递增， 所以，即，即， 所以的值域为，所以1， 所以，即， 故答案为：. 四、解答题 15．已知函数在R上是减函数，，且．请确定与的大小关系，并给出证明． 【答案】，证明过程见解析 【分析】根据函数单调性得到和，相加后得到答案. 【详解】，证明如下： 因为，所以， 因为在R上是减函数，所以， 同理可得，故， 两式相加得 16．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据单调性的定义，按照取值、作差、整理、定号，得结论的步骤，证明即可. （2）根据的单调性，结合条件，代入数据，即可得答案. 【详解】（1）在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 17．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为． (1)请用单调性定义证明：为单调递减函数； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性定义证明函数在单调递减即可； （2）将不等式恒成立进行转化，然后构造新函数利用函数单调性得出相应的不等式恒成立，再利用基本不等式求最值即可得出结论. 【详解】（1）任取，规定， 则 ， 因为，所以， 且， 所以，即， 即，所以函数为上的单调递减函数． （2）当时，恒成立， 即恒成立， 令函数，， 因为函数为上的单调递减函数， 且也为上的单调递减函数， 所以为上的单调递减函数， 由恒成立， 等价于不等式恒成立， 因为为上的单调递减函数， 所以对任意恒成立， 且， 令，所以问题转化为， 由，当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为． 18．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数 (1)若，求； (2)若对任意的，当时，总有，求的取值范围； (3)若在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由解方程即可； （2）根据一次函数与二次函数的单调性及分段处的函数值，列不等式求解； （3）根据一次函数与二次函数的最值与值域及分段处的函数值，列不等式求解． 【详解】（1）由题意得，， 由得，解得． （2）由题意得在上单调递增， 可知当时，单调递增，得． 的图象开口向下，对称轴为直线， 当时，单调递增，则． 因为在上单调递增，所以，得． 综上，的取值范围为． （3）因为图象开口向下，则函数在有最大值； 要使在上的值域为， 则需：单调递增，值域为，所以． 当时，在上的最大值为， 则，得或，不符合题意． 当时，在上的最大值为， 则，得． 综上，的取值范围为． 19．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；对于，为正；证明见解析 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，求出，再令，结合时的正负性判断； （2）利用定义判断单调性； （3）利用单调性结合一元二次函数的性质判断. 【详解】（1）令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； （3）因为关于x的不等式有解，且在上单调递增， 所以有解，即在上有解， 故，得或， 故实数a的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 函数的单调性和最值（知识详解+11典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：直观感知函数的单调性 知识点02：直观感知函数的最大值和最小值 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：定义法判断或证明函数的单调性 题型02：求函数的单调区间 题型03：根据函数的单调性求参数值 题型04：利用函数单调性求最值或值域 题型05：根据函数的最值求参数 题型06：根据解析式直接判断函数的单调性 题型07：比较函数值的大小 题型08：函数不等式恒成立问题 题型09：分段函数的值域或最值 题型10：根据分段函数的单调性求参数 题型11：根据分段函数的值域(最值)求参数 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】直观感知函数的单调性 函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减． 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． 注意点： (1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集． (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替． (4)有序性，即要规定x1，x2的大小． (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一． (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质． 【例1】根据图象直观判断一次函数 的单调性，并写出单调区间。 【知识点02】直观感知函数的最大值和最小值 函数的最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足： (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)＝M. 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值． 注意点： (1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标． (2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值． (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性． (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是．比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值． 【例2】结合图象直观求二次函数 的最大值与最小值。 【题型01】定义法判断或证明函数的单调性 【典例1-1】函数在区间上为______（填“严格增函数”或“严格减函数”） 【变式1-1】（多选）（24-25高一上·辽宁·期末）已知函数的定义域为，，且当时，，则（   ） A． B． C． D．是增函数 【变式1-2】（2026高一·全国·专题练习）已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 【变式1-3】（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 【题型02】求函数的单调区间 【典例2-1】（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间是______. 【变式2-2】（25-26高一上·安徽芜湖·期中）函数的单调递减区间是______ 【变式2-3】判断函数的单调递减区间并加以证明. 【题型03】根据函数的单调性求参数值 【典例3-1】（25-26高一上·河南南阳·期中）已知函数 在上单调递增，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）（24-25高一下·云南昭通·阶段检测）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【变式3-3】（24-25高一上·河北保定·期中）设函数，. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集. 【题型04】利用函数单调性求最值或值域 【典例4-1】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）函数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（25-26高一上·四川德阳·期中）若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）函数在区间上的最大值与最小值的和为_____. 【变式4-3】已知函数. (1)若函数定义域为，求函数值域和最值 (2)若函数定义域为，求函数值域和最值. 【题型05】根据函数的最值求参数 【典例5-1】（2026高一·全国·专题练习）函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】（25-26高一·全国·寒假作业）（多选）已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课前预习）函数在上的最大值为，则______. 【变式5-3】已知函数. (1)当时，用定义法证明是上的增函数； (2)若的最小值为2，求的值. 【题型06】根据解析式直接判断函数的单调性 【典例6-1】（25-26高一上·重庆·期末）函数 的单调递增区间是__________. 【变式6-1】下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）下列四个函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·山东潍坊·期中）已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【题型07】比较函数值的大小 【典例7-1】（2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】若函数在上是减函数，则的大小关系为______. 【变式7-2】（多选）（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知二次函数，其中.比较和的大小. 【题型08】函数不等式恒成立问题 【典例8-1】（25-26高一上·新疆·阶段检测）若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·安徽六安·期中）若不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）若任意实数使不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【变式8-3】（25-26高一上·广西钦州·期末）已知函数． (1)证明在上单调递增； (2)设，若在上满足恒成立，求实数k的取值范围． 【题型09】分段函数的值域或最值 【典例9-1】（25-26高一上·湖北·阶段检测），用表示中的最小者，记为；若，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式9-1】（24-25高一上·福建龙岩·阶段检测）若定义运算，，则函数的值域为（   ） A． B．R C． D． 【变式9-2】（2025高一上·全国·专题练习）已知函数则的值域为______． 【变式9-3】当x取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 【题型10】根据分段函数的单调性求参数 【典例10-1】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数在定义域上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（多选）（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）已知函数在R上单调递减，则t可以为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式10-2】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数是增函数，则实数的取值范围是__________． 【变式10-3】（25-26高一上·新疆和田·期末）已知函数为增函数，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设集合，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【题型11】根据分段函数的值域(最值)求参数 【典例11-1】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高一上·浙江宁波·期中）已知函数的最小值为0，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知，若的值域是，则实数的取值范围是________. 【变式11-3】（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）函数，若函数的最小值是4．则______． 知识点01 函数的单调性 核心梳理 1. 直观几何意义 在函数定义域的某一个区间内，通过图象升降判断单调性： 单调递增：图象从左至右上升； 单调递减：图象从左至右下降。 2. 严格代数定义（必背） 设函数 的定义域为 ，区间 ： 单调递增：任意 ，若 ，则 单调递减：任意 ，若 ，则 3. 核心关键注意点 （1）单调性是区间性质，只能说“函数在某区间递增/递减”，不能脱离区间笼统描述； （2）必须是区间内任意两个自变量，不能用特殊值判断单调性； （3）一个函数可以有多个单调区间，区间之间不能随意合并，需分开书写。 知识点02 函数的最大值与最小值 核心梳理 1. 直观几何意义 函数在定义域或指定区间内： 最大值：图象最高点的纵坐标； 最小值：图象最低点的纵坐标。 2. 严格代数定义 设函数 定义域为 ： 最大值定义：若 ，使得 ，有 ，则 为函数最大值。 最小值定义：若 ，使得 ，有 ，则 为函数最小值。 3. 最值存在条件 （1）最值必须在定义域/指定区间内取得； （2）开区间内的单调函数无最值；闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值； （3）函数不一定同时具备最大值和最小值，可只存在其一，或均不存在。 知识点03本节核心公式与必背结论汇总 核心考点 标准公式/结论 单调递增定义 单调递减定义 函数最大值 函数最小值 知识点04本节高频易错点总结 易错点1：忽略单调性的区间属性，直接说函数单调递增或递减，缺少区间描述。 易错点2：用个别点的函数值大小判断整体单调性，违背“任意自变量”的定义要求。 易错点3：多个单调区间错误用“”连接，多个区间需用“逗号”分隔。 易错点4：混淆最值的取值范围，将区间外的极值当作函数最值。 易错点5：误认为所有函数都有最值，无限区间上的单调函数无最值。 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期中）设函数是定义在R上的单调递增函数，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建宁德·期末）已知函数，，用表示，中的最大者，记为，则的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）设，若的值域是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知函数在上的最大值为，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 8．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·吉林辽源·期中）下列函数中，满足在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·河北唐山·期中）已知函数，则（   ） A． B． C．在区间上单调递减 D．在区间上的最小值为1 11．（25-26高一上·广东深圳·期中）设函数，则（   ） A．直线是函数的对称轴 B．若函数在上单调递减，则 C．对，不等式总成立 D．当时， 三、填空题 12．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数 的最大值为_____________． 13．（25-26高一上·江苏苏州·期中）函数在区间上不是单调减函数，则实数a的取值范围是______． 14．（25-26高一上·广西·期中）已知函数，若存在，使得成立，则的取值范围是_________. 四、解答题 15．已知函数在R上是减函数，，且．请确定与的大小关系，并给出证明． 16．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 17．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数的定义域为． (1)请用单调性定义证明：为单调递减函数； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）已知函数 (1)若，求； (2)若对任意的，当时，总有，求的取值范围； (3)若在上的值域为，求的取值范围． 19．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $