第2章 分式（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材湘教版八年级上册

**基本信息** 新教材湘教版八年级下册分式单元培优卷，120分钟120分，25题覆盖选择（10题）、填空（6题）、解答（9题），选题深度与覆盖面兼具，适配单元复习量化掌握程度。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题30分|分式概念、方程解及取值范围等|结合中考真题，考查数学抽象能力| |填空题|6题18分|分式值变化、规律猜想、行程问题等|设置纠错情境，培养推理意识| |解答题|9题72分|化简求值、应用建模（如机器人采摘）、新定义（关联数对）等|融合科技情境与跨学科应用，发展模型观念与创新意识|

第2章 分式·培优卷 【新教材湘教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·湖南·中考真题）若是分式方程的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程的解代入原分式方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】是分式方程的解， 将代入原方程，可得， 整理得， 解得． 2．（25-26八年级下·河南周口·期末）下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题关键是掌握分式的判定规则，即分母中含有字母的代数式是分式，且是常数不是字母. 【详解】解：根据分式定义：若表示两个整式（），且中含有字母，则式子是分式. ∵选项A分母是，为常数，不含字母，属于整式，不符合要求； 选项B分母是，为字母，满足分式定义，符合要求； 选项C分母是，为常数，不含字母，属于整式，不符合要求； 选项D中是常数，因此分母不含字母，属于整式，不符合要求. 3．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）若分式有意义，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式有意义时分母不为，列出不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为， ∴， 解得． 4．（25-26八年级下·山西太原·期末）将分式化成最简分式的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ∴将分式化成最简分式的结果是． 5．（25-26七年级下·山东济南·期末）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于a的表达式，再根据解为正数且分式分母不为0，列出不等式求解得到a的取值范围． 【详解】解： 去分母得：， 解得， 方程的解为正数， ，即， 解得， 又 ， ，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 6．（25-26八年级下·河南周口·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B．或0 C．或0 D． 【答案】B 【分析】分式方程无解分两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解使原分式方程分母为0（即产生增根），分两种情况计算即可得到的值． 【详解】解：， 原方程两边同乘，去分母得， 整理得：， ①当整式方程无解时，此时，方程变为，不成立，原方程无解； ②当整式方程有解，但解为原方程的增根时，原方程分母，得增根， 把代入，得，即； 综上，的值为或． 7．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．先根据除法与减法的意义列式表示“”为，再计算即可． 【详解】解：撕坏的一角中“”为． ． 故选：C． 8．（25-26八年级下·福建泉州·期末）在物理学中，压强公式为（其中为压强，为压力，为受力面积）．两个均匀正方体物体甲、乙静置在水平桌面上，对桌面的压力分别为和．已知乙的底面积比甲大，且两者对桌面的压强相等．求两个物体的底面积分别是多少？设物体甲的底面积为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据所设甲的底面积表示出乙的底面积，再根据压强公式分别表示甲乙对桌面的压强，利用压强相等的条件列出方程即可. 【详解】解：∵设甲的底面积为，乙的底面积比甲大， ∴乙的底面积为， ∵压强公式为，且两者对桌面的压强相等，甲对桌面压力为，乙对桌面压力为， ∴甲的压强为，乙的压强为， 因此列方程得. 9．（25-26八年级上·山东淄博·期末）对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握分类讨论思想是解题的关键； 根据的符号分类讨论的值，列出方程，然后解方程即可，注意分母不为零的条件且． 【详解】解：∵且， 当时，， ∴ ， 两边乘以，得， 解得， 检验且，符合题意； 当时，， ∴， 两边乘以，得， 解得， 但与矛盾，故无解； 综上可知，方程的解为， 故选：A． 10．（25-26八年级下·重庆大渡口·期末）已知关于的整式，，其中为常数，则下列说法： ①若，则； ②若方程的解为，则； ③若对于任意的，的值均为整数，则所有符合要求的整数的值有8个． 其中正确的有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对三个说法逐一计算验证，结合整式乘法、分式方程性质、分式化简与因数概念判断正误，统计正确说法的个数即可． 【详解】解：①计算， ， ，， 解得，，故①正确． ②对分式方程， 两边同乘（）得： ， 整理得， ∴， 把代入，得 ， 解得， 检验：当，时，，分母为0，是增根，不是原方程的解，故②错误． ③∵，， ， 对任意，分式的值为整数，为整数， 是的整数因数，的因数为，共8个，对应8个符合要求的整数，故③正确． 综上，正确的说法共2个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）把分式 中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______． 【答案】缩小为原来的 【分析】直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：把分式中的m和n都扩大为原来的2倍， 则原式可变为：， 故分式的值缩小为原来的． 12．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）若分式与的值互为相反数，则的值为______． 【答案】0 【分析】根据题意得关于x的分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：∵分式与的值互为相反数， ∴， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解为， 即当x的值为0时，分式与的值互为相反数． 13．（2026·河北石家庄·模拟预测）嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 【答案】 【分析】根据错误计算列出关于的等式，求出的化简结果，再将代入正确的分式算式，通分化简即可得到正确结果． 【详解】解：由题意可知，错算的等式为 移项得 ， ∴ ； 14．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】先解分式方程得到用表示的代数式，再结合分式方程的解为非负数的条件，同时考虑分式分母不为零的限制，即可求出的取值范围． 【详解】解：给原分式方程两边同时乘以最简公分母，得 ， 解该整式方程得， 由分式方程的解为非负数，可得， 解得， 由分式方程分母不能为，得，即， 解得， 故的取值范围是且． 15．（25-26八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含x的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两名同学的家与某科技馆的距离均为．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先匀速步行，然后乘公交车（匀速），乙同学骑自行车（匀速）．已知乙同学骑自行车的速度是甲同学步行速度的4倍，公交车的速度是乙同学骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到．乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有_______m． 【答案】1600 【分析】本题考查分式方程解决实际问题．设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为，公交车的速度是．根据“结果甲同学比乙同学晚到”列出分式方程，求解并检验即可得到甲同学步行的速度，进而求出公交车所走的路程即可所求． 【详解】设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为，公交车的速度是．根据题意，得 ， 解得． 经检验，是所列分式方程的根，且符合题意． 所以． 故乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有． 故答案为：1600 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·河北保定·期末）已知 (1)化简； (2)从，，，中选一个合适的数作为的值，求的值． 【答案】(1) (2)当时， 【详解】（1）解： （2）解：∵分式有意义， ∴，， 即且 从，，，中只能取 将代入得 ∴当时，的值为． 18．（6分）（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式方程的解法，求解检验即可； （2）根据分式方程的解法，求解检验即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解； （2）解： 方程两边同乘，得， 整理，得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 19．（6分）（25-26八年级上·湖南张家界·期中）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）根据分式方程无解，得到整式方程无解或分式方程有增根，进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 去分母，得：， 解得； 检验，当时，， ∴方程的解为； （2）解：， 去分母，得：， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：； 故． 20．（8分）（25-26七年级下·浙江台州·期末）在电学中，两个定值电阻并联时，总电阻满足公式：． (1)①现有两个电阻，，将它们并联，求电路的总电阻； ②若两个电阻满足，求并联电路的总电阻． (2)设，试比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由如下： 由（1）可知，， ， ， ， ，， ，即， ． 【分析】（1）①根据总电阻满足的公式直接求解即可；②根据总电阻满足的公式得出，再将已知等式代入计算即可； （2）由（1）可得，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：①，， ， ； ②， ， ； （2）略 21．（8分）（2026·江苏南京·三模）小明、小亮沿同一路线长跑，小明前路程的平均速度是，后路程的平均速度是（），小亮的全程速度是．设该路线全长为． (1)分别求小明、小亮从起点跑到终点的时间（用含的式子表示）； (2)若小明、小亮同时出发，谁先到达终点？请说明理由． 【答案】(1)；． (2)小亮先到达终点，理由如下： ． ，， ， ，即， ， 小亮先到达终点． 【分析】（1）根据“时间路程速度”进行求解即可； （2）由（1）可进行作差，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：；． （2）略 22．（9分）（25-26八年级下·江苏扬州·期末）我们规定：如果两个实数，使得关于的分式方程的解为，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解为，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”： ①（ ）②（ ） (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)①√②× (2)4 【分析】（1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解，再根据“关联数对”的定义列等式，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①当，时，分式方程为， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴是“关联数对”； ②当，时，分式方程为， 解得， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴不是“关联数对”； （2）解：∵是关于的分式方程的“关联数对”， ∴， 解得， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解． 23．（9分）（25-26八年级上·河南许昌·期末）我国西北农林科技大学自主研发的苹果双臂采摘机器人（“双臂”指一个机器人安装两个机械手）在瞬间识别、单果速摘、无损采摘中，诠释着科技赋能的力量．经观察和测试，该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间比采摘工人采摘一个苹果平均所用的时间多秒．已知一个工人用秒采摘苹果的个数是该机器人的一个机械手用秒采摘苹果个数的倍． (1)求“双臂采摘机器人”的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间； (2)经科研人员研发改进，“双臂采摘机器人”的一个机械手采摘一个苹果所用的时间比原来减少了秒（）．若该机器人双臂（两个机械手）同时工作，它与一个采摘工人同时工作秒，则该机器人比工人多采摘多少个苹果？（列式并计算，结果用含，的式子表示） 【答案】(1)机器人的一个机械手采摘一个苹果需8秒． (2)该机器人比工人多采摘个苹果． 【分析】本题主要考查分式方程和分式的运算： （1）题目中存在的等量关系为：一个工人用秒采摘苹果的个数该机器人的一个机械手用秒采摘苹果个数； （2）将进行运算即可求得答案． 【详解】（1）设机器人的一个机械手采摘一个苹果需秒，则工人采摘一个苹果需秒. 根据题意，可列方程 解得 经检验：是原分式方程的解. 答：机器人的一个机械手采摘一个苹果需8秒. （2）（个） 答：该机器人比工人多采摘个苹果. 24．（10分）（25-26八年级下·江苏扬州·期末）数学探究是数学学习的重要方法之一，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：为整数且．则：， 照此规律，解答下列问题： (1)_________； (2)_________； (3)若，求的值； (4)当的值为整数时，满足条件的整数的和为_________． 【答案】(1) (2)1 (3) (4)7 【分析】（1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据前面的几个等式，推出规律，进行求解即可； （3）根据规律，列出方程进行求解即可； （4）根据规律求出，再根据的值为整数，求出满足条件的所有整数x的值，最后求和即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）解：∵， ，， ∴， ∴ ， ∴的结果以，5个为一组进行循环， ∵， ∴； （3）解：由（2）可知： ∴， 解得：； ∴； （4）解：∵， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴为整数， ∴为整数， ∴，，， ∴，，3，，，0， ∵要使所有有意义，则，，， ∴，， ∴，，，， ∴满足条件的整数的和为： ． 25．（10分）（25-26八年级下·江西鹰潭·期末）【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．例如：． ． 解决下列问题： 【理解知识】 (1)分式是______分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】 (2)将假分式化为带分式； 【运用知识】 (3)若是整数，且的值也为整数，求的值． 【答案】(1)真 (2) (3) 【分析】（1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可； （2）将分子写成，再化为，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】（1）解：∵的次数为0，的次数为1， ∴是真分式． （2）解： . （3）解： ， ∵与x均为整数， ∴或或1或， ∴或或0或， ∵ ，，，， ∴，0，，1． ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 分式·培优卷 【新教材湘教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·湖南·中考真题）若是分式方程的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河南周口·期末）下列代数式中，属于分式的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）若分式有意义，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山西太原·期末）将分式化成最简分式的结果是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山东济南·期末）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 6．（25-26八年级下·河南周口·期末）若关于的分式方程无解，则的值为（     ） A． B．或0 C．或0 D． 7．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·福建泉州·期末）在物理学中，压强公式为（其中为压强，为压力，为受力面积）．两个均匀正方体物体甲、乙静置在水平桌面上，对桌面的压力分别为和．已知乙的底面积比甲大，且两者对桌面的压强相等．求两个物体的底面积分别是多少？设物体甲的底面积为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·山东淄博·期末）对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（    ） A． B． C．或 D．或 10．（25-26八年级下·重庆大渡口·期末）已知关于的整式，，其中为常数，则下列说法： ①若，则； ②若方程的解为，则； ③若对于任意的，的值均为整数，则所有符合要求的整数的值有8个． 其中正确的有（     ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）把分式 中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______． 12．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）若分式与的值互为相反数，则的值为______． 13．（2026·河北石家庄·模拟预测）嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 14．（25-26八年级下·四川成都·期末）已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_____． 15．（25-26八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两名同学的家与某科技馆的距离均为．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先匀速步行，然后乘公交车（匀速），乙同学骑自行车（匀速）．已知乙同学骑自行车的速度是甲同学步行速度的4倍，公交车的速度是乙同学骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到．乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有_______m． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·河北保定·期末）已知 (1)化简； (2)从，，，中选一个合适的数作为的值，求的值． 18．（6分）（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列方程： (1)； (2)． 19．（6分）（25-26八年级上·湖南张家界·期中）已知关于x的分式方程：． (1)当时，解该分式方程； (2)若该分式方程无解，求m的值． 20．（8分）（25-26七年级下·浙江台州·期末）在电学中，两个定值电阻并联时，总电阻满足公式：． (1)①现有两个电阻，，将它们并联，求电路的总电阻； ②若两个电阻满足，求并联电路的总电阻． (2)设，试比较和的大小关系，并说明理由． 21．（8分）（2026·江苏南京·三模）小明、小亮沿同一路线长跑，小明前路程的平均速度是，后路程的平均速度是（），小亮的全程速度是．设该路线全长为． (1)分别求小明、小亮从起点跑到终点的时间（用含的式子表示）； (2)若小明、小亮同时出发，谁先到达终点？请说明理由． 22．（9分）（25-26八年级下·江苏扬州·期末）我们规定：如果两个实数，使得关于的分式方程的解为，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解为，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”若不是，打“×”： ①（ ）②（ ） (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 23．（9分）（25-26八年级上·河南许昌·期末）我国西北农林科技大学自主研发的苹果双臂采摘机器人（“双臂”指一个机器人安装两个机械手）在瞬间识别、单果速摘、无损采摘中，诠释着科技赋能的力量．经观察和测试，该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间比采摘工人采摘一个苹果平均所用的时间多秒．已知一个工人用秒采摘苹果的个数是该机器人的一个机械手用秒采摘苹果个数的倍． (1)求“双臂采摘机器人”的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间； (2)经科研人员研发改进，“双臂采摘机器人”的一个机械手采摘一个苹果所用的时间比原来减少了秒（）．若该机器人双臂（两个机械手）同时工作，它与一个采摘工人同时工作秒，则该机器人比工人多采摘多少个苹果？（列式并计算，结果用含，的式子表示） 24．（10分）（25-26八年级下·江苏扬州·期末）数学探究是数学学习的重要方法之一，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：为整数且．则：， 照此规律，解答下列问题： (1)_________； (2)_________； (3)若，求的值； (4)当的值为整数时，满足条件的整数的和为_________． 25．（10分）（25-26八年级下·江西鹰潭·期末）【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．例如：． ． 解决下列问题： 【理解知识】 (1)分式是______分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】 (2)将假分式化为带分式； 【运用知识】 (3)若是整数，且的值也为整数，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $