第十二章 分式和分式方程（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材冀教版八年级上册

**基本信息** 八年级上册分式与分式方程单元复习卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合古代漏壶计时等文化情境与实际问题，适配单元知识综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|最简分式、分式值为0、分式方程增根|结合浙江湖州模拟题的漏壶计时情境，考查数学建模能力| |填空题|4/12|分式化简、面积计算、规律探究|融入图形面积比较，培养几何直观与抽象能力| |解答题|8/72|分式化简求值、工程问题、新定义问题|设计“n阶分式”新定义题，通过阅读理解发展推理意识与创新思维|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十二章 分式和分式方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26七年级下·河北衡水·期末）下列各式中，最简分式是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北保定·期末）分式的值为0，则x的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2026·浙江湖州·模拟预测）古代用漏壶计时，水匀速滴出，水位均匀下降；某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米．设从开始到水深变为20厘米共经过小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 5．（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值是（   ）． A． B． C． D． 6．（2026·河北承德·二模）关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）已知分式（，均为常数）满足下列表格中信息，则下列结论中错误的是（   ） x的取值 1 m n 分式的值 无意义 1 0 A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·河北沧州·期末）若，在如图所示的数轴上标注了四段，则表示的点落在（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 9．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，设（），则有（两图中，分别相同）（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）已知为整数，且计算的结果为整数，则所有符合条件的的值的和为（   ） A．0 B．12 C．10 D．8 12．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）已知（且）且，，…，，则等于（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·河北邯郸·三模）化简：________． 14．（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形后的图形，图2是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为，，已知a为大于1的整数，则的最小值为______． 15．（24-25八年级下·河南新乡·阶段检测）解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，，设． （1）当时，的值为_______； （2）若均为非零整数，则的值为_______． 16．（25-26八年级上·山东淄博·期中）下列一组方程：，小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为．若为正整数，且关于的方程的一个解是，则的值等于________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（2026·河北邯郸·二模）对于分式，小李和小王分别使用如下方法化简： 小李： 小王： (1)请你选择其中一种方法，补全化简过程； (2)从中选一个整数，求出分式的值． 18．（8分）（2026·河北保定·二模）如图，老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分： (1)求被污染的部分； (2)若被污染的部分是常数，求的值． 19．（8分）（25-26九年级下·河北邯郸·期中）某城市为优化城市宜居环境，进行市政设施升级改造工程，现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．工程领导小组根据投标书的有关信息进行测算，设计出了以下三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 设完成这项工程的规定日期是x天，完成下列问题： (1)用含x的代数式表示甲、乙两队合作1天完成的工作量（不必化简）； (2)求x； (3)根据标书中的信息可知，每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，通过计算比较方案①和方案③中最节省费用的是哪一个？ 20．（8分）（25-26八年级下·河北保定·期中）在八年级下册第二章中我们学习了求解一元一次不等式组，其实一些非一次不等式都可以通过代数等价变形转化为一元一次不等式组来进行解决．例如：可以通过因式分解转化为，因为乘积为正，所以两个因式需同号，再通过分类讨论： ①解得；②解得． 综上所述，不等式的解集为或． 根据上述材料解决下列问题： (1)解不等式：； (2)解不等式：． 21．（9分）（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【问题情境】年某城市文创市集推出了书包和笔记本两款文创产品，某摊主购进这两种产品开展销售．已知用元购进书包的数量比用元购进笔记本的数量少个，且书包的进价是笔记本进价的倍． (1)若小宇同学列出方程：，解得，经检验是原方程的解且符合题意，则此方程中的x表示________． (2)小轩同学有不同的解法；设笔记本的数量为y个，请你帮他求笔记本和书包的进价． (3)该摊主再次以相同进价购进这两种产品，若购进笔记本的数量比书包数量的倍多个，且购进两种产品的总资金不超过元，则最多可以购进书包多少个？ 22．（9分）（25-26七年级上·上海·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)填空：分式与互为“______阶分式”； (2)已知分式与A互为“4阶分式”，求分式A； (3)已知分式、，且B与互为“2阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 23．（11分）（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段检测）阅读材料：对于非零实数，若关于的分式的值为零，则解得又因为所以关于的方程的解为 (1)方程的解为： (2)若关于的方程的解为求的值； (3)若关于的方程的解为，求的值． 24．（12分）（25-26八年级上·山东聊城·期中）阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十二章 分式和分式方程·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B D A C B C D B D C C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13． 14． 15． 或 16．11或12 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1) 见解析 (2) 当时，分式的值为 【详解】（1）解：小李的方法： ； 小王的方法： ；·····························3分 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴原式.····························7分 18．（8分） 【答案】(1)被污染部分为 (2)的值为 【分析】（1）根据分式的加减法运算法则进行计算； （2）根据题意列分式方程求解即可. 【详解】（1）解：由题意可知，被污染部分为： ；····························4分 （2）解：∵被污染的部分是常数， ， 解得， 经检验，是原分式方程的根， 的值为．····························8分 19．（8分） 【答案】(1) (2) (3)方案③最节省费用 【分析】（1）先分别求得甲、乙两个工程队的工作效率，进而可求解； （2）根据题意列分式方程求解即可； （3）分别求得方案①和方案③的所付的工程款项，然后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设完成这项工程的规定日期是x天， 根据题意，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， ∴甲、乙两队合作1天完成的工作量为；····························2分 （2）解：由题意，列方程得，，           化简得，， 解得，． 经检验：是原分式方程的解， ∴．····························5分 （3）解：∵， ∴方案①的费用为（万元）， 方案③的费用为：（万元）， ∵， ∴方案③最节省费用．····························8分 20．（8分） 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将原不等式因式分解为，结果为正，则两个因式同号，分为和两类讨论，分别求出结果即可； （2）不等式两边同乘以，得，且，结果为非正，则两个因式异号或，分为和两类讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， ①当时，解得； ②当时，解得； 综上所述，不等式的解集为或；····························3分 （2）解：， 两边同乘以，得，且， ①当时，解得； ②当时，该不等式组无解； 综上所述，不等式的解集为．····························8分 21．（9分） 【答案】(1)笔记本的进价； (2)笔记本的进价是元/个，书包的进价是元/个； (3)个． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）根据列出的方程，确定表示的意义即可； （2）设笔记本的数量为y个，则书包的数量为个，列出方程，解方程即可求解； （3）设购进书包m个，则购进笔记本个，根据购进两种产品的总资金不超过元，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：小宇同学列出方程：， 表示笔记本的进价， 故答案为：笔记本的进价；····························2分 （2）根据题意列方程，得， 解得， 经检验是原方程的解， 笔记本的进价是：元/个， 书包的进价是：元/个， 答：笔记本的进价是元/个，书包的进价是元/个；························4分 （3）设购进书包m个，则购进笔记本个， 由题意得， 解得：， 因为m为整数， 所以m的最大值为， 答：最多购进书包个．····························8分 22．（9分） 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，正确理解“n阶分式”的定义是解题的关键． （1）求出分式与的和，再根据定义可得答案； （2）根据定义可得，则，据此计算求解即可； （3）根据定义可得，即，据此去分母求出M即可． 【详解】（1）解：， ∴分式与互为“5阶分式”；····························3分 （2）解：∵分式与A互为“4阶分式”， ∴， ∴ ；····························6分 （3）解：∵、，且B与互为“2阶分式”， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．····························9分 23．（11分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程的解为，则原方程变形为，方程的解为或(看成整体)，则有，整理得，再代入将所求代数式即可． 【详解】（1）解：关于的方程的解为， 方程的解为， 故答案为：；····························2分 （2）解：关于的方程的解为 ， ， 故答案为：19；····························6分 （3）解：方程变形为， 方程的解为， 则或， ， 整理得， 故答案为3．····························11分 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握题干知识，求分式方程的解，完全平方公式变形求值，整体代入法求代数式求值，是解题的关键． 24．（12分） 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；····························3分 （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或；····························7分 （3）解：∵ ∴ ， ∴．····························12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十二章 分式和分式方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26七年级下·河北衡水·期末）下列各式中，最简分式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项，分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式； B选项，分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式； C选项，分子分母含有公因式，可约分为，不是最简分式； D选项的分子与分母没有公因式，不能约分，是最简分式. 2．（25-26八年级下·河北保定·期末）分式的值为0，则x的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】分式值为0需要满足分子为0，同时分母不为0，根据该条件求解即可． 【详解】解：∵分式的值为 ∴，且 解方程得， 当时，，符合分母不为0的要求 ∴的值为． 3．（2026·浙江湖州·模拟预测）古代用漏壶计时，水匀速滴出，水位均匀下降；某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米．设从开始到水深变为20厘米共经过小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】水匀速滴出，单位时间内下降的水位深度不变，利用下降速度相等列方程即可． 【详解】解：由题意得，． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 【答案】A 【分析】根据题意，将扩大后的x、y代入原分式，化简后和原分式比较，即可判断分式值的变化． 【详解】解：由题意，将原分式中x换为，y换为，===， ∴ 新分式的值是原分式值的2倍 ． 5．（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 先解分式方程可得，根据分式方程有增根，让最简公分母为确定增根，即可得关于的方程，解方程可求解值即可． 【详解】解：， 整理得：， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴，解得：， ∴把代入中，解得：． 故选：C． 6．（2026·河北承德·二模）关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解分式方程得到用表示的式子，再根据解为负数且分式有意义判断选项即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， ∵分式方程的解为负数， ∴当时，， 且， 解得且且， ∴且， ∴选项中只有符合条件，故选B． 7．（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）已知分式（，均为常数）满足下列表格中信息，则下列结论中错误的是（   ） x的取值 1 m n 分式的值 无意义 1 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格数据，结合分式无意义的条件和分式值为0的条件，代值求解判断即可． 【详解】解：由时分式无意义，得，即，解得，故选项A正确，不符合题意； 由时分式值为1，得，解得，故选项B正确，不符合题意； 由时分式的值为0，得，解得，故选项C错误，符合题意； 由时分式的值为，得，解得，经检验，是方程的解，故选项D正确，不符合题意． 8．（25-26八年级上·河北沧州·期末）若，在如图所示的数轴上标注了四段，则表示的点落在（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】D 【分析】将原式化简后，将代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴表示的点落在④段． 9．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，设（），则有（两图中，分别相同）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘除法的应用，不等式的运算．分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积，然后计算比值即可． 【详解】解：甲图中阴影部分面积为， 乙图中阴影部分面积为， 则， ， ， ， ， 故选：B． 10．（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的减法运算，计算出的结果，根据判断的符号即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 11．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）已知为整数，且计算的结果为整数，则所有符合条件的的值的和为（   ） A．0 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【分析】先对原式进行分式的混合运算，将其化简为最简形式，再根据结果为整数且为整数的条件，确定的取值，最后计算所有符合条件的的值之和． 【详解】解：∵ 原式 = = = = = ． 令（为整数），则， ∴ ． ∵ 为整数， ∴ 为整数，即为的因数：， ． 当时，；时，；时，；时，． 当时，原式无意义，舍去， ∴的值只能为，，． ∴ 所有值之和为． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算、分式有意义的条件以及整数解的确定，解题关键是先化简分式，再根据整除性确定的取值，同时要排除使分母为的情况． 12．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）已知（且）且，，…，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化规律以及分式化简，分别求出，，，根据求出的结果得出每三个数就循环一次，再根据得出的规律进行求解． 【详解】解：（且）， ， ， ， ， ∴该数列每三个数就循环一次， ， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·河北邯郸·三模）化简：________． 【答案】 【详解】解： ． 14．（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形后的图形，图2是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为，，已知a为大于1的整数，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意得到，，再利用分式的约分对进行化简即可得到化简结果，再进一步求出最小值即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 即可化简为． ， ∵a为大于1的整数， ∴当时，取得最大值为， 此时取得最小值为， 即的最小值为． 15．（24-25八年级下·河南新乡·阶段检测）解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，，设． （1）当时，的值为_______； （2）若均为非零整数，则的值为_______． 【答案】 或 【分析】本题考查了解分式方程，求使分式值为整数时未知数的整数值，求代数式的值； （1）解方程，即可求解； （2）化简得，根据均为非零整数进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得 ， 去分母得， ， 解得：， 经检验：是此方程的解， 故答案为：； （2）由题意得 ， 均为非零整数， 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 故答案为：或． 16．（25-26八年级上·山东淄博·期中）下列一组方程：，小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为．若为正整数，且关于的方程的一个解是，则的值等于________． 【答案】11或12 【分析】本题考查已知方程的解求参数的值，通过观察已知方程的解的规律，将给定方程进行变量代换，转化为标准形式，利用解的特征求解即可． 【详解】解：由已知方程①、②、③的规律，可得第n个方程为， 其解为或． 对于方程 ，令，则． 代入原方程得：，整理得：， 此方程形式与已知规律一致， 故其解为或． ∴ 或， ∴或． ∵有一个解为， ∴或，解得或； 故答案为：11或12． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（2026·河北邯郸·二模）对于分式，小李和小王分别使用如下方法化简： 小李： 小王： (1)请你选择其中一种方法，补全化简过程； (2)从中选一个整数，求出分式的值． 【答案】(1) 见解析 (2) 当时，分式的值为 【详解】（1）解：小李的方法： ； 小王的方法： ；·····························3分 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴原式.····························7分 18．（8分）（2026·河北保定·二模）如图，老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分： (1)求被污染的部分； (2)若被污染的部分是常数，求的值． 【答案】(1)被污染部分为 (2)的值为 【分析】（1）根据分式的加减法运算法则进行计算； （2）根据题意列分式方程求解即可. 【详解】（1）解：由题意可知，被污染部分为： ；····························4分 （2）解：∵被污染的部分是常数， ， 解得， 经检验，是原分式方程的根， 的值为．····························8分 19．（8分）（25-26九年级下·河北邯郸·期中）某城市为优化城市宜居环境，进行市政设施升级改造工程，现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．工程领导小组根据投标书的有关信息进行测算，设计出了以下三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 设完成这项工程的规定日期是x天，完成下列问题： (1)用含x的代数式表示甲、乙两队合作1天完成的工作量（不必化简）； (2)求x； (3)根据标书中的信息可知，每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，通过计算比较方案①和方案③中最节省费用的是哪一个？ 【答案】(1) (2) (3)方案③最节省费用 【分析】（1）先分别求得甲、乙两个工程队的工作效率，进而可求解； （2）根据题意列分式方程求解即可； （3）分别求得方案①和方案③的所付的工程款项，然后比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设完成这项工程的规定日期是x天， 根据题意，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， ∴甲、乙两队合作1天完成的工作量为；····························2分 （2）解：由题意，列方程得，，           化简得，， 解得，． 经检验：是原分式方程的解， ∴．····························5分 （3）解：∵， ∴方案①的费用为（万元）， 方案③的费用为：（万元）， ∵， ∴方案③最节省费用．····························8分 20．（8分）（25-26八年级下·河北保定·期中）在八年级下册第二章中我们学习了求解一元一次不等式组，其实一些非一次不等式都可以通过代数等价变形转化为一元一次不等式组来进行解决．例如：可以通过因式分解转化为，因为乘积为正，所以两个因式需同号，再通过分类讨论： ①解得；②解得． 综上所述，不等式的解集为或． 根据上述材料解决下列问题： (1)解不等式：； (2)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将原不等式因式分解为，结果为正，则两个因式同号，分为和两类讨论，分别求出结果即可； （2）不等式两边同乘以，得，且，结果为非正，则两个因式异号或，分为和两类讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， ①当时，解得； ②当时，解得； 综上所述，不等式的解集为或；····························3分 （2）解：， 两边同乘以，得，且， ①当时，解得； ②当时，该不等式组无解； 综上所述，不等式的解集为．····························8分 21．（9分）（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【问题情境】年某城市文创市集推出了书包和笔记本两款文创产品，某摊主购进这两种产品开展销售．已知用元购进书包的数量比用元购进笔记本的数量少个，且书包的进价是笔记本进价的倍． (1)若小宇同学列出方程：，解得，经检验是原方程的解且符合题意，则此方程中的x表示________． (2)小轩同学有不同的解法；设笔记本的数量为y个，请你帮他求笔记本和书包的进价． (3)该摊主再次以相同进价购进这两种产品，若购进笔记本的数量比书包数量的倍多个，且购进两种产品的总资金不超过元，则最多可以购进书包多少个？ 【答案】(1)笔记本的进价； (2)笔记本的进价是元/个，书包的进价是元/个； (3)个． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）根据列出的方程，确定表示的意义即可； （2）设笔记本的数量为y个，则书包的数量为个，列出方程，解方程即可求解； （3）设购进书包m个，则购进笔记本个，根据购进两种产品的总资金不超过元，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：小宇同学列出方程：， 表示笔记本的进价， 故答案为：笔记本的进价；····························2分 （2）根据题意列方程，得， 解得， 经检验是原方程的解， 笔记本的进价是：元/个， 书包的进价是：元/个， 答：笔记本的进价是元/个，书包的进价是元/个；························4分 （3）设购进书包m个，则购进笔记本个， 由题意得， 解得：， 因为m为整数， 所以m的最大值为， 答：最多购进书包个．····························8分 22．（9分）（25-26七年级上·上海·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)填空：分式与互为“______阶分式”； (2)已知分式与A互为“4阶分式”，求分式A； (3)已知分式、，且B与互为“2阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，正确理解“n阶分式”的定义是解题的关键． （1）求出分式与的和，再根据定义可得答案； （2）根据定义可得，则，据此计算求解即可； （3）根据定义可得，即，据此去分母求出M即可． 【详解】（1）解：， ∴分式与互为“5阶分式”；····························3分 （2）解：∵分式与A互为“4阶分式”， ∴， ∴ ；····························6分 （3）解：∵、，且B与互为“2阶分式”， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．····························9分 23．（11分）（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段检测）阅读材料：对于非零实数，若关于的分式的值为零，则解得又因为所以关于的方程的解为 (1)方程的解为： (2)若关于的方程的解为求的值； (3)若关于的方程的解为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程的解为，则原方程变形为，方程的解为或(看成整体)，则有，整理得，再代入将所求代数式即可． 【详解】（1）解：关于的方程的解为， 方程的解为， 故答案为：；····························2分 （2）解：关于的方程的解为 ， ， 故答案为：19；····························6分 （3）解：方程变形为， 方程的解为， 则或， ， 整理得， 故答案为3．····························11分 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握题干知识，求分式方程的解，完全平方公式变形求值，整体代入法求代数式求值，是解题的关键． 24．（12分）（25-26八年级上·山东聊城·期中）阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；····························3分 （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或；····························7分 （3）解：∵ ∴ ， ∴．····························12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十二章 分式和分式方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26七年级下·河北衡水·期末）下列各式中，最简分式是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·河北保定·期末）分式的值为0，则x的值为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2026·浙江湖州·模拟预测）古代用漏壶计时，水匀速滴出，水位均匀下降；某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米．设从开始到水深变为20厘米共经过小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍 5．（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知关于的分式方程有增根，则的值是（   ）． A． B． C． D． 6．（2026·河北承德·二模）关于x的分式方程的解是负数，则a的值可能是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）已知分式（，均为常数）满足下列表格中信息，则下列结论中错误的是（   ） x的取值 1 m n 分式的值 无意义 1 0 A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·河北沧州·期末）若，在如图所示的数轴上标注了四段，则表示的点落在（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 9．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，设（），则有（两图中，分别相同）（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·河北衡水·期末）已知，，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）已知为整数，且计算的结果为整数，则所有符合条件的的值的和为（   ） A．0 B．12 C．10 D．8 12．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）已知（且）且，，…，，则等于（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（2026·河北邯郸·三模）化简：________． 14．（25-26九年级下·河北廊坊·阶段检测）图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形后的图形，图2是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为，，已知a为大于1的整数，则的最小值为______． 15．（24-25八年级下·河南新乡·阶段检测）解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，，设． （1）当时，的值为_______； （2）若均为非零整数，则的值为_______． 16．（25-26八年级上·山东淄博·期中）下列一组方程：，小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，第①个方程的解为；第②个方程的解为；第③个方程的解为．若为正整数，且关于的方程的一个解是，则的值等于________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（2026·河北邯郸·二模）对于分式，小李和小王分别使用如下方法化简： 小李： 小王： (1)请你选择其中一种方法，补全化简过程； (2)从中选一个整数，求出分式的值． 18．（8分）（2026·河北保定·二模）如图，老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分： (1)求被污染的部分； (2)若被污染的部分是常数，求的值． 19．（8分）（25-26九年级下·河北邯郸·期中）某城市为优化城市宜居环境，进行市政设施升级改造工程，现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．工程领导小组根据投标书的有关信息进行测算，设计出了以下三种施工方案： 方案①：甲队刚好单独如期完成这项工程； 方案②：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用10天； 方案③：若甲、乙两队合作5天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成． 设完成这项工程的规定日期是x天，完成下列问题： (1)用含x的代数式表示甲、乙两队合作1天完成的工作量（不必化简）； (2)求x； (3)根据标书中的信息可知，每施工一天，需付甲工程队工程款万元，付乙工程队工程款万元，通过计算比较方案①和方案③中最节省费用的是哪一个？ 20．（8分）（25-26八年级下·河北保定·期中）在八年级下册第二章中我们学习了求解一元一次不等式组，其实一些非一次不等式都可以通过代数等价变形转化为一元一次不等式组来进行解决．例如：可以通过因式分解转化为，因为乘积为正，所以两个因式需同号，再通过分类讨论： ①解得；②解得． 综上所述，不等式的解集为或． 根据上述材料解决下列问题： (1)解不等式：； (2)解不等式：． 21．（9分）（25-26八年级上·河北邯郸·期末）【问题情境】年某城市文创市集推出了书包和笔记本两款文创产品，某摊主购进这两种产品开展销售．已知用元购进书包的数量比用元购进笔记本的数量少个，且书包的进价是笔记本进价的倍． (1)若小宇同学列出方程：，解得，经检验是原方程的解且符合题意，则此方程中的x表示________． (2)小轩同学有不同的解法；设笔记本的数量为y个，请你帮他求笔记本和书包的进价． (3)该摊主再次以相同进价购进这两种产品，若购进笔记本的数量比书包数量的倍多个，且购进两种产品的总资金不超过元，则最多可以购进书包多少个？ 22．（9分）（25-26七年级上·上海·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)填空：分式与互为“______阶分式”； (2)已知分式与A互为“4阶分式”，求分式A； (3)已知分式、，且B与互为“2阶分式”．求代数式M（用含x的式子表示）． 23．（11分）（25-26八年级上·贵州铜仁·阶段检测）阅读材料：对于非零实数，若关于的分式的值为零，则解得又因为所以关于的方程的解为 (1)方程的解为： (2)若关于的方程的解为求的值； (3)若关于的方程的解为，求的值． 24．（12分）（25-26八年级上·山东聊城·期中）阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $