专题03 正方形的性质和判定问题的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法-题型归纳-压轴挑战”为框架，系统提炼正方形性质与判定的七类综合题型解法，强化几何直观与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1通法总结|融合菱形矩形双重特征，性质题活用边角对角线，判定题从矩形/菱形/对角线切入|以正方形特殊性为核心，关联旋转、全等、勾股定理| |七类题型|7典例+21变式|每题型含特征（如多解问题需分类讨论）与方法（如函数结合用坐标法）|从性质应用到判定综合，形成“概念-方法-变式”递进| |压轴挑战|15题|综合考查动态探究、多结论证明等，提升思维上限|对接中考命题趋势，覆盖高频考点与易错点|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03正方形的性质和判定问题的七类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法， 夯实解题根基 题型一、利用正方形的性质求角问题 题型二、正方形与函数图像综合问题 题型三、 与正方形有关的多解问题 题型四、与正方形有关的多结论问题 题型五、与正方形有关的作图问题 题型六、利用正方形的性质证明的综合问题 题型七、正方形的性质和判定综合问题 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆ 夙通法通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：融合菱形与矩形双重特征，常结合旋转、全等、勾股定理，考查边角对角线关系及动态探究。 解题方法：性质题活用四边相等、四角直角、对角线垂直平分且相等；判定题可从“矩形+邻边相等”或 “菱形+一个直角”或“对角线互相垂直平分且相等”切入。 -易错提醒：忽略正方形是特殊的矩形和菱形，判定时遗漏双重条件：混淆对角线性质（既相等又垂直）： 图形旋转时未找准对应边角。 夙题型归纳一—精讲央型通法，夯夫解题报基 题型一、利用正方形的性质求角问题 典例1. (25-26八年级下浙江台州期末)如图，M是正方形ABCD外一点，MC=MD=AD,则 ∠AMB的度数为 1/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 题型模版 1特征：已知正方形边长、对角线或内部线段关系，求角度，常结合等腰直角三角形与对称性。 2方法：利用正方形四角为90°、对角线平分对角且互相垂直，结合全等或勾股定理列方程求角。 变式1-1.(25-26八年级下河南南阳期末)如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上， BC=4,CE=2,H是AF的中点，那么CH的长为一.（保留根号） H B 变式1-2.(25-26八年级下陕西商洛期末)如图，在正方形ABCD中，AD=2,点E是对角线BD上一 点，且BE=AB,连接AE并延长交CD于点F,则CF的长为 E B 变式1-3.(25-26八年级下贵州遵义：期中)如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接BE, 过点E作BE的垂线交CD于点F,交BC的延长线于点G.若点F是EG的中点，AB=6,则EG的长度为 O F 2/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、正方形与函数图象综合问题 典例2.(25-26八年级下·福建福州期末)如图①，在正方形ABCD中，点E是边AB的中点，点P是对 角线AC上一动点，设PC=x,PE+PB=y,图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点O的坐标为 (a,5) 则正方形ABCD, 的面积为 E 图① 图② 题型模版 1特征：正方形顶点在函数图象上，或图象过正方形顶点，求解析式、顶点坐标或面积最值。 2方法：设顶点坐标，利用正方形性质（四边相等、邻边垂直、对角线相等）建立等式，代入函数求解。 变式2-1.(2024上海嘉定·模拟预测)正方形ABCD与等边△CEF按如图所示方式叠放，顶点C重合，点 F在边AD上，直线I垂直CE,与直线AD和折线E-F-C分别交于N、M两点，I从点E出发，运动至 点停止，设移动的距离为”，S%m=y 运动过程中'与”的函数如图所示，则4F的长为 EB 变式2-2.(2425八年级下湖南衡阳期末)如图①，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点P是对 角线AC上一动点，设PC=x,PE+PB=y,图②是'关于x的函数图象，且图象上最低点的坐标为 (m,N5),则正方形ABCD的边长为 3/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 图① 图② 变式2-3.(25-26八年级下河北衡水期末)如图1，在正方形ABCD的边BC上有一点E,连接AE.点 P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C以lCm/s的速度匀速运动到点C.图2是点P运动时，△APE的 面积y(cm)随时间x(s)变化的函数图象. (1)正方形ABCD的边长为 (2)当x=7时，y的值为 图1 图2 类型三、与正方形有关的多解问题 典例3.(25-26八年级下河南周口·期末)若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，CE=1,M为 线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F,且BF=AE,则BM的长为 题型模版 1.特征：正方形位置或方向不确定（如旋转、顶点排列)，导致多个满足条件的图形。 2方法：分类讨论（如顶点顺序、边长比例、对称位置），按不同情形设未知数，利用全等或坐标法列方 程求解并验证。 变式3-1.(25-26八年级下湖北武汉期末)如图，正方形ABCD的边长为8，E,F分别是边AB,CD 上的点，沿着EF将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点G处，若点G将BC分成1：3两部分，则CF 的长是 4/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A---- B G 变式3-2.(25-26八年级下河南南阳期末)如图，正方形ABCD中，AB=3,M为CD边上一动点，延 长CB到点N,使BN=DM,连接AN,MN,作AE⊥MN于点F,交BC于点E.当点E为BC边的三 等分点时，DM的长为」 D 变式3-3.(2026河南新乡三模)如图，将边长为4的正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB', 连接BB',过点D作DE垂直于直线BB,垂足为点E,当以B',E,C,D为顶点的四边形是平行四边 形时，BB的长为 B 题型四、与正方形有关的多结论问题 典例4.(25-26八年级下·吉林长春·期末)如图，在边长为2的正方形ABCD中，△BPC是等边三角形， 连接BD、PD,给出以下结论：OCP=CD:②∠PCD=∠PDB,③S,Pc=V5SD:④ .P8=2.上 述结论中，正确结论的序号有一· 5/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 题型模版 1特征：题干给出多个涉及边、角、对角线、对称性或面积的结论，需判断正误，常综合多个知识点。 2方法：运用正方形性质（四边等、四角90°、对角线垂直平分且相等、轴对称等）逐一推理论证，或举反 例排除。 变式41.(25-26八年级下·吉林长春期末)如图，在正方形ABCD中，点E是边AD的中点，连结AC与 BE交于点F,连结CE、DF.给出下面四个结论：①△ABE≌aDCE:②EC垂直平分DF:③ ∠DFC=LAFE, Sr=Sacr,上述结论中，正确结论的序号有 E D B 变式42.(25-26八年级下·吉林长春·期末)如图，点E是正方形ABCD内部一点，连结BE、CE,过点 C作CF1CE.交B5的延长线于点F,连结DF、DE,且CE=CF=2,DE=45 给出下列四个结论： O△CBE≌△CDF】 BF1DF ③四边形DCF的面积为4，④点D到CF的距离为 V2 .上述结论 中，正确结论的序号有 变式43.(25-26八年级下·吉林长春期末)如图，正方形ABCD的对角线相交于点0，点O又是另一个 6/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 正方形AB'CO的一个顶点，AB交OA'于点E,BC交OC'于点F,连结EF.给出以下四个结论：① 1 △AOE≌△BOF;②CF=EF;③四边形EBFO的面积为正方形ABCD面积的4；④当AB=2.8,AE=1.2 时， OE=√2 其中正确结论的序号有 D E 题型五、与正方形有关的作图问题 典例5.(2026河南三门峡：二模)如图，在正方形ABCD中，BC=2BE=4, (I)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点D作AE的垂线，交AB于点F(不写作法，保留作图痕迹)： (2)连接EF,求EF的长. 题型模版 1特征：在给定条件（如对角线长、边长、面积）下，用无刻度直尺和圆规按要求作出正方形。 2方法：依据正方形判定（四边等且四角直角、对角线垂直平分且相等）确定步骤，先作对角线或直角， 再截取等长线段完成。 变式5-1(25-26八年级下江西上饶期末)如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上一点，连接DE, 请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）. 7/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E E B B 图1 图2 ①在图1中，板=号4B,在DC边上作出点K,使得DEBF: 31 @在图2中，A5-号，在CB边上作出点瓦，使得Cn-号8C 变式5-2(2026河南许昌·模拟预测)如图，AC为正方形ABCD的对角线. D (I)尺规作图：作AD的垂直平分线I交AD于点E,在I上确定点F,使得点F到∠BAC的两边距离相等： (不写作法，保留痕迹) (2)在(1)的条件下，求∠EFA的度数. 变式5-3.(25-26八年级下·北京门头沟期末)如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点（点E不 与点B,C重合，且BE>EC),线段EA绕点E顺时针旋转9O°得到线段EF,连接AC、CF. 备用图 (1)依题意补全图形： (2)猜想∠EAC与∠EFC的数量关系并证明： (3)连接BF,取AC的中点G,连接GE,过点E作EG的垂线交CF于点P,连接GP交BF于点H.用等 式表示线段BH与HF的数量关系，并证明， 8/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型六、利用正方形的性质证明的综合问题 典例6.(25-26八年级下·江苏南京期末)在正方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边AD上，连接 CE,BF交于点G,CE⊥BF F 图① 图② (I)如图①，求证：AF=BE; (②)如图②，若点E是AB的中点，连接AG并延长交BC于点P ①求证：GA平分∠EGF; ②若正方形ABCD边长为4，则CP=_ 题型模版 1.特征：将正方形性质与全等、相似、勾股、旋转或坐标系结合，进行多步逻辑推理证明。 2方法：从正方形边角对角线性质出发，灵活添加辅助线（如对角线、中位线），利用全等或旋转构造等 量关系证明。 变式6-1.(25-26八年级下·安徽合肥期末)如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接 DE,过点B作BF⊥DE于点F,交CD于点G. D A D A G E 图1 图2 图3 (1)求证：CG=CE: (2)如图2，连接FC、BD.若BF平分∠DBE,求∠CFE的度数： DE (③)如图3，若G为DC中点，请直接写出EF的值。 变式6-2.(25-26八年级下浙江台州期末)如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转α至 BF,作∠CBF的平分线交对角线AC于点E,连结EF,AF, 9/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D Sy D B B B (图1) (图2) (图3) (I)若a=135°，①求证：EC=BF;②求证：AF∥DE (2)如图2，在(1)的条件下，连接FD,交AC于点O,若AB=1,求F0, (3)如图3，当90°<a<180°时，求证：∠AFE=∠ADE 变式6-3.(25-26八年级下·甘肃白银期末)【问题情境】 D G D H A E 图1 图2 图3 (1)如图1，四边形ABCD是正方形，点 是对角线AC上一动点，则PB与PD的数量关系为 (2)【深入探究】 如图2，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P分别作PE⊥AB,PF⊥BC,垂足分别 为E、F,连接EF. ①试猜想EF与DP的数量关系.并证明你的猜想. ②若AB=4,求EF的最小值， (3)【拓展应用】 如图3，延长BP,CD交于点G,BG与AD交于点Q,点H为GQ的中点，连接HD,请判断△DHP的形 状.并说明理由. 题型七、正方形的性质和判定综合问题 典例7.(25-26八年级下·陕西商洛阶段检测)如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E, EF⊥AD于F,DG⊥AE于点G,DG与EF交于点O, 10/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E (I)求证：四边形ABEF是正方形： (2)若AD=AE,求证：AB=AG: (3)在(2)的条件下，已知AB=1,求OG的长， 题型模版 1特征：需同时运用正方形性质（四边等、四角90°、对角线特性）与判定定理（矩形+菱形条件）解题。 2方法：先根据条件判定正方形，再利用其性质求边长、角度或面积；或先由性质得结论再反推判定依据。 变式7-1.(25-26八年级下·河北秦皇岛期末)如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD=90°， CN⊥AC,AN与BD交于点E,且E为AW中点. B (I)求证：OE∥CN: (②)求证：四边形ABCD为正方形： AE (3)连接CE,ND,若四边形ECND为平行四边形，直接写出BC的值. 变式7-2.(25-26九年级下四川达州期中)综合与实践 问题情境：如图，四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上的一动点，连接DE,过点E作EF⊥DE, 交直线BC于点P,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG, 备用图 (I)猜想证明：证明四边形DEFG是正方形. 11/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解决问题：求∠DCG的度数. (3)解决问题：己知BC=4,CF=2,请直接写出CG的长. 变式7-3.(25-26八年级下·河南许昌期末)在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接BP.过 点P作BP的垂线，交射线DA于点E,过点E作PE的垂线，过点B作PB的垂线，两线交于点F. D D D (E) 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点P是对角线AC的中点时，四边形PEFB的形状为 (2)如图2，当点P是对角线AC上任意一点时，(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由. (3)已知正方形ABCD的边长为10，连接AF,当AE=4时，请直接写出AF的长。 ◆◆ 同压轴挑战一支克离难压轴，突酸思维上很 一、单选题 1.(25-26八年级下·重庆沙坪坝期末)如图，在正方形ABCD中，连接AC,若AB=1,则AC的长度为 () A.1 B.2 C.2 D.3 2.(25-26八年级下·四川凉山期末)已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是() A.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 B.当BD平分∠ABC时，四边形ABCD是菱形 C.当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 12/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.当AC=BD时，四边形ABCD是正方形 3.(25-26八年级下河南南阳期末)如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点P,Q分别是正方形 ABCD的边BC,CD上的点，且∠PA0=45°，若BP=1,求DD的长.利用旋转的方法，把△ABP绕点A 逆时针旋转90°，得到△ADE,参考图2，可得D的长为() E D A D 458 45° B P 图1 图2 12 A.2 B.5 C.5 D.√6 4.(25-26八年级下·甘肃天水期末)如图1，点P,Q分别从正方形ABCD的顶点A,B同时出发，沿正 方形的边逆时针方向匀速运动，若点Q的速度是点P速度的2倍，当点P运动到点B时，点P,Q同时停 止运动.图2是点P,O运动时，△BP的面积y随时间x变化的图象，则正方形ABCD的边长是() 3 -2 -10 123 图1 图2 A.2 B.4 C.6 D.8 5.(25-26七年级下河北张家口期末)如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与 正方形ABCD的中心重合，在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，下列结论正确的个数为() 13/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G M ①EM=EW ②四边形EMCN的面积不变，始终为1 ③CN+CM=2④四边形EMCN的周长不变，始终为3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 6.(25-26八年级下陕西西安期末)如图，P是正方形ABCD内一点，连接AP,BP,CP,AC.若 △APB是等边三角形，则∠ACP的度数为 D 7.(25-26八年级下江苏扬州期末)如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，以斜边AC为边向外作正方 形ACDE,正方形ACDE的对角线交于点O,连接OB,已知BC=6,AB=4,则OB= D B 8.(25-26八年级下山西长治期末)如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的 延长线上，且BE=DF,连接EF交边AD于点G.过点A作AN⊥EF,垂足为点M,交边CD于点N. 若BE=5,CN=8,则线段DN的长为 14/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D M B E 9.(25-26八年级下湖北武汉期末)如图，在正方形ABCD中，E,F分别为边CD,BC上的点，且 DE=CF,连接AE,DF交于点G,连接BG.若AB=BG,AG=4,则GD的长是 GF的 长是 10.(25-26八年级下湖南株洲期末)如图，正方形ABCD的边长为16，对角线AC,BD交于点O,点 M在边AD上，且DM=2,点P是边AD上的动点，连接OP,OM,当△OPM是等腰三角形时，OP的 长为 A ò MD 三、解答题 11.(25-26八年级下·天津北辰期末)己知四边形ABCD是边长为6cm的正方形，P,Q是正方形边上的 两个动点，点P从点A出发，以2cms的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以lcms的速 度沿D→C方向运动，设点P运动的时间为 s(0<t<6) 15/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D→Q D P P 图1 图2 ()如图L,点P在AB边上，PO,AC相交于点O,当P吧，AC互相平分时，求的值： (2)如图2，点P在BC边上，AP,BQ相交于点H,当AP⊥BO时，求t的值. 12.(25-26七年级下·贵州贵阳期末)特殊化是解决数学问题时常用的一种策略.有一个正方形ABCD和 △EOF∠EOF=90°EO=FO(EO>CO) 其中正方形的中心为点O,4B=4.现将△EOF绕着点O进 行旋转，请探究两个图形重叠部分的面积. B A B 0 M 图① 图② (1)特殊情形，如图①，当点C,D分别在边OE,OF上时，求重叠部分的△OCD的面积： (2)一般情形，如图②，当边OE,OF分别交边BC,CD于点M,N时，求重叠部分的四边形OMCN的 面积 13.(25-26八年级下安徽合肥期末)如图，点B,C,E在同一直线上，点C,G,D在同一直线上， 四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，点K在BC上，延长CD到点H,使DH=BK=CE,连接AK, KF,FH,AH 16/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AK=AH: (2)求证：四边形AKFH是正方形： (3)若CE=2,正方形AKFH的面积为40，求AE的长. 14.(25-26七年级下广东佛山期末)在正方形ABCD中，点E是直线BC上的动点（不与点B、C重 合).连接AE.线段AE绕点E顺时针旋转9O°得到线段FE.过点F作FG⊥BC,垂足为G. D D B E B E B E 图1 图2 备用图 (1I)如图1，当点E仅在线段BC上运动时： ①探究∠CEF与∠BAE的数量关系： ②连接CF,判断△CFG的形状，并说明理由. (②)如图2，连接AF.线段AF交射线BD于点H.在运动过程中，点H在线段AF上具有怎样的不变性？ 说明理由， 15.(25-26八年级下·内蒙古通辽：期末)问题情境： 在边长为I0的正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，连接BP.过点P作BP的垂线，交射线DA于点 E,过点E作PE的垂线，过点B作PB的垂线，两线交于点F. 特别研究： D (E 图1 图2 图3 (I)如图1，当P是对角线AC中点时，猜想四边形PEFB的形状，并说明理由. 深入探究： (2)如图2，当点P是对角线AC上任意一点时.试说明(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由： 17/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，当PC=BC时，点E落在DA的延长线上，请直接写出线段AE的长. 18/18 专题03 正方形的性质和判定问题的七类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用正方形的性质求角问题 题型二、正方形与函数图象综合问题 题型三、与正方形有关的多解问题 题型四、与正方形有关的多结论问题 题型五、与正方形有关的作图问题 题型六、利用正方形的性质证明的综合问题 题型七、正方形的性质和判定综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：融合菱形与矩形双重特征，常结合旋转、全等、勾股定理，考查边角对角线关系及动态探究。 - 解题方法：性质题活用四边相等、四角直角、对角线垂直平分且相等；判定题可从“矩形+邻边相等”或“菱形+一个直角”或“对角线互相垂直平分且相等”切入。 - 易错提醒：忽略正方形是特殊的矩形和菱形，判定时遗漏双重条件；混淆对角线性质（既相等又垂直）；图形旋转时未找准对应边角。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用正方形的性质求角问题 典例1．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，是正方形外一点，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，，结合已知条件证得是等边三角形，即，进而求出的度数，利用等腰三角形的性质求出，同理可得，最后利用角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 同理可得， ∴． 题型模版 1.特征：已知正方形边长、对角线或内部线段关系，求角度，常结合等腰直角三角形与对称性。 2.方法：利用正方形四角为90°、对角线平分对角且互相垂直，结合全等或勾股定理列方程求角。 变式1-1．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为_____．（保留根号） 【答案】 【分析】连接、，如图，根据正方形的性质得，，，，则，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线求的长． 【详解】解：连接、，如图， 四边形和四边形都是正方形，，， ，，，， ， 在中，， 是的中点， ． 变式1-2．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）如图，在正方形中，，点是对角线上一点，且，连接并延长交于点，则的长为________． 【答案】 【分析】证明，求出，进一步得到，根据即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式1-3．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，在正方形中，点在对角线上，连接，过点作的垂线交于点，交的延长线于点若点是的中点，，则的长度为__________． 【答案】 【分析】如图，过点作，交于点，交于点，证明四边形和四边形都是矩形，和都是等腰直角三角形，即可得出，，利用证明，得出，，利用证明，得出，即可求出，，利用勾股定理求出即可得答案． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴； ∵， ∴，, ∴四边形和四边形都是矩形，和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 题型二、正方形与函数图象综合问题 典例2．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图①，在正方形中，点是边的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的面积为________． 【答案】 【分析】利用正方形对角线的对称性，得，因此，根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，取得最小值，对应函数图象最低点纵坐标5，即，再结合是中点，设正方形边长，用勾股定理求出边长平方即为正方形面积． 【详解】解：如图，连接， 四边形是正方形，是对角线， 点、关于直线对称， ， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长， 由图象最低点可知：， 设正方形边长为， 是中点， ， 在中，，由勾股定理： ， 代入，，： ， ， ， ， 正方形面积． 题型模版 1.特征：正方形顶点在函数图象上，或图象过正方形顶点，求解析式、顶点坐标或面积最值。 2.方法：设顶点坐标，利用正方形性质（四边相等、邻边垂直、对角线相等）建立等式，代入函数求解。 变式2-1．（2024·上海嘉定·模拟预测）正方形与等边按如图所示方式叠放，顶点重合，点在边上，直线垂直，与直线和折线分别交于、两点，从点出发，运动至点停止，设移动的距离为，，运动过程中与的函数如图所示，则的长为______． 【答案】/ 【分析】根据函数图像可知，当从点出发，运动至点时，取得最大值，即，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得即可求解． 【详解】解：根据函数图像可知，当从点出发，运动至点时，取得最大值，即， 等边 是正方形， ，， ，则， ． ． 故答案为：． 变式2-2．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，全等三角形的性质与判定，连接，由正方形的性质可得，证明，得到，则可推出当D、E、P三点共线时，有最小值，即此时y有最小值，最小值为的长，在图②中，图象上最低点的坐标为，则；由勾股定理可得，则，即，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当D、E、P三点共线时，有最小值，即此时y有最小值，最小值为的长， ∵图②中，图象上最低点的坐标为， ∴； ∵点是的中点， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴， ∴正方形的边长为2， 故答案为：2． 变式2-3．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图1，在正方形的边上有一点E，连接．点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点C．图2是点P运动时，的面积y（）随时间x（s）变化的函数图象． （1）正方形的边长为 ________． （2）当时，y的值为 ___________________． 【答案】 /4厘米 【分析】本题考查的是动点图象问题，解决此类问题关键是：弄清楚不同时间段，函数图象和图形的对应关系，进而求解． （1）抓住关键点，函数图象最高点的纵坐标为8，得的最大面积为8，此时P、D重合，，即可求解； （2）先抓住关键点，知道点P到终点时，的面积是6，此时P、C重合，，得，根据图象分析当时，点P在上，且，再求的面积． 【详解】解：（1）设正方形的边长为a， 由图象可知，当P、D重合时，的面积为8， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴正方形的边长为4， 故答案为：4； （2）当点P在点C时，， 解得：，即， 当时，点P在边上，如图， ， 故答案为：． 类型三、与正方形有关的多解问题 典例3．（25-26八年级下·河南周口·期末）若正方形的边长为4，E为边上一点，，M为线段上一点，射线交正方形的一边于点F，且，则的长为______． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①射线交边于点F，证明，得到，根据勾股定理求出，连接，证明四边形是矩形，根据矩形的性质求解；②射线交边于点F，证明得到，进而证明，得到，根据的面积求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图，射线交边于点F ∵四边形是边长为4的正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴在中，． 连接， ∵在正方形中，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ②如图，射线交边于点F， ∵四边形是边长为4的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ∴在中，． ∵， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 题型模版 1.特征：正方形位置或方向不确定（如旋转、顶点排列），导致多个满足条件的图形。 2.方法：分类讨论（如顶点顺序、边长比例、对称位置），按不同情形设未知数，利用全等或坐标法列方程求解并验证。 变式3-1．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形的边长为，，分别是边，上的点，沿着将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，若点将分成两部分，则的长是_______． 【答案】或 【分析】根据题意，得点将分成的两部分的长为，，分或，利用勾股定理，结合方程的思想求解即可； 【详解】解：正方形的边长为， ， 点将分成两部分， 点将分成的两部分的长为，， 当时，如图，连接，则，设，则 根据折叠的性质，得， 根据勾股定理，得， ， 解得； 当时，如图，连接，则，设，则 根据折叠的性质，得， 根据勾股定理，得， ， 解得； 故的长是或． 变式3-2．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，正方形中，，为边上一动点，延长到点，使，连接，，作于点，交于点．当点为边的三等分点时，的长为__________． 【答案】或 【分析】由题意，分两种情况：或，由正方形性质、三角形全等的判定与性质及等腰三角形三线合一性质得出，最后在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：当点为边的三等分点时，分两种情况： 当时，如图所示： 在正方形中，，，则， 在和中， ， ，， ， ， 则是等腰直角三角形， ， 由三线合一性质可得垂直平分， ， 设，则，，，， 在中，由勾股定理可得，则， 解得； 当时，如图所示： 在正方形中，，，则， 在和中， ， ，， ， ， 则是等腰直角三角形， ， 由三线合一性质可得垂直平分， ， 设，则，，，， 在中，由勾股定理可得，则， 解得； 综上所述，的长为或． 变式3-3．（2026·河南新乡·三模）如图，将边长为4的正方形的边绕点逆时针旋转至，连接，过点作垂直于直线，垂足为点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，的长为______． 【答案】或8 【分析】分两种情况：①当为平行四边形的对角线时，由平行四边形的性质得，根据勾股定理求出，再利用面积求出的长即可解答；②当为平行四边形的边时，根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解：①当为平行四边形的对角线时，设与交于点，如图1． ∵四边形是平行四边形，四边形是正方形且边长为4， ，，，，， ， ． 在中，由勾股定理，得， ，解得． 在中，由勾股定理，得 ． ②当为平行四边形的边时，如图2，此时四边形为平行四边形，点与点重合， ， ． 综上所述，的长为或8． 题型四、与正方形有关的多结论问题 典例4．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在边长为2的正方形中，是等边三角形，连接、，给出以下结论：①；②；；④．上述结论中，正确结论的序号有_______． 【答案】 ①②③ 【分析】根据正方形和等边三角形的性质，分别推导边长关系、角度大小以及三角形面积，逐一判断各结论是否正确． 【详解】解： 是等边三角形，正方形 的边长为 ， ，，， ， 故①正确 ； ， ， ， 是正方形 的对角线， ， ， ， 故②正确； 如图，过点 作 于点 ， 在 中，， ， ， ∴， ， ， ， 故③正确； ， 又 ， ， ， ④错误； 综上所述，正确结论的序号有①②③． 题型模版 1.特征：题干给出多个涉及边、角、对角线、对称性或面积的结论，需判断正误，常综合多个知识点。 2.方法：运用正方形性质（四边等、四角90°、对角线垂直平分且相等、轴对称等）逐一推理论证，或举反例排除。 变式4-1．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在正方形中，点是边的中点，连结与交于点，连结、．给出下面四个结论：①；②垂直平分；③；④．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①③④ 【分析】①根据正方形性质，找出边和角的相等关系，推出两个三角形全等即可． ②先假设是否垂直平分，找出相等的角和边，再根据角度关系，判断是否垂直平分即可． ③先找出边和角的对应关系，推出全等三角形，再根据全等三角形的性质，推出结论． ④先找出与的面积关系，因为两个三角形中都包含的面积，由此得出结论即可． 【详解】解：①根据题意可知， ， 为中点， （）． ③：在正方形中， ，，， （） 又 ． ②解：先假设垂直平分， ，， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 与交于点， ， 这与相矛盾，假设不成立， 垂直平分是错误的． ④的边上的高与的边上的高相同， ， ， ； 综上所述，正确结论的序号有①③④． 变式4-2．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，点是正方形内部一点，连结、，过点作，交的延长线于点，连结、，且，．给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积为；④点到的距离为．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②③ 【分析】先利用正方形边与角相等、同角余角相等证；再借助全等对应角相等与三角形内角和证明；接着结合等腰直角三角形面积、勾股定理求出与面积，相加得到四边形面积；最后过点作，利用等腰直角三角形求出垂线段长度，判断结论④正误． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ，即， ， ， 在和中： ， ，①正确； ， ∴， 设与交于点， 在中，， ， ， ， 在中，， ，②正确； ，， 是等腰直角三角形， ，， 在等腰直角中，， 由共线，得， ， ， ，即是直角三角形， 在中，， ，即， ， ，③正确； 过作，交的延长线于，的长度即为点到的距离， ， ， 是等腰直角三角形，即, 在中，, 代入得， 解得,即点到的距离为，不是，④错误； 综上所述，正确的为①②③． 变式4-3．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点，交于点，交于点，连结．给出以下四个结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④当，时，．其中正确结论的序号有________． 【答案】①③④ 【分析】由题意易得，，然后可得，则有，，，进而根据割补法及勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形，都是正方形， ∴，， ∴， ∴． ∴，故①正确； ∴，，， ∵， ∴，即，故②错误； ∴，故③正确； 在中，由勾股定理可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的有①③④． 题型五、与正方形有关的作图问题 典例5．（2026·河南三门峡·二模）如图，在正方形中，． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：过点D作的垂线，交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，求的长． 【答案】(1)解：如图所示为所求： (2) 【分析】（1）以点为圆心画弧交线段于两点，再分别以这两点为圆心画弧交于一点，过点以该点作射线交于点即可； （2）利用正方形的性质结合作图结论证明，易求，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． 题型模版 1.特征：在给定条件（如对角线长、边长、面积）下，用无刻度直尺和圆规按要求作出正方形。 2.方法：依据正方形判定（四边等且四角直角、对角线垂直平分且相等）确定步骤，先作对角线或直角，再截取等长线段完成。 变式5-1（25-26八年级下·江西上饶·期末）如图，在正方形中，点E 是边上一点，连接，请仅用无刻度的直尺完成以下作图(保留作图痕迹)． (1)在图1中，，在边上作出点F，使得； (2)在图2 中，，在边上作出点 H，使得 【答案】(1)如图1，点 F 即为所求； (2)如图2，点H 即为所求．(作法不唯一) 【分析】（1）连接、，交于点O，连接并延长，交于点F，则点F即为所求； （2）设与交于点G，连接并延长，交于点H，则点H即为所求． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵正方形中，，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵正方形中，，， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式5-2（2026·河南许昌·模拟预测）如图，为正方形的对角线． (1)尺规作图：作的垂直平分线交于点，在上确定点，使得点到的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意先作的垂直平分线，再根据点到的两边距离相等可知点在的角平分线上，据此作图即可； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线和点即为所求； （2）解：四边形是正方形，是对角线， ， 平分， ， ， 直线，即， ． 变式5-3．（25-26八年级下·北京门头沟·期末）如图，在正方形中，点是边上一点（点不与点，重合，且），线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、． (1)依题意补全图形； (2)猜想与的数量关系并证明； (3)连接，取的中点，连接，过点作的垂线交于点，连接交于点．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) ； 证明：过点作垂直的延长线于点， 线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， 四边形是正方形， ，， ， ． ，        ，， ， ， ， ， ，， ； (3)数量关系：．      证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， 正方形中，为中点， ， ， 是中点， ， ， ， ，     ， ． 【分析】（1）依题意画图即可； （2）可证明，可得，则，　导角即可证明； （3）可证明，则，可证，则，进而可证，则题目可解． 【详解】（1）解：略； （2）证明：略； （3）证明：略． 题型六、利用正方形的性质证明的综合问题 典例6．（25-26八年级下·江苏南京·期末）在正方形中，点在边上，点在边上，连接，交于点，． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若点是的中点，连接并延长交于点． ①求证：平分； ②若正方形边长为，则 ． 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ∵在和中， ， ， ； (2)①证明：如下图所示，过点作垂足为点，垂足为点， 则， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 由（1）可知， ∴， ∵， ， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形， 平分； ② 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质可证结论成立； （2）①过点作垂足为点，垂足为点，可证四边形是矩形，由（1）可知，又因为点是的中点，可证，证明，根据全等三角形的性质可证，从而可证四边形是正方形，根据正方形的性质可证结论成立； ②以点为原点建立平面直角坐标系，用待定系数法求出、的解析式，根据解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可以求出的长度，利用即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：如下图所示，以点为原点建立平面直角坐标系， 正方形边长为， ， 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 点是的中点， ， 点的坐标是，点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 设直线的解析式是， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 解方程组， 可得：， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点、的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ， ． 题型模版 1.特征：将正方形性质与全等、相似、勾股、旋转或坐标系结合，进行多步逻辑推理证明。 2.方法：从正方形边角对角线性质出发，灵活添加辅助线（如对角线、中位线），利用全等或旋转构造等量关系证明。 变式6-1．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图1，正方形中，点E是延长线上一点，连接，过点B作于点F，交于点G．    (1)求证：； (2)如图2，连接、．若平分，求的度数； (3)如图3，若为中点，请直接写出的值． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）证出即可得证； （2）先求出的度数，再得出，进而可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则，利用三角形的内角和定理求解即可； （3）设，则，先求出的长，再利用的面积公式求出的长，然后求出的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴在中，， ∴， ∴． （3）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵为中点， ∴， 设，则， 在中，， ∵，， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， ∴． 变式6-2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，作的平分线交对角线于点，连结，． (1)若，①求证：；②求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，连接，交于点，若，求． (3)如图3，当时，求证：． 【答案】(1)①证明：，平分， ． 正方形， ， ， ， ． 绕点旋转至， ． ． ②证明：， ， 四边形是平行四边形． ， 正方形， ， 四边形是平行四边形， ． (2) (3)证明：由正方形可知， ， 在等腰中，， ． ， ． 正方形， ， ． 【分析】（1）①计算角度，得到，即可解答； ②证明四边形是平行四边形，即可解答； （2）连接，通过平行四边形和正方形的性质，得到，，利用勾股定理可得，即可解答； （3）通过角度的计算得到，即可解答． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ． 正方形， ，， ， ， ， ， ； （3）略 变式6-3．（25-26八年级下·甘肃白银·期末）【问题情境】 (1)如图，四边形是正方形，点________是对角线上一动点，则与的数量关系为________． (2)【深入探究】 如图，在正方形中，点是对角线上一动点，过点分别作，，垂足分别为、，连接． ①试猜想与的数量关系．并证明你的猜想． ②若，求的最小值． (3)【拓展应用】 如图，延长，交于点，与交于点，点为的中点，连接，请判断的形状．并说明理由． 【答案】(1)，． (2)①解：猜想． 证明： 四边形是正方形， ，，． ，，， 四边形是矩形， ． 在和中， ， ， ， ． ② 的最小值为． (3)解：是直角三角形，． 理由： 四边形是正方形， ，，，． 在和中， ， ， ． ，即， ， ． 点在的延长线上，点在上，， ， 是直角三角形． 点是斜边的中点， ， ． 在中，， ． 又 点在上，与分别在直线两侧， ， 是直角三角形． 【分析】（1） 利用正方形关于对角线对称，得． （2）① 由，，可知四边形为矩形，故，再结合(1)得．     ② 由，转化为求对角线上动点到定点的最小距离，即点到直线的距离． （3）先证得，再由转化角；在中利用斜边中线性质得，最后通过互余关系证． 【详解】（1）解：结合图形可知，点是对角线上一动点，由于正方形是轴对称图形，点B、D关于直线对称，故． （2）① 略； ② 解：， 求的最小值即求的最小值． 点在对角线上运动， 当时，最小． 在正方形中，对角线，且互相平分， 当为与的交点时，． ， ， ， 的最小值为． （3）略 题型七、正方形的性质和判定综合问题 典例7．（25-26八年级下·陕西商洛·阶段检测）如图，在矩形中，的平分线交于点E，于F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)证明：∵矩形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ∵平分， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； (2)证明：∵，而由（1）得， ∴， ∵平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）连接，证明，设，则，可得为等腰直角三角形，，则，即可求解． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 题型模版 1.特征：需同时运用正方形性质（四边等、四角90°、对角线特性）与判定定理（矩形+菱形条件）解题。 2.方法：先根据条件判定正方形，再利用其性质求边长、角度或面积；或先由性质得结论再反推判定依据。 变式7-1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，四边形为平行四边形，，，与交于点E，且E为中点． (1)求证：； (2)求证：四边形为正方形； (3)连接，，若四边形为平行四边形，直接写出的值． 【答案】(1)证明： ∵四边形为平行四边形， ∴点O为的中点 ， ∵点E为的中点， ∴为的中位线， ∴； (2)证明： ∵四边形为平行四边形，且， ∴四边形为矩形 ， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∵四边形为矩形且对角线互相垂直， ∴四边形为正方形； (3) 【分析】(1)根据四边形为平行四边形及点E为的中点，证得为的中位线，即可得出结论； (2)首先，证得四边形为矩形 ，再由， ，证得，即可得出结论； (3)连接，，由(1)知为的中位线，得，，再由(2)知四边形为正方形，得，，设，则，再由四边形为平行四边形，得，，然后，由勾股定理得到用含有a的式子表示，最后，求比值即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，， 由(1)知为的中位线， ∴，， 由(2)知四边形为正方形， ∴，， 设，则， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 在中，， 在中，， ∴． 变式7-2．（25-26九年级下·四川达州·期中）综合与实践 问题情境：如图，四边形为正方形，点E为对角线上的一动点，连接，过点E作，交直线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)猜想证明：证明四边形是正方形． (2)解决问题：求的度数． (3)解决问题：已知，，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：过作于点，于点， ∵正方形， ∴， ∴，，则， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， (2) (3)或 【分析】（1）过作于点，于点，由，得到，即可求解； （2）证明，得到， （3）由正方形，正方形，得到，由，得到，依次求出的长，最后由，得到，即可求解，注意分情况讨论． 【详解】（1）略 （2）解：∵矩形为正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， （3）解：过作于点，于点，由（1）得正方形，， ①当在线段上时， ∵正方形，正方形， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； ②当在延长线上时，如图： ∵正方形，正方形， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； 综上所述，或． 变式7-3．（25-26八年级下·河南许昌·期末）在正方形中，点是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． (1)如图，当点是对角线的中点时，四边形的形状为________． (2)如图，当点是对角线上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． (3)已知正方形的边长为，连接，当时，请直接写出的长． 【答案】(1)正方形 (2)解：仍然成立，理由如下： 如图所示，过点作交于点，交于点， ∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，且平分，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． (3)或 【分析】（1）首先得到四边形是矩形，然后由即可证明； （2）如图所示，过点作交于点，交于点，首先证明出四边形是矩形，然后根据正方形的性质证明出，得到，即可证明四边形是正方形； （3）分点在线段上和点在延长线上两种情况，结合三角形全等及勾股定理计算的长． 【详解】（1）解：∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线， ∴四边形是矩形， ∵四边形是正方形，点在对角线的中点处， ∴， ∴四边形是正方形． （2）略 （3）解：①点在线段上， 如图所示，过点作交于点，交于点，过点作交延长线于点， 由（2）得，，四边形是正方形， ，，，，， ∴，， ∴， ， ，， 又， ∴四边形是矩形， ， 又， 是等腰直角三角形， ， 设，则，， ， ， ， 在中，； ②点在延长线上，过点作交于点，交于点，过点作交延长线于点， 由①得，，，， 设，则，， ， ， ， 在中，． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在正方形中，连接，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得出，，在中利用勾股定理求解即可； 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在中，由勾股定理得：． 2．（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（     ） A．当时，四边形是菱形 B．当平分时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 选项A，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴当时，四边形是菱形，选项A结论正确，不符合题意； 选项B，当平分时，可得，又∵平行四边形中，∴，∴，∴，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故四边形是菱形，选项B结论正确，不符合题意； 选项C，有一个内角是直角的平行四边形是矩形，∴当时，四边形是矩形，选项C结论正确，不符合题意； 选项D，对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，∴当时，四边形是矩形，不一定是正方形，选项D结论错误，符合题意． 3．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图1，在边长为4的正方形中，点，分别是正方形的边，上的点，且，若，求的长．利用旋转的方法，把绕点逆时针旋转，得到，参考图2，可得的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据旋转的性质，确定与全等，得到对应边、对应角相等，明确、的长度，以及与的等量关系．因为，，所以推导与的角度关系，判断和是否全等．设的长度为未知数，用含未知数的式子表示、的长度，结合正方形边长表示出、的长度，利用勾股定理在中建立方程求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， 由旋转性质得：，，． 因为正方形中，， 所以，即， 因此． 又为公共边， ， ． 设，则，即． 正方形边长为， ，． 是直角三角形，由勾股定理得： ， 即 ， 解得， ． 4．（25-26八年级下·甘肃天水·期末）如图1，点，分别从正方形的顶点，同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点的速度是点速度的2倍，当点运动到点时，点，同时停止运动．图2是点，运动时，的面积随时间变化的图象，则正方形的边长是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据图2可知，时，点Q运动到点C，点P运动到的中点，的面积为4，进行计算即可． 【详解】解：当点Q在上运动时，的面积为， 当时，的面积为4， 即， 此时点为的中点， 故， 解得：． 5．（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，有两个边长为的正方形，其中正方形的顶点与正方形的中心重合，在正方形绕点旋转的过程中，下列结论正确的个数为（     ）    ①        ②四边形的面积不变，始终为 ③    ④四边形的周长不变，始终为 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】连接，，利用正方形性质证明，进而判断各结论即可． 【详解】解：连接，，   四边形是正方形，为中心， ，，， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ，，，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； 由图可得，四边形的周长， 的长度随旋转角度变化而变化， 周长不是定值，故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共个． 二、填空题 6．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，P是正方形内一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数为________．    【答案】/度 【分析】根据正方形的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到，，从而证得，求出的度数，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，进而求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知中，，以斜边为边向外作正方形，正方形的对角线交于点，连接．已知，，则_______． 【答案】 【分析】过点O作于H，过点A作于G，证明，通过列方程求得，再利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图所示，过点O作于H，过点A作于G， 则四边形是矩形， ，， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ． 8．（25-26八年级下·山西长治·期末）如图，在正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点．过点作，垂足为点，交边于点．若，，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】连接，，，先证明，得到，，进而证明为等腰直角三角形，利用等腰三角形三线合一性质及线段垂直平分线的性质得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， 四边形为正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 垂直平分， ， 设， ，， ， ， ， ， ， 在中， ， 即， 解得， ． 9．（25-26八年级下·湖北武汉·期末）如图，在正方形中，，分别为边，上的点，且，连接，交于点，连接．若，，则的长是__________；的长是__________． 【答案】 【分析】首先证明，得出，进而证得；过点作于点，利用等腰三角形三线合一性质求出的长，再证明，从而求出的长；最后利用勾股定理即可求出的长，结合即可求出的长． 【详解】解：四边形是正方形 ， 在和中 过点作于点 ， 又 在和中 ， ∴， 在中， 根据勾股定理可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ． 10．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）如图，正方形的边长为，对角线，交于点，点在边上，且＝，点是边上的动点，连接，，当是等腰三角形时，的长为________． 【答案】10或或 【分析】过点作于点，由题意易得，则有，然后根据勾股定理可得，进而可分当时，当时，当时，最后分类进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 四边形是正方形，且边长为， ∴， ， ， ． 在中，． 当时，； 当时， ， ， 在中，． 当时，设， ， 在中，，即， 解得， ； 综上所述，的长为或或． 三、解答题 11．（25-26八年级下·天津北辰·期末）已知四边形是边长为的正方形，，是正方形边上的两个动点，点从点出发，以的速度沿方向运动，点同时从点出发以的速度沿方向运动．设点运动的时间为． (1)如图1，点在边上，，相交于点，当，互相平分时，求的值； (2)如图2，点在边上，，相交于点，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此四边形为平行四边形，得，分别用表示两条线段长度，列方程求解． （2）在上，先确定范围；由，利用正方形直角及互余角证明，得对应边相等，，用表示、列方程求解． 【详解】（1）解：互相平分， 四边形是平行四边形， ． 由题意：点在上，；，正方形边长， ． ， 解得：． （2）解：点在边上，，速度，走完用时， 故． 则，， ． 四边形是正方形， ，， ． ， ， ， ， 在和中： ， ， ， ， 解得：． 12．（25-26七年级下·贵州贵阳·期末）特殊化是解决数学问题时常用的一种策略．有一个正方形和，，，其中正方形的中心为点，．现将绕着点进行旋转，请探究两个图形重叠部分的面积． (1)特殊情形，如图①，当点，分别在边，上时，求重叠部分的的面积； (2)一般情形，如图②，当边，分别交边，于点，时，求重叠部分的四边形的面积． 【答案】(1)4 (2)4 【分析】（1）如图①，连接，，根据全等三角形的判定与性质得到，从而求出结果； （2）先证明，得到，再根据求出结果． 【详解】（1）解：如图①，连接，， 正方形的边长为4， ． 点是正方形的中心，，点分别在边，上， ，． ， ． 重叠部分的的面积为4； （2）如图②，连接，，由（1）得， ，， ． ， ． ． ， ． 在和中， ． ． ． 重叠部分的四边形的面积为4． 13．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，四边形和四边形均是正方形，点在上，延长到点，使，连接，，，． (1)求证：； (2)求证：四边形是正方形； (3)若，正方形的面积为40，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； (3)10 【分析】（1）由正方形的性质易得，，再由平角的定义得出，结合证得，最后利用全等三角形的性质即可证得结论； （2）由正方形的性质易得，，则，，由线段的和差关系并等量代换得出，进而证得，则，那么，结合直角三角形的性质及平角的性质求得，利用平行线的判定定理证得，结合所得结论先证得四边形是平行四边形，再证得它是矩形，最后证得它是正方形即可； （3）结合正方形的性质利用勾股定理可求解，，再利用勾股定理可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵四边形的面积为40， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·广东佛山·期末）在正方形中，点是直线上的动点（不与点、重合）．连接．线段绕点顺时针旋转得到线段．过点作，垂足为． (1)如图1，当点仅在线段上运动时： ①探究与的数量关系： ②连接，判断的形状，并说明理由． (2)如图2，连接．线段交射线于点．在运动过程中，点在线段上具有怎样的不变性？说明理由． 【答案】(1)①∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴； ②是等腰直角三角形，理由如下： 如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形． (2)解：点是线段的中点．理由如下： 当点在线段上运动时，如图，过作交于， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即点是线段的中点； 当点在射线上运动时，如图 同理可得，即点是线段的中点； 综上所述，点是线段的中点． 【分析】（1）①由旋转可得，，即可得到； ②先证明，得到，，结合正方形，得到，即可得到，则是等腰直角三角形． （2）当点在线段上运动时，如图，过作交于，先证明，得到，，再证明，得到，即点是线段的中点；当点在射线上运动时，同理证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 15．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期末）问题情境： 在边长为10的正方形中，是对角线上一点，连接．过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两线交于点． 特别研究： (1)如图1，当是对角线中点时，猜想四边形的形状，并说明理由． 深入探究： (2)如图2，当点是对角线上任意一点时．试说明（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； (3)如图3，当时，点落在的延长线上，请直接写出线段的长． 【答案】(1)正方形 ∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∵四边形是正方形，点在对角线的中点处 ∴ ∴四边形是正方形 (2)仍然成立，理由如下： 如图所示，过点P作交于点M，交于点N，则， ∵过点作的垂线，交射线于点，过点作的垂线，过点作的垂线 ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是正方形． (3)． 【分析】（1）先利用正方形对角线性质确定P点的相关线段和角度关系，再结合题中多个垂直条件，判断四边形的角的特征，再证明邻边相等，确定形状． （2）过P作正方形边的垂线构造全等三角形，证明，再结合题设的垂直条件，先判断四边形是矩形，再结合邻边相等确定形状，验证（1）的结论是否成立． （3）先根据以及正方形对角线的长度，求出长度，再结合（2）中得到的三角形全等的结论，可以得到，根据和余角关系，得到，得到，即得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，过点P作交于点M，交于点N， 由（2）知，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵正方形边长为， ∴对角线， ∵， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $