2027届高三上学期数学开学考试仿真模拟卷（二）（全国Ⅱ卷地区）

**基本信息** 2027届高三开学数学仿真卷适配多地区高三起点评估，覆盖函数、几何、概率等核心模块，以抗战胜利80周年活动、双纽线数学文化等为情境，融合数学眼光与思维考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|11题58分|集合、复数、向量、立体几何、双曲线|第9题物理实验正态分布考查数据观念，第11题双纽线渗透数学文化| |填空|3题15分|排列组合、函数单调性、双曲线离心率|第14题直线与双曲线综合考查逻辑推理| |解答|5题77分|统计与概率（独立性检验）、数列证明、立体几何（外接球）、椭圆面积、导数零点|第15题以抗战胜利80周年为情境，第19题导数零点证明体现数学思维严谨性|

2027届高三上学期数学开学考试仿真模拟卷 （二） 双向细目表 题号 题型 分值 知识模块 具体考点 难度系数 备注 1 单选 5 集合 集合的交集与补集混合运算 0.90 2 单选 5 复数 复数的几何意义与象限判断 0.85 3 单选 5 逻辑 全称命题与存在命题的否定 0.90 4 单选 5 平面向量 向量的投影向量与模的计算 0.80 5 单选 5 解三角形 余弦定理求角或边长 0.75 6 单选 5 函数 抽象函数的奇偶性与单调性综合 0.65 7 单选 5 立体几何 空间异面直线所成角的计算 0.60 8 单选 5 解析几何 圆锥曲线焦点三角形与内切圆性质 0.35 压轴 9 多选 6 概率统计 决定系数、相关系数或方差性质 0.80 10 多选 6 导数概念 导数与单调性、极值的关系辨析 0.65 11 多选 6 解析几何 伯努利双纽线或双曲线新定义探究 0.30 压轴，新定义 12 填空 5 排列组合 限制条件的分组分配问题 0.80 生活实践 13 填空 5 导数应用 导数恒成立求参数最值 0.50 14 填空 5 解析几何 双曲线离心率与点差法综合 0.35 压轴 15 解答 13 概率统计 独立性检验与分布列期望综合 0.80 （1）0.80 （2）0.60，生活实践 16 解答 15 数列 递推关系与错位相减/放缩法证明 0.75 （1）0.75 （2）0.50 17 解答 15 立体几何 线面垂直证明与二面角/外接球计算 0.70 （1）0.70 （2）0.55 18 解答 17 解析几何 椭圆方程与弦长、面积最值问题 0.70 （1）0.70 （2）0.35 19 解答 17 导数应用 极值点讨论与极值点偏移证明 0.65 （1）0.65 （2）0.25，压轴 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三上学期数学开学考试仿真模拟卷（二） 解析卷 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 本试卷适用地区：辽宁、海南、重庆、山西、吉林、黑龙江、安徽、云南、甘肃、贵州、广西、四川、陕西、西藏、新疆、宁夏、内蒙古、青海. 答案速查表 1 2 3 4 5 D B A A B 6 7 8 9 10 D D D AD AD 11 12 13 14 15 ACD 12 （1）10 （2）分布列见解析，数学期望为 16 17 18 19 （1）65 （2）证明见解析 （3）证明见解析 （1）证明见解析 （2） （3）存在， 为 靠近 的 处或中点 （1） （2） （1）在 上单调递减，在 单调递增 （2）（i） （ii）证明见解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，，，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由已知，，∴ ， 故选：D. 【点拨】本题考查集合的交集与并集运算，注意先求括号内的交集，再求并集，属于基础题. 2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由复数 对应的点的坐标是 ，则 ， 故选：B. 【点拨】本题考查复数的几何意义，复平面内的点 对应复数 ，属于基础题. 3. 设命题 ，则 为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可知：.故选A. 【点拨】本题考查全称命题的否定，注意量词的改变和结论的否定. 4. 已知向量 ，，则向量 在向量 上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由 ，，得 ，， ∴向量 在向量 上的投影向量为 . 故选：A. 【点拨】本题考查投影向量的计算公式，投影向量为 ，注意区分投影与投影向量. 5. 在 中，，，，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由余弦定理 ， 又 ，∴ . 故选：B. 【点拨】本题考查余弦定理求角，直接代入公式计算即可，注意角的范围. 6. 定义在 上函数满足 ，且当 时，.则使得 在 上恒成立的 的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据题设可知，当 时，，故 ， 同理可得：在区间 上，， ∴当 时，. 作函数 的图象，如图所示. 在 上，由 ，得 . 由图象可知当 时，. 故选：D. 【点拨】本题考查函数的周期性与最值问题，利用递推关系求出各区间的函数解析式，结合图象分析是解题的关键. 7. 在正三棱柱 中，，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 在正三棱柱 中， ，则 （或其补角）为异面直线 与 所成的角. 设 ，在 中， ，，， 由余弦定理得 ， 故选：D. 【点拨】本题考查异面直线所成角的计算，通过平移线段构造三角形，再利用余弦定理求解. 8. 如图，， 为双曲线的左右焦点，过 的直线交双曲线于 ， 两点，， 为线段的 中点，若对于线段 上的任意点 ，都有 成立，且 内切圆的圆心在直线 上.则双曲线的离心率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由 可得 .由 ，可得 . 又由 内切圆的圆心在直线 上，可得 ，据此可得答案. 如图1，取 中点为 ，连接 ，.则 . . 因 ，则 . 因直线外一点到直线连线中垂线段最短，则 为 垂线.因 为 中点， 为 中点，则 ，得 .又 为直角三角形斜边 中线，则 . 如图2，设 内切圆的圆心为 ，内切圆与 交点为 ，与 交点为 ，与 交点为 .则 ，，又 ，则 . 又由切线性质，可知 ，，，则 . 则离心率为 . 故选：D 【点拨】本题考查双曲线的离心率，极化恒等式的应用，以及焦点三角形内切圆的性质，综合性较强. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 为提高同学们的科学积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验.在某个实验中，统计同学们得到的实验测量结果 近似服从正态分布 .已知 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】AD（全部选对得6分，部分选对得部分分） 【解析】由于 ，且 与 的覆盖区间长度相同，则 比 更接近正态曲线的对称轴 ，故 ，故A正确；由 无法得知 与4的大小，故B错误；由于 ，故 ，故C错误；同理可得 ，故D正确.故选AD. 【点拨】本题考查正态分布曲线的对称性，利用区间概率比较对称轴的位置是解题关键. 10. 已知 是定义在 上的可导函数，则（　　） A. 若 ，则 是增函数 B. 若 ，则 0 是 的极值点 C. 若 ，则 D. 若 ，则 是减函数 【答案】AD（全部选对得6分，部分选对得部分分） 【解析】若 ，则 是增函数，故A正确； 当 时，0不一定是 的极值点，如 ，，但 没有极值，故B错误； 若 ，则 ，故C错误； ∵ ，∴ ， ∴ 在 上是减函数，故D正确. 故选：AD. 【点拨】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，以及构造函数判断单调性，注意极值点处导数为0是必要不充分条件. 11. 双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.已知曲线 （如图所示）过坐标原点 ，且 上的点 满足到两个定点 ， 的距离之积为4，则下列结论正确的是（　　） A. B. 点 在 上，则 C. 点 在椭圆 上，若 ，则 D. 过 作 轴的垂线交 于 ， 两点，则 【答案】ACD（全部选对得6分，部分选对得部分分） 【解析】由题意，，即 ， 对于A，因曲线 过原点 ，将 代入，解得 ，故A正确； 对于B，由点 在 上，得 ， 化简得 ，解得 ，，故B错误； 对于C，椭圆 的焦点坐标恰好为 与 ，则 ， 由 ，得：， 则 ，，故C正确； 对于D，设 ，则 ，而 ，则 ， 又根据勾股定理得 ，则 ，化简得 ， 解得 ，，因此 ，，故D正确. 故选：ACD. 【点拨】本题考查新定义曲线与圆锥曲线的综合，利用代数化简和几何性质进行判断，考查直观想象和数学运算能力. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将2名女生和3名男生分配到两个不同的兴趣小组，要求每个兴趣小组分配男生、女生各1人，则不同的分法种数为＿＿＿＿＿＿. 【答案】12 【解析】每个小组安排一个女生，有 种方法， 每个小组安排一名男生，有 种方法， 故每个兴趣小组分配男生女生各1人，共有 种方法， 故答案为：12 【点拨】本题考查排列组合中的分组分配问题，分步考虑女生和男生的分配即可. 13. 若 在 上单调递减，则实数 的最大值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】∵ 在 上单调递减， ∴ 在 上恒成立，∴ 在 上恒成立， ∴ 在 上恒成立，令 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时等号成立，∴ ， 故实数 的最大值为 . 【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性，转化为恒成立问题后，利用基本不等式求最值是关键. 14. 过原点的直线与双曲线 交于 ， 两点，且点 在第二象限，过点 作 的垂线 与 交于点 ，过点 作 轴的垂线与 交于点 ，与直线 交于点 ，若 ，则 的离心率为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】设 ，，，，则 ，， 由 ，得 .∵点 均在双曲线 上， ∴ ，，两式相减得 ， 则 ，∵ ，∴ ， 又 ， ∴ ， 故双曲线 的离心率 . 【点拨】本题考查双曲线的离心率，利用点差法求出斜率乘积，结合向量关系求出斜率比例是解题关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校以“铭记历史、缅怀先烈、珍视和平、开创未来”为主题举行纪念活动.为了解男、女同学对该活动的兴趣程度，对多位该校同学进行了调查，并将结果整理为如下列联表，其中 为正整数. （1）若根据小概率值 的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，求 的最小值； （2）若 ，从参与调查且参加活动的同学中每次随机不放回地选1人，直到选中女生为止，求总选取次数 的分布列和数学期望. 附：，. 【答案】（1）10 （2）分布列见解析，数学期望为 【解析】解：（1）由题意可得： ， 由于根据小概率值 的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关， ∴ ，解得 ， ∵ 为正整数，∴ 的最小值为1. （2）当 时，参与调查且参加活动的同学中共有男生3名，女生8名， 故总选取次数 的可能取值有1，2，3，4. 且 ，， ，. 故 的分布列为 1 2 3 4 ∴ . 【点拨】本题考查独立性检验与离散型随机变量的分布列及期望，注意不放回抽样的概率计算. 16. 已知数列 的前 项和 （）. （1）求 的值； （2）证明：； （3）证明：. 【答案】（1）65 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】解：（1）当 时，， 又 ， ∴ . （2） ∵ ，∴ （ 时取“=”）. ∴ ， 即 （当且仅当 时取“=”）. （3）由（2） （当且仅当 时取“=”）. ∴ ，，，…，. 各式相加得：. 即 . 【点拨】本题考查数列的通项与求和，利用裂项相消法和放缩法证明不等式是关键. 17. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，，，，， 为 中点. （1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥 的外接球的体积； （3）线段 上（不含端点）是否存在点 ，使得 与平面 所成角为 ？若存在，确定 点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 为 靠近 的 处或中点 【解析】解：（1）若 是 的中点，连接 ，又 为 中点，则 ，， 由 且 ，∴ ，， ∴四边形 为平行四边形，则 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 . （2）由 平面 ，即 平面 ， 平面 ，则 由 ，，则 ， 且都在平面 内， ∴ 平面 ，易知 是长宽高分别为 的长方体的一部分， ∴ 为长方体的体对角线，且 与该长方体的外接球重合，故 ， ∴外接球半径 ，则外接球的体积为 . （3）构建如上图所示的空间直角坐标系 ， 则 且 ， ∴ ， 若 是平面 的一个法向量，则 ，取 ，则 ， 由 与平面 所成角为 ，设所成角为 ， 则 ， ∴ ，可得 ，可得 或 ， 综上，存在 为 靠近 的 处或中点时， 与平面 所成角为 . 【点拨】本题考查线面平行的证明、外接球体积的计算以及利用空间向量求线面角，建系求法向量是常规方法. 18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，点 在 上，且满足 . （1）求 的方程； （2）设直线 与 交于 ， 两点，若线段 中点 的纵坐标为1，求 面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】解：（1）∵ 在 上，∴ ①. 由题意知 ，∴ . 由 ，得 ，解得 ②. 由①②联立解得 ， ∴ 的方程为 . （2）当直线 的斜率不存在时，线段 的中点 的纵坐标为0，故直线 的斜率存在. 设其方程为 ，联立 消 得 . 由 ，得 ③. 如图，设 ， 则 . ∴ ，则 . ∴ ，代入③得 ， ∴ . ， 点 到直线 的距离 ， . . 当 时， 最大，最大值为 . 【点拨】本题考查椭圆方程的求解及直线与椭圆相交的面积最值问题，利用韦达定理和弦长公式，结合二次函数求最值. 19. 已知函数 ， 为 的导函数. （1）当 时，讨论 的单调性； （2）若 有两个零点， （i）求 的取值范围； （ii）记 较小的一个零点为 ，证明：. 【答案】（1）在 上单调递减，在 单调递增 （2）（i） （ii）证明见解析 【解析】解：（1）当 时，，函数 的定义域为 ， ， 当 时，，函数 单调递减； 当 时，，函数 单调递增. 综上所述，函数 在 上单调递减，在 单调递增. （2）（i）函数 的定义域为 ，， ①当 时，，函数 在 单调递减， 至多有一个零点，不符合题意； ②当 时，令 ，解得 ， 当 时，，函数 单调递减； 当 时，，函数 单调递增. ∴当 时， 取得最小值，最小值为 . ∵函数 有两个零点，且 时，， 时，，∴ . 设 ，易知函数 在 单调递增. ∵ ，∴ 的解集为 . 综上所述，实数 的取值范围是 . （ii）∵ ，由 ，结合（i）知 ， 要证 ，即证 ，即 ， 当 时，∵ ，，不等式恒成立； 当 时，由 得 . 即证 . 即证 . 即证 . 设 ，，由 ， ∴ 在 单调递增. ∴ ，故原不等式成立. ∴ . 【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与零点，极值点偏移问题的证明，构造函数并利用放缩法是解题关键. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三上学期数学开学考试仿真模拟卷（二） （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 本试卷适用地区：辽宁、海南、重庆、山西、吉林、黑龙江、安徽、云南、甘肃、贵州、广西、四川、陕西、西藏、新疆、宁夏、内蒙古、青海. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，，，则 （　　） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （　　） A. B. C. D. 3. 设命题 ，则 为（　　） A. B. C. D. 4. 已知向量 ，，则向量 在向量 上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 5. 在 中，，，，则 （　　） A. B. C. D. 6. 定义在 上函数满足 ，且当 时，.则使得 在 上恒成立的 的最小值是（　　） A. B. C. D. 7. 在正三棱柱 中，，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，， 为双曲线的左右焦点，过 的直线交双曲线于 ， 两点，， 为线段的 中点，若对于线段 上的任意点 ，都有 成立，且 内切圆的圆心在直线 上.则双曲线的离心率是（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 为提高同学们的科学积极性，某高中组织进行了一系列的自然物理实验.在某个实验中，统计同学们得到的实验测量结果 近似服从正态分布 .已知 ，则（　　） A. B. C. D. 10. 已知 是定义在 上的可导函数，则（　　） A. 若 ，则 是增函数 B. 若 ，则 0 是 的极值点 C. 若 ，则 D. 若 ，则 是减函数 11. 双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.已知曲线 （如图所示）过坐标原点 ，且 上的点 满足到两个定点 ， 的距离之积为4，则下列结论正确的是（　　） A. B. 点 在 上，则 C. 点 在椭圆 上，若 ，则 D. 过 作 轴的垂线交 于 ， 两点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 将2名女生和3名男生分配到两个不同的兴趣小组，要求每个兴趣小组分配男生、女生各1人，则不同的分法种数为＿＿＿＿＿＿. 13. 若 在 上单调递减，则实数 的最大值为＿＿＿＿＿＿. 14. 过原点的直线与双曲线 交于 ， 两点，且点 在第二象限，过点 作 的垂线 与 交于点 ，过点 作 轴的垂线与 交于点 ，与直线 交于点 ，若 ，则 的离心率为＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校以“铭记历史、缅怀先烈、珍视和平、开创未来”为主题举行纪念活动.为了解男、女同学对该活动的兴趣程度，对多位该校同学进行了调查，并将结果整理为如下列联表，其中 为正整数. （1）若根据小概率值 的独立性检验，认为是否参加该活动与性别有关，求 的最小值； （2）若 ，从参与调查且参加活动的同学中每次随机不放回地选1人，直到选中女生为止，求总选取次数 的分布列和数学期望. 附：，. 16.（15分）已知数列 的前 项和 （）. （1）求 的值； （2）证明：； （3）证明：. 17.（15分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，，，，， 为 中点. （1）求证： 平面 ； （2）求三棱锥 的外接球的体积； （3）线段 上（不含端点）是否存在点 ，使得 与平面 所成角为 ？若存在，确定 点的位置；若不存在，请说明理由. 18.（17分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，点 在 上，且满足 . （1）求 的方程； （2）设直线 与 交于 ， 两点，若线段 中点 的纵坐标为1，求 面积的最大值. 19.（17分）已知函数 ， 为 的导函数. （1）当 时，讨论 的单调性； （2）若 有两个零点， （i）求 的取值范围； （ii）记 较小的一个零点为 ，证明：. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $