精品解析：文海大联考2026届G20高三上学期起点考试数学试题

文海大联考·2026届G20高三起点考试 数学试卷 组织命题：黄冈市文海教科院 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一组数据为：，则这组数据（ ） A. 中位数为 B. 众数为 C. 百分位数为 D. 平均数为 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数、众数、百分位数和平均数的定义和求法依次判断各个选项即可. 【详解】将数据按从小到大顺序排列为：，共个数； 对于A，，中位数为第个数和第个数的平均数，即，A错误； 对于B，出现次数最多的数为和，众数为和，B错误； 对于C，，百分位数为第和第个数的平均数，即，C正确； 对于D，平均数为，D错误. 故选：C. 2. 已知复数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件得到，然后用共轭复数的定义即可. 【详解】由已知有，故. 故选：A. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义即可得解. 【详解】， 所以. 故选：A. 4. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合绝对值性质可得，再结合分式不等式运算求解. 【详解】因为，即，可得， 等价于，解得， 所以不等式的解集为． 故选：D． 5. 在△ABC中，a＝2，b＝5，c＝6，则cos B等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 . 故选：A. 6. 设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线，求出焦点，再结合题意求出直线的方程为：，在求出点及点，从而可求解. 【详解】由抛物线，则焦点，准线：， 又因为直线的斜率为，则直线的方程为：， 因，所以可得点， 又，所以，即得点， 则. 故选：C. 7. 在等差数列中，若，则此数列前30项和等于（ ） A. 810 B. 840 C. 870 D. 900 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质可求数列前30项和. 【详解】设此数列前30项和为，则， 故选：B. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，利用两角和与差的正弦公式可求得，再利用二倍角公式即可求得. 【详解】因为， 则，即， 所以， 则. 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设公比为的等比数列，若则（ ） A. B. 当时， C. 和的等比中项为4 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于ABC根据等比数列的性质及通项公式求解判断即可，对于D结合基本不等式即可判断. 【详解】由题意，，即，故A正确； 当时，，所以，故B正确； 因为，所以和的等比中项为4或，故C错误； 由，当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 的极大值为 C. 函数的极小值点为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出当，的解析式，再根据导数的几何意义判断A；根据极大值的定义判断B；根据极小值点的定义判断C；把不等式是等价转化为或求解可判断D. 【详解】当时，，所以， 则，又，所以A错误； 当时，当时．，所以的极大值为， 又为奇函数，所以当时，有极小值，无极大,值，所以B正确； ，当或时， 当时，，所以的极小值点为，所以C正确； 根据， 或；或， 等价于或， 则，所以D正确． 故选：BCD 11. 已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为，一条渐近线为，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，的离心率为 B. 当时，直线与仅有一个公共点 C. 到的距离为1 D. 若在上的射影为则经过三点的圆的方程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，直接求出离心率即可得出；对B，可得与渐近线平行，即可判断；对C，利用点到直线距离公式可求；对D，可求得圆的方程为. 【详解】当时，双曲线为所以所以则正确； 当时，其渐近线为直线与渐近线平行，且过顶点(1，0)与双曲线仅有一个公共点，则B正确； 因为到渐近线的距离为则C正确； 设为坐标原点，得结合得则从而所以经过点的圆的方程为（只有当时，方程才是)，则D错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查双曲线的性质，解题的关键是正确理解双曲线的有关性质，能利用性质进行相关计算. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，在方向上的投影为3，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】由投影公式求出数量积，从而求解出结果． 【详解】在方向上的投影为3，所以，则 所以 故答案为：10 13. 已知，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】求出函数的导数，进而求出导数值. 【详解】由，求导得， 所以. 故答案为：2 14. 已知棱长为1的正方体，在其内部放入两个相外切的球和球（可与正方体表面相切），半径分别为，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】要想最大，则两球都分别与正方体体对角线顶点相邻的三个面都相切求解. 【详解】当球和球相切，此时两球球心均在体对角线上， 且球与平面，平面，平面相切， 球与平面，平面，平面相切，此时取得最大值， 其中，，，， 故， 解得， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证阴过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值，并求的单调递减区间； （2）求在上的值域． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦型函数周期公式及余弦型函数单调性求解即可； （2）根据自变量范围，利用整体替换思想结合余弦函数性质求解. 【小问1详解】 由题意可知．所以 即 所以 所以 所以的单调减区间为 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以， 所以函数在上的值域为. 16. 设椭圆经过点，其离心率. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上一点的坐标以及离心率列出方程组，解方程可得结果； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，根据点到直线的距离公式求出三角形的高，进而求出三角形面积. 【小问1详解】 因为椭圆经过点，其离心率， 所以，解得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由得，，， 设，则， 所以. 因为点到的距离为， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，，．求二面角的大小． 【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，， 在中，，分别为，的中点，所以且， 在菱形中，因为且， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）添加适当辅助线，证明出四边形为平行四边形，再通过线线平行证明线面平行； （2）由线面垂直得出线线垂直，再证明为正三角形，得出，建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，再利用公式求解，即可求出二面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为平面，，，平面， 所以，，． 连接，因为，，且， （或者证 所以，在菱形中，，即为正三角形， 又因为为中点，所以， 以为原点，，，所在的直线分别为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 因为且． 又因为为正三角形且，所以， 则，，，则，， 由平面，可得平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 所以，所以二面角的大小为． 18. 已知函数，为自然对数的底数. （1）试判断函数的零点个数并说明理由； （2）证明：. 【答案】（1）两个，理由如下： 的定义域为， 当时，恒有，故在内没有零点. 当时，由得， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又， 故存在，，使得，， 所以在两个零点. 综上，函数有两个零点. （2）证明：方法一：令，则时，，且. 于是等价于， 令，可得，令，可得， 当时，，函数是增函数， 当时，，函数是减函数， 所以时，函数取得最大值：，所以，即. 方法二：令，则，于是等价于， 即，令，则有. 令，即，解得； 令，即，解得，所以在单调递减，上单调递增， 所以，即.所以，即. 【解析】 【分析】（1）求出函数导函数，讨论其单调性后结合零点存在性定理可判断函数零点个数； （2）方法一，令，则等价于，令，利用函数的导数，通过函数的最值判断证明即可； 方法二：令，则等价于，令，利用函数的导数，通过函数的最值判断证明即可. 【小问1详解】 两个，理由略； 【小问2详解】 略. 19. 甲同学与乙同学进行如下游戏：在个白色小方格中，甲同学将从上往下数的第i行，从左往右数的第j列涂黑，而乙同学从除黑色方格以外的任意一格出发，只能往前、后、左、右四个方向移动，且不能经过黑色方格.若乙可以不重复的一次性经过所有白色方格，则乙获胜，否则甲获胜，记甲涂黑的方格为. （1）若，甲同学随机涂黑一个方格，求甲获胜的概率. （2）若甲将涂黑，求证：当m为奇数时，甲一定获胜. （3）若m为奇数，乙从出发，甲将涂黑，其中i，j不同时为1，求证：甲获胜的概率. 【答案】（1） （2）我们为格子标号： 1 黑格 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 乙不妨从1出发，则乙的路线必定是1→2→1→2…， 若乙要获胜，则标号为1的格子数与标号为2的格子数之差的绝对值不大于1， 若最后是2，则说明1的数量和2的数量相同，若最后是1，则说明1比2多一个， 由于m为奇数，则第1,3，5，7…m列，1的数量比2的数量多1个， 这样的列数一共有个，也就是1比2的数量多， 同理，第2，4，6，…列，2的数量比1的数量多一个（不考虑黑格），这样的列一共有列， 因此1的数量比2的数量多个， 但实际情况是第二列中1的数量和2的数量一样多，因此1的数量比2的数量多两个， 这说明乙无法不重复地一次性经过所有白色方格，因此当m为奇数时，甲一定获胜. （3）受到（2）的启发，我们仍然为格子标号： 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 乙的路线仍然是1→2→1→2→…,乙获胜只需要使1和2一样多，或1比2多一个， 我们考虑1比2多两个的情况： 若不考虑涂黑的格子，由（2）可知：1比2的数量多1个 当且仅当涂黑2时，1比2的数量多两个，此时甲一定获胜， 第1，3，5…m列每列个2，第2，4，6…列每列有个2，因此一共有个2， 又因为甲可以涂黑除了共个方格，因此甲获胜的概率. 【解析】 【分析】（1）不难看出只有当甲不涂黑方格的四个角和中心处，甲一定获胜，由此可得甲获胜的概率； （2）给格子标号，若乙要获胜，则标号为1的格子数与标号为2的格子数之差的绝对值不大于1， 即1比2的数量多两个时，此时甲一定获胜，计算当m为奇数时，1号和2号的格子数， 发现1的数量比2的数量多两个，故当m为奇数时，甲一定获胜； （3）由（2）可知，考虑1比2多两个的情况，只有涂黑2时，1比2的数量多两个，此时甲一定获胜， 计算2号格子的数量，除以甲能涂黑的格子数，即可证明甲获胜的概率. 【小问1详解】 甲随机涂黑一个，在方格的四个角和中心处，显然乙可以不重复地一次性经过所有白色方格， 只有当甲涂黑，，，时，乙无法不重复地一次性经过所有白色方格， 故甲获胜的概率为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文海大联考·2026届G20高三起点考试 数学试卷 组织命题：黄冈市文海教科院 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一组数据为：，则这组数据（ ） A. 中位数为 B. 众数为 C. 百分位数为 D. 平均数为 2. 已知复数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. D. 5. 在△ABC中，a＝2，b＝5，c＝6，则cos B等于（ ） A. B. C. D. 6. 设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 在等差数列中，若，则此数列前30项和等于（ ） A. 810 B. 840 C. 870 D. 900 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设公比为的等比数列，若则（ ） A. B. 当时， C. 和的等比中项为4 D. 10. 已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 的极大值为 C. 函数的极小值点为 D. 不等式的解集为 11. 已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为，一条渐近线为，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，的离心率为 B. 当时，直线与仅有一个公共点 C. 到的距离为1 D. 若在上的射影为则经过三点的圆的方程为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，在方向上的投影为3，则________． 13. 已知，则________. 14. 已知棱长为1的正方体，在其内部放入两个相外切的球和球（可与正方体表面相切），半径分别为，则的最大值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证阴过程或演算步骤. 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值，并求的单调递减区间； （2）求在上的值域． 16. 设椭圆经过点，其离心率. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点，求的面积. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，，．求二面角的大小． 18. 已知函数，为自然对数的底数. （1）试判断函数的零点个数并说明理由； （2）证明：. 19. 甲同学与乙同学进行如下游戏：在个白色小方格中，甲同学将从上往下数的第i行，从左往右数的第j列涂黑，而乙同学从除黑色方格以外的任意一格出发，只能往前、后、左、右四个方向移动，且不能经过黑色方格.若乙可以不重复的一次性经过所有白色方格，则乙获胜，否则甲获胜，记甲涂黑的方格为. （1）若，甲同学随机涂黑一个方格，求甲获胜的概率. （2）若甲将涂黑，求证：当m为奇数时，甲一定获胜. （3）若m为奇数，乙从出发，甲将涂黑，其中i，j不同时为1，求证：甲获胜的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $