2026年高三数学秋季开学学情自测卷02（全国通用版）【范围：人教A版选修和部分一轮复习内容】

**基本信息** 2026年高三开学学情自测卷，覆盖选必一至三及一轮内容，通过分层设计与真实情境考查数学核心素养，适配开学复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|函数导数、集合、统计概率等|基础概念辨析（如第3题回归分析）| |填空题|3题15分|导数几何意义、概率、双曲线|情境应用（如第13题乒乓球比赛概率）| |解答题|5题77分|统计案例、数列、立体几何、解析几何、函数导数|综合探究（如15题AI关注统计与概率分布，19题函数极值与零点证明）|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高三开学学情自测卷01 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） (1) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高三开学学情自测卷01 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C D B B C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB AD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分． 12．-1 13．②③④ 14．48 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1) 关注 不关注 合计 男生 55 5 60 女生 20 10 30 合计 75 15 90 能有的把握认为学生对AI的关注与性别有关． (2)的分布列为      1 3                ． 【详解】（1）列联表如下： 关注 不关注 合计 男生 55 5 60 女生 20 10 30 合计 75 15 90 则， 故能有的把握认为学生对AI的关注与性别有关． （2）设甲、乙得分分别为，，则，且为奇数， 可得，，，，，，，， ， ， ， ， 又因为，则或， 所以，． 所以的分布列为      1 3                所以． 16．（15分） 【答案】(1)；(2)1 【详解】（1）∵， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，满足上式， ∴． （2）由（1）得， ∴， ∴， ∵，∴， 又因对，恒成立，故，得， ∴实数的最小值为1． 17．（15分） 【答案】(1)见详解；(2)；(3)． 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，，，，，，. 取的中点G，连结，则． ，， ．即． 又平面，平面， 平面． （2）设平面的法向量为，，． ．即． 取，得． 又， 故点F到平面的距离为． （3）， ． ∴直线与平面所成角的大小为． 18．（17分） 【答案】(1)；(2)；(3)见详解 【详解】（1）将点、代入双曲线方程，得， 令，​，解得​，即. 因此，双曲线的标准方程. （2）设，且两点均在双曲线上，故 两式相减得点差公式：，即. 又因为中点为，故，代入上式得，即. 若，则，则重合，且中点，则三点重合， 这与直线交的右支于，两点矛盾. 所以，因此直线斜率. 又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得. 联立​，得，判别式， 且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件. 因此直线的方程为. （3）由双曲线得，右焦点， ①当直线的斜率存在时，设直线，，中点. 联立​，整理得, 由韦达定理得：， 因此：， 因为圆以为直径，圆心为，半径​，所以， 设，将代入圆方程， 得，故， 所以 ， 因为，所以，且，代入上式， 所以. ②当直线斜率不存在时，，易得， 所以，仍成立. 综上，为定值. 19．（17分） 【答案】(1)；(2)见详解；(3)见详解 【详解】（1）当时，， 当时，恒成立； 当时，恒成立；综上：. （2）①当时，， ， 显然：在上单调递增，， ， 由零点存在定理和单调性可知，存在唯一的，满足， 且当时，，单调递减；当时，，单调递增； 综上：函数在上有唯一的极小值点. ②由以上分析，在上单调递减，在单调递增， 则，， 故存在唯一，满足， 即在有唯一的零点. （3），证明如下： 由（2）可知，，， ， 令，，则， 则， 即在上单调递减，所以，即， 则， 由于在上单调递增， 又，， 所以. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高三开学学情自测卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019选必一+选必二+选必三+一轮部分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数在处的导数值为1，（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 3．下列说法正确的是（    ） A．回归分析中，决定系数越小，说明残差平方和越小，拟合效果越好 B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C．已知随机变量，则 D．已知随机变量，则 4．已知口袋里有3个小球，其中2个红球，1个白球，甲、乙2人依次随机摸出1个小球．记事件为“甲摸到红球”，事件为“乙摸到红球”，则下列说法错误的是（     ）． A．若摸球后放回，则 B．若摸球后不放回，则 C．若摸球后放回，则 D．若摸球后不放回，则 5．如图，现要对某市的5个区域地图进行着色，有4种颜色可供选择，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．108种 6．在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．二项式系数之和为32 B．各项系数之和为 C．二项式系数最大的项为 D．常数项为 7．已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知定义在上的增函数满足对，有，设，若对，都有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 10．已知在等差数列中，公差不为0，，则（     ） A． B． C． D． 11．已知正方体的棱长为1，若，则（     ） A．若，则 B．若平面，则点轨迹的面积为 C．若，则的最小值为 D．若，则点的轨迹与正方体表面交线的长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则________． 13．甲、乙两队进行一场乒乓球比赛，采用5局3胜制，率先赢得3局的一方最终获胜．已知每局比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设各局比赛的结果相互独立．给出下列四个结论： ①甲队以比分最终获胜的概率比甲队以比分最终获胜的概率更大； ②甲队在以比分落后的情况下最终获胜的概率与甲队以比分最终获胜的概率相同； ③甲队在以比分落后的情况下最终获胜的概率比甲队以比分最终获胜的概率更大； ④整场比赛甲队最终获胜的概率超过． 其中正确结论的序号是________． 14．已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 人工智能（英语：，缩写为）亦称智械，机器智能，指由人制造出来的可以表现出智能的机器．为了了解不同性别的学生对的关注情况，随机抽取了90名学生，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 55 60 女生 合计 75 (1)完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为学生对的关注与性别有关？ (2)为了激发同学们对的关注，某班级举办了一次闯关赛，甲、乙两名选手参加赛，比赛共有3道题目，其中甲、乙水平相当，他们分别答对每道题的概率均为，两人各自分开答题，答对一题得1分，否则不得分．答题结束后得分较高者获胜，得分相同视为平局．已知比赛结束后甲，乙得分之和为奇数．假设甲、乙得分之差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望. 附： 0.1 0.05 0.01 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 16．（15分） 已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 17．（15分） 如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，E、F分别是、的中点．若，． (1)求证：平面； (2)求点F到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的大小． 18．（17分） 已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 19．（17分） 已知函数. (1)当时，若恒成立，求实数的值； (2)当，时，求证：函数在上有唯一的极值点和零点； (3)在（2）的条件下，试比较与的大小，并证明你的结论. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高三开学学情自测卷01 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数在处的导数值为1，（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由导数定义可知，. 2．定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 【答案】C 【详解】由集合，且， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得， 所以集合， 所以的真子集的个数为个. 3．下列说法正确的是（    ） A．回归分析中，决定系数越小，说明残差平方和越小，拟合效果越好 B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C．已知随机变量，则 D．已知随机变量，则 【答案】C 【详解】对于A，回归分析中，决定系数，越小，说明残差平方和越大，模型拟合效果越差，故A错误； 对于B，线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强.若为负数，越大（越接近0）反而线性相关性越弱，故B错误； 对于C，由随机变量得，，故C正确； 对于D，因，则，又因， 则，故D错误. 4．已知口袋里有3个小球，其中2个红球，1个白球，甲、乙2人依次随机摸出1个小球．记事件为“甲摸到红球”，事件为“乙摸到红球”，则下列说法错误的是（     ）． A．若摸球后放回，则 B．若摸球后不放回，则 C．若摸球后放回，则 D．若摸球后不放回，则 【答案】D 【详解】A：甲摸到红球的概率且有放回，乙摸球时口袋中球的情况没有变化， 所以乙摸到红球的概率，故，正确， B：甲摸到红球的概率且不放回， 乙摸到红球可以分为两种情况： 甲摸到红球的概率，乙摸到红球的概率为，则， 甲摸到白球的概率，乙摸到红球的概率，则， 所以乙摸到红球的总概率，故，正确， C：由A分析知且放回，甲摸到红球对乙摸球没有影响， 所以，故，正确， D：由B分析知且不放回，已知甲摸到红球后，袋中剩余2个球（1红1白）， 此时乙摸到红球的概率为，显然，即，错误. 5．如图，现要对某市的5个区域地图进行着色，有4种颜色可供选择，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．108种 【答案】B 【详解】第一步涂：有种颜色可选，共种选择， 第二步涂：与不同色，共种选择， 第三步涂：与都不同色，共种选择， 第四步涂、：分两类讨论， 当与同色时， 只有种， 与相邻，只需排除两种颜色，共种， 此情况总数， 当与不同色时， 需要排除三种颜色，共种， 与相邻，需要排除三个不同颜色，共种， 此情况总数， 所以总着色方法为种. 6．在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．二项式系数之和为32 B．各项系数之和为 C．二项式系数最大的项为 D．常数项为 【答案】B 【详解】选项A：在的展开式中，二项式系数之和为，A错误； 选项B：令，得各项系数之和为，B正确； 选项C：二项展开式的通项公式：，其中， 为偶数，二项式系数最大的是中间项即第4项（对应）， 代入通项得该项为，C错误； 选项D：令，得，得常数项为，D错误. 7．已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为，直线的一个方向向量为， 又由直线的方向向量为，设， 当时，可得，此时， 所以，即充分性成立； 反之：若，可得，所以， 解得，所以必要性成立， 综上可得，“”是“”的充要条件. 8．已知定义在上的增函数满足对，有，设，若对，都有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中令得，所以， 因为是增函数，所以是增函数， 由于， 因此不等式即为， 所以，即， 设，显然它是增函数，且， 因此不等式即为， 所以，恒成立，即，恒成立， 令，则，恒成立， 令，则， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】AB 【详解】由题意可知：命题“”是真命题， 则，解得， 结合选项可知AB正确，CD错误. 10．已知在等差数列中，公差不为0，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】， 故， 即，解得， 又公差不为0，故，A正确，B错误； ，D正确， 因为公差不为0，故C错误. 11．已知正方体的棱长为1，若，则（     ） A．若，则 B．若平面，则点轨迹的面积为 C．若，则的最小值为 D．若，则点的轨迹与正方体表面交线的长度为 【答案】ABD 【详解】如图，以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系， 则， 由于，故. 对于A，若，则， 又，故， 故，因此，故A正确； 对于B，因为，平面，平面， 故平面， 又，平面，平面，故平面， 而平面，，故平面平面， 由于平面，所以平面， 又，故点在内运动，轨迹面积即为的面积， 易得为边长为的等边三角形，， 因此点的轨迹面积为，故B正确； 对于C，由于，故， 这是因为， 当且仅当时取等号，因此的最小值为，故C错误； 对于D，， 故点在以为球心，半径的球面上， 考虑平面，取，则，故该球与正方形仅交于点， 同理，与正方形仅交于点，与正方形仅交于点， 考虑平面，取，则， 故该球与正方形的交线为以点为圆心，半径为1的圆弧，长度为， 同理，与正方形、正方形的交线长度均为， 因此点的轨迹与正方体表面交线的长度为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则________． 【答案】 【详解】变形为,斜率是,设切线的斜率为, 因为切线与直线垂直，所以,所以, ，则，所以，所以. 13．甲、乙两队进行一场乒乓球比赛，采用5局3胜制，率先赢得3局的一方最终获胜．已知每局比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设各局比赛的结果相互独立．给出下列四个结论： ①甲队以比分最终获胜的概率比甲队以比分最终获胜的概率更大； ②甲队在以比分落后的情况下最终获胜的概率与甲队以比分最终获胜的概率相同； ③甲队在以比分落后的情况下最终获胜的概率比甲队以比分最终获胜的概率更大； ④整场比赛甲队最终获胜的概率超过． 其中正确结论的序号是________． 【答案】②③④ 【详解】设每局甲获胜概率为，乙获胜概率为，各局比赛结果相互独立： 结论①： 甲以获胜，即前三局甲全胜，概率； 甲以获胜，即前3局甲2胜1负、第4局甲胜，概率，，故①错误； 结论②： 甲落后最终获胜，需后续3局全胜，概率，与相等，故②正确. 结论③： 甲落后最终获胜，分两类：后续3局甲全胜（总比分），概率为； 后续4局前3局甲2胜1负、第4局甲胜（总比分），概率为， 总概率，显然，故③正确； 结论④： 甲以获胜的概率， 甲最终获胜总概率，故④正确. 综上，正确结论为②③④ 14．已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 【答案】48 【详解】由可得，，， ， ， 方法一：过点作的垂线交于，则， ， 所以的面积为. 方法二：在中，. 因为，所以， 所以. 方法三:根据海伦公式，，其中是三角形的三边长，得 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 人工智能（英语：，缩写为）亦称智械，机器智能，指由人制造出来的可以表现出智能的机器．为了了解不同性别的学生对的关注情况，随机抽取了90名学生，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 55 60 女生 合计 75 (1)完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为学生对的关注与性别有关？ (2)为了激发同学们对的关注，某班级举办了一次闯关赛，甲、乙两名选手参加赛，比赛共有3道题目，其中甲、乙水平相当，他们分别答对每道题的概率均为，两人各自分开答题，答对一题得1分，否则不得分．答题结束后得分较高者获胜，得分相同视为平局．已知比赛结束后甲，乙得分之和为奇数．假设甲、乙得分之差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望. 附： 0.1 0.05 0.01 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) 关注 不关注 合计 男生 55 5 60 女生 20 10 30 合计 75 15 90 能有的把握认为学生对AI的关注与性别有关． (2)的分布列为      1 3                ． 【详解】（1）列联表如下： 关注 不关注 合计 男生 55 5 60 女生 20 10 30 合计 75 15 90 则， 故能有的把握认为学生对AI的关注与性别有关． （2）设甲、乙得分分别为，，则，且为奇数， 可得，，，，，，，， ， ， ， ， 又因为，则或， 所以，． 所以的分布列为      1 3                所以． 16．（15分） 已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)；(2)1 【详解】（1）∵， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，满足上式， ∴． （2）由（1）得， ∴， ∴， ∵，∴， 又因对，恒成立，故，得， ∴实数的最小值为1． 17．（15分） 如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，E、F分别是、的中点．若，． (1)求证：平面； (2)求点F到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)见详解；(2)；(3)． 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，，，，，，. 取的中点G，连结，则． ，， ．即． 又平面，平面， 平面． （2）设平面的法向量为，，． ．即． 取，得． 又， 故点F到平面的距离为． （3）， ． ∴直线与平面所成角的大小为． 18．（17分） 已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 【答案】(1)；(2)；(3)见详解 【详解】（1）将点、代入双曲线方程，得， 令，​，解得​，即. 因此，双曲线的标准方程. （2）设，且两点均在双曲线上，故 两式相减得点差公式：，即. 又因为中点为，故，代入上式得，即. 若，则，则重合，且中点，则三点重合， 这与直线交的右支于，两点矛盾. 所以，因此直线斜率. 又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得. 联立​，得，判别式， 且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件. 因此直线的方程为. （3）由双曲线得，右焦点， ①当直线的斜率存在时，设直线，，中点. 联立​，整理得, 由韦达定理得：， 因此：， 因为圆以为直径，圆心为，半径​，所以， 设，将代入圆方程， 得，故， 所以 ， 因为，所以，且，代入上式， 所以. ②当直线斜率不存在时，，易得， 所以，仍成立. 综上，为定值. 19．（17分） 已知函数. (1)当时，若恒成立，求实数的值； (2)当，时，求证：函数在上有唯一的极值点和零点； (3)在（2）的条件下，试比较与的大小，并证明你的结论. 【答案】(1)；(2)见详解；(3)见详解 【详解】（1）当时，， 当时，恒成立； 当时，恒成立；综上：. （2）①当时，， ， 显然：在上单调递增，， ， 由零点存在定理和单调性可知，存在唯一的，满足， 且当时，，单调递减；当时，，单调递增； 综上：函数在上有唯一的极小值点. ②由以上分析，在上单调递减，在单调递增， 则，， 故存在唯一，满足， 即在有唯一的零点. （3），证明如下： 由（2）可知，，， ， 令，，则， 则， 即在上单调递减，所以，即， 则， 由于在上单调递增， 又，， 所以. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高三开学学情自测卷01 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019选必一+选必二+选必三+一轮部分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数在处的导数值为1，（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 3．下列说法正确的是（    ） A．回归分析中，决定系数越小，说明残差平方和越小，拟合效果越好 B．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 C．已知随机变量，则 D．已知随机变量，则 4．已知口袋里有3个小球，其中2个红球，1个白球，甲、乙2人依次随机摸出1个小球．记事件为“甲摸到红球”，事件为“乙摸到红球”，则下列说法错误的是（     ）． A．若摸球后放回，则 B．若摸球后不放回，则 C．若摸球后放回，则 D．若摸球后不放回，则 5．如图，现要对某市的5个区域地图进行着色，有4种颜色可供选择，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．48种 B．72种 C．96种 D．108种 6．在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．二项式系数之和为32 B．各项系数之和为 C．二项式系数最大的项为 D．常数项为 7．已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知定义在上的增函数满足对，有，设，若对，都有恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 10．已知在等差数列中，公差不为0，，则（     ） A． B． C． D． 11．已知正方体的棱长为1，若，则（     ） A．若，则 B．若平面，则点轨迹的面积为 C．若，则的最小值为 D．若，则点的轨迹与正方体表面交线的长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则________． 13．甲、乙两队进行一场乒乓球比赛，采用5局3胜制，率先赢得3局的一方最终获胜．已知每局比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设各局比赛的结果相互独立．给出下列四个结论： ①甲队以比分最终获胜的概率比甲队以比分最终获胜的概率更大； ②甲队在以比分落后的情况下最终获胜的概率与甲队以比分最终获胜的概率相同； ③甲队在以比分落后的情况下最终获胜的概率比甲队以比分最终获胜的概率更大； ④整场比赛甲队最终获胜的概率超过． 其中正确结论的序号是________． 14．已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为，，P为C的右支上一点，且，则的面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 人工智能（英语：，缩写为）亦称智械，机器智能，指由人制造出来的可以表现出智能的机器．为了了解不同性别的学生对的关注情况，随机抽取了90名学生，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 55 60 女生 合计 75 (1)完成上述列联表，依据该统计数据，能否有的把握认为学生对的关注与性别有关？ (2)为了激发同学们对的关注，某班级举办了一次闯关赛，甲、乙两名选手参加赛，比赛共有3道题目，其中甲、乙水平相当，他们分别答对每道题的概率均为，两人各自分开答题，答对一题得1分，否则不得分．答题结束后得分较高者获胜，得分相同视为平局．已知比赛结束后甲，乙得分之和为奇数．假设甲、乙得分之差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望. 附： 0.1 0.05 0.01 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 16．（15分） 已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 17．（15分） 如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，E、F分别是、的中点．若，． (1)求证：平面； (2)求点F到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的大小． 18．（17分） 已知双曲线（，）经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点的坐标为，求直线的方程； (3)若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值． 19．（17分） 已知函数. (1)当时，若恒成立，求实数的值； (2)当，时，求证：函数在上有唯一的极值点和零点； (3)在（2）的条件下，试比较与的大小，并证明你的结论. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高三开学学情自测卷01 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 p 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 目 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 典 3,请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][CI[DI 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A]B][C][D] 7[AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C]D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C]D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 日 12 13 14. 剂 请在各题目棘奢题！内体，贝超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) (1) 关注 不关注 合计 60 男生 55 女生 合计 75 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） (道9并)连9熊点豫 :路壬嵩易阳海☒马削致狂毋盖用避‘号抄海☒晴号阳目酷艺安熟 (LI)'6I :必壬嵩易明海☒马的到华狂毋茜用避‘易海☒踞易阳目瑶号丑单2026年秋季高三开学学情自测卷01 数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) ·: 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：人教A版2019选必一+选必二+选必三+一轮部分 O : 第一部分（选择题共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知函数f(x)在x=1处的导数值为1,1im f1+2△)-f0-() 2△x : : A.1 B.2 C.3 D.4 ·: 2.定义集合A÷B lz=+Y,x∈AyeB, 已知集合A=1,2,4},B={4,8},则集合A÷B的真子集合 O 的个数为() A.7 B.14 C.15 D.31 : 3.下列说法正确的是() 絮 A.回归分析中，决定系数越小，说明残差平方和越小，拟合效果越好 B.线性相关系数”越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 : C.己知随机变量5~B4, 则E35-2)=1 4 : O D.已知随机变量X~N(2,o2),P(X<4)=0.8,则P(2<X<4=0.2 4.已知口袋里有3个小球，其中2个红球，1个白球，甲、乙2人依次随机摸出1个小球.记事件A为“甲 摸到红球”，事件B为“乙摸到红球”，则下列说法错误的是(). 那 A.若摸球后放回，则P(A)=P(B) B.若摸球后不放回，则P(A)=P(B) : C.若摸球后放回，则P(B)=P(B|A)D.若摸球后不放回，则P(B)=P(B|A) 5.如图，现要对某市的5个区域地图进行着色，有4种颜色可供选择，要求有公共边的两个地区不能用 试题第1页（共6页） : o6学科网·上好课 同一种颜色，则不同的着色方法共有() A.48种 B.72种 C.96种 D.108种 6.在x- 1 的展开式中，下列说法正确的是() A.二项式系数之和为32 8,各项系数之和为 64 C。三项式系数最大的项为，x D.常数项为-15 16 7.已知直线的倾斜角为45°，直线12的方向向量为(2，k),则“k=-2"是“1113”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.己知定义在R上的增函数f(x)满足对x∈R,有f(-)+f(4+x)=f(2),设g(x)=fx+1)+4x+4+e-1-e-x, 若对r∈(0，+o),都有g(xex+ax+lx)≤8恒成立，则实数a的取值范围为() 0.( c〔m 「2 e 0.。+” 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若命题“3x∈R,x2+x-<0”是假命题，则的值可以是() A.0 B.-1 C.2 D.4 10.己知在等差数列{a}中，公差不为0，马-4+a,-4,+a1+a3=6,则（) A.40=3 B.411=3 C.40-34:=2 0.41-34g=2 11.己知正方体ABCD-ABC1D的棱长为1，若AP=xAB+yAD+zAA4(x,y,z∈[0,1])，则() A.若x=二=1，则AP⊥CD 试题第2页（共6页) 6学科网·上好课 B.若APM平面4BC,则点P轨迹的面积为N 2 C.若x++8=-1,则4P的最小值为} D.若x2++z=2,则点P的轨迹与正方体表面交线的长度为3 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=n(2x-1)+0的图象在x=1处的切线与直线x+3y-2=0垂直，则a= 13.甲、乙两队进行一场乒乓球比赛，采用5局3胜制，率先赢得3局的一方最终获胜.已知每局比赛甲 队获胜的概率为；，乙队获胜的概率为子，假设各局比赛的结果相互独立。给出下列四个结论： ①甲队以比分3：0最终获胜的概率比甲队以比分3：1最终获胜的概率更大： ②甲队在以比分0：2落后的情况下最终获胜的概率与甲队以比分3：0最终获胜的概率相同： ③甲队在以比分01落后的情况下最终获胜的概率比甲队以比分3：1最终获胜的概率更大： ④整场比赛甲队最终获胜的概率超过} 其中正确结论的序号是 14.已知双曲线C2 =1的左、右焦点分别为耳，F,P为C的右支上一点，且PE引，则△PE 916 的面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 人工智能（英语：Artificial Intelligence,缩写为AI)亦称智械，机器智能，指由人制造出来的可以表现出 智能的机器.为了了解不同性别的学生对A江的关注情况，随机抽取了90名学生，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 60 男生 55 女生 合计 75 (1)完成上述列联表，依据该统计数据，能否有99%的把握认为学生对AI的关注与性别有关？ (2)为了激发同学们对AI的关注，某班级举办了一次AI闯关PK赛，甲、乙两名选手参加PK赛，比赛共有 试题第3页（共6页） 3道题目，其中甲、乙水平相当，他们分别答对每道题的概率均为，两人各自分开答题，答对一题得1 分，否则不得分.答题结束后得分较高者获胜，得分相同视为平局.已知比赛结束后甲，乙得分之和为奇 数.假设甲、乙得分之差的绝对值为X,求X的分布列及数学期望. 附：X2= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(x2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.001 兵 k 2.706 3.841 6.635 10.828 张 数 : 16.(15分) 已知数列{a.}满足4=3,34+324，+3a++3a= 9H-9 8 肉 (1)求数列{a}的通项公式： (2)记b,=log3a1,数列 1 的前a项和为工，若对meN,}工恒成立，求实效A的最小值 :0 试题第4页（共6页） 17.(15分) 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点.若 0 PA=AD=3,CD=6. : (1)求证：AF//平面PCB: (2)求点F到平面PCE的距离； (3)求直线FC与平面PCE所成角的大小. : .. 然 : 拟 18.(17分) 双曲线C1(a心0，b>0)过点M-42,NB-,直线交C的石支于9两 点，且线段AB的中点为G (1)求双曲线C的标准方程： 别 (2)若点G的坐标为(4,2)，求直线1的方程： (3)若直线l经过C的右焦点F,以AB为直径的圆与直线x=2相交于P,Q两点，证明：PG.QG为定值. : 试题第5页（共6页） o6学科网·上好课 19.(17分) 已知函数f(x)=(x-a)n(x+1)-x. (1)当m=2时，若f(x)+2x≥0恒成立，求实数a的值； (2)当a=0,1<m<2时，求证：函数f(x)在(0，+∞)上有唯一的极值点x和零点x; (3)在(2)的条件下，试比较2x与x1的大小，并证明你的结论. 试题第6页（共6页）