数列与立体几何大题专项训练（第二周）-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列与立体几何核心题型，系统覆盖从基础运算到综合应用的知识逻辑链，培养空间观念与推理运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列|5题|含等差等比基本量运算、证明、裂项/错位相减求和及不等式恒成立|从定义与基本量出发，构建“运算-证明-求和-综合应用”逻辑链| |立体几何|5题|涵盖线面垂直/平行证明、线面角/二面角计算、折叠与存在性问题|以位置关系证明为基础，延伸至空间角、距离及折叠综合应用|

高三数学一轮复习大题专项训练 数列与立体几何 数列与立体几何大题专项训练（第二周） 资料简介： 本套练习针对高三一轮复习中的数列与立体几何两大核心板块，打破传统试卷的罗列模式，按照“基础奠基—能力强化—思维突破”三层梯度进行重组。 使用建议： 适合2027届高三学生作为周测卷或课后限时练使用，建议基础薄弱的学生重点攻克前两部分，学有余力者完成第三部分。 一、解答题 基础题 等差基本量求解+分组求和法+裂项相消法 1．已知等差数列，，. (1)求数列的前项和； (2)设，求数列的前项和. (3)设，求数列的前项和． 中档题+等比数列的证明+裂项相消法 2．已知数列满足：，，且对任意正整数都成立． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，数列的前项和为．若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的最小值． 中档偏难题 奇偶数列+裂项相消法 3．已知数列的前项和为，且． (1)求、的值； (2)求数列的通项； (3)设数列的前项和为，求的取值范围． 中档题 等比数列+对数综合+最值问题 4．设数列是等比数列，已知，. (1)求； (2)若，证明数列是等差数列，并求其前项和的最小值. 中档偏难题 解三角形与数列跨知识综合 5．在中，． (1)求角； (2)若等差数列的首项的值等于角B的值，且，求的通项公式； (3)在（2）条件下，设数列，求的前27项的和． 中档题 线面垂直的证明+外接球球心+翻折问题 6．如图所示，在矩形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的外接球球心到直线的距离； (3)若 ，（），当二面角的平面角为时，求． 中档题 线线垂直的证明+线面角 7．如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，．求直线与平面所成角的正弦值． 中档题 面面垂直的证明+线面角+存在问题+翻折问题 8．如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 中档题 线面平行+线面角的定义+直线到平面的距离 9．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 中档题 线面垂直证明+面面角+三棱锥的体积问题 10．在长方体中，，，，，． (1)求证：面； (2)求面与面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 高三数学一轮复习大题专项训练 数列与立体几何 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《数列与立体几何大题专项训练》参考答案 1．(1) (2) (3) 【分析】（1）借助等差数列基本量计算即可得； （2）利用等比数列求和公式分组求和即可得； （3）借助裂项相消法计算即可得. 【详解】（1）设数列的公差为，由，得， ，所以， 所以； （2）由（1）， 所以 ； （3）， 所以 . 2．(1)因为，对一切正整数成立， 所以，即， 因为，，所以， 所以数列是以为首项，4为公比的等比数列． (2) (3) 【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证； （2）结合（1）利用等比数列定义可得，然后利用累加法求解即可； （3）先得到，利用裂项相消法得到，进而得，即可求解以实数的最小值． 【详解】（1）略 （2）由（1）得， 所以通过累加得 ， 当 时，，满足上式， 综上所述，． （3）， 从而， 所以， 当无限增大，的值越来越趋近于0 且小于0，所以的值越来越趋近于且小于， 所以对任意正整数 ，不等式恒成立时，， 即实数的最小值为． 3．(1)-2，-4 (2) (3) 【分析】（1）利用公式求解； （2）利用公式，分为奇数和偶数求解； （3）利用裂项相消法求解. 【详解】（1）由条件知， ，． （2）当为奇数且时，，也符合， 所以当为奇数时，； 当为偶数时，； 所以数列． （3）由题可知，所以， 所以数列的前项和， 由，所以， 又因为单调递减，所以当时，有最大值， 所以的取值范围为． 4．(1) (2)证明：由，将变形为代入， 得. 计算相邻两项差值，结果为与无关的常数， 又， 故是首项为，公差为的等差数列. 根据等差数列前项和公式，. 根据二次函数性质，结合，可知当或时取得最小值， 代入计算得，， 即的最小值为. 【分析】(1) 利用等比数列任意两项的推广关系求解公比，结合已知项计算首项，最终推导得到通项公式. (2) 通过对数运算化简得到的通项表达式，依据等差数列定义完成数列类型证明，再借助二次函数单调性求解前项和的最小值. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由等比数列通项的推广性质得. 代入，，得，整理得，即. 由，得， 因此数列的通项公式为. （2）略 5．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的性质，及二倍角的正弦公式即可求解； （2）根据等差数列的性质，及结合（1）即可求出的通项公式； （3）结合（2），根据分组求和，再利用等差数列的求和公式，特殊角的三角函数值，及其周期性即可求解． 【详解】（1）中，因为，所以， 又，则， 因为，所以， 又，因此． （2）设等差数列的公差为，结合（1）有， 又，则，解得， 所以． （3）结合（2）有， 设，该函数的最小正周期， 则， 故， 所以． 6．(1)在矩形中，有，， 由为的中点，则， 所以， 则，所以， 由平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，所以， 又，且平面，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质，勾股定理，面面垂直的性质，及线面垂直的判定即可证明； （2）结合（1），求出，再根据三棱锥各棱的关系，将其扩成长方体，从而找到其外接球球心，再借助面面垂直的性质，建立以为原点的空间直角坐标系，进而利用空间中点到直线的距离公式求解即可； （3）结合（2）的空间直角坐标系，及条件求出平面的法向量，再结合（1）得到平面的一条法向量，进而利用空间向量夹角的余弦值求解即可． 【详解】（1）略 （2）结合（1）有平面，，， 又平面，则， 所以， 又，，则， 所以是直角三角形，且， 所以把三棱锥扩展成底面边长为的正方形，高为的长方体，如下图所示， 由的中点为长方体的外接球球心，所以为三棱锥的外接球球心． 由，取的中点，连接，则， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以以为原点，直线，，的平行线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 所以点到直线的距离为． （3）结合（2）的空间直角坐标系，有，，，， 由，则，所以得， 则，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 结合（1）有平面，且， 所以平面的一条法向量为， 又二面角的平面角为，且， 则，即，解得，或（舍去）， 所以当二面角的平面角为时，． 7．(1)证明： 因为且，，且， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面， 平面，平面， 所以平面， 故. (2) 【分析】（1）根据题意可得，，再结合线面垂直的性质定理证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，求解向量和平面的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法二：利用体积法解出设点到平面的距离为，进而计算线面夹角. 【详解】（1）略 （2）如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以 ， 所以与平面所成的角为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，. ， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得： ，即， 解得：. 所以. 8．(1)为等腰梯形，，， 又平面平面，平面平面， 平面， 又平面，平面平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）通过面面垂直的性质定理和判定定理即可证得； （2）推导出平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出； （3）设，利用空间向量法可知，平面的法向量与平面的法向量的夹角余弦值的绝对值为，可得出关于的方程，解方程即可. 【详解】（1）略 （2），， 平面平面，平面平面，，平面， 平面，又平面， ，故两两互相垂直， 以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系， 在等腰梯形，，，，， ，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 设直线与平面所成角为，则. （3）设，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 由题（2）可知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 整理得，解得或（舍去）， 故棱（不包括端点）上存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，此时. 9．(1)由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. (2)距离为1. 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离. 方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【详解】（1）略 （2）法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，， ∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 10．(1)方法一：如图，过点作//,交于点，则有,. 连接,则四点共面,平面即平面. 由，，可得与相似, 所以，则可得,所以. 长方体中，平面， 因为平面，所以. 又,平面，所以平面. 方法二： 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以. 所以， 所以，即. 又,平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证； （2）方法一：建立空间直角坐标系，根据平面与平面的夹角的定义转化为异面直线所成的角，利用向量法求该角的余弦值可得；方法二：由面面角的向量求法可得；方法三：作辅助线，可证平面，进而可知平面与平面的夹角为，即可得面面夹角余弦值； （3）方法一：由向量法证明，从而求得的面积，由向量法求得点C到平面的距离，再根据棱锥的体积公式求得三棱锥的体积； 方法二：由向量法求得点A到平面的距离，根据棱锥的体积公式可得三棱锥的体积； 方法三：由（2）可知点到平面的距离为，进而可求三棱锥体积. 【详解】（1）略 （2）方法一：过点作//,交于点，则有，， 连接，则四点共面，平面即平面. 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，，所以， 所以. 取的中点P，则，所以， ，所以. 所以异面直线与所成的角等于平面与平面的夹角. 又， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取. 由（1）知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法三：由题意可知：，，， 则，则， 过点作，设，，连接， 由（1）可知：平面，则平面，可得，， 且，平面，可得平面，则， 可知平面与平面的夹角为， 因为，，， 则，可得，， 则，所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）方法一：由，，得， 所以. 所以的面积为. 由（2）知，平面的一个法向量为， 点C到平面的距离为. 所以三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积为. 方法二：点A到平面的距离为. 因为//，所以到的距离相等， 所以的面积等于的面积，即. 所以三棱锥的体积为. 方法三：由题意可知：，，，， 则的面积， 由（2）可知点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积. 易通数学工作室183895786381 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学一轮复习大题专项训练 数列与立体几何 数列与立体几何大题专项训练（第二周) 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、解答题 1.已知等差数列a,.4=2.4+g,=16 Sn (1)求数列an的前“项和”； 2设=2+1求数列么的前”项和 1 C (3)设”a,a1,求数列cn的前n项和Pn. 2.已知数列0，满足：4=，a,=1,且04十a,=50对在意正整数n都成立 (1)证明：数列an+1一an是等比数列： (2)求数列an的通项公式： 1 (3)设bn=log2(3an-1),数列b,bn1的前n项和为Sn·若对任意正整数n,不等式Sn<元恒成 立，求实数九的最小值. 1 易通数学工作室18389578638 高三数学一轮复习大题专项训练 数列与立体几何 分为偶数 3.已知数列an的前项和为，且S,= n+3 n为奇数 n 2 41 (1)求、a3的值： (2)求数列的通项； 「1 (3)设数列ana1的前n项和为Tn,求Tn的取值范围. 4.设数对0，足等比数列，已如4=子，4=16 求： =1o8:a,证明数列b,是等差数列，并求其前”项和“的最小值 (2)若 5.在△ABC中， sin2B=3sin(4+C) (1)求角B: 2 易通数学工作室18389578638 高三数学一轮复习大题专项训练 数列与立体几何 2)若等差数列an的首项“的值等于角B的值， 4=30,求a的通项公式 B在(2)条件下，设数列S,=a,+5na,求仁的前27项的和5. 6.如图所示，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,M为CD的中点，将△AMD沿折AM起， 使得平面ADM⊥平面ABCM, (1)求证：AD⊥平面BDM: (2)求三棱锥D-ABM的外接球球心到直线CD的距离： (3)若DE=EB，（元>0)，当二面角E-AM-D的平面角为3时，求1： 7.如图，三棱锥A-BCD中，点E在BD上，AE⊥CE,AE⊥DE,CD⊥AD」 (1)证明：CD⊥AB: (2)若DE=2,BE=1,AE=V2,CD=23.求直线AD与平面ABC所成角的正弦值. 3 易通数学工作室18389578638 高三数学一轮复习大题专项训练 数列与立体几何 8.如图1所示，在等腰梯形ABCD,BC1IAD,CE⊥AD,垂足为E,AD=3BC=3, BC=1,将aDEC沿EC折起到 △DEC 平面ABCE DEC 的位置，如图2所示，平面 D D B B 图1 图2 BCD⊥CDE (1)求证：平面 平面 2求直线CD与平面18 ABD 所成角的正弦值： √6 (3)在棱AD(不包括端点)上是否存在点G,使平面ABD,与平面GEC的夹角的余弦值为6， AG 若存在，求出AD的值，若不存在，请说明理由. 9.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，∠ACB=90°，AC=BC,D,E分别为B,1G 4 易通数学工作室18389578638 高三数学一轮复习大题专项训练 数列与立体几何 的中点。 A E D B DE/ BCC B (1)证明： 平面 2设GG=2,直线DE与平面ACC,A所成的角为45”，求直线DB到平面 CCB 的距离 10.在长方体 BCD-ACD中，AB=2.M=3,AD=4,45=3ED.2CF=FC D E B D (1)求证：BD⊥面CEF: (2)求面AEF与面CEF的夹角的余弦值； (3)求三棱锥A-CEF的体积. 5 易通数学工作室18389578638