第20章 二次根式（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材沪教版五四制八年级上册

**基本信息** 沪教版五四制八年级下二次根式单元培优卷，整合北京、福建等地期末真题，26题覆盖选择（6/12）、填空（12/36）、解答（8/52），梯度分明适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题12分|二次根式有意义条件、运算、最简二次根式|基础概念与各地期末真题结合，考查抽象能力| |填空题|12题36分|化简、有理化因式、比较大小、几何图形面积|结合数轴（题7）、正方形面积（题17），发展几何直观| |解答题|8题52分|计算、代数式求值、阅读理解（分母有理化、构造对偶式）|25题构造对偶式培养推理意识，22题面积问题体现应用意识，26题阅读理解发展创新意识|

第20章 二次根式·培优卷 【新教材沪教版五四制】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26八年级下·北京·期末）使有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵有意义， ， 解得． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的运算法则和性质，分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，该选项符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 3．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）下列根式中是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． A、，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式； C、分母含根号，可化为，不满足条件，不是最简二次根式； D、满足两个条件，是最简二次根式． 4．估计的值应在（     ） A．10到11之间 B．9到10之间 C．8到9之间 D．7到8之间 【答案】B 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估计无理数的范围，即可确定原式的取值范围． 【详解】解： ，且， ， ，即 ， 的值在到之间． 5．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，结合已知条件即可求解． 【详解】解：设 ∵， ， ∴， 解得：， 即． 6．（25-26八年级下·山东淄博·期中）将一组数按下列方式进行排列：若数2的位置记为，数的位置记为，则位置为的数是（　　） ．．． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先将原数统一改写为二次根式形式，找出被开方数和排列的规律，再根据给定位置计算出对应数的序号，即可求出结果． 【详解】解：将原数组改写为二次根式形式可得： 可得规律：被开方数为从2开始的连续偶数，每一行有4个数， 位置为 表示第17行第2个数 前16行共有个数， 该数是总序列的第个数 该数的被开方数为 ， 该数为． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】/ 【分析】由数轴可知，进而化简二次根式即可． 【详解】解：由数轴可知，， 所以， 根据二次根式的性质可得， 根据绝对值的性质可得， 所以． 8．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）无理数的有理化因式是________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵，乘积不含有二次根式， ∴的有理化因式是（答案不唯一）． 9．（25-26八年级下·广东珠海·期中）计算的结果是___________． 【答案】 【分析】利用二次根式的除法法则化简计算即可得到结果． 【详解】解：． 10．（25-26八年级下·北京·期中）若，把化简成最简二次根式为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 11．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】将代入，化简各个二次根式，再合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 12．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期中）比较大小：________． 【答案】 【分析】对于两个正无理数，可利用平方法比较大小，两个正数比较大小，平方后结果更大的原数也更大，分别计算两个数的平方，比较平方结果即可得到原数的大小关系. 【详解】解∵，，， . 13．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知，，则的值为______． 【答案】 3 【详解】解：根据题意，， ∴，整理得，， ∴，化简得， ∴． 14．a、b分别是的整数部分和小数部分，则的值为_________． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，得到的整数部分和小数部分，再代入，利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的整数部分，是的小数部分， ∴，， ∴ ． 15．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 16．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，化简求值，根据二次根式的被开方数非负，确定的值，进而求出的值，然后代入表达式化简计算． 【详解】解：∵， ∴且， 解得． ∴． 则 ，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 17．（25-26八年级下·湖北黄石·期末）如图，正方形A、B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小，则甲面积______乙面积．（填“大于”、“小于”或“等于”） 【答案】大于 【分析】根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到，然后由进而求解即可． 【详解】解：∵正方形A，B的面积分别为和， ∴正方形A，B的边长分别为和， 根据题意得，矩形甲的面积为：； 矩形乙的面积为：； ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴矩形甲的面积大于矩形乙的面积． 18．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，将矩形的长边增加宽边增加 得到一个面积为147的正方形．则原矩形的面积是____________． 【答案】 【分析】先根据正方形面积求出正方形边长，再用边长减去，分别求出矩形的长和宽，求出矩形面积． 【详解】正方形面积为147， 正方形边长为， ，， ． 三、解答题（本大题共8小题，满分52分） 19．（6分）（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．（6分）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)15 【分析】（1）先计算，的值，进而根据平方差公式即可求解； （2）根据完全平方公式变形，结合平方差公式，即可求解； 【详解】（1）由题意得： ∴ ； （2） ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则以及乘法公式是解题的关键． 21．（6分）（25-26九年级上·海南海口·阶段检测）阅读理解，然后解决问题 例如： 上面的做法都可以把分母中的二次根号去掉，简称分母有理化．请你完成下列化简： (1) (2)分母有理化： 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的一般步骤，是解题的关键． （1）根据分母有理化的运算过程解答即可； （2）根据分母有理化的运算过程解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 22．（6分）（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，在一次手工课上，小红从一张大正方形卡纸上剪下了两张小正方形卡纸，这两张小正方形卡纸的面积分别为和． (1)这两张小正方形卡纸的边长分别为______，_____． (2)求剩余卡纸的面积． 【答案】(1)，（或，） (2) 【分析】.（1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）先求出大正方形的边长，再根据剩余卡纸的面积大正方形的面积减去两个小正方形的面积求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴这两张小正方形卡纸的边长分别为和； （2）解：由（1）可得，大正方形的边长为， ∴剩余卡纸的面积 23．（6分）（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知最简二次根式与能合并． (1)求 的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据同类二次根式的定义进行计算即可； （2）先推导出，得到，再进行绝对值与二次根式的化简，最后合并即可． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 24．（6分）（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，二次根式的运算． （1）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案； （2）根据共轭二次根式的定义建立方程，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a与是关于8的共轭二次根式， ∴． ∴． （2）解：∵与是关于4的共轭二次根式， ∴． ∴． ∴． 25．（8分）（25-26八年级下·山东淄博·期中）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵， 又∵， ∴． 这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题： (1)已知，试证明为定值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意“构造对偶式”，解得其值为，结合题目所给条件即可证明； （2）由题意构造“构造对偶式”，解得其值为8，结合题目所给条件得，和联立即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， 即为定值； （2）解：， ， ， ， 得，，即：， 两边平方得，，解得：， 经检验，是原方程的解． 26．（8分）（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）下面是博学小组的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 在实数的运算中，灵活运用多种方法，会给运算带来方便．比如：运用公式法，整体代入法等． 例：计算，可以用公式来进行运算．即： ． 例：已知，求代数式的值． 解：由得：，所以，所以，所以，整体代入得：． 任务： (1)已知，求代数式 的值； (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】（）仿照题例解答即可求解； （）仿照题例解答即可求解； 本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简及化简求值，看懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式； （2）解： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 二次根式·培优卷 【新教材沪教版五四制】 时间：90分钟 满分：100分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共26题，单选6题，填12题，解答8题，满分100分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26八年级下·北京·期末）使有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）下列根式中是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 4．估计的值应在（     ） A．10到11之间 B．9到10之间 C．8到9之间 D．7到8之间 5．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·山东淄博·期中）将一组数按下列方式进行排列：若数2的位置记为，数的位置记为，则位置为的数是（　　） ．．． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 8．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）无理数的有理化因式是________． 9．（25-26八年级下·广东珠海·期中）计算的结果是___________． 10．（25-26八年级下·北京·期中）若，把化简成最简二次根式为______． 11．已知，则的值为________． 12．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期中）比较大小：________． 13．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知，，则的值为______． 14．a、b分别是的整数部分和小数部分，则的值为_________． 15．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 16．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）已知，则的值为_________． 17．（25-26八年级下·湖北黄石·期末）如图，正方形A、B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小，则甲面积______乙面积．（填“大于”、“小于”或“等于”） 18．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，将矩形的长边增加宽边增加 得到一个面积为147的正方形．则原矩形的面积是____________． 三、解答题（本大题共8小题，满分52分） 19．（6分）（25-26八年级下·天津滨海新区·期末）计算： (1) (2) 20．（6分）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 21．（6分）（25-26九年级上·海南海口·阶段检测）阅读理解，然后解决问题 例如： 上面的做法都可以把分母中的二次根号去掉，简称分母有理化．请你完成下列化简： (1) (2)分母有理化： 22．（6分）（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，在一次手工课上，小红从一张大正方形卡纸上剪下了两张小正方形卡纸，这两张小正方形卡纸的面积分别为和． (1)这两张小正方形卡纸的边长分别为______，_____． (2)求剩余卡纸的面积． 23．（6分）（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知最简二次根式与能合并． (1)求 的值； (2)若，化简：． 24．（6分）（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于8的共轭二次根式，则 ． (2)若与是关于4的共轭二次根式，求m的值． 25．（8分）（25-26八年级下·山东淄博·期中）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵， 又∵， ∴． 这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题： (1)已知，试证明为定值． (2)已知，求的值． 26．（8分）（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）下面是博学小组的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 在实数的运算中，灵活运用多种方法，会给运算带来方便．比如：运用公式法，整体代入法等． 例：计算，可以用公式来进行运算．即： ． 例：已知，求代数式的值． 解：由得：，所以，所以，所以，整体代入得：． 任务： (1)已知，求代数式 的值； (2)计算： 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $