第十一章 二次根式（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材苏科版八年级下册

**基本信息** 新教材苏科版八年级下二次根式单元培优卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，融合数学文化（如海伦-秦九韶公式）与实际情境（矩形水池、草莓种植），适配单元复习检测，全面考查运算能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式有意义条件、化简、运算|结合各地期末/阶段练习真题，基础与辨析并重| |填空题|6/18|化简、数轴与二次根式、新定义运算|考查符号意识与抽象能力，如第14题新运算定义| |解答题|8/72|混合运算、代数式求值、规律探究、实际应用|突出综合性与创新，如20题规律验证（推理意识）、22题矩形周长与销售收入计算（模型意识）、24题游戏问题（创新意识）|

第十一章 二次根式·培优卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·广东广州·期末）若有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，要使表达式有意义，需满足根号内的值非负且分母不为零，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，，， ∴的取值范围为， 故选：C． 2．（3分）（24-25九年级下·云南昭通·阶段练习）已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，要使为正整数，必须为完全平方数．通过分解质因数分析的结构，确定的最小值． 【详解】解：将分解质因数，得．的最小值为，此时，满足条件．选项中对应选项B，且其他选项（如4、8、20）均无法使成为完全平方数．综上，自然数的最小值为10． 故选：B． 3．（3分）计算：的值为（    ） A．2024 B．1012 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先变除法为乘法，再根据二次根式乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选C． 4．（3分）（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）若，则运算符号“”表示（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的四则运算，根据二次根式的四则运算和运算结果判断即可． 【详解】解：选项A：，不符合题意． 选项B：，符合题意． 选项C：，不符合题意． 选项D：，不符合题意． 5．（3分）（24-25八年级下·湖北随州·期末）若最简二次根式能与合并，则可以是（    ） A．4 B．5 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式定义、合并同类二次根式、二次根式性质等知识，先由，再由是最简二次根式，可得即可确定答案，熟记最简二次根式定义、合并同类二次根式、二次根式性质是解决问题的关键． 【详解】解：，是最简二次根式，且最简二次根式能与合并， ， 故选：C． 6．（3分）（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）若，则代数式的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题主要查了求代数式的值．根据题意可得，再代入计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C 7．（3分）的结果应在（    ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B 【分析】根据二次根式的混合运算计算，并估算结果的值即可． 【详解】解：原式= ∵ ∴ 故选B． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算以及估算，熟练掌握二次根式的运算并能够估算根式的取值范围是解决本题的关键． 8．（3分）（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化简二次根式． 由已知条件且可知，和均为负数，逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵， ∴和均为负数， A：，选项A错误； B：当和均为负数时，和在实数范围内无意义，等式不成立，选项B错误； C：左边结果为负数，右边为正数，等式不成立，选项C错误； D：，等式成立，选项D正确； 故选：D． 9．（3分）（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为宽为的矩形．若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则该圆的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据题意得出圆的周长，进而求得圆的半径． 【详解】解：这根铁丝的周长为， ∴将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则半径为， 故选D． 10．（3分）（24-25九年级下·山东淄博·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积．这个公式便是海伦公式，也被称为“海伦一秦九韶公式”．若，，，则此三角形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出p的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可．本题考查了二次根式的应用，考查学生的计算能力，掌握是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 则三角形的面积 ． 故选：A 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当时，二次根式的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式求值，直接把代入二次根式，计算即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：3． 12．（3分）（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）化简的结果是 ，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式化简的步骤． 利用二次根式化简的步骤进行化简即可． 【详解】解：； ； 故答案为：，． 13．（3分）（24-25八年级下·广东汕头·期末）实数在数轴上的位置如图，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴判断正负，化简二次根式． 根据数轴可知，得到，化简即可． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ 故答案为：． 14．（3分）（24-25八年级下·山东青岛·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义的二次根式运算． 直接根据新定义计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 15．（3分）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，先根据二次根式有意义的条件得到，由此化简绝对值推出，进而可得． 【详解】解；∵要有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（3分）（24-25八年级下·湖北孝感·期中）我们根据二次根式的相关知识容易知道：，类比上述式子，若，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查二次根式中的规律探究，根据已有等式，得到，进而求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·河北廊坊·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先提取，再进行分母有理化化简，然后利用二次根式的混合运算法则求解； （2）利用平方差公式和完全平方公式就算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（6分）（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）已知：，，分别求下列代数式的值： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据，，可以求得和的值，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可； （2）根据，，可以求得和的值，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 19．（8分）已知x，y，z满足． (1)求x，y，z的值； (2)以x，y，z为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)以x，y，z为边能构成三角形，三角形的周长为 【分析】本题考查二次根式的实际应用，非负性，熟练掌握非负性，是解题的关键： （1）根据非负性求出x，y，z的值即可； （2）根据三角形的三边关系进行判断，利用周长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴以x，y，z为边能构成三角形， ∴三角形的周长为：． 20．（8分）（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察与思考： ①；②；③；… (1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式； (2)试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 【答案】(1) (2)（的整数），证明见解析 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）由题干找出规律求解即可； （2）先找出规律，再由二次根式的性质化简证明． 【详解】（1）解：∵①； ②； ③；… ∴写出第④个等式为：； （2）解： （的整数） 证明如下： ． 21．（10分）（24-25八年级下·浙江台州·期中）阅读下列解题过程： 解：． (1)请在横线上直接写出化简的结果： ① ；② ． (2)求（为正整数）化简的结果（需要写出推理步骤）． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题的关键． （1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）利用平方差公式进行分母有理化即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：；； （2）解：． 22．（10分）（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，李明家有一块矩形空地，已知，．现要在空地中挖一个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为，宽为． (1)求矩形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为7元，且每平方米产草莓．若李明家将所收获的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)销售收入为3780元 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． （1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形空地的周长为： ． （2）解：由题意，得， ， ， （元）． 答：销售收入为3780元． 23．（12分）（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）在实际练习二次根式的运算时，小明出现了“”的计算错误，下面通过比较与的大小来进行分析： 将，两个式子分别平方． ∵ ， ． ∴ ．（填“>”“<”或“=”） ∴ ．（填“>”“<”或“=”） (1)题干中的四个空依次填 ， ， ， ． (2)参考上面的方法，比较和的大小． 【答案】(1)，7，， (2)，过程见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键． （1）根据完全平方式计算，与比较大小，即可求解， （2）根据完全平方式分别计算和，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 且， ∴， ∴， 故答案为：，7，，； （2）解：∵，， ∵， ∴， ∴ ∴． 24．（12分）（24-25八年级下·贵州遵义·期末）在八年级“趣味数学”社团活动上，小星设计了一个“猜猜哪个数最大”的游戏，他准备了10张同样的卡片，正面分别写有数字，，，，，．游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者至少从中随机抽取三张，并将它们正面向下放置在桌面上．小星依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大． 【初步尝试】 （1）小芳同学参与了该游戏，她随机抽取了三张卡片，并将它们正面向下放置在桌面上（如图1）．这三张卡片分别记为，，．小芳将小星告诉她的相邻两张卡片上的数的和简记如下：，，．然后进行如下推导： 设，，卡片上对应的数分别为，，． 则①，②，③ 由②-①，得，. 由②-③，得， 小芳经过以上的推导后，最终判断______卡片上的数最大． 【类比解答】 （2）小华同学随机抽取了五张卡片，并将它们正面向下放置在桌面上（图2）．这五张卡片分别记为，，，，．小华也将小星告诉他的相邻两张卡片上的数的和简记如下：，，，，．请你帮小华判断，这五张卡片中，哪张卡片上的数字最大？并说明理由． 【迁移运用】 （3）在（2）的条件下，小华进一步思考，求出了卡片，，，，上写的数字．它们分别是：_____，_____，_____，_____，_____．（直接写结果） 【答案】（1）C；（2）E卡片上的数字最大，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，消元法解方程组，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据题中步骤即可得出结果； （2）根据例题的步骤求解计算即可； （3）根据（2）中过程建立方程组得出，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得.， ， ∴C卡片上的数最大， 故答案为：C； （2）设，，，，卡片上对应的数分别为，，，d，e， ∵，，，， ∴①，②，③，④，⑤， 由②-①，得， . 由②-③，得， ， 由④-③，得， . 由⑤-④，得， ， 由⑤-①，得， . 综上可得：且， ∴e最大，即E卡片上的数字最大； （3）由（2）得①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨，⑩， ∴⑥+⑧得， 联立得，解得：， 代入到①，得； 代入到②，得； 代入到③，得； 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 二次根式·培优卷 【新教材苏科版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·广东广州·期末）若有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25九年级下·云南昭通·阶段练习）已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 3．（3分）计算：的值为（    ） A．2024 B．1012 C．1 D． 4．（3分）（24-25八年级下·山西朔州·阶段练习）若，则运算符号“”表示（    ） A． B． C． D． 5．（3分）（24-25八年级下·湖北随州·期末）若最简二次根式能与合并，则可以是（    ） A．4 B．5 C．7 D．14 6．（3分）（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期中）若，则代数式的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D． 7．（3分）的结果应在（    ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 8．（3分）（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）已知，那么下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（3分）（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，将一根铁丝首尾相接可以围成一个长为宽为的矩形．若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形，则该圆的半径是（   ） A． B． C． D． 10．（3分）（24-25九年级下·山东淄博·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积．这个公式便是海伦公式，也被称为“海伦一秦九韶公式”．若，，，则此三角形面积为（   ） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25八年级下·湖北武汉·期中）当时，二次根式的值是 ． 12．（3分）（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）化简的结果是 ，化简的结果是 ． 13．（3分）（24-25八年级下·广东汕头·期末）实数在数轴上的位置如图，化简 ． 14．（3分）（24-25八年级下·山东青岛·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算 ． 15．（3分）若，则 ． 16．（3分）（24-25八年级下·湖北孝感·期中）我们根据二次根式的相关知识容易知道：，类比上述式子，若，则 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·河北廊坊·期末）计算： (1)； (2)． 18．（6分）（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）已知：，，分别求下列代数式的值： (1)； (2) 19．（8分）已知x，y，z满足． (1)求x，y，z的值； (2)以x，y，z为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 20．（8分）（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）观察与思考： ①；②；③；… (1)根据上述等式的规律，直接写出第④个等式； (2)试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 21．（10分）（24-25八年级下·浙江台州·期中）阅读下列解题过程： 解：． (1)请在横线上直接写出化简的结果： ① ；② ． (2)求（为正整数）化简的结果（需要写出推理步骤）． 22．（10分）（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，李明家有一块矩形空地，已知，．现要在空地中挖一个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为，宽为． (1)求矩形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为7元，且每平方米产草莓．若李明家将所收获的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 23．（12分）（24-25八年级下·河南商丘·阶段练习）在实际练习二次根式的运算时，小明出现了“”的计算错误，下面通过比较与的大小来进行分析： 将，两个式子分别平方． ∵ ， ． ∴ ．（填“>”“<”或“=”） ∴ ．（填“>”“<”或“=”） (1)题干中的四个空依次填 ， ， ， ． (2)参考上面的方法，比较和的大小． 24．（12分）（24-25八年级下·贵州遵义·期末）在八年级“趣味数学”社团活动上，小星设计了一个“猜猜哪个数最大”的游戏，他准备了10张同样的卡片，正面分别写有数字，，，，，．游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者至少从中随机抽取三张，并将它们正面向下放置在桌面上．小星依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大． 【初步尝试】 （1）小芳同学参与了该游戏，她随机抽取了三张卡片，并将它们正面向下放置在桌面上（如图1）．这三张卡片分别记为，，．小芳将小星告诉她的相邻两张卡片上的数的和简记如下：，，．然后进行如下推导： 设，，卡片上对应的数分别为，，． 则①，②，③ 由②-①，得，. 由②-③，得， 小芳经过以上的推导后，最终判断______卡片上的数最大． 【类比解答】 （2）小华同学随机抽取了五张卡片，并将它们正面向下放置在桌面上（图2）．这五张卡片分别记为，，，，．小华也将小星告诉他的相邻两张卡片上的数的和简记如下：，，，，．请你帮小华判断，这五张卡片中，哪张卡片上的数字最大？并说明理由． 【迁移运用】 （3）在（2）的条件下，小华进一步思考，求出了卡片，，，，上写的数字．它们分别是：_____，_____，_____，_____，_____．（直接写结果） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $