重难点14 解三角形的最值和范围问题（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

重难点14 解三角形的最值和范围问题（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 三角形面积的最值或范围问题】 2 【题型2 三角形边长的最值或范围问题】 4 【题型3 三角形周长的最值或范围问题】 7 【题型4 三角形的角的最值或范围问题】 10 【题型5 利用基本不等式求最值（范围）】 13 【题型6 转化为三角函数或其他函数求最值（范围）】 15 【题型7 “坐标法”求最值（范围）】 20 【题型8 与平面向量有关的最值（范围）问题】 25 1、解三角形的最值和范围问题 解三角形是高考的重点、热点内容，是每年高考必考内容之一。从近三年的高考情况来看，解三角形中的最值或范围问题一直是高考的热点与重点，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，试题难度中等；此类问题的解法主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系，复习时要加强这方面的训练，学会灵活求解。 考点1 解三角形的最值和范围问题 知识点1 三角形中的最值和范围问题 1．三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法： (1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）； (2)利用基本不等式求最值（范围）； (3)转化为三角函数求最值（范围）； (4)转化为其他函数求最值（范围）； (5)坐标法求最值（范围）. 2．三角形中的最值（范围）问题的解题策略： (1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略 三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. (3)坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略 “坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 【题型1 三角形面积的最值或范围问题】 【例1】（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由条件根据余弦定理求的表达式，利用基本不等式求的最小值，再由同角关系求的最大值，利用三角形面积公式求结论. 【解答过程】由余弦定理可得，又，， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，又， 所以，， 所以的面积， 所以当时，的面积取最大值，最大值为. 故选：B． 【变式1-1】（2026·江苏苏州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由正弦定理角化边得到，再由三角形面积公式、基本不等式即可求解. 【解答过程】根据正弦定理 （为外接圆半径）， 得 ​， 代入已知等式： ， ， 整理得： ，即 ， 又 的面积公式为 ， 将代入得： ，​ 因此： ，​​当且仅当时，取等号， 即面积的最大值为. 故选：D. 【变式1-2】（2026·甘肃·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若边，求的面积S的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解. （2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，再利用三角形面积公式求解. 【解答过程】（1）在中，由及正弦定理，得 ，则， 而，因此，即，又， 所以. （2）由（1）知，而，由余弦定理， 得，则，当且仅当时取等号， ， 所以的面积S的最大值为. 【变式1-3】（2026·湖北十堰·三模）为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角B； (2)若，求面积的取值范围； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）运用正弦定理进行边角转化，再运用两角和的三角公式化简等式，最后根据角度的取值范围进行求解； （2）先计算出三角形的面积，再运用正弦定理将c用三角函数值进行表示，求出c的取值范围从而求出三角形面积的取值范围. 【解答过程】（1）因为，由正弦定理得：， 又，所以，又，所以， 即，由，所以； （2）由题意有， 由正弦定理有：，所以， 由（1）得，所以， 所以， 又为锐角三角形，所以，所以，所以， 所以，，所以，， 所以面积的取值范围为. 【题型2 三角形边长的最值或范围问题】 【例2】（2026·广东佛山·模拟预测）在中，角所对的边为．若，，则的最大值为（    ） A．不存在最大值 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据正弦定理、两角和差公式和辅助角公式可将转化为，根据的范围即可得解. 【解答过程】，，，， ，， （其中，，）， ，，， 又，，，， ， ∴最大值为. 故选：C. 【变式2-1】（2026·广东广州·模拟预测）记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据三角形内角和得，结合正弦定理计算，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得的取值范围． 【解答过程】因为，所以． 由正弦定理，有所以． 因为． 又， 所以． 因为是锐角三角形，所以 所以，所以． 所以，即的取值范围是， 故选：D． 【变式2-2】（2026·山东临沂·二模）已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角C； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）通过正弦定理实现边角互化，结合三角形内角和公式与三角恒等变换，将已知条件转化为关于的方程，求解出角． （2）利用正弦定理将边的线性表达式转化为关于角的三角函数，再通过辅助角公式化简，结合锐角三角形中角的取值范围，最终求出目标式的取值范围． 【解答过程】（1）∵，∴， ∴，∴， ∴，∴，解得或（舍去）， ∴，∴． （2）∵，，∴， ∴，，∴， ∵为锐角三角形，∴， ∴ ， 又由，得，∴，∴． 【变式2-3】（2026·安徽合肥·三模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）利用正弦定理对已知边角关系式化角，约去后展开两角差余弦公式，化简求得角； （2）由正弦定理把转化为正弦形式，将用代换，经三角恒等变换化简得；根据锐角三角形求出的范围，进而即得. 【解答过程】（1）由正弦定理， 为外接圆半径. 因为，所以， 即，化简为， 即，因为，所以． （2）因为，所以， 又， 所以． 又是锐角三角形，则，解得， 所以，. 所以的取值范围为． 【题型3 三角形周长的最值或范围问题】 【例3】（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）在中，若，且的面积为2，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用同角的三角关系以及正弦定理得出，再利用面积得出，最后利用基本不等式即可. 【解答过程】因，则， 即， 由正弦定理可得，，即为直角三角形， 则的面积为，即， 则，等号成立时， 故周长的最小值为. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【解答过程】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 【变式3-2】（2026·宁夏石嘴山·三模）在中，. (1)求； (2)若，求的周长的最大值. 【答案】(1) (2)6 【解题思路】（1）利用诱导公式及同角公式化简给定等式，再利用正弦定理、余弦定理求解. （2）由（1）中信息，利用基本不等式求出最大值即可. 【解答过程】（1）在中，令内角所对边分别为， 由， 得，由正弦定理得， 由余弦定理，得，而，所以. （2）由已知及（1）得，， 解得，当且仅当时取等号， 所以求的周长的最大值为6. 【变式3-3】（2026·陕西渭南·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为，. (1)求角； (2)当时，周长为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据同角三角函数关系、诱导公式及两角和正弦公式化简求解即可. （2）根据正弦定理及三角恒等变换得到，结合锐角三角形得到，利用正弦型三角函数的性质求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 即 因为，，所以，即， 因为，所以. （2）由正弦定理可得，所以，， 则 ， 因为，，所以， 则，所以， 所以，则，即. 【题型4 三角形的角的最值或范围问题】 【例4】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）记的内角的对边分别为．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据边的关系求出的范围，然后表示出，求出其范围进而可得的范围，则的取值范围可求. 【解答过程】根据三角形三边关系可得， 即， 由对勾函数单调性可知，其在上单调递减，在单调递增； 即，可得,所以. 故选：B. 【变式4-1】（2026·云南·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦定理及条件，结合基本不等式，可得，根据角B的范围，分析即可得答案. 【解答过程】在中，由余弦定理和，得 ， 当且仅当，即时等号成立， 由此可知为锐角，而在上单调递减， 故，所以的最大值为. 故选：D. 【变式4-2】（2026·湖北黄冈·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用正弦定理角化边，结合余弦定理可得；利用正弦定理边化角整理可求得，利用二倍角正切公式化简所求，可得关于的函数的形式，结合的范围可求得结果. 【解答过程】，由正弦定理得：，即， 由余弦定理知：，， ，即， 由正弦定理得：， ， 整理可得：， 为锐角三角形，，，， ，即， ， ， ，，，， ，，， 即的取值范围为. 故选：C. 【变式4-3】（25-26高一下·山东烟台·期中）在锐角中，角所对的边分别为．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由，根据正弦定理边化角，再消去，可得，利用三角形是锐角三角形，可得，进而求出，对化简，可求出结果． 【解答过程】因为，由正弦定理可知， ， 又，所以 所以， 所以 即， 又是锐角，则， 则，，所以，即， 所以，解得， 所以. ，则，则， 故选：B. 【题型5 利用基本不等式求最值（范围）】 【例5】（2026·江西萍乡·二模）在中，内角所对的边分别为，若，则面积的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先利用三角函数的基本关系化简得，再结合余弦定理以及基本不等式知识得，则三角形面积的最大值可求. 【解答过程】对进行化简， 通分可得， 即，又，解得； 已知，由余弦定理，可得， 根据基本不等式（当且仅当时取等号）， 则，可得， 三角形面积，当且仅当时等号成立, 故选：A. 【变式5-1】（2026·重庆·一模）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据正弦定理角化边得到，结合基本不等式得到，再由中线长公式求解. 【解答过程】，由正弦定理可得， 即，则， 又，所以，因为，当且仅当时等号成立， 所以，则． 设边上中线的长度为，则， 所以边上中线长度的最大值为． 故选：C. 【变式5-2】（2026·河南·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先将转化为，化简求出的值即可求出； （2）利用余弦定理结合基本不等式，先求出的取值范围，再结合三角形三边的关系，最终求出三角形周长的取值范围. 【解答过程】（1）在中，，则， 所以， 因为，所以， 则，所以， 又因为，所以，因此，即， 因为，所以； （2）由（1）知，又， 由余弦定理可得，即， 由基本不等式（当且仅当时等号成立），则， 所以，即，所以， 又因为在三角形中，，所以， 因此周长. 【变式5-3】（2026·陕西咸阳·三模）已知三内角的对边分别为，且． (1)求角的值； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理统一为角的三角函数等式，再通过三角形内角和关系替换角并消去公因式，由辅助角公式解得角； （2）先用余弦定理建立边的等量关系，再结合基本不等式求出的最大值，最后代入面积公式求得面积最大值. 【解答过程】（1）根据正弦定理得： 中，因此， 代入上式消去得： 因为，，两边同除以整理得： ， 由得，因此，即， （2）由余弦定理，代入、得： 由基本不等式，得： 即，当且仅当时取等号， 的面积， 代入的最大值得： 因此面积的最大值为. 【题型6 转化为三角函数或其他函数求最值（范围）】 【例6】（25-26高一下·湖南郴州·期末）在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据余弦定理，结合题意求出、的值，再用表示，求出的取值范围，利用对勾函数的性质即可求出的取值范围． 【解答过程】解：中，由余弦定理得，， 由，得， 化简得， 又，， 所以， 化简得， 解得，或（不合题意，舍去）， 所以， 由，且，，解得， 所以，所以， 所以， 设，其中， 所以，当且仅当时，即时取最小值， 由于，且函数在上单调递减，函数在上单调递增， 又，， 所以． 故选：C． 【变式6-1】（25-26高一下·湖北·阶段检测）在锐角中，分别是角所对的边，已知，且则锐角面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用正弦定理进行边角转化，求得，再用角表示三角形面积，利用正弦函数的性质，结合二倍角公式和辅助角公式化简求值域即可. 【解答过程】且 根据正弦定理得整理得 解得 的面积， 为锐角三角形且， ，则， ，则 故选：C. 【变式6-2】（2026·河南信阳·模拟预测）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）方法一、由正弦定理结合三角恒等变形化简可得，进而得到；法二、利用余弦定理代入，整理得，再求即可求解； （2）先根据锐角三角形得到，再利用余弦定理求的范围，再结合进行求解． 【解答过程】（1）解：方法一、因为，则. 由正弦定理得： 则，因为，则. 所以，所以. 法二、由余弦定理：， 代入，得，又， 故， 整理得，故， 又，故； （2）在锐角中，由，可得. 又， 又，则，故. 又，设，设， 又在上单调递减，在上单调递增，所以 又因为，所以，故的取值范围为． 【变式6-3】（2026·江西·模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由两角和差的正切公式展开化简即可求解； （2）由三角形面积公式和余弦定理得到 ，再结合正弦定理边化角，辅助角公式，转换成三角函数求值域即可. 【解答过程】（1） 且， ，整理得 即． 或． ，， ．，． （2） 由余弦定理可得， 即． ，即． ， 由正弦定理可得， 则 ， ，． 【题型7 “坐标法”求最值（范围）】 【例7】（2026·北京朝阳·一模）在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题. 【解答过程】在三角形中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在三角形底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示： 又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故选：C. 【变式7-1】（2026·安徽马鞍山·模拟预测）已知平行四边形中， ，，分别为边，的中点，若，则四边形面积的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解题思路】建立适当的平面直角坐标系，设，写出各个点的坐标，将转换成条件等式，结合平行四边形面积公式以及基本不等式即可求解. 【解答过程】以点为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，    设， 则， 所以， 所以， 从而，即，等号成立当且仅当， 四边形面积的表达式为， 从而，等号成立当且仅当， 所以四边形面积的最大值为. 故选：D. 【变式7-2】（2026·江西南昌·三模）如图，在扇形OAB中，半径，，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由于点E在弧上运动，引入恰当的变量，从而表达，再利用正弦定理来表示边，来求得周长关于角的函数，然后求出取值范围；也可以建立以圆心为原点的坐标系，同样设出动点坐标，用坐标法求出距离，然后同样把周长转化为关于角的函数，进而求出取值范围. 【解答过程】 （法一）如图，连接设，则，， 故．在中，由正弦定理可得， 则 ． 在中，由正弦定理可得，则． 平行四边形的周长为 ． 因为，所以，所以，所以， 所以，则， 即平行四边形BCDE的周长的取值范围是． （法二）以O为原点，所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系． 设，则，， 从而，，， ， 故平行四边形的周长为． 因为，所以，所以， 则，即平行四边形的周长的取值范围是． 故选：A. 【变式7-3】（2026·山西晋城·模拟预测）设的内角的对边分别为，是边的中点，. (1)若，求面积的最大值； (2)若的面积为且 ，求的值； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将放在坐标系中，为原点，设，，利用，即可求得，得到的范围，利用面积公式表示出三角形的面积，即可求得最大值； （2）由是中点，所以的面积是面积的一半，即可求得的长，利用余弦定理求出的长，即可利用正弦定理求出； （3）以为原点建立坐标系，设，利用向量数量积的变形，表示出，即可求得结果. 【解答过程】（1）如图，将放在坐标系中，为原点， 设，， 因为，所以， 又， 所以， 解得， 即，即，又， 可得， 又面积， 所以当时，面积的最大，且为. （2）在中，的面积为， 因为是中点，所以的面积是面积的一半， 即，所以，， 由余弦定理得，， 所以， 由正弦定理得，，即， 所以. （3）如图，以为原点，建立坐标系， 则，设，则， 又， 所以， 又， 所以， 因为，所以， 所以，， 即的取值范围为. 【题型8 与平面向量有关的最值（范围）问题】 【例8】（25-26高二上·湖北·阶段检测）设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（    ） A．8 B．4 C．16 D．12 【答案】A 【解题思路】先根据，结合余弦定理求，再根据，结合面积公式得到 ，进而求出的最小值，再根据数量积定义求. 【解答过程】因为， 所以，而为三角形内角， 所以， 由，所以， 化简得到， 所以，则，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 故选：A． 【变式8-1】（2026·重庆九龙坡·三模）在中，角所对的边分别为，已知,，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据正余弦定理化简已知条件得，即可求得，由向量模的运算法则得，结合数量积定义及运算律，利用基本不等式求解最值即可. 【解答过程】因为，所以由正弦定理得， 即，由余弦定理得，又，所以， 由知， 所以 ，当且仅当即时等号成立， 所以线段长度的最小值为. 故选：D. 【变式8-2】（2026·四川广安·模拟预测）已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用正弦定理与余弦定理，结合平面向量求长度得出线段的表达式，再由三角函数值域求解即可. 【解答过程】因为，故， 而，则，； 因为角， 设，， 代入正弦定理化简得：， 则 由， 两边平方得展开计算得： ， ； 由，则有，，则 ， 则， 因为，， ，故， 所以，即 当且仅当，等号成立. 故选：C. 【变式8-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解题思路】设，从而得到，结合已知有，应用三角形面积公式得，最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值. 【解答过程】设，则， 所以，解得， ，则， ，当且仅当时，等号成立， 的最小值为． 故选：C. 一、单选题 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先利用三角形三边关系确定参数的取值范围，再结合余弦定理和三角形面积公式，通过二次函数求最值的方法即可得到面积的最大值. 【解答过程】因为，，由余弦定理：， 即，所以， 因为在中，，所以， 所以， 令，因为，得，即， 则 ， 这是关于的二次函数，开口方向向下，所以当时，二次函数取到最大值为144， 此时. 故选：A. 2．（2026·河南郑州·二模）已知的面积为1，，的中点分别，，且，则的最小值为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用线段长度的关系，设其中一条线段，就可以表示相关线段，再引入 ，利用面积关系得到一个等式，然后用余弦定理表示边，最后转化为角的函数来求最值即可． 【解答过程】取，根据已知条件可知为的重心， 由，设，，则，，，， 由， 又因为， 所以， 由余弦定理可知， 令，则， 即， 因为，所以，即， 因为，所以的最小值为． 故选：A. 3．（2026·陕西榆林·三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先求出角的范围，利用二倍角的正弦公式和正弦定理得，再利用正弦定理和三角恒等变换得，最后得到周长表达式，再利用二次函数的性质即可得到周长的取值范围. 【解答过程】因为是锐角三角形，所以， 又，所以，所以，由，得， 所以，所以，解得，所以. 由，，，得， ， 所以的周长为． 令，则， 则， 函数在上单调递增， 当时，；当时，， 所以， 所以周长的取值范围为． 故选：C. 4．（2026·福建泉州·模拟预测）钝角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先对已知等式进行化简，求出角，再利用余弦定理将转化为关于角的表达式，最后根据角的范围求出的取值范围. 【解答过程】已知，则. 即. 所以. 由于， 所以或. 当时，可得，那么，不满足为钝角三角形， 舍去. 当时，则，满足为钝角三角形，此时. 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，所以的取值范围为. 故选：C. 5．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用三角形内角和与三角恒等变换，将已知条件 转化，求出,后通过面积法建立角平分线与边的关系，得到 ，再结合余弦定理和基本不等式求出的最大值为. 【解答过程】由 ,即 ， ,又 , , , 因为为角的角平分线, 所以, 而, 则，又， 则,所以 化简得： 即,，当且仅当时取等号. 故选：C. 6．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设的内切圆半径为，利用，把表示成关于的函数，利用基本不等式求出的最大值可得答案. 【解答过程】由，， 得， 由余弦定理得， 整理得. 设的内切圆半径为，则， 所以， 由余弦定理得：， 得，所以， 由基本不等式得：，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 故，所以的内切圆面积的最大值为. 故选：A. 7．（2026·广东广州·二模）在锐角中，角所对的边分别为且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据二倍角公式可得，根据一元二次方程有解，可由判别式，结合三角函数的性质可得，，即可根据正弦定理求解. 【解答过程】由可得， 因此， 由于， 故，即，又，故， 结合为锐角，则，故,且，此时， 因此且，故， 又，则， 故， 由于，则，， 故. 故选：A. 8．（2026·湖南湘潭·二模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由余弦定理和均值不等式运算，再通过三角形面积公式计算即可. 【解答过程】因为，所以， 所以．因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 则的面积， 则面积的最大值为． 故选：A. 二、多选题 9．（2026·湖北十堰·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，满足．则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．若，则的最小值为2 【答案】ABC 【解题思路】利用余弦定理和均值不等式可判断A选项；利用和差化积以及积化和差公式将所求式子化为关于的函数，利用函数的单调性可判断B，C选项；D选项可构造反例解答. 【解答过程】由余弦定理 ， 代入 得 又由均值不等式 ，结合 得 ，即 ， 代入上式得，所以 由于为锐角，故，最大值为（当且仅当 时取等号），所以A 正确； 由正弦定理得 所以 利用和差化积公式： ， 代入即得 因为 ，且 ， 代入得 于是， ， 令，由题意为锐角三角形可知，， 所以，由知， 又 ，即， 解得，所以 则，令， 因为在上递减，在上递减， 所以函数在上单调递减， 所以，所以正确； 因为， 令，其中， 因为在上递减，在上递减， 所以函数在上单调递减，所以，所以正确； 对于D选项，取，此时，，满足， 因为，满足三个角均为锐角， 但，即此时，所以D错误. 故选：ABC. 10．（2026·山东青岛·一模）记的内角所对边分别为，点为的中点，，，延长到点，使点为线段的中点，则（    ） A． B．周长的取值范围为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【解题思路】已知等式由正弦定理和三角恒等变换化简，求角判断选项A；由余弦定理和基本不等式得，进而得出判断选项B；由，利用向量的数量积和三角恒等变换化简得，为锐角三角形，有，结合正弦函数的性质求取值范围判断选项C；设，由余弦定理，利用辅助角公式和正弦函数的性质求最小值判断选项D. 【解答过程】对于A，已知，由正弦定理得， 即，得， 则有，得， 又由于，所以，故， 而，所以，选项A正确； 对于B，在中，由余弦定理，得， 所以，，所以， 即，当且仅当时取等号，由于， 所以的周长的取值范围为，故选项B正确； 对于C，在中，由正弦定理得， ，， 由AC的中点为M，有， ， △ABC为锐角三角形，则，得， 当，有，所以， 有，故的最大值为，选项C错误； 对于D，设，所以，在中由余弦定理， ， ，， 故当，即时， 取最小值，所以的最小值为，故D选项正确. 故选：ABD. 11．（2026·山西朔州·二模）在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（    ） A． B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的最小值为 【答案】ACD 【解题思路】先由已知等式结合平方差公式和余弦定理求得角；再利用正弦定理结合锐角三角形条件求出边的取值范围，进而分析面积、周长的范围；最后利用重心性质与余弦定理，通过二次函数求最值得到的最小值，逐项判断选项. 【解答过程】对于A，由，可得，即， 由余弦定理可得， 又为锐角三角形，所以，A正确； 对于B，由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 则，所以，故， 因为，所以的取值范围为，B错误； 对于C，由余弦定理可得， 因为，所以，即， 所以周长，C正确； 对于D，设的中点为，因为是的重心，所以， 在中，由余弦定理可得， 故当时，取得最小值，此时的最小值为，D正确. 故选ACD． 三、填空题 12．（2026·安徽芜湖·模拟预测）在中，内角的对边分别是，若，，则的面积最大值为___________． 【答案】 【解题思路】由已知条件可得，进而可得，利用余弦定理结合基本不等式可得，最后根据求出三角形面积最大值. 【解答过程】解：由，则， 化简整理得，即， 则，此时，则， 或，，则，在三角形中不合题意， 因此，， 由余弦定理可得，又，代入化简得， 由基本不等式可知，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 因此，的面积最大值为. 故答案为：. 13．（2026·四川·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且为的中点，则的最大值为___________. 【答案】 【解题思路】由正弦定理边化角，结合角A、B的范围，可得角A，根据余弦定理及基本不等式，可得的最大值，根据条件，可得，两边同时求模，化简整理，即可得答案. 【解答过程】因为，由正弦定理得， 即. 因为，所以，即. 又，所以. 由余弦定理，得， 所以，即，当且仅当时等号成立. 因为为的中点，所以， 所以 ，所以的最大值为. 故答案为：. 14．（2026·湖南郴州·三模）在锐角三角形中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为___________. 【答案】 【解题思路】借助正弦定理与三角形内角和可将、用角表示，再借助三角恒等变换公式可用表示出，最后求出的范围即可得解. 【解答过程】由正弦定理可得、， 则 ， 由三角形为锐角三角形，则，即， 则，故， 即，即的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·河南开封·三模）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且． (1)求角C的大小： (2)若边，求的面积S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理将边化角，由同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）由正弦定理和三角形面积公式结合三角恒等变换可得，再利用为锐角三角形求得角的范围即可求解. 【解答过程】（1）由及正弦定理，得， 所以，即， 因为为锐角三角形，所以，且， 所以，， 又，所以． （2）由正弦定理，得，所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，，即， 由，得， 所以，，， 所以的面积S的取值范围为. 16．（2026·江苏南京·三模）已知在中，角的对边分别为，满足，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理化边为角即可得解； （2）先利用余弦定理结合已知求出边，再利用正弦定理求出，再利用三角函数的性质求出的范围即可. 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以； （2）由余弦定理得， 又， 所以，即，所以， 由正弦定理得， 所以， 则， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以，所以， 而， 故，所以， 所以， 所以三角形的周长的取值范围为. 17．（2026·湖北武汉·三模）在中，内角，，的对边分别为，，， 若． (1)求角的大小； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用同角三角函数的平方关系，将原式转化为正弦形式，进而结合正弦定理将正弦值转化为对应边的关系，再利用余弦定理即可求出，进而得到角的大小. （2）利用三角形面积关系，建立与、的等式，再结合余弦定理得到、关系，进而利用基本不等式求出的范围，再构造函数，利用函数单调性求解的最大值. 【解答过程】（1）由， 整理得：. 由，得， 所以. 由正弦定理，得：. 结合余弦定理，可得：， 因为，故. （2）由, 可得， 由（1）知，又，所以， 则，得，当且仅当时等号成立， 又因为 ，所以. ， 因为在上递增， 所以，即线段长度的最大值为 1. 18．（2026·四川成都·模拟预测）已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【答案】(1)解析式为；最小正周期为 (2) 【解题思路】（1）根据数量积的坐标形式，二倍角公式，及辅助角公式即可得到的解析式，进而得到最小正周期； （2）结合（1）及题意得到的值，再根据余弦定理，均值不等式得到取值范围，进而得到周长的最大值． 【解答过程】（1）由，， 则， 所以的最小正周期为． （2）由，即，即， 又B为的内角，则，则， 所以，解得， 又，由余弦定理有，得，即， 由均值不等式有，则， 即，即，解得， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形， 所以周长的最大值为． 19．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，且 (1)求角； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先根据正弦定理边角互化，然后借助辅助角公式化简三角函数式，结合内角范围即可求出角； （2）先用正弦定理把边化为角的正弦，然后利用三角恒等变换化简，再由锐角三角形约束的范围，最后结合正弦函数的单调性即可得出的取值范围. 【解答过程】（1）因为，由正弦定理得： ， 因为，所以，则， 即，， 因为，则，所以，即. （2）因为，，所以， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以， 所以， 所以． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点14 解三角形的最值和范围问题（举一反三专项训练） 【全国通用】 【题型1 三角形面积的最值或范围问题】 2 【题型2 三角形边长的最值或范围问题】 3 【题型3 三角形周长的最值或范围问题】 3 【题型4 三角形的角的最值或范围问题】 4 【题型5 利用基本不等式求最值（范围）】 5 【题型6 转化为三角函数或其他函数求最值（范围）】 6 【题型7 “坐标法”求最值（范围）】 6 【题型8 与平面向量有关的最值（范围）问题】 7 1、解三角形的最值和范围问题 解三角形是高考的重点、热点内容，是每年高考必考内容之一。从近三年的高考情况来看，解三角形中的最值或范围问题一直是高考的热点与重点，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，试题难度中等；此类问题的解法主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系，复习时要加强这方面的训练，学会灵活求解。 考点1 解三角形的最值和范围问题 知识点1 三角形中的最值和范围问题 1．三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法： (1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）； (2)利用基本不等式求最值（范围）； (3)转化为三角函数求最值（范围）； (4)转化为其他函数求最值（范围）； (5)坐标法求最值（范围）. 2．三角形中的最值（范围）问题的解题策略： (1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略 三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. (3)坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略 “坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 【题型1 三角形面积的最值或范围问题】 【例1】（2026·山东菏泽·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（2026·江苏苏州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·甘肃·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若边，求的面积S的最大值． 【变式1-3】（2026·湖北十堰·三模）为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角B； (2)若，求面积的取值范围； 【题型2 三角形边长的最值或范围问题】 【例2】（2026·广东佛山·模拟预测）在中，角所对的边为．若，，则的最大值为（    ） A．不存在最大值 B． C． D． 【变式2-1】（2026·广东广州·模拟预测）记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·山东临沂·二模）已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)求角C； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 【变式2-3】（2026·安徽合肥·三模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 【题型3 三角形周长的最值或范围问题】 【例3】（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）在中，若，且的面积为2，则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·宁夏石嘴山·三模）在中，. (1)求； (2)若，求的周长的最大值. 【变式3-3】（2026·陕西渭南·模拟预测）在锐角中，角的对边分别为，. (1)求角； (2)当时，周长为，求的取值范围. 【题型4 三角形的角的最值或范围问题】 【例4】（2026·内蒙古呼和浩特·一模）记的内角的对边分别为．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·云南·模拟预测）在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·湖北黄冈·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一下·山东烟台·期中）在锐角中，角所对的边分别为．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型5 利用基本不等式求最值（范围）】 【例5】（2026·江西萍乡·二模）在中，内角所对的边分别为，若，则面积的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 【变式5-1】（2026·重庆·一模）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·河南·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，求的周长的取值范围． 【变式5-3】（2026·陕西咸阳·三模）已知三内角的对边分别为，且． (1)求角的值； (2)若，求面积的最大值． 【题型6 转化为三角函数或其他函数求最值（范围）】 【例6】（25-26高一下·湖南郴州·期末）在锐角中，角的对边分别为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一下·湖北·阶段检测）在锐角中，分别是角所对的边，已知，且则锐角面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·河南信阳·模拟预测）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)求的取值范围. 【变式6-3】（2026·江西·模拟预测）在锐角中，角，，的对边分别为，，，． (1)求角； (2)当时，的面积为，周长为，求的取值范围． 【题型7 “坐标法”求最值（范围）】 【例7】（2026·北京朝阳·一模）在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【变式7-1】（2026·安徽马鞍山·模拟预测）已知平行四边形中， ，，分别为边，的中点，若，则四边形面积的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式7-2】（2026·江西南昌·三模）如图，在扇形OAB中，半径，，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE的周长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·山西晋城·模拟预测）设的内角的对边分别为，是边的中点，. (1)若，求面积的最大值； (2)若的面积为且 ，求的值； (3)若，求的取值范围. 【题型8 与平面向量有关的最值（范围）问题】 【例8】（25-26高二上·湖北·阶段检测）设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（    ） A．8 B．4 C．16 D．12 【变式8-1】（2026·重庆九龙坡·三模）在中，角所对的边分别为，已知,，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·四川广安·模拟预测）已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 一、单选题 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 2．（2026·河南郑州·二模）已知的面积为1，，的中点分别，，且，则的最小值为（     ） A． B．2 C． D． 3．（2026·陕西榆林·三模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则周长的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建泉州·模拟预测）钝角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（） A． B． C． D． 5．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北保定·一模）已知的内角所对的边分别为，则的内切圆面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东广州·二模）在锐角中，角所对的边分别为且，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南湘潭·二模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·湖北十堰·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，满足．则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．若，则的最小值为2 10．（2026·山东青岛·一模）记的内角所对边分别为，点为的中点，，，延长到点，使点为线段的中点，则（    ） A． B．周长的取值范围为 C．的最大值为 D．的最小值为 11．（2026·山西朔州·二模）在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（    ） A． B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的最小值为 三、填空题 12．（2026·安徽芜湖·模拟预测）在中，内角的对边分别是，若，，则的面积最大值为___________． 13．（2026·四川·模拟预测）在中，角所对的边分别为，且为的中点，则的最大值为___________. 14．（2026·湖南郴州·三模）在锐角三角形中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为___________. 四、解答题 15．（2026·河南开封·三模）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且． (1)求角C的大小： (2)若边，求的面积S的取值范围． 16．（2026·江苏南京·三模）已知在中，角的对边分别为，满足，且. (1)求； (2)若为锐角三角形，求三角形的周长的取值范围． 17．（2026·湖北武汉·三模）在中，内角，，的对边分别为，，， 若． (1)求角的大小； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 18．（2026·四川成都·模拟预测）已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 19．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知分别为三个内角的对边，且 (1)求角； (2)已知，为锐角三角形，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $