重难点专训05 解三角形中三角形面积·周长·内部一条线（专项训练）（天津专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦解三角形中面积、周长及内部线段问题，构建“定理-方法-题型”三级体系，提炼边角互化、最值求解等通法，适配天津考情的分层突破训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|1|面积公式分类、周长二次函数转化、中线阿波罗尼斯定理、角平分线等面积法|以正弦/余弦定理为基础，衍生特殊线段处理及最值求解逻辑链| |题型通法及变式提升|4题型（各含典例+变式）|中线向量拆分、角平分线定理应用、面积/周长基本不等式与三角函数值域法|按“基础线段→动态最值”递进，每个题型对应专属转化策略| |重难专题分层过关练|巩固8题+创新10题|天津考题融合双最值设元技巧、选填特殊三角形速验法|从单一知识点应用到多考点综合，匹配一轮复习螺旋上升需求|

重难点专训05 解三角形中三角形面积·周长·内部一条线 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 三角形中线问题 2 题型2 三角形角平分线问题 6 题型3 面积最值取值范围问题 10 题型4 周长最值取值范围问题 13 重难专题分层过关练 18 巩固过关 18 创新提升 29 解题方法及技巧提炼 面积优先两类公式：(S=1/2absin C)与海伦公式，已知边角用边角乘积式，已知三边用海伦公式；周长问题结合余弦定理，统一边构造二次函数求最值，利用两边之和大于第三边约束取值范围。 中线用阿波罗尼斯定理：(2ma2=2b2+2c2-a2)，也可向量拆分、延长中线构造平行四边形转化边长。角平分线记长度公式，借助角平分线定理分对边成邻边之比。 通用思路：统一已知条件，边角互化，最值题锁定余弦定理结合基本不等式；天津考题常融合周长面积双最值，设单一变量简化运算。选填可代入特殊三角形速算检验，大题书写定理公式，留意角度范围避免增根。 1.正弦定理 .（其中为外接圆的半径） （边化角） （角化边） 2.余弦定理： 3.三角形面积公式： = 4.三角形内角和定理： 在△ABC中，有. 5.基本不等式（优先用基本不等式） ① ② 6.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题） 利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。 7.三角形中线问题 如图在中，为的中点，，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用） 8.角平分线问题 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， ①等面积法 （常用） ②内角平分线定理： 或 ③边与面积的比值： 题型通法及变式提升 题型1 三角形中线问题 【典例1-1】（2026·天津·模拟预测）已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理求出角，结合图形写出中线向量的表达式，由向量数量积的运算律，代入即可求得中线的长度. 【详解】在中, 由余弦定理，， 则. 因点是的中点，则， 两边平方得 ， 故. 1.可以利用向量法 2.倍长中线：中线可延长，补成对称图形 3.中线可借助补角. 【典例1-2】（2026·天津河北·二模）如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法1，将作为与的夹角，利用向量知识结合题目数据可得答案； 方法2，如图建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积坐标表示完成运算； 方法3，利用余弦定理计算可得答案. 【详解】法一：分别是的中点，. 与的夹角等于， ， 则； 法二：以为轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，则 ， 则 ； 法三：在中，由余弦定理， 又因为P为的重心，则， 在中再由余弦定理， 在中由余弦定理， 在中，由余弦定理，则 . 故选：D. 【变式1-2】（2025·天津河西·模拟预测）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点． (1)求中线AM的长； (2)求的余弦值； (3)求面积． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）运用中线长的向量表达式，结合数量积定义可解； （2）转化为向量夹角余弦值可解； （3）运用重心的性质，结合面积公式可解. 【详解】（1）因为为BC的中点，， ， . （2）因为 , ， . （3）为中线的交点，为重心， ， ，， . 题型2 三角形角平分线问题 【典例2-1】（2026·天津·阶段检测）如图，在中，，分别为边，上的中线，且与的夹角为，，，则的值为______. 【答案】 【分析】根据三角形重心的性质可得，进而由余弦定理可求，从而由数量积的运算法则即可得解. 【详解】假设为中线与的交点，则为三角形的重心， 因为，，即， 所以，， 由余弦定理得， 所以. 故答案为：. 角平分线 如图，在△ABC中，AD平分BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 技巧1：内角平分线定理： 技巧2：等面积法 ， 技巧3：边与面积的比值： 技巧4:角互补： +, 在△, 在△, 【典例2-2】（2026·天津·阶段检测）已知的内角的对边为，且. (1)求角； (2)若的面积为，为的中点，且，，求中线的长及内角的角平分线的长. 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）由正弦定理得：，， ，又，. （2）由（1）知：，，解得：； 为的中线，， ， ，即中线的长为； 为内角的平分线，， ，， . 【变式2-1】（2026·天津南开·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若的角平分线交边于点，，，求的周长. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由及正弦定理，得， ，， ，，，，或. ，，，即. （2）如图：   ， ，①， 又在中，由余弦定理可得，即②， 将①代入②得，或（舍）, . 的周长为. 【变式2-2】已知外接圆的半径为1，的角平分线交圆于另一点，，则的取值范围是__________，的最小值是__________． 【答案】 【分析】根据题意，利用正弦定理可得，根据三角形内角和即可确定的取值范围，设，由正弦定理可得，，再计算即可求解． 【详解】如图，不妨取在优弧上，在劣弧上，外接圆的半径， ，即， 解得， ， 为的角平分线， ， ， ，即； 设， 则， ， ， ， ， ，， 故当，即时，取得最小值． 故答案为：；． 题型3 面积最值取值范围问题 【典例3-1】（2026·天津南开·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小： (2)若，，． ①求的值；②设D是边AC上一点，BD为角平分线，求BD的长． 【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）由题意及正弦定理可得：， 可得，即， 在中，，所以， 因为，所以； （2）因为，，， 由余弦定理得， 所以，即， 所以，，由正弦定理可得：， 可得， 因为，则，则， 可得， 且， 所以 ； ②由角平分线定理可得，即， 又，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得. 面积最值先利用转化。已知一角及对边，结合余弦定理与基本不等式求出ab最大值，得到面积上限；已知周长，设变量结合余弦定理构造函数。若限定边或角范围，借助正弦定理换元，转化单三角函数，利用有界性求值域。做题注意角的取值范围，防止最值取错，算出结果及时检验边界 【典例3-2】（2026·天津滨海新区·阶段检测）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积的最大值，并求此时的值； (3)若，求． 【答案】(1)(2)面积最大值为，此时(3) 【详解】（1）由正弦定理，为外接圆半径. 所以有. 整理得. 在中，，故. 因为，所以，于是，即. 又，所以. （2）由余弦定理，代入，，得. 由基本不等式，可得，即. 当且仅当时等号成立. 三角形面积，因此. 当时，，解得. 综上，面积的最大值为，此时. （3）由正弦定理，结合，，得. 则. 由，得，故为锐角，. 由二倍角公式，，. 所以. 【变式3-1】（2026·天津南开·模拟预测）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________． 【答案】 【详解】已知，根据正弦定理，. 因为，且，化简得. 因为是锐角三角形，所以. 因为，所以，即. 因为为锐角三角形，故，解得. 由正弦定理，所以，. 因此面积. 由，得，故， 因此. 【变式3-2】在中，角，，所对应的边分别为，，，已知， （1）角__________； （2）若，则的面积的最大值是__________. 【答案】 【分析】（1）由正弦定理进行边化角，结合两角和的正弦公式及诱导公式可得； （2）由余弦定理结合重要不等式可得的最大值，从而求得的面积的最大值. 【详解】（1）由，及正弦定理， 得， ， ， 所以， 因为，所以， 所以，， 因为，所以. （2）若，则由余弦定理， 得， 因为，所以，即. 所以的面积， 所以的面积的最大值是. 题型4 周长最值取值范围问题 【典例4-1】在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据题意利用余弦定理边角转化可得，即可得结果； （2）利用余弦定理解得，即可得周长； （3）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得，进而可得取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理可得， 因为，所以解得. （2）由余弦定理可得， 因为，所以解得， 因此的周长为. （3）由正弦定理可得， 所以，， 因为，所以， 则 ， 因为是锐角三角形，所以，即， 解得，即， 所以，即， 因为， 所以，即面积的取值范围是. 周长最值核心结合正、余弦定理转化。已知一角及其对边，由余弦定理搭配基本不等式求出邻边和的最大值；再由三角形三边关系确定两边和下限。已知外接圆半径，用正弦定理将边化为角，转化三角函数，借助角的范围求周长范围。求解时严格锁定内角取值区间，避免边界错误；最值验算可代入特殊直角三角形快速核对。 【典例4-2】设的内角所对边分别为，且． (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）中，，所以. 由得，， 整理得. 又，所以，则，所以. 由三角形面积公式得，所以. 由余弦定理得， 所以，所以. 故的周长为. （2） . 由（1）得，，因为为锐角三角形，所以， 所以，则， 所以，解得，则. 又在上单调递增，所以. 故的取值范围为. 【变式4-1】（2026·天津滨海新区·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，，，当的周长取最大值时，的面积为_____. 【答案】 【分析】利用余弦定理及基本不等式可求得，从而可求解. 【详解】由题知，，由余弦定理得， 即， 解得，当且仅当时取等号， 所以的周长取最大值为，此时的面积为. 故答案为：. 【变式4-2】（2026·江苏苏州·阶段检测）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)点E为边的中点，若，求的面积； (2)如图所示，点D是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由可得， 由正弦定理得， ， 所以，即． 由余弦定理，又因为，因此， 因为中线，所以； 两边同时平方得，即， 在中，，由余弦定理可得， 可得，所以； （2）在中，由正弦定理可得，即， 在中，由正弦定理可得，即． 因为四边形的内角和为，且， 所以， 在中， 所以， 则， ， 因为在中，所以， 则，在单调递增， 因为，所以， 所以的取值范围为. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津·模拟预测）已知分别是三个内角的对边，且． (1)求角的大小； (2)若分别为的边上的点，且，求面积的最大值和此时的周长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据条件，由正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式求解； （2）由条件利用三角形面积公式得， 解法一：由，得，可求得面积的最大值，由余弦定理得，可求的周长. 解法二：由，得，利用基本不等式求出面积的最大值，由余弦定理得，可求的周长. 【详解】（1）中有， 由正弦定理得，， 又将代入得，， 展开得，， 整理得，， 由， 所以，得，即， 由知，所以， 故． （2）， ， 解法一：由（1）知，， 故， 当且仅当时取等号，即面积的最大值为． 此时， 由余弦定理得， 的周长为. 解法二：由（1）知，， ， 当且仅当时取等号． 此时， 由余弦定理得， 的周长为. 2．（2026·天津西青·联考）在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. (1)求角C的大小； (2)若，，求的周长； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】根据向量共线的坐标关系，结合正余弦定理边角互化即可求解， （2）由余弦定理以及面积公式即可求解得解， （3）根据正弦定理得，进而根据面积公式可得，由三角恒等变换，化简可得，即可根据三角函数的性质求解. 【详解】（1）若，则, 由正弦定理可得，故， 因此, . （2）由（1）可得，又,故， 因此，故， 因此周长为 （3）由于，故， 由正弦定理可得， 故， 因为，所以， 所以， 故, 由于三角形为锐角三角形，故,解得， 因此，故，则， 因此. 3．（2026·天津武清·阶段检测）在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标运算得到边角关系，结合正弦定理化简求角； （2）将周长最小值转化为求边的最小值，结合余弦定理和基本不等式求解； （3）利用正弦定理将转化为角的三角函数，结合锐角三角形的角范围求面积的取值范围. 【详解】（1）由，则， 即， 由，则，故， 即，由，故； （2）由余弦定理得， 则， 当且仅当时，等号成立， 故周长的最小值为； （3）由正弦定理可得，故、， 则 ， 由是锐角三角形，则，解得， 则，故，即. 4．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）在锐角中，由正弦定理得， 又， ∵， 所以， 则， 在锐角中，， ，即. ， （2）由（1）得， 由正弦定理：，得 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以， 所以， 故面积的取值范围为． 5．（2026·天津·模拟预测）在中，，，分别为内角，，的对边，且，. (1)若，求； (2)若，在边上且，求证：； (3)求面积的最大值. 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）若则，由余弦定理得 （2），， 即：， 化简得：. （3）由余弦定理：且，， 可得，， 而， 令，则，即， 可得，，其中，的终边经过点， 因此，取为锐角，所以，所以，解得. 所以最大值为. 6．（2026·天津·模拟预测）已知的内角的对边分别为，向量，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标公式和余弦定理，余弦函数的图象即可求得答案； （2）先由（1）的结论和基本不等式推出，利用三角形面积公式即可求得其最大值. 【详解】（1）因为，所以， 即， 由余弦定理得，因为，所以． （2）由（1）得，即， 当且仅当时，等号成立， 则， 所以当时，面积的最大值为． 7．（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) 由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 所以或， 所以或（舍去） 所以； (2)(3) 【详解】（1）略 （2）由，所以， 又，所以， 又，所以， 又由为的平分线， 所以， 所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以，所以； （3）由（1）有，又，所以， 又由正弦定理得： ， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 8．（2025·天津武清·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由已知，可以得到 再利用面积公式可以得到， 由余弦定理知，所以有 即. 因为，所以. （2）由数量积公式可知 由二倍角公式和辅助角公式可得. 所以. 由正弦定理可得， 所以,，因为,所以， 所以 ， 因为，所以. 所以， 所以的取值范围为. 9．（2025·安徽合肥·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得， 所以由正弦定理得， 又因为， 所以，因为，所以， 因为，所以， 因为，， 所以由余弦定理得， 所以，所以， 所以的面积. （2）因为角为钝角，所以，所以， 因为，所以， 代入得, 因为，所以，即， 所以的取值范围为. 35．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知△中，点在边上，平分，且△面积是△面积的倍． (1)求的值； (2)若，，求和的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据三角形的角平分线结合三角形面积公式与正弦定理即可得所求； （2）设到的距离为，根据三角形面积可得，再结合平面向量的线性运算与模长即可得所求. 【详解】（1）因为，， 因为， 所以，则，所以由正弦定理得； （2）设到的距离为， 因为，， 因为， 所以，则， 因为，平方得， 因为，平方得， 整理得． 又因为， 所以． 10．（2025·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线定理可得，在中，利用余弦定理求出，进而根据正弦定理求出. 【详解】因为为的平分线，且， 在中，根据正弦定理可知， 在中，根据正弦定理可知， 而，，故将上述两个等式相除可得， 又，所以，则在中， 由余弦定理得， 所以，在中，由正弦定理得， 则. 故选：A. 创新提升 1．（2026·天津静海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合三角恒等变换求得. （2）利用正弦定理、三角恒等变换等知识求得周长的取值范围． 【详解】（1）由正弦定理，得， 代入原式，化简得， 交叉整理，变形为. 若，化简得，与三角形内角范围矛盾，舍去； 若，则，结合，得，即. （2）由，，，得. ，， ， ，则，所以， 所以. 周长，即. 2．（2025·天津·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，， (1)求角C； (2)若点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值； (3)求锐角的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角化简整理即可； （2）根据角平分线建立等角关系，再结合正弦定理和三角形面积公式建立关于的方程并求解； （3）根据余弦定理建立关于周长和函数关系，结合函数单调性求解范围. 【详解】（1）已知，由正弦定理边化角得： ， 因为，故， 代入上式化简得：， 在中，，则， 又，因此. （2）由是的平分线，可得， 由面积关系，代入可得：， 代入， 化简得：，解得. （3）由余弦定理得：， 因为是锐角三角形，由余弦定理得： ， ， 故，则周长， 易知在上单调递增，得， 因此周长的取值范围为：. 3．（2025·天津·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，且外接圆半径为2，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）直接利用正余弦定理余弦定理边角互化解三角形即可求解； （2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； （3）易得三角形为等边三角形，取中点，可得，由P为上的一动点，可得，进而可求的取值范围. 【详解】（1）依题意，由正弦定理，， 由 可得， 由余弦定理，， 则，则， 因为，所以； （2）由为锐角三角形，， 可得，解得， 由正弦定理，则， ，，， ； （3）由正弦定理，则，则， 由，可得，则， 则三角形为等边三角形，取中点，如图所示： 则 ， 由，，则，则. 4．（2025·天津·模拟预测）在中，角所对的边分别为． (1)若，，试讨论的取值范围，使得在解三角形时没有解，一个解，两个解； (2)若为锐角三角形，外接圆的半径为，且，求周长的取值范围． 【答案】(1)当时，此时三角形不存在， 当或时，此时三角形只有一解， 当时，此时三角形有两解. (2) 【分析】（1）根据三角形个数判断法则判断即可. （2）先根据题目条件及正弦定理求出，再利用正弦定理将边全部用角来表示，最后将周长用的三角函数来表示，结合锐角三角形求出周长的取值范围. 【详解】（1）如图所示，作边上的高. ，. 当时，此时三角形不存在， 当或时，此时三角形只有一解， 当时，此时三角形有两解. （2）由正弦定理，得. 又，，即，. 又因为为锐角三角形，. 设的周长为，则 为锐角三角形，，. ，，. 故周长的取值范围为. 5．（2026·天津滨海新区·模拟预测）在中，角所对的边分别为．满足 (1)求角的大小； (2)设，求的值； (3)设，已知是边的中点，求的最大值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用三角恒等变换可得，结合角的范围即可求解； （2）根据余弦定理可得，利用余弦定理，同角关系式及二倍角公式可得，，然后利用和差角公式结合条件即得. （3）根据题意，结合余弦定理得，进而结合基本不等式得，再根据中线公式，结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 因为，故，则， 又，所以. （2）由（1）知，，且，， 因为，即， 化简，解得（舍），，所以. 由， 则， 则，， 所以. （3）由（1）知，， 所以，由余弦定理得：， 因为，即，当且仅当时等号成立， 因为是边的中点，所以， 所以 ， 所以，即的最大值为. 6．（2025·天津·二模）在中，内角所对的边分别为,，，且． (1)求角； (2)若，是钝角三角形． （ⅰ）求的范围； （ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围． 【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）直接由向量的共线并结合正弦定理可得； （2）（ⅰ）根据正弦定理进行边化角，进而得，再由三角形为钝角三角形得，再由正弦函数的性质可得范围；（ⅱ）先由等面积法可得，再由条件和（i）结果可得，再令，再根据函数的单调性可得所求值的范围. 【详解】（1）由，，且， 所以，， 化简整理得，再由正弦定理得， 因为，所以，且，所以. （2）（i）由，结合正弦定理，得. 因此 ​，且. 因为 为钝角三角形， ​，故钝角只能是或， 所以或，所以. 由正弦定理得 ， 因为，所以，， 所以 （ii）因为为的角平分线，且，如图： 由面积关系，， 所以 ，化简得. 又因为 ， 由（i）知， 所以， 令，由（i）知，所以 所以，因为函数在是单调递增函数， 所以时，，当时，. 所以. 7．（2026·山东临沂·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，向量，且． (1)求角； (2)若，求的面积； (3)若，求的最大值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）因为向量，且，所以. 又由正弦定理得，因为，所以 又因为，所以. （2）因为中，，由（1）知，由余弦定理， 即，所以，解得或（舍去）. 所以的面积. （3）由（1）知，且，由余弦定理， 得， 即，当且仅当时等号成立. 所以的最大值为. 8.在中，角，，的对边分别为，，，，. (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． （2）由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由得， 所以． （3）由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为△ABC为锐角三角形，所以，， 即，， 则，即， 则， 故△ABC的周长的取值范围为． 9．（2026·河北石家庄·阶段检测）在中，角的对边分别为．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用和角公式及诱导公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得答案； （2）由三角形面积公式得，由等面积法得出，结合余弦定理即可求得边； （3）根据等面积法，可得与的关系，再利用基本不等式求得的最小值，继而可得三角形面积最小值． 【详解】（1）由，得， 所以， 所以，即. 因为，所以. （2）由题可知，化简得. 由余弦定理知，即， 所以，解得.    （3）因为的面积为， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，即， 所以的面积， 当且仅当时，的面积取得最小值，最小值为.      10．（2026·天津·阶段检测）在三角形中，角所对的边分别为，且 (1)求的大小； (2)若三角形的面积，求最大值． 【答案】(1)(2)8 【详解】（1）根据正弦定理， 可得， 代入已知等式：， 整理得：， 由余弦定理​，代入得：​， 因为，故. （2）三角形面积公式，代入， ​​得：，又， 得， 又 将代入整理得： ​ 由基本不等式，代入得：， ​ 整理得，即，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训05 解三角形中三角形面积·周长·内部一条线 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 三角形中线问题 2 题型2 三角形角平分线问题 3 题型3 面积最值取值范围问题 4 题型4 周长最值取值范围问题 5 重难专题分层过关练 6 巩固过关 6 创新提升 8 解题方法及技巧提炼 面积优先两类公式：(S=1/2absin C)与海伦公式，已知边角用边角乘积式，已知三边用海伦公式；周长问题结合余弦定理，统一边构造二次函数求最值，利用两边之和大于第三边约束取值范围。 中线用阿波罗尼斯定理：(2ma2=2b2+2c2-a2)，也可向量拆分、延长中线构造平行四边形转化边长。角平分线记长度公式，借助角平分线定理分对边成邻边之比。 通用思路：统一已知条件，边角互化，最值题锁定余弦定理结合基本不等式；天津考题常融合周长面积双最值，设单一变量简化运算。选填可代入特殊三角形速算检验，大题书写定理公式，留意角度范围避免增根。 1.正弦定理 .（其中为外接圆的半径） （边化角） （角化边） 2.余弦定理： 3.三角形面积公式： = 4.三角形内角和定理： 在△ABC中，有. 5.基本不等式（优先用基本不等式） ① ② 6.利用正弦定理化角（函数角度求值域问题） 利用正弦定理，，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。 7.三角形中线问题 如图在中，为的中点，，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用） 8.角平分线问题 如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，， ①等面积法 （常用） ②内角平分线定理： 或 ③边与面积的比值： 题型通法及变式提升 题型1 三角形中线问题 【典例1-1】（2026·天津·模拟预测）已知的内角的对边分别为，若，则中线的长为（ ） A． B． C． D． 1.可以利用向量法 2.倍长中线：中线可延长，补成对称图形 3.中线可借助补角. 【典例1-2】（2026·天津河北·二模）如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·天津河西·模拟预测）如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点． (1)求中线AM的长； (2)求的余弦值； (3)求面积． 题型2 三角形角平分线问题 【典例2-1】（2026·天津·阶段检测）如图，在中，，分别为边，上的中线，且与的夹角为，，，则的值为______. 角平分线 如图，在△ABC中，AD平分BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 技巧1：内角平分线定理： 技巧2：等面积法 ， 技巧3：边与面积的比值： 技巧4:角互补： +, 在△, 在△, 【典例2-2】（2026·天津·阶段检测）已知的内角的对边为，且. (1)求角； (2)若的面积为，为的中点，且，，求中线的长及内角的角平分线的长. 【变式2-1】（2026·天津南开·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若的角平分线交边于点，，，求的周长. 【变式2-2】已知外接圆的半径为1，的角平分线交圆于另一点，，则的取值范围是__________，的最小值是__________． 题型3 面积最值取值范围问题 【典例3-1】（2026·天津南开·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小： (2)若，，． ①求的值；②设D是边AC上一点，BD为角平分线，求BD的长． 面积最值先利用转化。已知一角及对边，结合余弦定理与基本不等式求出ab最大值，得到面积上限；已知周长，设变量结合余弦定理构造函数。若限定边或角范围，借助正弦定理换元，转化单三角函数，利用有界性求值域。做题注意角的取值范围，防止最值取错，算出结果及时检验边界 【典例3-2】（2026·天津滨海新区·阶段检测）已知的内角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积的最大值，并求此时的值； (3)若，求． 【变式3-1】（2026·天津南开·模拟预测）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________． 【变式3-2】在中，角，，所对应的边分别为，，，已知， （1）角__________； （2）若，则的面积的最大值是__________. 题型4 周长最值取值范围问题 【典例4-1】在中，角的对边分别为，满足. (1)求角的大小； (2)若，，求的周长； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 周长最值核心结合正、余弦定理转化。已知一角及其对边，由余弦定理搭配基本不等式求出邻边和的最大值；再由三角形三边关系确定两边和下限。已知外接圆半径，用正弦定理将边化为角，转化三角函数，借助角的范围求周长范围。求解时严格锁定内角取值区间，避免边界错误；最值验算可代入特殊直角三角形快速核对。 【典例4-2】设的内角所对边分别为，且． (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【变式4-1】（2026·天津滨海新区·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，，，当的周长取最大值时，的面积为_____. 【变式4-2】（2026·江苏苏州·阶段检测）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)点E为边的中点，若，求的面积； (2)如图所示，点D是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·天津·模拟预测）已知分别是三个内角的对边，且． (1)求角的大小； (2)若分别为的边上的点，且，求面积的最大值和此时的周长． 2．（2026·天津西青·联考）在面积为S的中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，且. (1)求角C的大小； (2)若，，求的周长； (3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围. 3．（2026·天津武清·阶段检测）在中，角的对边分别为，若平面向量，其中，． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 4．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知分别是锐角三个内角的对边，且，． (1)求的值； (2)求面积的取值范围． 5．（2026·天津·模拟预测）在中，，，分别为内角，，的对边，且，. (1)若，求； (2)若，在边上且，求证：； (3)求面积的最大值. 6．（2026·天津·模拟预测）已知的内角的对边分别为，向量，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 所以当时，面积的最大值为． 7．（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 8．（2025·天津武清·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且.已知向量，，函数， (1)求角A的大小； (2)在中，，求的取值范围. 9．（2025·安徽合肥·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围. 35．（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知△中，点在边上，平分，且△面积是△面积的倍． (1)求的值； (2)若，，求和的长． 10．（2025·甘肃武威·模拟预测）在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 创新提升 1．（2026·天津静海·阶段检测）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求； (2)已知，求周长的取值范围． 2．（2025·天津·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，， (1)求角C； (2)若点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值； (3)求锐角的周长的取值范围． 3．（2025·天津·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，且外接圆半径为2，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围． 4．（2025·天津·模拟预测）在中，角所对的边分别为． (1)若，，试讨论的取值范围，使得在解三角形时没有解，一个解，两个解； (2)若为锐角三角形，外接圆的半径为，且，求周长的取值范围． 5．（2026·天津滨海新区·模拟预测）在中，角所对的边分别为．满足 (1)求角的大小； (2)设，求的值； (3)设，已知是边的中点，求的最大值． 6．（2025·天津·二模）在中，内角所对的边分别为,，，且． (1)求角； (2)若，是钝角三角形． （ⅰ）求的范围； （ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围． 7．（2026·山东临沂·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，向量，且． (1)求角； (2)若，求的面积； (3)若，求的最大值． 8.在中，角，，的对边分别为，，，，. (1)求角； (2)若是线段的中点，且，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 9．（2026·河北石家庄·阶段检测）在中，角的对边分别为．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 10．（2026·天津·阶段检测）在三角形中，角所对的边分别为，且 (1)求的大小； (2)若三角形的面积，求最大值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $